Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения 35
1.1 Уравнения движения и законы сохранения 35
1.2 Растяжение жидких частиц 39
1.3 Устойчивость и прямой метод . 41
1.4 Неустойчивость и потеря гладкости 45
1.5 Открытые течения 47
2 Потеря гладкости 50
2.1 Функционалы Ляпунова 50
2.2 Течения с потерей гладкости
2.2.1 Течения в областях общего положения. 57
2.2.2 Специальные течения 63
2.3 Коллективная потеря гладкости 68
2.3.1 Дискретная функция Ляпунова 69
2.3.2 Изохронное течение 74
2.4 О линейном функционале Ляпунова 76
3 Сквозныеи«быстрые» течения 83
3.1 Сквозные течения и задача Юдовича 83
3.1.1 Элементарные примеры неконсервативных явлений 84
3.1.2 Задача о течениях в канале. 86
3.1.3 Устойчивость и вымывание возмущений 88
3.1.4 Сквозные, стационарные и безотрывные течения . 90
3.2 Быстрые течения 102
3.2.1 Асимптотическая устойчивость. 104
3.2.2 Полугруппа сдвигов и транспортная задача 109
3.2.3 Полугруппа безотрывного течения 111
3.2.4 Оценка младшей нормы 112
3.2.5 Спектр безотрывного течения 114
3.2.6 Оценки старших норм 116
4 Прямой метод Ляпунова 124
4.1 Диссипативные граничные условия и А-течения 124
4.2 Линейная устойчивость A-течений
4.2.1 Устойчивость по Ляпунову и A-метрика 138
4.2.2 Доказательство асимптотической устойчивости. 141
4.3 Нелинейная асимптотическая устойчивость 144
4.3.1 Сквозные диссипативные течения 146
4.3.2 Затухание возмущений 149
4.4 Теоремы типа теоремы Рэлея 151
5 Захват вихрей 161
5.1 Точечный вихрь 162
5.1.1 Точечный вихрь в прямоугольном канале 164
5.2 Конечные вихри 166
5.2.1 Граничные и начальные условия. 168
5.2.2 Вихревое пятно. 171
5.2.3 ФГ-вихри 173
5.2.4 Локализованные вихри. 180
5.2.5 Обсуждение. 183
5.3 Отрывные течения 184
5.3.1 Результаты расчётов. 185
5.3.2 Обсуждение. 188
5.4 Недиссипативные течения 191
5.4.1 Результаты расчётов 191
5.4.2 Обсуждение 195
6 Неустойчивость. 197
6.1 Монотонная неустойчивость 197
6.1.1 Неустойчивость вращательного течения 205
6.2 Колебательная неустойчивость 207
6.2.1 Гармонические течения 207
6.2.2 Течения в зазоре между цилиндрами. 214
7 Вибродинамика открытых течений 224
7.1 Твёрдое тело в безвихревом потоке 224
7.1.1 Уравнения движения. 224
7.1.2 Конфигурационное пространство и лагранжиан 227
7.1.3 Принцип наименьшего действия 233
7.1.4 Однородный шар. 235
7.1.5 Тело произвольной формы. 239
7.1.6 Равновесия центрально-симметричных тел 241
7.1.7 Характеризация шара 247
7.2 Граничная модуляция вихревых потоков 249
7.2.1 Постановка задачи. 249
7.2.2 Медленная система 252
7.2.3 Доказательство теоремы 7.3 255
Заключение 262
Заключительные замечания к гл. 2 262
Заключительные замечания к гл. 3 263
Заключительные замечания к гл. 4 264
Заключительные замечания к гл. 5 267
Заключительные замечания к гл. 6 269
Заключительные замечания к гл. 7 271
Литература
- Устойчивость и прямой метод
- Дискретная функция Ляпунова
- Сквозные, стационарные и безотрывные течения
- Нелинейная асимптотическая устойчивость
Устойчивость и прямой метод
Основные результаты, представленные в настоящей диссертации, впервые были опубликованы в статьях [1] – [27]. Статьи [1] – [12] опубликованы в российских журналах из списка ВАК и в рецензируемых зарубежных журналах, индексируемых в Web of Science и Scopus. Перейдём к краткому изложению основных результатов диссертации.
1. Сглаживание и потеря гладкости. В настоящей диссертации, на основе результатов соискателя, впервые опубликованных в статьях [1, 2, 9, 17], указаны широкие классы нестационарных решений уравнений динамики идеальной несжимаемой жидкости, в которых имеет место постепенная потеря гладкости или, напротив, сглаживание поля скорости жидкости со временем. Именно, для широких классов открытых стационарных течений идеальной жидкости доказано сглаживание возмущений со временем, и установлено, что устойчивость такого течения относительно некоторой естественной «энергетической» метрики (определяемой, например, функционалом Арнольда) влечёт устойчивость в старших метриках. Указанное сглаживание происходит исключительно благодаря постоянному обновлению состава материальных частиц потока, так как в идеальной жидкости нет диффузионного сглаживания, присущего параболическим уравнениям и системе Навье-Стокса.
В связи с оценкой роли открытой границы в упомянутом выше сглаживании, в настоящей диссертации исследована потеря гладкости нестационарных решений уравнений Эйлера в областях с полностью непроницаемой границей. Под потерей гладкости понимается постепенный, но неограниченный рост градиентов скорости (в общем случае) или градиентов вихря (в двумерном случае) со временем. В диссертации установлена потеря гладкости течений, вызываемых малыми возмущениями состояния покоя, а также малыми возмущениями довольно широких классов стационарных потоков в круге, и в некоторых кольцевых областях (вообще говоря, асимметричных), причём возмущение, «запускающее» потерю гладкости, во всяком случае может быть выбрано сколь угодно малым по C-норме при любом N. Из результатов диссертации вытекает, в частности, существование течений с потерей гладкости в произвольной гладкой плоской области с полностью непроницаемой границей, а также плотность множества начальных полей скорости таких течений относительно W1,-метрик. Cущественная особенность перечисленных результатов диссертации заключается в том, что потеря гладкости при возмущениях стационарных течений, и, следовательно, их неустойчивость в «старших» нормах, оказывается следствием устойчивости этих течений относительно «младших» норм.
Кроме того, в диссертации установлено, что любое стационарное течение, устойчивое по Ляпунову в энергетической норме, порождаемой функционалами Арнольда и удовлетворяющее некоторому условию неизохронности, обладает свойством коллективной потери гладкости: для любого фиксированного числа найдутся сколь угодно малое (вместе с любым заданным числом производных) начальное возмущение этого стационарного потока, такое что за достаточно большое время в возмущённом течении максимальный градиент вихря превысит . Коллективная потеря гладкости не предполагает потери гладкости индивидуальных течений.
Научная новизна диссертационного исследования в части, относящейся к потере гладкости и сглаживанию и основанной на результатах соискателя, впервые опубликованных в [1, 2, 9, 17]. В литературе, предшествовавшей публикации основных результатов диссертации,
возможность постепенного сглаживания течений идеальной жидкости со временем не обсуждалась. Более того, такая возможность представляется весьма неожиданной на фоне ряда результатов о постепенной потери гладкости течениями идеальной жидкости в областях с непроницаемыми границами или при условиях пространственной периодичности, см., например, статьи [123, 214, 195, 128, 95, 199, 172, 9, 150, 171], где можно найти и дополнительные ссылки.
Потерю гладкости решений уравнений движения идеальной несжимаемой жидкости обнаружил В.И. Юдович в 1974 г. для частных классов течений [123], и на этой основе предположил, что потеря гладкости имеет место для «большинства» течений. Результаты настоящей диссертации, с одной стороны, показывают, что гипотеза о потере гладкости не может быть в полной мере обобщена на открытые течения, а с другой стороны, значительно расширяют (по сравнению с известными) классы стационарных потоков, возмущения которых приводят к потере гладкости возмущённого течения, и в этом смысле существенно обобщают результаты [123, 214]. До публикации основных результатов диссертации не было известно, существует ли течение с потерей гладкости в произвольной плоской области. Результаты настоящей диссертации, дают положительный ответ на этот вопрос, и более того, показывают, что начальные поля скорости течений с потерей гладкости плотны относительно W1,-метрик.
Результаты настоящей диссертации, интересно сопоставить с известной теоремой Коха (H. Koch, [172]), которая утверждает неустойчивость всех неизохронных плоских стационарных течений в метрике стандартной гёльдеровой нормы C,. (Течение называется изохронным, если движение жидкости реализует периодическое семейство гомеоморфизмов области течения.) На самом деле, теорема Коха даёт не только неустойчивость, но и коллективную потерю гладкости в C,. Требование неизохронности препятствует применению теоремы Коха к простейшим стационарным движа-ниям: состоянию покоя и твёрдотельному вращению жидкости. В настоящей диссертации доказана потеря гладкости (т.е неограниченный рост градиентов вихря) при возмущениях и состояния покоя, и твёрдотельного вращения, и ряда более широких классов течений. В наиболее общем случае доказано, что дополнительное предположение об устойчивости в «энергетической норме» значительно усиливает теорему Коха: начальные возмущения, приводящие к коллективной потере гладкости, могут быть выбраны сколь угодно малыми по C-норме при любом N, чего не позволяет теорема Коха.
Результаты диссертации получили развитие в работах ряда авторов, которыми было доказано существование плоских течений, допускающих различные оценки скорости роста градиента вихря снизу (см., например, [150, 171] и имеющиеся там ссылки). Вопрос «массивности» множества таких течений этими авторами не обсуждался.
Устойчивость открытых течений жидкости. В настоящей диссертации, на основе результатов соискателя, впервые опубликованных в статьях [1, 2, 3, 19, 24], [6] – [8], прямой метод Ляпунова в форме Арнольда [36] обобщён на задачи устойчивости стационарных решений начально-краевых задач для уравнений движения идеальной жидкости в областях с открытой границей; на этой основе выделены классы диссипативных течений, допускающих убывающие положительные функционалы Ляпунова, и классы диссипативных граничных условий, обеспечивающих дис-сипативность всех удовлетворяющих им течений. С использованием функционалов Арнольда в качестве функционалов Ляпунова в диссертации найдены достаточные условия устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости стационарных решений начально-краевых задач для уравнений движения идеальной жидкости в областях с открытой границей. Вместе с тем, установлены альтернативные условия асимптотической устойчивости, предполагающие высокую интенсивность обновления состава частиц стационарного потока (быстрые течения); на этой основе указаны конкретные классы вихревых течений идеальной жидкости, удовлетворяющих условиям устойчивости обоих типов, в частности исследована устойчивость класса точных явных решений краевых задач для уравнений гидродинамики в криволинейных каналах, найденных в [33].
Дискретная функция Ляпунова
Как было отмечено, см. (3.1.5-3.1.6), открытое течение при граничных условиях Юдовича с си+ = Си = const допускает положительный убывающий функционал Ляпунова - энстрофию (3.1.4). При этом производная энстрофии в силу системы сосредоточена на выходе потока из области. В такой ситуации диссипация может показаться слабой, по сравнению, например, с вязкой диссипацией. Тем не менее, система способна прийти в равновесие за конечное время. Например, Г. Алексеев [32] доказал стабилизацию открытого потенциального потока в канале за конечное время при граничных условиях Юдовича с си+ = 0.
Указанная стабилизация означает, что все малые, (но конечные) возмущения некоторых течений в каналах при определённых условиях вымываются из канала полностью за конечное время. Механизм вымывания становится понятней, если ввести в рассмотрение лагранжевы переменные. C этой целью рассмотрим движение материальных частиц в некотором открытом течении в канале D. Для описания такого движения выберем і 0, и з; G D и поставим задачу Коши dsX = v(X, s); X\s=t = х, (3.1.16) где v = v(x, t) - поле скорости рассматриваемого течения.
Найдутся т\ = Ti(x,t) Є (0,) и Т2 = T2(x,t) t, такие, что решение X = X(s,x,t) определено для всех s Є (ri(x,t),T2(x,t)), и точка X(s,x,t) Є D есть положение, которое ко времени s занимала (или займёт) жидкая частица, находящаяся в момент времени t 0 в точке х Є D. Определение 3.1. Время r(x,t) и место a(x,t) появления жидкой частицы в области течения определим равенствами:
Функции а и г будем также называть местом и временем рождения частицы, соответственно. По определению, время и место рождения материальной частицы постоянны в материальных частицах, так что выполняются уравнения (dt + v V)r = 0; (dt + v V)a = 0, (3.1.19) и граничные и начальные условия a(x,t) = х} r(x}t) = t, V(x,t) Є (D х {0}) П (S+ х [t 0}). (3.1.20) Таким образом, а(х, t) Є S+ для всех х Є D и t 0, таких, что r(x, t) 0, и a(x,t) Є D для всех х Є D и 0, таких, что r(x t) = 0. Определение 3.2. Возраст жидкой частицы 5 определим, полагая 6(x,t) = t — r(x,t), (3.1.21) Пример 3.1. Рассмотрим прямоугольный канал D = {(х,у) : 0 х /; 0 у 1}. (3.1.22)
Выберем функцию U Є С00 [0,1], и определим векторное поле V = (U(y),0). Поле V определяет стационарное течение в канале D, называемое сдвиговым. Если U(y) 0 для всех у Є (0,1), то вход течения совпадает с той стороной прямоугольника, где х = 0, а выход - с противоположной стороной (где х = Ї). Время рождения, место рождения и возраст частиц имеют вид
Если infe(o,i) (2/) 0, то t 00, и за время t 00 сдвиговое течение полностью обновляет состав материальных частиц; в частности, при t t поток полностью состоит из частиц, прошедших через вход.
В силу сохранения вихря (см. раздел 1.1), uj(x,t) = uj(a(x,t),r(x,t)) для всех і Е 1. В частности, для всех х Є D и t 0, таких, что т(х, t) 0 распределение завихренности в области течения определяется её значениями на входе, так что uj(x,t) = uj+(a(x,t),r(x,t)), где a(x,t) Є 5 +, r(x,t) 0. Предположим теперь, что течение v подчинено граничным условиям Юдовича, где си+ = Си = const. Предположим ещё, что найдётся t = t (v) 00 такое, что r(x,t) 0 всюду в D для всех t t . Тогда при t t поток полностью состоит из частиц, прошедших через вход, а потому uj(-,t) = Си для всех t t . Заметим, что течение с постоянным вихрем стационарно. Таким образом, имеется возможность установления стационарного течения с постоянной завихренностью за конечное время при условии полного обновления состава частиц течения за конечное время. Это предельное стационарное течение - гладкое, и потому можно говорить о сглаживании возмущённого течения с временем. Возможность сглаживания резко контрастирует с постепенной потерей гладкости течениями с непроницаемыми границами, см. главу .
Определение 3.3. Будем говорить, что открытое течение (возможно, нестационарное) удовлетворяет условию полного протекания, если ни одна материальная частица не остаётся в области течения вечно (включая и частицы, двигающиеся вдоль твёрдых стенок). Течение, удовлетворяющее условию полного протекания называется также сквозным.
В сквозном течении возраст материальных частиц ограничен, верно и обратное. Определение 3.4. Временем полного протекания назовём максимальный возраст частицы: t = (v) = sup6(x,t). (3.1.25) За время полного протекания течение полностью обновляет состав материальных частиц, и при t t поток полностью состоит из частиц, прошедших через вход. Физические поля, связанные со стационарными течениями (функция тока, скорость, вихрь... ) обозначаются заглавными буквами , V, , ... Поле скорости стационарного течения по умолчанию предполагается непрерывным, а вихрь - ограниченным: V Є C(D) и Є L (1)).
В случае стационарного течения условие полного протекания эквивалентно неравенству info V 0. В общем случае открытое стационарное течение разделяется на проточную и застойную зоны.
Определение 3.5. Застойная зона состоит из частиц, пребывающих в области течения вечно. Проточная зона есть дополнение застойной, так что любая материальная частица находящаяся в проточной зоне покидает область течения за конечное время.
При условии полного протекания (т.е. в сквозном течении) застойная зона пуста, и проточная зона включает всю область течения вместе с твёрдыми стенками. В общем случае проточная зона оторвана от стенок. Поэтому сквозные стационарные течения называются также безотрывными. Течения с непустыми застойными зонами назовём отрывными. С любым безотрывным потоком V = У Ф свяжем задачу Коши V ds, (3.1.27) l(z) где l(z) есть отрезок линии тока {( : Ф(С) = ( )}, соединяющей точку z Є D со входом. Таким образом, отрезок Z(z) оканчивается в точке z и начинается в точке (+ Є 5,+ , такой, что +(С+) = (z). Заметим, что последнее равенство неявно определяет функцию С+( ).
Сквозные, стационарные и безотрывные течения
В главе приведены результаты численного исследования процесса установления при диссипативных течений, подчинённых граничным условиям Юдовича. Кроме того, приведены примеры не диссипативных осциллирующих течений.
Возможность установления безотрывного потока вытекает из результатов гл. 3 и 4, причём этот сценарий предполагает полное обновление состава материальных частиц за конечное время как в основном, так и в возмущённом течении. Таким образом, можно говорить о полном выносе или вымывании начальных материальных частиц и возмущений, если последние достаточно малы. Однако нельзя исключить, что в общем случае некоторые частицы останутся внутри области течения навсегда. Тогда произойдёт захват завихренности: старые частицы, запертые в области течения, сохранят завихренность, которой они были наделены вследствие начального возмущения.
В главе исследован перехода от полного выноса возмущений к захвату завихренности в диссипативных течениях и дальнейшая эволюция захваченных вихрей. Вместе с тем, установлено существование не дисспативных течений, сценарий развития которых качественно отличается как от полного выноса возмущений, так и от захвата завихренности; а именно, такое течение со временем входит в режим незатухающих колебаний, несмотря на то, что граничные условия допускают стационарный и даже безотрыв-161
В этом разделе исследуется модельная задача – захват точечного вихря. Уравнения движения точечных вихрей в создаваемом ими потоке – классическая и широко используемая модель вихревых течений жидкости, см. например, [49]; ей посвящена весьма обширная литература, см. [185]. Идея модели заключается в рассмотрении вихря плоского потока как борелевской меры, см. [149]; эта мера аппроксимируется атомарными мерами, и уравнения движения жидкости заменяются уравнением движения «атомов», [194]. В простейшем случае абсолютно непрерывная мера, сосредоточенная в малой окрестности некоторой точки, заменяется одним атомом, расположенным в этой точке. Движение небольшого числа точечных вихрей во многих случаях может быть исследовано довольно полно, и, несмотря на грубость аппроксимации, такое исследование даёт адекватные представления о качественных особенностях движения распределённых вихрей см. [49, 93].
Обычно движение точечных вихрей рассматривается во всей плоскости или в областях с непроницаемыми границами, а также в условиях периодичности. Рассмотрим простейшее обобщение на случай проницаемых границ.
В таком виде замкнуть систему невозможно, так как особенность функции Грина мешает устремить ZQ — z. Поэтому применяется стандартный регуляризующий постулат: «вихрь не действует сам на себя». В данном случае это означает, что он взаимодействует лишь с границей канала, если угодно, со своими отражениями относительно этих границ. Исходя из сказанного, полную функцию Грина G заменяем её отражённой частью д, и, положив z = Zo, имеем
Пусть D - прямоугольный канал (3.1.22); пусть фоновая завихренность основного потока Q и интенсивность точечного вихря Г ф 0 заданы произвольно. Известно (см.[49]), что для прямоугольных областей, h(x, у) = — (8тт) 1п(р(2ж) + р(2у)), (5.1.5) где р и р суть эллиптические функции Вейерштрасса, построенные на периодах pi = 2/, р2 = 2i, и, соответственно, на периодах р[ = 2, р 2 = 2U (I - длина прямоугольника). Обозначим через р расстояние от точки z до S = 3D. Покажем, что существуют числа ро 0 и М 0, такие что h(z) (47г) 1пр + М, 0 р ро, z = (х,у) Є D. (5.1.6) Выберем достаточно малое ро и рассмотрим все z, такие что 0 р ро. Нетрудно видеть, что р = тіп(ж, / — х,у,1 — у). Пусть р = х. Могут представиться две возможности: или у ро или наоборот. Пусть у ро. Функция р имеет полюс второго порядка в каждой точке решетки периодов, так что р(2х) = 1/(2ж)2 + R{x) и р{2у) = 1/{2у)2 + R(y), где R и R ограничены на интервале (0, ро) при достаточно малых ро. Следовательно,
Заметим теперь, что гамильтониан 77, определённый в (5.1.4), также подчинён оценке (5.1.6), возможно, с другой константой М. Отсюда следует, что вихрь не может столкнуться с границей канала (он движется по линиям уровня функции Н). В частности, точечный вихрь никогда не сталкивается с выходом. Далее, функция h ограничена сверху, и следовательно, Н ограничена сверху при 0 (снизу при 0), причём максимум (минимум) достигается внутри области. Поэтому канал содержит точку равновесия вихря, и это равновесие устойчиво по Ляпунову.
Раз вихрь не может достичь границы, он, будучи однажды внесён в канал, остаётся там вечно. Таким образом, происходит захват вихря. В частности, захваченный вихрь может вообще не двигаться (уравнения движения допускают равновесие). Движение точечного вихря иллюстрирует рис. 5.1. Как видно из устройства гамильтониана (5.1.4), движение вихря в открытом канале обусловлено как его переносом, так и взаимодействием со своими отражениями в плоскостях стенок канала. Последнее доминирует вблизи границы канала, что и предопределяет захват вихря. Рассмотрим детали. Обозначим через о0 «верхнюю» стенку (у = 1), а через SQtm - «нижнюю» (у = 0). Если вихрь вблизи выхода S , но достаточно далеко от вершин, то главную роль играет взаимодействие с его отражением относительно S . При этом он приобретает тангенциальную скорость порядка (/ — ж)-1, в то время как его нормальная скорость 1. В результате вихрь успевает сдвинуться к одной из твёрдых стенок (это о0 при 1 0) в окрестность вершины, прежде чем основной поток подтолкнёт его к выходу. Вблизи вершины доминируют взаимодействия с отражениями как в плоскости выхода, так и в плоскости ближней стенки. В результате вихрь двигается против течения к входу, и далее процесс повторяется периодически.
Выбор твёрдой стенки, к которой смещается вихрь зависит от знака вихря. Именно, при Г 0 выбирается 5ор, а при Г 0 SQtm. Более инвариантная формулировка такова: пусть пит- орты внешней нормали и касательной к стенке, причём вектор т направлен по невозмущённому потоку; вихрь выбирает ту стенку, на которой Г(т х п) 0.
В этом разделе представлены результаты численного исследования переходов от полного вымывания завихренности к её захвату и эволюции захваченных вихрей.
Расчёты выполнялись в случае прямоугольного канала при простейших граничных условиях, допускающих сдвиговое течение с линейным или параболическим профилем. Это течение рассматривалось как основное, и вычислялись нестационарные течения, вызываемые его возмущениями. В качестве последних выбирались, например, гармоники Фурье, вихревые пятна и системы локализованных вихрей; при этом предполагалось, что возмущённое течение удовлетовряет тем же граничным условиям, что и основное.
Напомним, что состав частиц открытого течения постоянно обновляется: старые частицы постоянно выносятся из канала, а новые - поступают в него, причём полный вынос частиц создает возможность полного выноса возмущений, см. теоремы 3.5 и 4.4. Для оценки интенсивности этих процессов при расчётах возмущённых течений отслеживались время Т, за которое все частицы, первоначально находившиеся в канале, выносятся из него, и время Т, за которое возмущение обращается в нуль всюду. В дальнейшем изложении величины Т и Т называются продолжительностями жизней материальных частиц и возмущений, соответственно
Нелинейная асимптотическая устойчивость
Выведем уравнение (7.1.9) из (7.1.46). Для этого слегка модифицируем хорошо известные рассуждения, относящиеся к жидкости без источника, см. например [79]. Зафиксируем t и неподвижную область Г2, такую, что Db(t) С Г2, 0 Г2, и подсчитаем баланс импульса жидкости в Q двумя способами. Первый: продифференцируем импульс с использованием уравнения Эйлера движения жидкости и затем преобразуем найденную производную в поверхностный интеграл; второй: выразим импульс поверхностным интегралом, который затем продифференцируем с использованием интеграла Лагранжа-Коши. Приведём детали. Зафиксируем t, и пусть Qf = Qf(t) - жидкая часть Q. Граница области Qf состоит из двух непересекающихся поверхностей Е = dQ и S(t). Первая из них неподвижна, а вторая состоит из материальных частиц жидкости. С одной стороны, где в правой части знак «+» выбирается при \х\ = є, и «—» - при \х\ = є-1, Фі = ((УФ)2/2)п/ — (d&/dn ) V&, и Ф определена в (7.1.20). По определению, Ф - гармоническая функция в Df(t) (включая нуль), а потому УФ = 0(ж 2) при \х\ , так что Фі = 0(ж 4), \х\ — оо, и Фі = O(l), х — 0. Заметим, что первое слагаемое в правой части (7.1.51)) исчезает при интегрировании. Пусть теперь є — 0. Тогда интеграл по большой сфере в правой части (7.1.50) стремится к 0, а интеграл по малой сфере {\х\ = є} совпадает с p lqVж=оФ (по теореме о среднем). Отсюда, с учётом равенств (7.1.46) вытекает уравнение импульса в форме (7.1.9). Рассматривая баланс момента, получим (7.1.10). Этот вывод не требует новых идей по сравнению с выводом уравнения (7.1.9).
Исследования этого случая восходят к В. Хиксу [165, 166], вычислившему силу взаимодействия пары шаров. Много позже О. Лаврентьева [87] детально изучила чисто трансляционные движения шара в поле пульсирующего источника. Рассмотрим более общие движения.
В случае однородного шара /І равно отношению плотности шара к плотности жидкости и р = 3/(4-7г); при этом DQ = {а : \а\ 1}, Db(t) = {х : \х — r(t)\ 1}, \r(t)\ = R(t) 1, 236 где последнее ограничение выражает допустимость перемещения. Система обладает дополнительной инвариантностью относительно правого действия SO(3), при котором Т ь- TV, Т є Масіш, V Є SO(3). В силу этой симметрии возникает полная аналогия между движением шара и материальной частицы в поле центральной силы. Именно, сохраняется момент m = г х u = const, и орбиты общего положения содержатся в плоскости, ортогональной т; если же т = 0, то движение происходит вдоль инвариантного луча, так что r(t) х г(0) = 0 для всех t. Приведённый лагранжиан записывается в виде где функция R - 27Г—периодическая по г, причём (R) = 0. Таким образом, движение системы рассматривается как суперпозиция медленного дрейфа и быстрых осцилляций малой амплитуды с нулевым средним, причём медленные движения описываются слагаемым R(t), а быстрые -членом R{t,r), где г = cut - быстрое время. Найдём лагранжиан IR, описывающий медленный дрейф (т.е. эволюцию R). Общее выражение такого лагранжиана в общем случае системы с вибрирующимим силами и связями получено в [126, 127, 130]. В нашем случае
Заметим, что усреднение заведомо убивает линейный по скорости член, входящий в %. Слагаемое (д2)/(8/1 4) представляет виброгенную потенциальную энергию [126, 127, 130]. Поясним вывод (7.1.54). Нам потребуется следующее Определение 7.2. Лагранжианы Li = Li(R,R,t,r,uj), где г = 1,2 и т = cut, асимптотически эквивалентны при си — оо; если найдётся лагранжиан L, эквивалентный L2, и такой, что / ( L1(R, R,t,r,uj) — L(R, R,t,r,uj) ) dt = 0(UJ ), UJ — для любого пути, допускающего параметризацию вида (7.1.53). Следуя [126, 127, 130], применим принцип наименьшего действия для быстрых и медленных движений в отдельности, выбирая при этом «наилучшего представителя» в классе асимптотической эквивалентности исходного лагранжиана. Поскольку быстрые движения предполагаются периодическими, рассматриваем действие за период: Afst = (Lfst). Определяя Lfst, во всяком случае пренебрегаем вкладом от быстрой координаты R, считаем постоянными медленные координаты и скорости, и отбрасываем члены с нулевым средним. Теперь все быстрые координаты циклические, а потому импульс быстрых движений сохраняется, что приводит к явному выражению быстрой скорости через медленные координаты и быстрое время. Подробнее, Её критические точки суть радиусы R = Rc орбит стационарных вращений («частицы» вокруг «центра силы», то есть, шара вокруг источника). В исключительном случае /І2 = 0 (т.е. при m = 0), эти орбиты вырождаются в континуальные семейства равновесий.
Если /І2 = 0 и при этом Ь2 1, то IX монотонна при R 1, и система не имеет равновесий. В противном случае существует ровно одна критическая точка Rc = Rc(fh,b) 1, и в ней IX достигает максимума. Если при этом /І2 = 0 и Ъ 1, то «частица» (центр шара) движется по инвариантному лучу, причём на каждом таком луче имеется ровно одно равновесие R = Rc. Оно неустойчиво. Если /І2 ф 0, то в каждой инвариантной плоскости (ортогональной к угловому моменту m) содержится ровно одна замкнутая орбита - окружность радиуса RC, и она также неустойчива.
Пусть Е = Л + 21Х - полная энергия приведённой системы, и 1imax = VL(RC). Если IX монотонна, то полагаем Rc = оо и 1imax = 0. Относительно движений при Е ф Ііщах верно одно из двух: или шар уходит на бесконечность («всплывает»), так что R — оо при t — оо, или сталкивается с источником за конечное время («тонет»), так что R — 1 + 0 при
Заметим, что вращение центра шара вокруг источника способствует его всплытию. В самом деле, при любом Ъ функция Rc(fh, Ъ) монотонно убывает по т Є (0,оо), причём Rc — 1, когда т — оо. Если Ъ 1, то Rc — при т , иначе предел конечен, и можно положить Лс(0, Ь) = — 1/и) . Таким образом, Кс{\),о) = тах о лс(т, о) - критическое расстояние всплытия шара при нулевой начальной скорости его центра. Кстати, неравенство Ъ 1 предполагает, что к 1/3 и р 1, и потому шар может всплыть при нулевой начальной скорости лишь в том случае, если он легче жидкости, и средняя интенсивность источника относительно невелика (что совпадает с выводами [87]). Когда средняя интенсивность источника и собственная масса шара равны нулю (т.е. Ь2 = 3), Rc(0,b) достигает наименьшего значения, так что всплытие шара с расстояния, меньшего Rc(0, л/3) 1.5389 без начальной скорости невозможно.