Свойства решений краевых задач для уравнения Захарова-Кузнецова Антонова Анастасия Петровна

Содержание к диссертации

Введение

2 Линеаризованное уравнение Захарова—Кузнецова

2.1 Свойства фундаментального решения линеаризованного уравнения 23

2.2 Обращение линейной части уравнения 34

2.3 Начально-краевая задача для линеаризованного уравнения Захарова-Кузнецова 38

3 Обобщенные производные 44

3.1 Существование обобщенных производных решения задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова 44

3.2 Вспомогательная нелинейная начально-краевая задача 59

3.3 Существование обобщенных производных решения начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова 77

4 Непрерывные производные 82

4.1 Существование непрерывных производных решения задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова 82

4.2 Существование непрерывных производных решения начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова 97

5 Заключение

• Обращение линейной части уравнения
• Начально-краевая задача для линеаризованного уравнения Захарова-Кузнецова
• Вспомогательная нелинейная начально-краевая задача
• Существование непрерывных производных решения начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова

Введение к работе

Актуальность темы.

В диссертации рассматривается уравнение Захарова-Кузнецова в случае двух пространственных переменных

Щ + и_ххх + и_хуу + ии_х = f(t,x,y) (1)

(и = u(t,x,y)). Это уравнение является одним из вариантов многомерного обобщения уравнения Кортевега-де Фриза

Щ + и_ххх + ии_х = f(t, х),

описывающего распространение одномерных нелинейных волн в средах с дисперсией,

Впервые уравнение (1) было выведено в работе Захарова В.Е. и Кузнецова Е.А. ¹ для описания распространения нелинейных ионно-звуковых волн в плазме, помещенной в магнитное поле, и в дальнейшем получило название уравнения Захарова-Кузнецова. Это уравнение является модельным для описания волн, двигающихся в заданном направлении и испытывающих поперечные деформации,

Интенсивное изучение краевых задач для уравнения Кортевега-де Фриза началось с 60-х годов XX века. За прошедшее время в трудах таких математиков, как R. Temam, J,-С. Saut, Т. Kato, J. Bona, C.H. Кружков, А.В. Фаминский, J. Ginibre, Y. Tsutsumi, С. Kenig, G. Ponce, L, Vega, J. Bourgain, T, Tao, J. Colliander и многих других была развита теория разрешимости и корректности задачи Коши и начально-краевых задач для этого уравнения в различных функциональных пространствах.

Теория краевых задач для уравнения Захарова-Кузнецова разработана значительно меньше. Основные результаты были получены начиная с 90-х годов XX века в трудах таких математиков, как J.C. Saut ², А.В. Фаминский, F. Linares, A. Pastor ³, R. Temam ⁴, Н.А. Ларькин,

¹ Захаров В.Е., Кузнецов Е.А., О трехмерных солитонах // Журн. экспер. теорет. физ., 1974. — 66, № 2. - С. 594^597.

²Saut J.-С. Sur quelques generalizations de l'equation de Korteweg-de Vries// J. Math. Pures Appl., 1979. - V. 221, № 1. - P.21-61.

³Linares F., Pastor A. Well-posedness for the 2D modified Zakharov^Kuznetsov equation // SIAM J. Math. Anal, 2009. - V. 41. № 4. - P. 1323-1339.

⁴Saut J.-C, Temam R. An initial boundary-value problem for the Zakharov^Kuznetsov equation// Adv. Differential Equ., 2010. - 15, № 11-12. - С 1001-1031.

Г.Г. Доронин ⁵ и других, но эта теория далека от завершения. Основные трудности по сравнению с уравнением Кортевега-де Фриза, разумеется, лежат в переходе с прямой на плоскость, При изучении свойств решений уравнения Корте вега-де Фриза в работах С.Н, Кружко-ва ⁶, А,В, Фаминского ⁷ и Т. Kato ⁸ было обнаружено свойство повышения их внутренней регулярности в зависимости от скорости убывания на бесконечности начальной функции, которая сама может оставаться нерегулярной, В частности, в работах С.Н, Кружкова и А,В, Фаминского для задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза было доказано, что если щ Є L₂(R) и х^ащ Є L₂(R+) для некоторого а > 0 (функция / также удовлетворяет некоторым условиям), то решение u(t,x) обладает обобщенными производными д_хи до порядка п < 2а + 1 при t > 0. Для п < 2а - 1/2 эти производные являются непрерывными, причём для старших производных можно получить оценки в нормах Гёльдера. Если дополнительно тем же свойством, что и сама начальная функция обладает ее производная и'₀, то порядок всех упомянутых производных может быть увеличен на единицу. Аналогичные результаты в случае начально-краевой задачи на полуоси Ш₊ были установлены в работе А,В, Фаминского

Отметим, что в упомянутых выше работах С.Н, Кружкова и А,В, Фаминского для доказательства непрерывности производных рассматриваемых решений уравнения Кортевега-де Фриза и их оценках в нормах Гёльдера применяется идея обращения линейной части уравнения и использования свойств фундаментального решения оператора d_t + &_ххх. Это фундаментальное решение выражается через хорошо изученную функцию Эйри,

В отличие от оператора d_t + dl_xx свойства фундаментального решения оператора d_t + &ххх + ^хуу (соответствующего линеаризованному уравнению Захарова-Кузнецова) исследованы гораздо меньше, в частности, его поведение при \х\ —> +оо ранее изучено не было.

⁵Doronin G.G., Larkin N.A. Stabilization of regular solutions for the Zakharov^Kuznetsov equation posed on bounded rectangles and on a strip// Proc. Edinburgh Math. Soc, 2015. — DOI: 10.1017/S0013091514000248. - P. 1-22.

⁶Кружков C.H., Фаминский А.В. Обобщенные решения задачи Коши для уравнения Кортевега^ де Фриза // Матем. сб., 1983. - Т. 120(162). № 3. - С. 396-425.

⁷ Фаминский А.В. Задача Коши для уравнения Кортевега-де Фриза и его обобщений // Труды сем. им. И.Г. Петровского., 1988. — Вып. 13. — С. 56-105.

^sKato Т. On the Cauchy problem for the (generalized) Korteweg-de Vries equation// Stud. Appl. Math., Adv. Math. Suppl. Stud., 1983. - V. 8. - P. 93^128.

⁹ Фаминский А.В. Смешанная задача в полуполосе для уравнения Кортевега-де Фриза и его обобщений// Труды ММО., 1988. - 51. - С. 54^94.

Первый результат о внутренней регулярности решений задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова был установлен в работе J.L, Levandosky¹⁰, В ней результат о повышении гладости был получен для решений, обладающих априори обобщенными производными по пространственным переменным до шестого порядка включительно, принадлежащими пространству L₂ с некоторым степенным весом при х —> +оо. Существование подобных решений было доказано только локально по времени при начальной функции из пространства Н⁶ с соответствующим весом. Вопросы существования непрерывных производных и их оценках в нормах Гёльдера не рассматривались,

Цели исследования

Основной целью работы является изучение свойств внутренней регулярности слабых решений задачи Коши в слое П_т = {(t,x,y) : 0 < t < Т, (х,у) Є R²} с начальным условием

и\

t=0

Щ(х,у)

при іеВ²и начально-краевой задачи в области П+ = {{t,x,y) : 0 < t < Т,х > 0, у Є Ш} с начальным условием (2) при х > 0, у Є Ш. и краевым условием

и\

х=0

М*,у),

(везде предполагается, что Т — произвольное положительное число) для уравнения Захарова-Кузнецова (1)в зависимости от скорости убывания на бесконечности нерегулярной начальной функции и правой части уравнения,

В работе также исследуются свойства фундаментального решения оператора d_t + д^_хх + д_х и глобальная корректность рассматриваемой начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова в пространстве гладких экспоненциально быстро убывающих на бес-кончности функций,

Методика исследования

Исследование носит теоретический характер. Оно основано на сочетании нелинейных интегральных оценок решений рассматриваемых задач, обращения линейной части уравнения и

¹⁰Levandosky J.L. Smoothing properties of nonlinear dispersive equations in two spatial dimensions/ J. Differential Equ., 2001. - 175, № 2. - С 275-301.

использовании свойств линеаризованного уравнения Захарова-Кузнецова. В последнем случае при изучении фундаментального решения дифференциального операторв dt + д_ххх + д^ применяются методы гармонического анализа.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Теоремы о существовании обобщенных производных слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова, порядок которых зависит от скорости убывания на бесконечности нерегулярной начальной функции и правой части уравнения. В случае начально-краевой задачи производные первого порядка построены вплоть до пространственной границы, все остальные производные — строго внутри рассматриваемых областей.

2. Теоремы о существовании строго внутри рассматриваемых областей непрерывных производных слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи уравнения Захарова-Кузнецова. Порядок производных и их оценки в нормах Гёльдера зависят от скорости убывания на бесконечности нерегулярной начальной функции и правой части уравнения.

3. Оценки фундаментального решения дифференциального оператора d_t + д_ххх + д^ .

4. Глобальная корректность начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова в пространстве гладких экспоненциально быстро убывающих на бесконечности функций.

Научная новизна

Все полученные в диссертации результаты являются новыми.

5. Результаты о существовании обобщенных производных слабых решений начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова не имеют аналогов. Аналогичные результаты для задачи Коши в значительной степени усиливают и уточняют известные ранее результаты.

6. Результаты о существовании непрерывных производных слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова и оценки этих производных в нормах Гёльдера получены впервые.

7. Подробное изучение свойств фундаментального решения дифференциального оператора t + д_ххх + д_х проведено впервые. Полученные оценки являются аналогами классических оценок функции Эйри.

8. Теорема о глобальной корректности начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова в пространстве гладких экспоненциально быстро убывающих на бесконечности

функций ранее не была известна. В случае задачи Коши аналогичный результат уже был установлен,

Теоретическая значимость

Развитые в диссертации методы изучения свойства повышения внутренней гладкости слабых решений могут быть использованы при изучении других классов квазилинейных эволюционных уравнений нечетного порядка. Самостоятельный интерес имеют результаты о свойствах фундаментального решения дифференциального оператора d_t + д_ххх + dl_yy, которые могут быть применены при изучении широкого круга вопросов, связанных с уравнением Захарова-Кузнецова и его обобщениями,

Апробация диссертационной работы

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

семинар кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН под руководством профессора А. В. Арутюнова;

семинар кафедры прикладной математики РУДН под руководством профессора А,Л. Ску-баческого;

скминар кафедры дифференциальных уравнений МГУ под руководством профессоров В,В, Жикова, Е.В. Радкевича, А,С. Шамаева, Т.А, Шапошниковой;

Всероссийская научно-практическая конференция "Дифференциальных уравнения, Теория фунций, Нелинейный анализ и оптимизация", РУДН, Москва, 2013;

The Seventh International Conference on Differential and Functional Differential Equations, РУДН, Москва, 2014;

Международная конференция "Quasilinear Equations, Inverse Problems and Their Applications", МФТИ, Долгопрудный, 2015.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 6 работах, из них 4 статьи в научных изданиях, входящих в список ВАК, и 2 тезисов докладов на научных конференциях,

Структура диссертации

Обращение линейной части уравнения

Данные результаты аналогичны полученным в статьях [9, 11] для уравнения КдФ за исключением снижения порядка производных на единицу и введения дополнительного параметра а. Идея доказательства основана на обращении линейной части уравнения (см п. 2.2) и использовании ранее установленных в п. 2.1 свойств фундаментального решения соответствующего оператора, что позволяет получить свойства (1.12) и (1.13). Оценка (1.14) следует из этих свойств на основе общих результатов статьи [10] об оценке модуля непрерывности решения по времени через известный модуль непрерывности по пространственным переменным для эволюционных уравнений дивергентного вида 1-го порядка по времени.

Глобальная разрешимость начально-краевой задачи (1.1)—(1.3) в пространствах Xа (Пу) изучалась в работах [21, 25] (на самом деле там рассматривались уравнения более общего вида) и [23, 24]. В статье [24] доказано, что при щ Є Щ+, щ Є HS/3 S(BT), f Є Li(0,T; Щ+) для некоторых а 0 и s 3/2 существует слабое решение задачи (1.1)-(1.3) из пространства Ха(Пу). При этом, если а 1, то это решение единственно в рассматриваемом классе. Заметим, что эти результаты о существовании глобальных слабых решений аналогичны результатам статьи [13] для задачи Коши, а результат о единственности решений аналога не имеет.

При более гладких граничных данных глобальная корректность рассматриваемой задачи рассматривалась в статьях [23, 24]). Введем пространство функций tfi(IIf) = {и Є С([0,Т\;НІ) ПЬ2(0,Т;С1+) П L2(R+;Cb(BT)), dJxu є СЬ{ШХ+- Н І - Вт)), 0 j 2}.

В работе [23] был установлено, что при щ Є Н\, щ Є і72/3 2( т), / Є ІУ2(0,Т;І7), МІ(0 2/) = щ(0,у), существует единственное слабое решение задачи (1.1)—(1.3) из пространства і і(Пу). Глобальная корректность рассматриваемой задачи при более гладких граничных данных щ Є Н _, щ Є Н к+1 :і,к+1(Вт) при к 2 доказана в [24]. Результаты работ [23, 24] аналогичны результатам работы [14] для задачи Коши. Данные результаты являются аналогами результатов для соответствующей начально-краевой задачи для уравнения КдФ из статей [12, 19, 22]. Другие начально-краевые задачи для уравнения Захарова-Кузнецова изучались в работах [25, 24, 27, 36, 34, 37, 31, 30, 18, 20] и других. В настоящей работе устанавливается, что при дополнительных условиях убывания начальной функции щ и правой части / при х — +оо решения, построенные в работах [23, 24]), обладают дополнительной гладкостью внутри области Пу. Теорема 1.6. Пусть щ Є Щ&, щ Є Н2 2(ВТ), f Є L2(0,T;L+), dvf Є L2(6o,T; Lz + ) при \v\ = 1 для некоторых a 1/2 и бо Є [0,Т). Тогда существует слабое решение задачи (1.1)—(1.3) и Є Xа(Пу), обладающее при t бо обобщенными производными dvu до порядка \v\ 2, причем dvu Є Xa l 2(U ) при \и\ = 1 для любого бе(6о,Т). Теорема 1.7. Пусть выполнены условия Теоремы 1.6 при а ) 1 и пусть дополнительно существует натуральное число т Є [2,2а] такое, что др / Є Ь\(5о,Т; LaZa ) для 2 \v\ m и некоторого а 0. Тогда если и Є Ха(Пу) — слабое решение задачи (1.1)-(1.3), то оно обладает при t бо, х а обобщенными производными dvu до порядка \v\ т + 1, причем dvu Є Xа ш/2(ПуЖ) при 2 \v\ т для любых S Є (So, Т) и хо а.

Замечание 1.6. Теоремы 1.6 и 1.7 являются аналогами Теоремы 1.1 для рассматриваемой начально-краевой задачи. Разделение на две теоремы вызвано во-первых тем, что в Теореме 1.6 внутренняя регулярность решения установлена вплоть до границы х = 0, в то время как в Теореме 1.7 она установлена строго внутри области Пу, а во-вторых тем, что в условиях Теоремы 1.7 можно воспользоваться результатом из статьи [21] о единственности слабого решения в пространстве Xа (Пу) при а 1. Отметим, что по сравнению с Теоремой 1.1 в Теореме 1.7 удалось снять дополнительное условие а 1 при m = 2.

Начально-краевая задача для линеаризованного уравнения Захарова-Кузнецова

Доказательство. В силу линейности задачи достаточно доказать, что если щ = О, / = 0, то и = 0. Применим метод Хольмгрена, состоящий в том, что единственность вытекает из существования решения "сопряженной "задачи. Пусть вещественнозначная функция g Є CQ(UT)-В полосе Ит рассмотрим задачу Коши Фь + Фххх + Фхуу = f(t,x,y) = -g(T, -ж, -у), ф\і=0 = 0.

В силу предыдущей леммы существует решение этой задачи ф Є C([0,T];S(M2)). Положим ф(г,х}у) = ф(Т - t,-x,-y). Очевидно, что ф Є C([0,T];S(M2)), ф(Т,х,у) = 0 и фг + фххх + фхуу = g(t,x,y) в любой точке (t,x,y) Є Пу. Тогда, подставив эту функцию ф в соответствующее равенство (2.19), находим, что (и,д) = 0, то есть и = 0 в пространстве 2У(Пу), а, следовательно, в более узком пространстве

Приведем утверждение об обращении оператора dt + &ххх + &хуу с помощью фундаментального решения G, заданного формулой (2.2).

Лемма 2.6. Пусть щ Є Щ, / = /о + /ь г е /о Є Ь\(0}Т] Ь%) для некоторого а 3/4 и fi Є LI(UT). Тогда существует слабое решение задачи (2.18), (1.2) u(t}x}y) в Ит в смысле Определения 2.1 такое, что J JJ G(t,x-Z,y-0f(T,Z,0dTdtd(. (2.2i; Доказательство. Пусть вначале щ Є С (М2), / Є С (Ит). Тогда в силу Леммы 2.4 решение рассматриваемой задачи и Є С([0,Т]; S(M2)) существует. Запишем для него равенство (2.20): Оценим слагаемые в правой части (2.21). Используя неравенства (2.6) и (2.8), запишем, что для є = 2а — 3/2 0 Тогда на основе оценки (2.22) функция u(t, ж, у), заданная равенством (2.21), может быть построена предельным переходом при h — +0 соответствующих гладких решений Uh Є С([0,Т]; S(M2)) в пространстве функций таких, что (1 + Х-)аи Є Li(0,T; L ).

Более того, записав для произвольной функции ф, удовлетворяющей условиям Определения 2.1, и функций Uh соответствующее равенство (2.19) и перейдя в нем к переделу при h — +0, выводим, что для функции и также выполнено равенство (2.19). Осталось заметить, что пространство функций и таких что (1 + Х-)аи Є Li(0,T;Loo) очевидно вложено в пространство (C([0,T\;S(R2))\. П 2.3 Начально-краевая задача для линеаризованного уравнения Захарова-Кузнецова Рассмотрим начально-краевую задачу в Пу для линейного уравнения Щ + иххх + ихуу = f(t, ж, у) (2.24) с граничными данными (1.2), (1.3). В статьях [23, 24, 25] было построено специальное решение однородного уравнения (2.24) типа "граничного потенциала". Рассмотрим алгебраическое уравнение r3-r 2 + U = 0, (А,ОЄІ2\{(0,0)}. Это уравнение имеет единственный корень го(А,) с отрицательной действительной частью. Положим для /І Є (Ж. ) при х О J(t,x,y;ii) = ЗГІ [еГ0ХШъ&] (t,y) (2.25) (jf-1 — обратное преобразование Фурье). Известно, что эта функция бесконечно дифференцируема при х 0 и удовлетворяет уравнению (1.1) при / = 0. Более того, если /І Є Н11ъ 1(Вт) и fi(t,y) = 0 при 0, то J является слабым решением задачи (2.24), (1.2), (1.3) для щ = 0, щ = /і, / = 0 в смысле аналогичном Определению 1.2. Лемма 2.7. Если /J,(t,y) = 0 при t 0, mo для любых Т 0, а 0, [5 0 и целых неотрицательных чисел m}l}j существует положительная константа с такая, что

В статье [24] при изучении корректности задачи (1.1) (1.3) для описания класса рассматриваемых решений были введены следующие пространства, частным случаем которых является упомянутое выше пространство і і(Пу), а именно, для любого целого п 0 пусть символ Kn{lVp) обозначает пространство функций u(t, ж, у) таких, что

Для описания свойств правых частей уравнения (2.24) в этой же статье было введено пространство Мп(Пу) функций f(t,x,y) таких, что d?f Є L2(0,T; #Г3т), m mo = [(n + l)/3]. Чтобы сформулировать утверждения о разрешимости рассматриваемой задачи, введем вспомогательные функции Фто следующим образом: пусть Фо(х,у) = щ(х,у), а для m 1 положим Фт(ж,у) = dr-\f(0,x,y) - {di + dj . x,y). (2.29) В работе [24] был установлен следующий результат: Лемма 2.8. Пусть щ Є Н для некоторого целого п 0, щ = 0, f Є Мп(Пу) м Фто(0,у) = 0 прит п/3. Тогда существует единственное решение u(t} х} у) задачи (2.24), (1.2), (1.3) из пространства Kn(Uj,) и для любого to Є (0,Т] га0-1 ІМІВДІ+) с(Т,п)( моя+ +4 6Л1м„(п+) + X] ІІ5Г/і=оІІяГ3(т+1)) т=0 (2.30) В частном случае п = 1 это утверждение было установлено в [23] и выглядит следующим образом: если щ Є Н _, щ(0,у) = 0, щ = 0, / Є L2(0,T; і ), то существует единственное решение u(t, ж, у) задачи (2.24), (1.2), (1.3) из пространства Ki(Uj,) и для любого to Є (0,Т] справедливо неравенство

Поскольку при выполнении условий настоящей леммы выполнены также условия Леммы 2.8, то существование решения рассматриваемой задачи из пространства Кп(П ) уже доказано. При этом норма решения в пространстве КП{П ) оценивается через правую часть (2.30). Поэтому, в частности, в силу линейности задачи можно считать рассматриваемое решение достаточно гладким для справедливости промежуточных выкладок.

Вспомогательная нелинейная начально-краевая задача

Доказательство Теоремы, 1.1. Приблизим функции щи/ гладкими с помощью операции усреднения. Для h 0 положим 1 / / /rv пр \ /7/ 7/i \ мо( 2/) = 2 // 2W(—/ J V /і )цо(жьШ) Ш ь где ядро усреднения х задано формулой (1.16). Продолжим нулем функцию функцию / при t (0,Т) и положим Щн = u%(x,y)r)(x + l/h)f](l/h - ж), fh(t, ж, у) = fh(t} ж, y)r](t/h)r](x + l/h)f](l/h - x), где верхний индекс h везде обозначает переход к средней функции. Свойства операции усреднения хорошо известны. В частности, функции Uoh, fh аппроксимируют функции щ и / в пространствах Ь% и Li(0, Т; Щ) соответственно, и должным образом аппроксимируют производные dv f. Рассмотрим задачу Щ + иххх + ихуу + иих = Д, u\t=Q = uoh, (3.18) и рассмотрим соответствующее решение этой задачи Uh, такое что dl&vUh Є С([0}Т}] Щ) для любых целого j 0, мультииндекса v и а 0. Тогда соответствующие аналоги оценок (3.1) и (3.5) будут справедливы равномерно по h. Эти оценки обеспечивают слабую или -слабую сходимость функций щ и ее производных к некоторой функции и и ее производным при h — 0 (после перехода к подпоследовательности) в аналогах пространств из утверждения рассматриваемой теоремы, в которых свойство слабой непрерывности по времени соответствующих отображений надо заменить на принадлежность отображений классу LQQ. Покажем, что предельная функция и является слабым решением задачи (1.1), (1-2). Так как Ци Ц т; ) с и L\ С Н 2, то, следовательно, (м )ж оо(о1т;Я-3) с, и используя уравнение (3.18), находим, что равномерно по h /itLi(0,T;F-3) с Из неравенства (2.18) следует, что множество функций {uh} ограничено в пространстве L2(0,T; Н1(К)), где К С М2 — компакт. А тогда, переходя к подпоследовательности, получаем сильную сходимость щ кив пространстве ((O, T) x К). Запишем аналог интегрального тождества (1.4) для функций щ; п7

Здесь JJJn u xdxdydt существует, так как и\ Є Loo(0,T;Li), фх Є L2(0,T; Loo). Пусть сначала функции 0 — гладкие с компактными носителями в К. . Тогда в силу установленной сильной сходимости можем перейти к пределу и получим интегральное тождество и(фі + фххх + Фхуу) + и20ж + /ф dx dy dt+

Аппроксимируя функции ф из Определения 1.1 соответствующими гладкими финитными функциями и переходя здесь к пределу, полу чаем равенство (1.4). Осталось заметить, что слабая непрерывность по времени отображений, необходимая для принадлежности функции и и ее производных соответствующим пространствам Xа или Ха т вытекает из принадлежности этих отображений классам LQQ И принад лежности производной щ пространству Li(0,T; Н ) (см,, например, [15]). Теперь перейдем к оценкам решения, зависящим от норм щ и / в пространствах Н ,а. Заметим, что согласно [14] нормы функции и Є K\(J1T) В пространствах С([0,Т]; Н1) и Ьз(0,Т;С61) уже должным образом оценены. Лемма 3.5. Пусть а 0. Тогда для любых (3 0 и Хо Є К. при где константа с зависит отТ, а, [5, \\щ\\н а, \\ї\\ьі{о,т-,н1 а) Доказательство. Воспользуемся равенством (3.6) для (р = 1. Поскольку ще норма sup (Іих + \и\) в пространстве Li(0,T) соответствующим об разом оценивается в силу оценки решения в пространстве і і(Пу), то из (3.6) аналогично доказательствам предыдущих лемм следует необ ходимое утверждение.

Замечание 3.2. При доказательстве предыдущей леммы формально не использовался второй из законов сохранения (1.6), однако, он использовался в работе [14] при доказательстве глобальных оценок решения задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова, в частности, в пространстве КІ(ПТ).

Вначале рассмотрим задачу (3.22), (1.2), (1.3) для щ = 0 в классе функций K\{lVp). Понятие слабого решения этой задачи вводится полностью аналогично Опеределению 1.2.

Теорема 3.1. Пусть щ Є Н\, щ = 0, д Є К Щ) П L2(0,T; И 3{4); / Є L/2(0,T;H\_), причем щ(0,у) = 0. Тогда существует единственное слабое решение u(t}x}y) задачи (3.22), (1.2), (1.3) из пространства Ki(Uj,). Отображение (щ,д,/) ь- - и Липшиц-непрерывно на любом шаре в норме отображения Н х Ki(Uj,) П L2(0,T; W j. ) х Ь2(0,Г;Я) вК Щ).

Доказательство. Сначала установим результат локальный по времени. Для to Є (0,7і] определим на множестве К\{ТҐ ) отображение Л следующим образом: и = Av является решением из множества К\{ТҐ ) начально-краевой задачи в П для линейного уравнения

Существование непрерывных производных решения начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова

На основании результатов п. 3.2 проведем доказательство результатов о существовании обобщенных производных у слабых решений исходной начально-краевой задачи.

Доказательство Теорем 1.6 и 1.7. В сиду определения пространств HSl,S2(Q) можно сразу считать, что щ Є H2 i,2(M.2). Более того, перейдя к функции ui(t,y)r)(t + 1), можно также считать, что U\(t,y) = О при t — 1. Положим g(t,x,y) = J(t,x,y;ui), (3.61) где функция J задана формулой (2.25). Положим также U0(x,y) = щ(х,у) -д(0,х,у), F(t, х, у) = f(t, х, у) - g(t, х, y)gx(t, х, у) (3.62) и в области Пу рассмотрим начально-краевую задачу Ut + Uxxx + Uxyy + UUx + {gU)x = F, U\t=Q = U0, U\x=Q = 0. (3.63) Тогда из свойств функции J вытекает, что функция U(t, х, у) = u(t, х, у) - g(t, х, у) (3.64) является слабым решением задачи (3.63) тогда и только тогда, когда функция и является решением исходной задачи. В силу свойств (2.26) и (2.29) функция д Є К Щ), е?хд Є L2(0, Т; С ), е?хд Є С([0,Т]; і/) для любого /3 0, а если а 0, то е д Є С([0,Т]; Нп((а, +оо)хМ)) для любого п. Тогда, в частности, для функций Uo и F выполнены те же условия, что и для функций щ и / в гипотезах рассматриваемых теорем. Аналогично доказательству Теорем 1.1 приблизим функции д, Uo и F более гладкими с помощью операции усреднения. Для h 0

Аналогично продолжим нулем функцию UQ при х 0 и функцию / при (0,Т), а также функцию / четным образом при ж 0 и положим Uoh(x,y) = U (x,y)r](x/h)r](l/h - х), Fh(t, х} у) = Fh(t} х} y)n(t/h)ri(l/h - х)} (3.67) где верхний индекс h везде обозначает переход к средней функции. Функции и\ аппроксимируют функцию щ в пространстве Н2 2(Ш?). Тогда используя оценки (2.26), (2.29),получаем, что функции g/j, [/"о/і, Fh аппроксимируют функции д, Uo, F во всех указанных выше пространствах. Более того, если рассмотреть задачу Ut + Uxxx + Uxyy + UUx + {ghU)x = Fh, U\t=Q = Uoh, U\x=Q = О, (3.68) то для нее справедливы условия Теоремы 3.3 для любых (Зик. Рассмотрим соответствующее решение этой задачи Uh Є Кп{ТҐ ) П У#;П(Пу), п = Зк. Тогда соответствующие аналоги оценок (3.40), (3.43), (3.46), (3.48) для функций Uh будут справедливы равномерно по h. Эти оценки обеспечивают слабую или -слабую сходимость функций Uh и ее производных к некоторой функции U и ее производным при h — 0 (после перехода к подпоследовательности) в аналогах пространств из гипотез рассматриваемых теорем, в которых свойство слабой непрерывности по времени соответствующих отображений надо заменить на принадлежность отображений классу LQQ. Аналогично доказательству Теоремы 1.1 покажем, что предельная функция U является слабым решением задачи (3.63). Используя само уравнение (3.68), находим, что равномерно по h и тогда для любого компакта К С Ш+, применяя также ограниченность множества {Uh} в пространстве L2(0,T; Н (К)) (следующую из (3.40)), получаем сильную сходимость Uh KU (ОПЯТЬ ПО подпоследовательности) в пространстве L2((0,T) х К). Запишем аналог интегрального тождества (1.5) для функций Uh Uh{(fh + Фххх + Фхуу) + - и2Фх + ЯъЦнФх + Fh t dxdydt+

Пусть в нем сначала пробные функции ф — гладкие с компактными —2 носителями в Ш+. Тогда установленная сильная сходимость позволяет перейти к пределу и получить интегральное тождество в этом случае. Аппроксимируя функции ф из Определения 1.2 соответ ствующими гладкими финитными функциями и, в свою очередь, пере ходя к пределу, получаем равенство (3.70) и в общем случае. Осталось заметить, что слабая непрерывность по времени отображений, необхо димая для принадлежности функции U и ее производных соответству ющим пространствам Xа или Ха т , вытекает стандартным образом из принадлежности этих отображений классам LQQ и принадлежности производной Ut пространству L2(0,T;/Гр3) (см. (3.69)). Доказательство Теорем 1.8 и 1.9. Введем функции д, Щ, F по фор мулам (3.61), (3.62). Заметим, что в силу условия согласования гранич ных данных Uo(0,y) = щ(0,у) - J(0,0,y;ui) = щ(0,у) -щ(0,у) = 0 и тогда продолжение функции Uo нулем при х 0 приводит к функ ции из пространства Hl(WL2). Поэтому, функции Uoh, определенные по формулам (3.67), аппроксимируют функцию Uo в пространстве Н . Следовательно, для функций Uh справедливы равномерные по h ана логи оценок (3.40), (3.57) и (3.60). Более того, поскольку в силу нера венств (2.26) и (2.29) gh — д при h — 0 в пространствах і і(Пу) и - (О, Т; W {_ ), то в силу Теоремы 3.1 функции Uh — U в Ki(Uj,) при h — 0, а следовательно решение исходной задачи, заданное формулой (3.64), также принадлежит пространству Ki(IL ).