Введение к работе
Как правило, исследование линейных задач различной природы (линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, интегральных или функционально-дифференциальных уравнений и т. п.) начинается с доказательства существования и единственности решения в выбранном функциональном пространстве. К сожалению, для нелинейных задач единственность решения — явление достаточно редкое. Поэтому часто в качестве идеального результата анализа разрешимости нелинейного уравнения стремятся получить утверждения о существовании более одного решения, что как правило оказывается непростой задачей. Во многих практически важных случаях некоторые решения (обычно называемые тривиальными) известны заранее, а исследователя прежде всего интересуют нетривиальные решения, располагающиеся "вблизи" множества тривиальных решений в выбранном функциональном пространстве. Типичная задача такого рода наряду с переменными, описывающими состояние исследуемой системы, содержит еще и ряд физических параметров, при изменении которых можно ожидать скачкообразное изменение множества решений. В диссертации исследуются задачи ветвления такого типа, относящиеся к трем классическим постановкам.
1. Бифуркационная задача вида 1
Lx = F(x, АО, (1)
где х Є Е\ — неизвестный элемент, Лі Є И — вещественный параметр, L : Е\ — . — линейный плотно определенный в Е\ оператор, F :
'Нумерация формул, обозначений и утверждений автореферата и диссертации не совпадают
Ei x R —* E-2 — нелинейный оператор, удовлетворяющий условию
VA1F(0,A1)=0,
Ei и E-2 — вещественные банаховы пространства. Известно, что при условии существования непрерывной производной Фреше в нуле -Pi(0, Ах) у оператора F все точки бифуркации исходной задачи обеспечивают нетривиальную разрешимость линейного уравнения
Lx = Fx(0,Xi)x. (2)
Задача же нахождения конструктивных достаточных условий существования точек бифуркации практически полностью решена только в случае, когда (1) допускает вариационную формулировку.В отсутствии вариационной структуры, как правило, приходится использовать какой-либо из классических результатов, требз'ющих. например, знания кратности соответствующих собственных значений, практическая проверка которой часто весьма затруднительна.
2. Обобщенная задача на собственные значения вида
Lx = Н{Х)х, (3)
где Н(Х): Е\ -—у Ei —L линейный оператор. Задача состоит в нахождении тех значений параметра А = А', называемых характеристическими числами, при которых уравнение.(3) допускает нетривиальные решения х ф 0. Несмотря на то, что методы спектральной теории для линейных операторов достаточно развиты, все же решить поставленную задачу, вообще говоря, непросто, если только она не имеет весьма специального вида, например, сводится к задаче на собственные значения для компактного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве.
3. Кобифуркационная задача. Эту задачу можно рассматривать как "двойственную" к (1):
Lx + F(\,x) = 0, (4)
где L: Е\ —+ 2 — необратимый линейный фредгольмов оператор, х Є Еі, А Є В., F: Ei —+ i?2 удовлетворяет условию F(0,х) = 0 для любого х Є Ei. Множество
М = {0} х keri cKxi
можно тогда рассматривать как многообразие тривиальных решений (4). Цель состоит в отыскании таких точек х' Є kerL С Ei, называемых точками кобифуркации, что каждая окрестность точки (0, а;') содержит нетривиальное (т.е. не содержащееся в М) решение уравнения (4).
Методика исследования. В диссертации развивается метод анализа задач ветвления, основанный на использовании классической теории ветвления решений нелинейных уравнений, предложенного С.А. Вавиловым метода неэквивалентных замен переменных, и развитии теории Лерэ-Шаудера топологической степени отображения в применении к отображениям в пространствах, имеющих структуру прямого произведения Е х И" бесконечномерного банахова пространства Е и конечномерного пространства IR".
Научная новизна. На защиту выносятся следующие положения, определяющие научную новизну результатов диссертационной работы:
- Сформулированы новые утверждения, позволяющие вычислять топологическую степень отображений в пространствах вида Е х И", где Е — бесконечномерное банахово пространство, развивающие заложенный в работах J. Cronin, М. Furi, М. Martelli и
С.А. Вавилова топологический подход к исследованию разрешимости операторных систем уравнений в этих пространствах;
Получены достаточные условия существования точек бифуркации задач вида (1), обосновывающие применение метода линеаризации для поиска интервалов, содержащих точки бифуркации, и использование приближенного метода Галеркина для селекции точек бифуркации среди множества характеристических чисел соответствующих линеаризованных задач;
Для бифуркационных, постановок краевых задач на существование периодических решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений, линеаризация которых приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям типа Хнлла, найдены интервалы, содержащие точки бифуркации, а также обоснован выбор приближенного метода поиска ветвей нетривиальных решений и точек бифуркации;
Для обобщенных задач на собственные значения вида (3) на примере краевых задач на существование периодических решений для дифференциальных уравнений типа Хилла и линеаризованной задачи об устойчивости цилиндрической оболочки при неоднородном осевом сжатии найдены' интервалы, содержащие характеристические числа, а также обоснован выбор приближенного метода их поиска; '..'
Для кобифуркационных задач вида (4) сформулированы достаточные условия существования точек кобифуркации, а также обосновано применение метода Галеркина для их поиска.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты позволяют развить новые
(
конструктивные методы анализа широкого класса нелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений, и, в частности, могут быть применены для анализа ряда актуальных задач механики.
Апробация работы. Основные результаты диссертащга докладывались и обсуждались
на коллоквиумах по дифференциальным уравнениям кафедры прикладного анализа факультета технической матеметики и информатики Университета г. Delft, Нидерланды, 1992 и 1994 гг.
на семинаре кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского Государственного Университета под руководством проф. П.Е. Товстика, 1993 г.
-- на семинаре проф. Н.В. Азбелева по функционально-дифференциальным уравнениям,1994 г.
на израильском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям в научно-исследовательском институте математики г. Ariel, Израиль, под руководством проф. М.Е. Драхлина, 1993 и 1994 гг.
на семинарах по нелинейному анализу математического факультета Техниона, г. Haifa, Израиль, под руководством проф. S. Reich'a, 1993 и 1994 гг.
на семинаре кафедры системного анализа и информатики Университета Флоренции, Италия, 1994 г.
на третьей всеитальянской конференции "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление" на острове Эльба, 1994 г.
па семинаре кафедры математики и информатики Университета г. Udine, 1996 г.
Публикации. Содержание диссертации опубликовано в 5 работах [1]
--Ю-
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 53 наименования. Общий объем работы составляет 108 страниц маіпинописного текста.