Введение к работе
Актуальность темы. Проблема аналитического интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) возникла практически одновременно с появлением ОДУ в математических теориях и в приложениях. Усилия многих математиков XVIII и XIX в. были сконцентрированы на поисках конструктивных методов точных решений. В XX веке развитие качественных методов ознаменовало поворот от нахождения явных решений. Появление ЭВМ позволило реализовать весьма трудоёмкие численные алгоритмы, что повлекло дальнейший отход от классической постановки задачи.
Однако, вопреки отмеченным тенденциям, с 50-х годов XX века
I 2
возрождается интерес к теории Пикара-Бессио , к теории С.Ли и к
группам Ли-Беклунда , т.е. к методам теории дифференциальных
уравнений (ДУ), существенно связанных с общей алгеброй. Это
обусловлено, в первую очередь, актуальностью ряда задач ,
появившихся в приложениях - поиск нечисловой информации о решении
(например,симметрии); поиск решений с определёнными априорными
свойствами; построение модельных (эталонных) уравнений, в каком-то
смысле "близких" исходному, решение обратных задач (задач
моделирования) по известному классу решений и т.д. В последние
десятилетия развитие методов решения подобных проблем получило
дополнительный стимул. Усложнение численных алгоритмов для ЭВМ,
рост числа параметров, подлежащих определению, и увеличение
мощности множества перебора привели к необходимости тщательного
аналитического исследования исходных ДУ для того, чтобы в ряде
случаев уменьшить трудоёмкость алгоритмов , а также время счёта на
ЭВМ. И здесь весьма полезным оказывается применение опорных
(промежуточных) уравнений эталонного типа, дающих сравнительно
"хорошее" приближение, и интегрируемых в замкнутом виде.
Капланский И. Введение в дифференциальную алгебру / Пер. с англ. Под ред. М.М.Постникова. - М.: ИЛ, 1959. - 85с.
Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. -399с.
Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. -
М.: Наука, 1983. -280с.
Таким образом, рост потребностей ряда прикладных наук, с одной стороны, и необходимость поиска эффективных и экономичных алгоритмов для ЭВМ,с другой стороны,привели к возникновению нового класса задач теории ДУ - задач группового анализа и классификации.
Из задач, касающихся точных решений ОДУ, весьма сложной является проблема интегрирования ОДУ первого порядка. Сложность этой задачи объясняется практически полным отсутствием алгоритмических подходов к её решению, так как поиск допустимой точечной группы, вычисление интегрирующего множителя и нахождение общего решения представляют собой эквивалентные задачи. Аналогичные трудности возникают и при поисках касательных симметрии, допускаемых ОДУ второго порядка. Поэтому не случайны многочисленные попытки найти альтернативные способы решения
подобных уравнений как непосредственно связанные с классическими
4 5 идеями Ли, так и основанные на других идеях . Большинство работ
в лиевском направлении выполнялось в предположении, что оператор
симметрии имеет некоторый специальный вид. При этом строились
частные классы уравнений, которые допускали симметрии, например, в
виде групп движений на плоскости. При таком подходе приоритет
предположения оказывается скорее в области физического смысла.
В отличие от подобных постановок в данной работе упор делается на предположение о представимости инвариантов группы в замкнутом виде.
Цель работы.В соответствии с изложенным,целью работы являлись
-
построение ОДУ 1-го порядка, допускающих точечные симметрии С.Ли;
-
исследование на интегрируемость уравнений Риккати и Абеля (1 и 2 рода);
-
применение касательных преобразований и касательных симметрии к решению ОДУ 1-го и 2-го порядка;
-
реализация алгоритмов С.Ли для нахождения точечных и касательных симметрии в системе компьютерной алгебры REW0E.
Беркович Л.М. Факторизация и преобразования обыкновенных дифференциальных уравнений. - Саратов: Из-зо СГУ, 1989. 192с.
Зайцев В.Ф., Флегонтов А.В. Дискретно - групповые метода
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. -Л.: ЛИИАН, IS9I. 240с.
Методы исследования. В работе использовались теория алгебр Ли и групп Ли, теория ОДУ, а также методы компьютерной алгебры.
Научная новизна. Построена классификация ОДУ первого порядка, на основе которой указаны интегрируемые случаи уравнения Риккати, уравнения Абеля как первого, так и второго рода. Полученный результат относительно уравнения Абеля второго рода может рассматриваться как обобщение результата Хилла. Показана принципиальная возможность построения новых интегрируемых классов уравнений Абеля. Указано, что общее уравнение Риккати может быть проинтегрировано сведением дифференциального уравнения к функциональному. Найдены классы характеристических функций (Х.Ф.), допускающих вычисление касательных симметрии с помощью стандартных процедур. Приведено автомодельное решение одномерного нелинейного волнового уравнения.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое и практическое значение и могут быть использованы для поиска симметрии ОДУ, поиска решений с определёнными свойствами, построения модельных (эталонных) уравнений.
Апробация работы И публикации. Результаты диссертации по мере их получения докладывались
-
на XI Российском коллоквиуме "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования " (Самара, июнь 19S3);
-
на Герценовских чтениях (Санкт-Петербург, Российский государственный педагогический университет, апрель 1S94);
-
на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, декабрь 1S94);
4) на семинаре кафедры алгебры и геометрии Самарского
госуниверситета;
-
на семинаре "Дифференциальные и интегральные уравнения" кафедры уравнений математической физики Самарского госуниверситета;
-
на Самарском областном семинаре по дифференциальным уравнениям в СПГУ;
-
на семинаре кафедры высшей математики Самарского государственного аэрокосмического университета.
Hill J.M. Abel's differential equation/7 Hath. Scientist.1982. v. ?. № 2. P. 115-126.
t\
Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах.