Введение к работе
Актуальность темы. Проблеме обоснования процедуры усреднения для различных типов дифференциальных уравнений после классических работ Н.Н.Боголюбова, Н.М.Крылова (см., например, ставшую так же классической монографию Н.Н.Боголюбова, Ю. А.Митропольского1) посвящены сотни книг и десятки тысяч статей. Не имея возможности привести даже минималышй список, процитируем в алфавитном порядке лишь фамилии некоторых авторов, занимавшихся этим вопросом: В.М.Волосов, Е.А.Гребенников, М.И.Громяк, В.В.Жиков, Д. и. Мартишок, Ю.А.Митро-польский, Е.и.Ноисеенко, В.И.Моргунов, О.Б.Лыкова Ю.А.Рябов, Н.А.Перестюк, В.П.Рубаник, А.М.Самойленко, И.Б.Симоненко, Б.П.Ткач, Г.П.Хома. Более подробный список авторов и описание результатов можно найти, например, в обзоре А.М.Самойленко . Приложения принципа усреднения в различных областях науки и техники приведены в монографиях упомянутых авторов, а так же А.А.Алифова, К.В.Фролова, И.Н.Блехмана. Н.А.Бобылева, В.С.Климова. в.О.Кононенко и др. Важным как в теоретическом плане так и в приложениях является случай, когда правая часть уравнения
х' = cf(t,x,e), (1)
к которому применяется процедура усреднения, является Т-периоди-ческой функцией переменной t, здесь х - неизвестная функция со значениями в некотором банаховом пространстве, є - малый положительный параметр. В этом случае усредненное уравнение имеет вид
у' = ef (у), (2)
f (y)=i Г f(s,y,0)ds. (3)
Естественными здесь являются два вопроса:
при каких условиях и на каких промежутках может быть гарантирована близость решений уравнений (1) и (2), отвечающих одному и тому же начальному условию;
когда вблизи состояния равновесия системы (2) существует Т-иериодическое решение уравнения (1), и как в этом случае связаны устойчивость состояния равновесия с устойчивостью этого решения.
И.Н.Боголюбов, Ю.А.Нитропольский. Асимптотические методы и теории нелинейных колебаний. - м.:Наука, 1974.
А.М.Самойленко. Н.Н.Боголюбов и нелинейная механика // Успехи мат. наук. 1994. - 49, - 5. - С. 103-146.
Теоремы Н.Н.Боголюбова для конечномерного пространства и непрерывного по совокупности переменных оператора f, который кроме того непрерывено дифференцируем по пространственной переменной, дают следующий ответ на поставленные вопросы:
решения задач Копій для уравнений (1) и (2) с одинаковыми начальными условиями близки на отрезке [o.d/є];
если у* - состояние равновесия уравнения (2) и 0 Такие заключения называют обычно принципом усреднения. Важным этапом в обосновании принципа усреднения для задачи Коши для различных видов уравнений была работа М.А.Красносельского С.Г.Крейна , в которой принцип усреднения получается как следствие теоремы о непрерывной зависимости решений задачи Коши от параметра в случае интегрально непрерывной по параметру правой части. однако, несмотря на отмеченные достижения в методе усреднения, для многих классов дифференциальных уравнений, важных как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения имеющихся приложений, обоснование процедуры усреднения отсутствует. Сюда следует отнести различные уравнения типа параболических с некомпактными полугруппами, параболические уравнения с запаздыванием, некоторые уравнения с отклоняющимся аргументом нейтрального типа, уравнения в бесконечномерном пространстве с многозначными операторами. Обоснованию принципа усреднения для этих классов уравнений и посвящена диссертация, что делает выбранную тему актуальной. в конце бо-х начале 70-х годов в работах Д.И.Мартынюка, А.М.Самойленко4, В.В.Стрыгина5 для уравнений с запаздыванием и в работе [15] Р.Р.Ахмерова и автора для уравнений нейтрального типа 3 красносельский Ы.А.лрейн С. Г. О принципе усреднения в нелинейной механике // успехи мат. наук. - 1955. - ю, N3(65). - с.147-152. 4Картинок Л.И., самойленко A.M. О периодических решениях нелинейных систем с запаздыванием // В сб. математическая физика. - Киев. -1967. - С. 128-145. Стрыгин В. В. Одна теорема о существовании периодических решений систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // кат. заметки. - 1970. - 8, N2. - с. 229-233. была замечено, что топологический индекс Пуанкаре состояния равновесия усредненного уравнения совпадает с топологическим индексом оператора эквивалентного задаче о периодических решениях неусредненного уравнения. Это позволяет в случае отличия от нуля первого доказывать существование вблизи состояния равновесия усредненного уравнения периодических решений неусредненного уравнения. Именно такой взгляд на принцип усреднения и развивается в диссертации. В задаче Коши его тоже удается реализовать, Так как индекс множества решений задачи Коши всегда равен 1. В диссертации разработана схема доказательства принципа усреднения, позволяющая сделать следующий вывод: -как только для эквивалентного задаче коши или задаче о периодических решениях оператора построена теория топологического индекса, так для такого уравнения может быть осуществлено обоснование процедуры усреднения. В работе рассматриваются в основном уравнения, для которых эквивалентные операторы не являются вполне непрерывными. Последнее требует применения нетрадиционных теорий топологического индекса и, в частности, построенной Б.Н.Садовским теории топологического индекса уплотняющих операторов6. В диссертации исследуется устойчивость периодических решений неусредненного уравнения, находящихся вблизи состояния равновесия усредненного уравнения. В целом исследование устойчивости по первому приближению таких решений может быть проведено при помощи анализа линейной части оператора сдвига (см. монографию М.А.красносельского ) по траекториям неусредненного уравнения. Однако, во-первых, для уравнения (1) по оператору сдвига за период Т нельзя заметить изменение спектра линейной части исследуемого оператора, так как є входит в качестве множителя в правую часть. Поэтому в диссертации анализируются операторы сдвига за время [1/є]Т или за время il/c ]Т в вырожденных случаях. Во-вторых, для уравнений, рассматриваемых в диссертации, фазовые пространства бесконечномерны, и в отличие от конечномерного случая соответствующие линейные операторы сдвига за указанное время не будут непрерывно по норме зависеть от параметра 6Ахмеров P.P., Каменский м.И. , Родкииа А.Е., Потапов А.С, Садовский Б.Н. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. - Новосибирск: Наука, 1986. 1 красносельский М.А. Оператор слвига по траекториям дифференциальных уравнений. - N.: Наука, 1966. - б - е. Они будут лишь сильно сходиться при с —> О к производной в точке состояния равновесия оператора сдвига за время Т по траекториям усредненного уравнения при є=і. Такая сходимость не влечет в общем случае (см. 8) близости ответственных за устойчивость частей спектров указанных операторов. Последнее требует специального развития общей теории возмущений линейных операторов, что и проделано в диссертации. Цель работы. Целью диссеретации является обоснование принципа усреднения для новых классов дифференциальных уравнений. Получение в терминах теории топологического идекса неподвижных точек условий возможности применения процедуры усреднения. Исследование устойчивости периодических решений неусредненного уравнения, находящихся вблизи состояния равновесия усредненного уравнения. Общая методика работы. В работе используются различные методы качественного анализа дифференциальных уравнений, связанные с понятием топологического индекса, теория полугрупп операторов, различные методы линейного и нелинейного функционального анализа, теория мер некомпактности и уплотняющих операторов. Научная новизна. Бее основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора, в работе: разработан способ обоснования процедуры усреднения, основанный на теории топологического индекса; на его основе обоснована процедура усреднения для новых классов дифференциальных уравнений с запаздыванием, в том числе нейтрального типа, параболических уравнений с некомпактной полугруппой, параболических уравнений с отклоняющимся аргументом; в терминах топологического индекса указаны условия перехода к высшим приближениям в вырожденных случаях, позволившие установить также новые теоремы о существовании ненулевых и больших по норме периодических решений неусредненного уравнения;' исследована устойчивость периодических решений, возникающих . вблизи состояния равновесия усредненного уравнения; развиты теория мер некомпактности и уплотняющих операторов, теория топологического индекса и теория возмущений линейных уплотняющих операторов, позволяющие исследовать указанные уравнения. Приложения. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты могут найти применение в теории нелинейных колебаний, Като Т. Теорий возиуеений линейных операторов.- П.: Нир, \972. теории систем, теории управления. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались' на семинарах по теории систем в ИПУ АН РАН и ИППИ РАН под руководством М. А. Красносельского и Н.А.Бобылева, математических семинарах Руанского университета под руководством профессора к.деллашери (Франция, Руан 1991, 1993, 1994, 1995), на математическом семинаре Высшей Нормальной школы в Кашане под руководством профессоров Ж.-И. Гидаглийа, Ж.-М.Корона (Франция, Париж, 1992, 1993, 1994), на математическом семинаре университета в Монтпелье под руководством профессоров М.Валадье, К.кастена (Франция, Монтпелье 1994), на математических семинарах Флорентийского университета под руководством профессора їх- Копти (Италия, Флоренция, 1993, 1995), на между-народних конференциях по дифференциальным уравнениям (Болгария, Русе 1981, Пловдив 1991), в Международном центре им. С.Банаха (приглашенный лектор, Польша, Варшава 1990), Интернациональном конгрессе математиков (Швейцария, Цюрих, 1994), международной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям (приглашенный лектор, Москва 1994), на Интернациональном симпозиуме по методам и приложениям анализа (Гон-Конг, 1994), всесоюзной конференции по геометрии и анализу (Новосибирск 1989), в ХШ и XIV Всесоюзных шхолах по теории операторов в функциональных пространствах (Куйбышев 1988, Новгород 1989), на всесоюзной конференции по нелинейным проблемам дифференциальных уравнений и математической физики (Тернополь, 1989), на Всесоюзной конференции по интегральным и краевым задачам математической физики (Владивосток, 1990). на III и IV региональных Уральских конференциях по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям (Пермь, 1988, Уфа, 1989), на второй и третьей региональных Северо - Кавказских конференциях по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям (Махачкала, 1988, 1991), в Крымских осенних математических школах (Симферополь 1990, 1991, 1992, приглашенный лектор 1994}, воронежских математических школах (Воронеж 1989, 1992). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1] - [14] без соавторов. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, в каждом параграфе принята индивидуальная нумерация формул, объем диссертации - 280 страниц текста, набранного в редакторе Chiwriter (формат машинописного текста). Библиография содержит 194 наименования; Формулировки результатов приведены в главах 2 и 4. Доказательства отнесены в главы 3 и 5.Похожие диссертации на Топологический индекс и принцип усреднения
