Свойства решений краевых задач для обобщенного уравнения Кавахары Опритова Мария Александровна

Содержание к диссертации

Введение

2 Линеаризованное уравнение Кавахары

2.1 Свойства фундаментального решения 23

2.2 Задача Коши 35

3 Задача Коши для обобщенного уравнения Кавахары 44

3.1 Единственность и непрерывная зависимость слабых решений 44

3.2 Существование слабых решений 48

4 Обобщенные производные 54

4.1 Задача Коши 54

4.2 Начально-краевая задача 59

5 Непрерывные производные 69

5.1 Задача Коши 69

5.2 Начально-краевая задача 75

6 Убывание решений при больших временах 78

6.1 Задача Коши 78

6.2 Начально-краевая задача 83

7 Заключение

• Задача Коши
• Существование слабых решений
• Начально-краевая задача
• Начально-краевая задача

Введение к работе

Актуальность темы.

В работе рассматривается обобщенное уравнение Кавахары

Щ - ііххххх + Ьи_ххх + ии_х + gi(t,х)и_х + g₀(t, х)и = f(t, х), (1)

где и = u(t, х),Ь — действительная константа. Для этого уравнения изучаются две задачи:

1) задача Коши в полосе П^ = (0,Т) xRc начальным условием при х Є К.

^uLo ⁼ "о 0*0. (²)

2) начально-краевая задача а полуполосе ILJ = (О, Т) х Ж₊ (М₊ = (0, +оо)) с начальным
условием (2) при х > 0 и краевыми условиями при 0 < t < Т

u\_x=0 = v(t), u_x\_x=u = v{t). (3)

Обе задачи рассматриваются в нелокальной постановке: Т — любое положительное число. При изучении поведения решений при больших временах решения, разумеется, рассматриваются при всех t > 0. Уравнение Кавахары

щ — д\и + Ьд_хи + аи_х + ии_х = 0 (4)

впервые было выведено в статье Т. Kawahara ^г и является модельным для описания длинных нелинейных волн в средах со слабой дисперсией. Следует отметить, что в различных физических ситуациях коэффициент b может быть положительным, отрицательным или нулевым (см., например, работы А. В. Марченко ², А. Т. Ильичева ³). Это уравнение является

¹ Kawahara Т. Oscillatory solitary waves in dispersive media // J. Phys. Soc. Japan. 1972. V. 33, № 1. P. 260-264.

²Марченко А. В. О длинный волнах в мелкой воде под ледяным покровом // Прикл. матем. мех. 1988. Т. 52, № 2. С. 230-234.

³Ильичев А. Т. О свойствах одного нелинейного эволюционного уравнения пятого порядка, описывающего волновые процессы в средах со слабой дисперсией // Труды МИАН. 1989. Т 186. С. 222-226.

модификацией уравнения Кортевега-де Фриза

Щ + и_Ххх + аи_х + ии_х = О (5)

на случай дисперсионного соотношения более высокого порядка. Уравнение Кавахары иногда называют уравнением Кортевега-де Фриза 5-го порядка. Переход от уравнения (4) к уравнению (1) позволяет учесть дополнительные эффекты, в частности, связанные с неоднородностью среды.

Интенсивное изучение краевых задач для уравнения Кортевега-де Фриза началось с 60-х годов XX века. За прошедшее время в трудах таких математиков, как R. Temam, J.-С. Saut, Т. Kato, J. Bona, C.H. Кружков, А.В. Фаминский, J. Ginibre, Y. Tsutsumi, С. Kenig, G. Ponce, L. Vega, J. Bourgain, T. Tao, J. Colliander и других была развита теория разрешимости и корректности задачи Коши и начально-краевых задач для этого уравнения в различных функциональных пространствах.

Теория краевых задач для уравнения Кавахары разработана значительно меньше. Основные результаты были получены начиная с 90-х годов XX века в трудах таких математиков, как J.C. Saut, А.В. Фаминский, Н. Biagioni, F. Linares, S Cui, D. Deng, H. Wang, H.A. Ларькин, Г.Г. Доронин, и других, но эта теория далека от завершения.

При изучении свойств решений уравнения Кортевега-де Фриза в работах С.Н. Кружкова, А.В. Фаминского ⁴, Т. Kato ⁵ было обнаружено свойство повышения их внутренней регулярности в зависимости от скорости убывания на бесконечности начальной функции, которая сама может оставаться нерегулярной.

Одним из важных вопросов, возникающих при изучении свойств решений эволюционных уравнений, является вопрос об их поведении, в частности, об убывании при больших временах. В случае уравнения Кортевега-де Фриза или уравнения Кортевега-де Фриза с дополнительной абсорбцией подобные вопросы были изучены в работах Е. Zuazua, G.P. Menzala, A.F. Pazoto, L. Rosier, B.Y. Zhang, F. Linares, M. Cavalcanti, V. Domingos Cavalcanti, А.В. Фа-

⁴Круоюков С. И., Фаминский А. В. Обобщенные решения задачи Коши для уравнения Кортевега—де Фриза // Мат. сб. 1983. Т. 120, № 3. С. 396-425.

⁵Kato Т. On the Cauchy problem for the (generalized) Korteweg-de Vries equation // Stud. Appl. Math., Adv. Math. Suppl. Stud. 1983. V. 8. P. 93-128.

минского, Н.А. Ларькина ⁶. В этих работах для различных краевых задач были найдены некоторые достаточные условия убывания решений при больших временах.

Цели исследования

Целью работы является изучение свойств внутренней регулярности слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары в зависимости от скорости убывания на бесконечности нерегулярной начальной функции и правой части уравнения, а также достаточных условий убывания этих решений при больших временах. Также в работе рассматриваются вопросы единственности в различных классах слабых решений задачи Коши для уравнения Кавахары.

Методика исследования

Исследование носит теоретический характер. Оно основано на сочетании нелинейных интегральных оценок решений рассматриваемых задач, обращении линейной части уравнения и использовании свойств линеаризованного уравнения Кавахары. В последнем случае при изучении фундаментального решения соответствующего дифференциального оператора применяются методы гармонического анализа и комплексного анализа.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Теоремы о существовании и единственности слабых решений задачи Коши для обобщенного уравнения Кавахары, уточнение классов единственности в случае самого уравнения Кавахары.

2. Теоремы о существовании обобщенных производных слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары, порядок которых зависит от скорости убывания на бесконечности нерегулярной начальной функции и правой части уравнения. В случае начально-краевой задачи производные до второго порядка построены вплоть до пространственной границы, все остальные производные — строго внутри рассматриваемых областей.

3. Теоремы о существовании строго внутри рассматриваемых областей непрерывных производных слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары. Порядок производных и их оценки в нормах Гёльдера зависят

⁶Faminskii A.V., Larkin N.A. Initial-boundary value problems for quasilinear dispersive equations posed on a bounded interval // Electronic J. Differential Equ. 2010. № 1. P. 1-20.

от скорости убывания на бесконечности нерегулярной начальной функции и правой части уравнения.

4. Теоремы об убывании при больших временах слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары в случае абсорбции, локализованной на бесконечности.

5. Оценки фундаментального решения дифференциального оператора, соответствующего линеаризованному уравнению Кавахары.

Научная новизна

Все полученные в диссертации результаты являются новыми.

1. Результаты о существовании и единственности слабых решений задачи Коши для обобщенного уравнения Кавахары ранее были известны при других условиях на коэффициенты уравнения. Установлены новые классы единственности в случае самого уравнения Кавахары.

2. Результаты о существовании обобщенных производных слабых решений начально-краевой задачи в полуполосе для уравнения Кавахары не имеют аналогов. Аналогичные результаты для задачи Коши в значительной степени усиливают известные ранее результаты.

3. Результаты о существовании непрерывных производных слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи в полуполосе для уравнения Кавахары и оценки этих производных в нормах Гёльдера получены впервые.

4. Результаты об убывании при больших временах слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары в случае абсорбции, локализованной на бесконечности, получены впервые.

5. Подробное изучение свойств фундаментального решения дифференциального оператора, соответствующего линеаризованному уравнению Кавахары проведено впервые. Полученные оценки являются аналогами классических оценок функции Эйри.

Теоретическая значимость

Развитые в диссертации методы изучения свойства повышения внутренней гладкости слабых решений и поведения решений при больших временах могут быть использованы при изучении других классов квазилинейных эволюционных уравнений нечетного порядка. Самостоятельный интерес имеют результаты о свойствах фундаментального решения дифференциального оператора д_ь—д_ххххх+Ъд_ххх+ад_х, которые могут быть применены при изучении

широкого крута вопросов, связанных с уравнением Кавахары и его обобщениями. Апробация диссертационной работы

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

семинар кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН под руководством профессора А.В. Арутюнова;

семинар кафедры прикладной математики РУДН под руководством профессора А.Л. Ску-баческого;

Всероссийская научно-практическая конференция "Дифференциальных уравнения, Теория фунций, Нелинейный анализ и оптимизация", РУДН, Москва, 2013;

The Seventh International Conference on Differential and Functional Differential Equations, РУДН, Москва, 2014;

Международная конференция "Quasilinear Equations, Inverse Problems and Their Applications", МФТИ, Долгопрудный, 2015.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 6 работах, из них 4 статьи в научных изданиях, входящих в список ВАК, и 2 тезисов докладов на научных конференциях.

Структура диссертации

Задача Коши

В статье [39] было доказано существование глобального по времени решения задачи (1.1), (1.2) при нерегулярных начальной функции щ и правой части /. Если щ Є Щ, / Є Li(0,T] Ь%) для некоторого а 0, то существует слабое решение u(t, х) из пространства Xа(Ит) . Кроме того, если а 3/8, то построенное решение единственно в указанном классе. При этом в [39] также рассматривались уравнения более общего чем (1.1) вида, но наложенные там условия применительно к уравнению (1.1) сильнее, чем рассматриваемые в настоящей работе. Из этого результата видно, что уравнение Кавахары (как и уравнение Кортевега-де Фриза) обладает эффектом локального сглаживания, а именно, решение имеет дополнительную производную ихх по сравнению с начальной функцией щ Є (М) (для уравнения Кортевега-де Фриза решение имеет производную на один порядок больше чем начальная функция).

Для начально-краевой задачи (1.1)–(1.3) аналогичный результат в пространстве Xа (Пу) был установлен в работе [37]. Его точная формулировка приводится далее при описании результатов настоящей работы.

В серии работ [4], [3], [22] по аналогии с уравнением Кортевега-де Фриза были получены результаты о глобальной корректности задачи Коши для уравнения Кавахары при начальной функции щ Є Hs(Wl), s —1/2 , в некоторых специальных пространствах типа Бур-гейна. Эти решения лежат также в пространстве С([0, Т]; На(Ж)) и обладают гладкостью по пространственной переменной на две единицы больше чем начальная функция. Однако, методика применения пространств Бургейна исключает их использование для рассматриваемых здесь уравнений типа (1.1).

В статье [36] доказана глобальная корректность задач (1.1), (1.2) и (1.1)-(1.3) в классах бесконечно гладких быстро убывающих функций.

Другие результаты о разрешимости и корректности начально-краевой задачи для самого уравнения Кавахары (1.4), (1.2), (1.3) можно найти в [17, 6, 31, 23]. Начально-краевая задача в ограниченном прямоугольнике для уравнения Кавахары изучена в [17, 5, 16, 7, 29, 30, 10, 11, 23].

В работах [28], [38] при изучении задачи Коши и [42] при изучении начально-краевой задачи в полуполосе для уравнения Кортевега-де Фриза было установлено свойство повышения внутренней гладкости слабых решений в зависимости от скорости убывания нерегулярной начальной функции щ(х) и правой части уравнения / при х — +оо. В частности, было показано, что если щ Є Щ (соответственно Щ+) для некоторого а 0 (функция / также удовлетворяет некоторым условиям), то решение u(t,x) обладает обобщенными производными ди до порядка п 2а + 1 при t 0 (также при х 0 в случае начально-краевой задачи). Для п 2а — 1/2 эти производные являются непрерывными.

Аналогичные результаты о повышении внутренней гладкости слабых решений задачи Коши для уравнения Кавахары были установле ны в работе [21].

В работе [13] был получен результат о внутренней регулярности решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза при экспоненциально убывающей на +оо начальной функции из L2. При этом решение становилось бесконечно гладким при t 0.

В работах [28] и [38] были также установлены результаты о существовании непрерывных производных и их оценках в нормах Гельдера для слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи в полуполосе для уравнения Кортевега-де Фриза. Основной идеей этого исследования явилось обращение линейной части уравнения и использование свойств соответствующего фундаментального решения. При этом фундаментальное решение соответствующего оператора dt + дххх выражается через хорошо изученную функцию Эйри.

Переходя к результатам о поведении решений уравнения Каваха-ры и его обобщений при больщих временах заметим, что первое из равенств (1.9), очевидно, делает невозможным убывание решений задачи Коши для уравнения Кавахары при t — +00 в пространстве L2 (как и для уравнения Кортевега-де Фриза).

Если в левую часть уравнений (1.4) или (1.5) ввести абсорбирующее слагаемое, например, до(х)и, где до СЇО = const 0 для любого х Є К, то решения очевидно будут убывать экспоненциально быстро при больших временах, а именно, \\u{ti )\\ь2{Щ — e_aotMoL2(R) В статье [2] аналогичный результат об экспоненциальном убывании решений задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза в норме L2 был установлен в случае, если подобная абсорбция эффективна только на бесконечности, а именно, до О для любого х Є К, до OLQ = const 0 при \х\ R для некоторого R 0. Идеи, использованные при получении этого результата, восходят к Л. Хермандеру. В случае начально-краевой задачи для уравнения Кортевега-де Фриза подобный результат был получен в работе [18]. Более подробную информацию по этому вопросу, в частности, библиографию, можно найти в [2]. Перейдем к описанию основных результатов настоящей работы. Прежде всего дадим определение слабого решения задачи Коши (1.1), (1.2).

Существование слабых решений

В случае уравнения Кортевега-де Фриза с дополнительным абсорбирующим слагаемым до(х)и аналогичный результат для задачи Коши был ранее установлен в статье [2], а для начально-краевой задачи при х 0 — в статье [18].

Значительная часть методики исследования настоящей работы основана на идее обращения линейной части уравнения и использования свойств фундаментального решения соответствующего оператора &t — ххххх + ххх + а х . В отличие от уравнения Кортевега-де Фриза, где свойства соответствующего фундаментального решения хорошо известны, в рассматриваемом случае эти свойства требуют специального исследования. Подобное исследование проведено в главе 2 настоящей работы и полученный результат (см. Лемму 2.1) представляет самостоятельный интерес. В этой же главе приводятся некоторые вспомогательные результаты о задаче Коши для линеаризованного уравнения Кавахары, которые используются в дальнейшем при доказательстве результатов единственности слабых решений задачи Коши в нелинейном случае и существовании и оценках непрерывных производных.

В главе 3 устанавливаются результаты о существовании и единственности слабых решений задачи Коши (1.1), (1.2). Глава 4 посвящена вопросам существования обобщенных производных слабых решений обеих рассматриваемых задач, а глава 5 — существования непрерывных производных и их оценках в нормах Гельдера. Вопросы поведения решений при больших временах изучаются в главе 6.

В дальнейшем будем говорить, что ф(х) — допустимая весовая функция, если г\) бесконечно дифференцируемая положительная на Ж. функция, такая что \г\) {х)\ c(j)ifj(x) для любого натурального j и любого їЄІ.

Будем пользоваться следующим интерполяционным неравенством, установленным в [39]. Пусть сро(х) , (р\{х) — две допустимые весовые функции такие, что (ро(х) арі(х) для любого х Є Ш. Тогда для q Є [2, +оо], натурального к и т к — 1 и (т) s 1/2—s и и (к) 1/2112s 11 1/2 м 1—2s , и 1/2м Vo i IU, с\\и Vo \\L2\\U(PI \\L2 +C\\U(PI \\L2, (1.21) где 2m + 1 1 s —— — . Ak 2kq Точно такое же неравенство остается справедливым, если в нем функции, заданные на К. заменить на функции, заданные на Ш+, а пространства Lp на пространства LPi+ (см. [36]).

В дальнейшем через г]{х) будем обозначать срезающую функцию, а именно, г] - бесконечно дифференцируемая неубывающая функция такая, что г]{х) = 0 при х 0, Г](х) = 1 при х 1. Введем также вспомогательные функции ра (х), а 0,(3 О, следующим образом: ра Є С(М) - возрастающая функция такая, что ра,/з(х) = С Х при X — 1 , раф(х) = (1 + х)аЄх х+1 при X О, Рав(х) - О при ж 0. Заметим, что Рай и А ,/? являются допустимыми весовыми функциями и р а а{х) с{а,(3)раф{х). Тогда условия на функции /?о , ty?i выполнены для сро = pfa о, pi = ра . В частности, из неравенства (1.21) на Ш+ следует, что при а 0, а 0, m 1 I Ы/ \ И /// / \1/2(2т+1)/4ц l/2ii(3-2m)/4 м 1/2 и SUp Иг (ЖЛ — С Р \Ра в) \\т \\VPne\\T + VPf /? Г I I II іИ II 2,+ I - 2,+ I - 2,+ жЄ[0,а (1.22) Символом S будем обозначать пространство Шварца $(Ж) бесконечно гладких быстро убывающих функций. Также на полуосях М_ и Ш+ введем пространства бесконечно гладких экспоненциально быстро убывающих функций, а именно, ежр(М±) = \и(х) Є С(К±) : е/\х\у}п {х) Є ІУ2(К±) У/З 0 Vn О}. Далее при рассмотрении задачи Коши мы будем опускать пределы интегрирования в интегралах по I, а при рассмотрении начально-краевой задачи — по Ш+ . Степень достоверности и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [43, 8, 33, 34, 35, 9]. Результаты диссертации заслушивались и обсуждались на следующих научных семинарах: кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН под руководством профессора А.В. Арутюнова, кафедры прикладной математики РУДН под руководством профессора А.Л. Скубачевского. Результаты диссертационного исследования были доложены на следующих международных и межвузовских конференциях: "Всероссийская научно-практическая конференция"(Москва, 2013), "The Seventh International Conference on Differential and Functional Differential Equations"(Москва, 2014), "Quasilinear Equations, Inverse Problems and their Applications"(Долгопрудный, 2015).

Начально-краевая задача

Сначала установим результат о непрерывной зависимости слабых решений исходной задачи от начальной функции и правой части уравнения.

Теорема 3.1. Пусть для функций до и д\ выполнены условия Теоремы 1.1. Пусть v,i(t, х), v,2(t, х) Є Ха(Ит), где а 3/8; суть слабые решения соответствующих задач типа (1.1), (1.2) с начальными данными Мої, Щ2 из пространства Щ и правыми частями f\ , /2 из пространства Li(0,T; Щ) соответственно. Тогда для любого /3 О \\(щ — и2)Ра,/з\\ьоо(0,Т;Ь2) + II (и1 и2)хх(Р2а 2/3) IU2(IIT) С [(М01 - Щ2)раА\и + II (Л - Ї2)ра,р\\ь1(0,Т;Ь2)] , (3.1) где константа с зависит от а, /3; Т, Ъ, нормы функции до в пространстве Li(0,T; Loo); нормы функции д\ в пространстве L2(0,T; W ) и норм функций щ , щ в пространстве Loo(0,T;L2 .

Доказательство. Введем следующую весовую функцию: для любого г 1 положим фг(х) = Р2а,2із(х)ї](2 — X/г) + (1 + 2f) (1 + х) " Г](х/г — 1). Тогда фг(х) = Р2а,2/з(х) при х г, фг(х) = (1 + 2г)1 2(1 + х)2а 1 2 при х 2г. Более того, нетрудно видеть, что функции г\)г и ф г являются допустимыми весовыми функциями с соответствующими равномерными по г константами в оценках производных и также равномерно по г ф г[х) сфг(х) с\{1 + х+)ф г(х) для любого х Є Ш. Наконец, Фг{х) с(г)р2а-1/2,2/3 іх) , Ф г{х) с( г)/)2а-1/2 2й(Ж) для любого iGi. Заметим, что если функция и Є Ха(Пг), то жж(р2а2й) - (Пу) для любого /3 0. Более того, применяя неравенство (1.21) для CfQ = Р2а 2Й , 1 — P2a,2j3 , находим, что гіжра_і/4;/? Є L4(0,T; L2), ира-і/8,/з s(0,T; L ). (3.2) Положим теперь г (, ж) = ІІІ(, ж) — гі2(, ж), г о(ж) = моі(ж) — " (ж), F(, ж) = [(/і — /2) — {щЩх — ЩЩх) — 9\VX — 9ov] ( ж) Тогда функция у в полосе Пу является обобщенным решением линейной задачи Коши vt Vxxxxx + bvxxx = F, v\t=Q = v0. (3.3) В силу (3.2) и условий на функции до , 9\ для этой задачи выполнены условия Леммы 2.9, в которых а заменено на а — 1/4. Запишем для функций v и ф = фг аналог равенства (2.30): / v (t, х)фг dx + 5 / / Уххф г dxdr + / / (ЗЬф г — 5ф" )ух dxdr+ nt nt + 11 (Фг Ьф" )у dxdr = / У0фг dx + 2 / / (/1 — ]2) фг dxdr+ J ilt JHt + // {u\—U2){ml)r)xdxdT+ її (діфг)хУ dxdr —2 / / go фг-dxdT. Ut ilt ilt (3.4) Применяя неравенство (1.21) для іро = ф г , ері = фг, находим, что / (щ — и2)(уфг)хdx с (\щ\ + гі2І)( г ж + v )фг dx Of/ 2 2ч/ Л3/4 І \1/2 Г ,/чЗ/8 /1/8І (м1 + щ) ( — ) «ж 1 sup (г ж + г )( г) фг Ф г хеш / / \1/2 Г/ / \3/8 ( / v i\)rdx\ С і\\u\\ + гі2І к- for-/"3784) ( / vxxll) rdx I v ifjrdx) + I v ifjrdx / vxxi\) rdx + сіє) \ v ifjrdx, (3.5) где є 0 может быть выбран сколь угодно малым. Тогда из (3.4), (3.5) получаем неравенство типа (3.1), в левой части которого раф заменено на (фг)1 2, а (Р2а2вУ – на (Фг) . Переходя в нем к пределу при г — +оо завершаем доказательство теоремы. Если ограничиться только случаем самого уравнения Кавахары, то классы единственности можно уточнить. Утверждение Теоремы 1.2 получается на основе следующих результатов.

Теорема 3.2. Пусть Ui(t, x))u2(t)x) Є Loo(0,T; L2), где а 3/8, суть обобщенные решения соответствующих задач типа (1.1), (1.2) с начальными данными щі, щ2 из пространства L2 и правыми частями f\, /2 из пространства Li(0,T; L2) соответственно, при до = 0, д\ = а = const. Тогда для любого /3 О (lii — и2)Ра,/з\\ьсо(0,Т;Ь2) — С [\\(Щі - Щ2)раА\и + II (Л - І2)раАь1(0,Т;Ь2)] , (3.6) где константа с зависит от а, /3, Т, а, Ъ и норм функций щ, и2 в пространстве Loo(0,T; L2 ) . В частности, обобщенное решение задачи (1.1), (1.2) единственно в пространстве Loo(0,T;L2 ). Доказательство. Положим w(t,x) = Ui(t,x) — v,2(t,x). Тогда эта функция является обобщенным решением (смысле Определения 2.1) линйной задачи (2.21), (2.22) для щ = Мої — Щ2, / = fi І2, д = (ІІ — и\) /2 . Заметим, что для любого to Є (О, Т] \\9 Ра,(И\\ T(Q-j- .jji/s\ — CTQ \\11іраф 11 _Loo (0,to;i2) II v 1 2/11 (o T L3 8) Тогда с силу (2.37) H Pa lUoo to;. ) — с 0Pa,yS HL2 г \\JPa,/3 Li(0,T;L2) "" О II r «і/? ІІЬоо(0,іо;І2) откуда следует утверждение теоремы.

Начально-краевая задача

Доказательство теоремы 1.8. Пусть и Є Xа(Пу) - слабое решение задачи (1.1), (1.2), существующее согласно Теореме 1.1. Заметим, что при а 3/8, что соответствует случаю т 1, это решение лежит в классе единственности. Это, в частности, означает, что при т = 2 оно обладает свойством ихх Є Ха 1 2(11г Хо) для любых 5 Є (0,Т), Хо Є К, а при m 3 — свойством д1хи Є Ха 4(ПуЖ) для любых 5 Є (О, Т), жо Є Ж. и I т — 1 (из условий рассматриваемой теоремы следует, что выполнены условия Теоремы 1.6, в которой т заменено на т — 1).

Зафиксируем 6 Є (0,Т) и ЇО Є I. Положим cp(t) = r](2t/5 — 1), (ж) = г](х — Хо — 2) (тогда (/?() = 0 при t /2, (/?() = 1 при t 6, ifj(x) = 0 при ж Хо — 2, ifj(x) = 1 при ж Хо — 1). Пусть вначале т 1. Положим v(t,x) = u(t x)cp(t)i/j(x). Тогда согласно равенству (1.10) если положить і7! = (/ + gi it — gou)ipip + uip tfj, F i = — (it /2 + 7)іи)(рф, F%i = (it /2 + д\и)ірф — 5иххсрф " — buxtpi\r — шрг + +? Ъихх(рг1) + ЗЬих(рф" + bucpifj ", F32 = — 5uxx(pifj 1 то функция і» является в Пу обобщенным решением линейной задачи Коши Vt — dxv + bdxv + avx = F\ + F ix + T31 + Fzixx, (5.1) г L n = 0, (5.2) в смысле аналогичном равенству (2.23) для д = i 2, / = і + зі, о = 0, в левую часть которого добавлено слагаемое \ 32,0жж) = F32(j xxd%dt. Действительно, для любой функции Ну ф Є С00([0,ТІ; П ехп№-)) такой, что (/ L = 0, / / [шрф(фі — дхф + Ьдхф + афх) + {Рі+Р2,\)ф— 20ж + 320жж] rf rft = r _!__ = / / [ii(0t — 9ж(/ + &5Ж0 + (діф)х — 9оФ) Н—w 0ж + /0] іж і/: = 0, Пу (5.3) где ф = 0(/? . С помощью фундаментального решения СЛіь (см. (2.3)) обратим левую часть равенства (5.1): t Г г v(t,x) = / / Ga b(t — r,x — y)(Fi{r,y) + Тзі(г, у)) dydr+ 0 R t + / / dxGa (t — r,x — y)F2(r, y) dydr+ t + dxGayb{t — T, ж — у)Тз2(т, 2/) cfa/rfr (5.4) 0 R (обоснование формулы (5.4) будет дано ниже; заметим, что в силу наличия слагаемого Тз2жж мы не можем сразу воспользоваться равен t о ством (2.24)). Тогда при t Є [6,Т], х XQ = dGa,h(t — т,х — y)Fi(r, у) dydr+ t д Ga,b(t — т, ж — г/)і 2(т, у) dydr+ О R t + / / г Г а, - т, ж_ V)FZI(T, у)+д+ Ga b(t—r, x—y)F 2(T,y)\dydT= О R = ifi(t,х) + it 2(,ж) + ws{t,х). (5.5) В силу свойств функций и, #i, до и / для функций if і и it 3 выполнены условия лемм 2.4 (при п = га) и 2.6 соответственно. Кроме того, для «о = (а — 1/4)__ = (т/4 — 1/8 + є/4)+ / іit(3 + х — xo)aifjdx R +00 +00 / (3 + x — XQ) au dx) ( / (3 + x — XQ) g1dx (5.6) XQ— 2 XQ — 2 и, следовательно, Tjiucpifj Є Loo(0,T; L"). Поскольку очевидно, что и2ф Є Loo(0,T;L") получаем. что функция it 2 удовлетворяет условиям Леммы 2.5 при п = т.

Заметим теперь, что если применить операцию усреднения по переменной ж, то соответствующая функция vh(t,x) будет решением задачи типа (5.1), (5.2), где правая часть (5.1) также усреднена. Тогда в силу Теоремы 2.1 справедливо равенство + v (t,x) = Ga b(t — т,х — y)F1(r,y) + F2x(r,y) + F31(r,y) 0 R -\-F32xx(r,y)] dydr, (5.7) поскольку усредненная правая часть (5.1), очевидно, принадлежит Loo (О, T;L2 ). Интегрируя по частям перейдем от (5.7) к анало гу равенства (5.4) для функции vh и, сделав предельный переход при h — +0, получим (5.4). Пусть теперь m 2 . Положим v(t, х) = d x 2u(t x)(p(t)ifj(x). Тогда функция v является в полосе Ит обобщенным решением задачи Коши (в смысле аналогичном (5.1)) для уравнения Vt — dxv + bdxv + avx = F\ + F2 + F%\ + F 2xx (5.8) с начальным условием (5.2), где F\ = 9 (/ — дои)срф — [ 9 (\их) — #i 9 u\ срф + 9 шр ф, F2 = — 9 (иих)срф — gi 9 it(/? , F3i = -5ди(рф " - Ъдх 1их(рф А) - д 2и(рф + +ЗЬдхпшрф + 36 9 шрф" + & 9 шрф " + 2 9 шрф , F32 = -5ди(рф . Для доказательства аналогично (5.3) для любой функции 0 Є C([0,Tl;S П ехп( -)) такой, что фL = 0, запишем равенство Пт dxdt = _!__ 1)т [it(0t—дхф+Ъдхф+{д\ф)х—доф)-\—и фx +fф\dxdt = 0, где ф = д х 2(ф(рф). Тогда аналогично (5.4), (5.5) получаем, что при t Є [6, Т], х XQ г du(t, х) = I I dxGa (t — т, х — y)Fi(r, у) dydr+ О R t + дхСаф{і — г, ж — y)F2(r, у) dydr+ о + / / 9ж6га;ь( —т, ж_V)FZI(T,у) +dxGa {t — T1 х — y)F%2(T,у) \ dydr = О R = ifi(t,ж) + W2{t,х) + гУз( ,х). (5.9) Заметим, что в силу условия теоремы д1хи Є L00(S/2,T; L x _2) при / m — 1. В частности, дід шрф Є Loo(0,T;L1 є ) аналогично (5.6). Очевидно, что таким же свойством обладает и функция Таким образом, для функций Wj выполнены условия леммы 2.4 при п = 2, леммы 2.5 при п=1 и леммы 2.6. В итоге получаем, что 9и Є Сь(Пу ) для любого m и справедливо неравенство (1.16). Теперь перейдем к оценке модуля непрерывности по t. После того, как модуль непрерывности по х уже оценен, можно применить результаты статьи [28], в которой рассмотрены эволюционные уравнения дивергентного вида.

Введем последовательности прямоугольников Qn = [6, Т] х [хо + п, хо + п + 1] и Q n = [6, Т] х [хо + п — 1/2, жо + п + 3/2]. Чтобы доказать (1.17) используем индукцию по j. Пусть сначала j = 0, то есть є = Аа — I — 1 Є (0,1). В каждом прямоугольнике Q n функция v = ди является обобщенным решением уравнения U —— CJ \CJ и) — ОСУ (с) и) — (с) [и ) /2 ) — х\ х ) х\ х ) х \ )х _ Qm-m0+ [до(діи -)- 9 m [д0 (д\ хи — gou) \ + df, (5.10) где mo = 0 при m 1, mo = m — 2 при m 2. Тогда функции 9w, d(uz), dxa(giu), d(gixu — CJQU) в норме пространства L0Q(Qfn) и 9/ в норме пространства L2{Q n) оцениваются равномерно по п. С учетом уже установленной оценки (1.16) из результатов статьи [28, Теорема 1] следует, что для любых точек (t, х), (t + т, х) Є Qn (где г 0) г;(г + т,ж)-г;(г,ж) с inf (/гє + rh 5 + т1/2/Г1/2), (5.11) 0 /і 1/2 откуда выбирая h = min(r1 5,1/2) выводим неравенство (1.17) для j = 0. Пусть теперь j 1 (тогда m 1). Функция v = d J и является в Q n обобщенным решением уравнения Vt = дх 3(дхпи) — Ъдх (д 3 и) — д 3 (иих) — — дхп 3{д\их + дои) + дх 3 j. (5.12) Поскольку по индуктивному предположению при (t,x),(r,x) Є Q n справедливо неравенство \vx(t, х) — VX(T, Х)\ c\t — тує+3 5, (5.13) то из [28, Теорема 1, Замечание 2] получаем, что для любых точек (t, x), (t + r, x) Є Qn (где T 0 ) К + т,ж)-г;(г,ж) c inf (/гг(є+ 1)/5 + rh-5+J), (5.14) 0 /i l/2 откуда выбирая h = min(r1 5,1/2) выводим неравенство (1.17) для остальных значений

Доказательство теоремы 1.9. Пусть и Є Xа(Пу) - слабое решение задачи (1.1)-(1.3), существующее согласно Теореме 1.3. Заметим, что при а 3/8, что соответствует случаю т 1, это решение лежит в классе единственности. Это, в частности, означает, что при т = 2 оно обладает свойством ихх Є Xa l 2(Jl ) для любого 5 Є (0,Т), а при m 3 — свойством с и Є Ха 4(ПуЖ) для любых 5 Є (0,Т), Жо Ои/ т — 1 (из условий рассматриваемой теоремы следует, что выполнены условия Теоремы 1.7, в которой т заменено на т — 1).

Зафиксируем 6 Є (0,Т) и жо 0. Положим (/?() = r)(2t/6 — 1), (ж) = 77(4ж/жо —1) (тогда cp(t) = 0 при t /2, (/?() = 1 при t 6, ifj(x) = 0 при ж жо/4, ifj(x) = 1 при ж хо/2). Пусть вначале т 1. Положим г (, ж) = ii(, x) p{t) {x). Тогда согласно равенству (1.8) функция v является в Пу обобщенным решением (в смысле аналогичного интегрального тождества) задачи Коши (5.1), (5.2). Выкладка дословно повторяет (5.3), поскольку ifj(x) = 0 при х Жо/4.