Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обобщенно-однородные системы уравнения переменного класса . 18
1.1. Некоторые определения и свойства 18
1.2. Системы переменного класса 21
1.3. Специальные решения 25
1.4. Существование О+ и 0" кривых 31
1.5. Преобразования системы 38
1.6. Бифуркации систем дифференциальных уравнений 42
1.7. Топологическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений 47
Глава 2. Системы «треугольного» типа 51
2.1. Особенности «треугольного» системы 51
2.2. О размерности О-кривых системы 60
2.3. Ограниченность решения систем 63
2.4. Критерий существования О-кривых 65
2.5. Критерий асимптотической устойчивости в целом нулевого решения системы 68
2.6. Грубость асимптотических свойств решений 69
Глава 3. Некоторые свойства разностных уравнений 72
3.1. Некоторые определения и понятия 72
3.2. Система Пуанкаре-Ляпунова 73
3.3. -кривых 75
3.4. О бифуркациях разностных уравнений 79
3.5. Треугольные системы
Литература 85
- Системы переменного класса
- Преобразования системы
- Ограниченность решения систем
- О бифуркациях разностных уравнений
Введение к работе
Актуальность темы. Известно, что многие задачи небесной механики, автоматики, телемеханики и теории колебаний приводят к рассмотрению существенно нелинейных систем дифференциальных и разностных уравнений. Однако общих методов исследования, устанавливающих полную качественную картину расположения траекторий системы дифференциальных и разностных уравнений, не существует. В связи с этим приходится выделять различные классы нелинейных систем дифференциальных и разностных уравнений, которые удается исследовать различными качественными методами.
Самыми распространенными и, по-видимому, наиболее изученными к настоящему времени являются нелинейные системы вида
( ) ( )
где означает или ( ); функции ( ) ,
удовлетворяют различным условиям однородности.
Наиболее трудным при изучении поведения траекторий системы (1)
вблизи особой точки является случай, когда правые части не содержат
линейных членов. Такие системы в предположении, что функции ( )
являются однородными или разлагающимися в степенные ряды, изучены в работах Н. Н. Красовского, В. И. Зубова, А. А. Шестакова, А. А. Брюно, Л. А. Беклеммива и А. Р. Эфендиева.
В работах Е. А. Барбашина, Н. Н. Красовского точные условия
устойчивости нулевого решения системы ( ) выражены через свойства
функции Ляпунова.
Качественно новым обобщением однородности является введение понятия
обобщенно-однородных функций и форм порядка класса переменной
матрицы ( ) .
А. Р. Эфендиев изучил вопросы о структуре семейства интегральных
кривых системы (1) в окрестностях особых точек высшего порядка в случаях,
когда правые части являются обобщенно-однородными функциями порядка
класса матрицы ||( )||, , где элементы матрицы зависят от
одной переменной.
Совокупность обобщенных и обобщенно-однородных функций
соответствует совокупности систем дифференциальных уравнений. Этой
совокупности соответствует матрица ( ). Следовательно, каждой
матрице ( ) соответствует система дифференциальных уравнений.
Значит, следует исследовать новые виды матриц.
Мы решаем вопрос о структуре семейства интегральных кривых системы
(1) в окрестности особых точек высшего порядка в предположении, что правые
части системы (1) являются обобщенно-однородными функциями порядка
класса переменной матрицы Ц^ ) \\, .
Представленные в диссертации схемы исследования свойств, решений дифференциальных и разностных уравнений основаны на методах качественного исследования динамических систем, разработанных в трудах В. В. Немыцкого, Н. Н. Красовского, А. А. Шестакова, Ю. И. Сапронова, А. Д. Мышкиса, Л. Э. Эльсгольца, Г. А. Каминского, М. В. Келдыша, Ю. В. Покорного и других.
Цель данной работы. Описание поведения решения системы
дифференциальных и разностных уравнений, получение условий существования
кривых, устойчивости тривиального решения исследуемой системы;
получение необходимых и достаточных условий обобщенно-однородных
функций.
Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значительные из них перечислены в следующем ниже списке.
1. Новые условия существования, асимптотической устойчивости,
тривиального решения исследуемой системы.
2. Описание обобщенно-однородных функций, их связь с системами
дифференциальных уравнений.
3. Описание обобщенно-однородных разностных систем уравнений.
4. Описание специальных решений систем дифференциальных и
разностных уравнений.
Методы исследования: В работе использованы качественные методы
анализа особых точек динамических систем. (А. Пуанкаре, А. М. Ляпунова, В. В. Немыцкого, Н. Н. Красовского, А. А. Шестакова, А. Р. Эфендиева и др.).
Теоретическая и практическая ценность. Данная работа в целом носит теоретический характер, но представленные в ней результаты могут быть использованы при изучении конкретных динамических систем.
Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на VI и VII международных научных конференциях ФДУ и их приложения, которые проходили 23-26 сентября 2013 и 21-24 сентября 2015, на VII международной научной конференции, 21-24 сентября 2015, на межвузовском научном семинаре
в ДГТУ «Актуальные проблемы математики и смежные вопросы» Махачкала, 2015.
Результаты диссертации опубликованы в шести работах, три из них соответствуют списку ВАК РФ. Из совместных работ в диссертацию вошли результаты, которые принадлежат диссертанту.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы (параграфы), и списка литературы из 60 наименований. Общий объем диссертации 90 страниц.
Системы переменного класса
Следствие 2.1.[37]. Система (2.1.2) будет иметь решение (2.9) и (2.10), где ?5 = COnStи(ps(zs),S = 1, ..., П. Предположим, что ft (Х1( ...X;), і = 1,...,п заданы в области D: \\х\\ г пространства Еп, непрерывно дифференцируемы там по всем аргументам до порядка v 0 и /(0,... ,0) = 0. В случае v = 0 будем предполагать, что функции ft{xXl... xt), і = 1,..., п удовлетворяют некоторым условиям единственности решения системы (2.1.2).
Пусть система (2.1.2) имеет единственную особую точку О(0,... ,0). Система (2.1.2) является частным случаем системы, когда в правой части находится функция /К !,... хп), 1 = 1,...,п. Ниже для системы в первом случае мы будем решать следующие задачи об асимптотическом поведении решений . 1) Найти необходимое и достаточное условие того, чтобы все специальные решения системы (2.1.2) были О —кривыми. 2) Изучить ограниченность решений системы (2.1.2). 3) Дать критерий существования О -кривых. 4) Найти критерий асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.1.2) в целом. 5) Выяснить грубость асимптотических свойств решений. По ходу решения этих задач решается также задача о выделении областей притяжения особой точки и оценки этих областей. Ответы на эти задачи даются ниже в терминах некоторых характеристик функций Жхі ... Xj), і = 1,..., п. Именно в этих предположениях о единственности особой точки 0(0, ...,0) системы (2.1.2) функции Ж і, ...xt), i = l,...,n пред ставимы в виде: Р+РІ где pi(xlt..., xt) являются обобщенно-однородными формами порядка р Р+РІ класса матрицы 5і;ср , не содержащими членов д{х{ Pl и все gt Ф 0. Коэффициенты дь і = 1,..., п, фигурирующие в выражениях для Ж !,... ), і = 1,...,п, так же р и pji = 1, ...,тиграют в дальнейшем главную роль в описании асимптотического поведения решения системы (2.1.2). Мы рассматриваем два случая: 1) р —четное и pi, і = 1,..., п, нечетные числа, т.е. 2к 2к + 1 V = T. T,Vi = о 7,i = l,...,n,k,v,ki,vi целые неотрицательные числа; 2k 2) Числа p и p0 і = 1,..., n нечетные, т. е. p = . Во втором случае нулевое решение системы (2.1.2) всегда неустойчиво. Однако, при дополнительных условиях на правые части системы (2.1.2), здесь можно говорить об условной устойчивости и о выделении областей притяжений особой точки О(0,... ,0).
Определение 2.1 [37] Нулевое решение системы (2.1.2) назовем условно устойчивым при t - оо, если в Еп существует к —мерное многообразие Sk начальных значений (1 к п) такое, что для всякого решена xt = Xi(t), і = 1,...,п, подчиненного условию OqCto),..., xn(t0)) Є Sk, x(t0) 5(e), будет выполняться неравенство x гпри t t0. Если сверх того ЦНт со Xi(t)\\ = 0, то условная устойчивость называется асимптотической. Многообразие Sk представляет собой условную область притяжения положения равновесия 0(0,... ,0). В нашем случае как это будет видимо в последующими областями притяжения являются (п — 1) —мерные топологические конусы.
Назовем (п - 1) -мерным топологическим конусом [50] с вершиной 0(0,... ,0) такую (п - 1) -мерную поверхность, которая гомеоморфна одной ветви (п — 1) —мерного линейного конуса, если вершина последнего при этом гомеоморфизме соответствует точке 0(0,... ,0). Правые части системы (2.1.2) запишем в виде: fi (х1( ...х{) = Xifi(xlt ...xt) + fi(xlt ...ХІ),І = 1, ...,n, где fi(cPlX1, ... CPiXi) = CP (X1( ...Xj), /iCcPi !, ...c -iX ) = CP+P /i( , ...Х І), І = 1, ...,П. Во втором случае (p и pu і = 1,..., n - нечетные) будем считать, что /ifo, ...Х І) Oприxj О, (2.1.14) fi(x1,...xi.1) Оприх 0. (2.1.15) Назовем специальными решениями системы (2.1.2) функции вида -El х. = z.(t) = Wi(c0 + t) р, i = l,...,n (2.1.16) -El xi = zi(i) = wi{cQ) P, i = l,...,n, c0 0. (2.1.17)
Очевидно, что решения (2.1.16) и (2.1.17) [определяют соответственно 0+ - кривуюи О - кривую функции (2.1.16) и (2.1.17)] будут решениями системы (2.1.2) тогда и только тогда, когда wt и Щ, і = 1,..., п соответственно являются вещественными решениями следующих систем уравнений: РІ І + Pfi( i -,ХІ) = 0,І = 1,...,п, (2.1.18) -Р&І + pfiixi, -,ХІ) = 0,І = 1,...,п. (2.1.19) Для рассматриваемых обобщенно-однородных форм [ 37] Р+РІ fi(xlt... ХІ_І) = д(х + p(xlt...,ХІ) при нечетных р и pi, і = 1,..., п система (2.1.2) всегда имеет вещественное решение w± = = wk = 0 , Pk+i Wfc+i =( ) , а система(2.1.19) — вещественноерешение РЧк+J Pk+i
Поэтому при р ирі,і = 1,..., п нечетных система (2.1.2) всегда имеет специальные решения вида (2.1.9) и (2.1.10). В случае, когда -четно, ( = 1,…,) -нечетно, существование специальных решений, вообще говоря, не гарантировано и оно зависит от выбора коэффициентов +1( = 1,…,- 1).
Установим необходимое и достаточное условие того, чтобы все специальные решения системы (2.1.2) были только + - кривыми или только - -кривыми. Для этого рассмотрим сначала одно уравнение вида Лемма 2.2. 1) Если -четное, 1 -нечетное, то для того, чтобы все простейшие решения уравнения (2.1.20) были + - кривыми (- -кривыми) необходимо и достаточно, чтобы 1 0 (1 0). 2) Пусть и -нечетные числа. Тогда: а) если решения уравнения (2.1.20) имеют положительные начальные данные, то для того, чтобы все соответствующие им решения были + -кривыми (- - кривыми) необходимо и достаточно, чтобы 1 0 (1 0). б) если решения уравнения (2.1.20) имеют отрицательные начальные данные, то для того, чтобы все такие решения были + - кривыми (- - кривыми) необходимо и достаточно, чтобы 1 0 (1 0).
Преобразования системы
Необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости в целом нулевого решения системы (2.2) дается следующей теоремой Теорема 2.8. Пусть р - четное, рь{1 = 1,..., п) -нечетные числа и Qi ф 0, і = 1,..., п. Тогда нулевое решение системы (2.1.2) будет асимптотически устойчивым в целом, тогда и только тогда, когда все 9І 0, і = 1,...,п. Доказательство данной теоремы непосредственно вытекает из следствия 2.1.2 пункта III и теоремы 2.8 пункта IV. На самом деле, при выполнении и условий теоремы 2.8., следствие 2.2 устанавливает устойчивость в смысле Ляпунова нулевого решения системы (2.1.2), а теорема 2.7 устанавливает, что всякое решение системы (2.1.2 ), \xt(t)\ О при t - +оо, і = 1,... ,п, что и доказывает теорему.
В случае, когда р ирі,(і = 1,..., п) —нечетные числа, как следует из теоремы 2.5, нулевое решение системы (2.1.2) всегда неустойчиво. Но в этом случае при выполнении условий (2.1.14)[соответственно (2.1.15)] можно выделить области притяжения (отт) особой точки О(0,... ,0).
Действительно, пусть выполнены условия (2.1.14). Тогда все решения системы (2.1.2) с положительными начальными данными образуют - мерное многообразие такое, что (в силу теорем 2.6 и 2.7) для всякого решения, подчиненного условию х(0) выполняется x(t) - 0 при t - +00. Очевидно, что области притяжения (отталкивания) особой точки 0(0,... ,0) в данном случае представляют собой конические сектора.
Рассмотрим треугольную систему вида -1 = fi(xlt ...,ХІ) + Fi(xlt ...,xn), і = 1, ...,n, (2.6.1) где Fi(xlt..., xn), і = 1,..., n имеют порядок малости более высокий, чем p + Pili = 1,...,n, когда і г(х) = [У \xi\Pi\ 0.
Система (2.1.2) является для системы (2.6.1) первым приближенным вблизи особой точки 0(0,... ,0). Картина расположения траекторий системы (2.6.1) аналогична картине расположения траекторий системы (2.1.2) в достаточно малой окрестности особой точки 0(0,... ,0), но во всем пространстве. Действительно, из работы [ 28] в нашем случае вытекает, что асимптотическая устойчивость не нарушается, если «возмущения» Р&хь ..., хп), і = 1,..., п удовлетворяют неравенствам IF X . XJI c0r(x)P+P ,; = l,...,n, (2.6.2) где с0 0 —достаточно малая постоянная. В работе же [4] показано, что не существование целых траекторий за исключением нулевого решения х± = = хп = 0, достаточно, чтобы и неустойчивость нулевого решения системы (2.36.1) сохранялась для «возмущений», удовлетворяющих неравенствам
Из доказанных нами утверждений видно, что для системы (2.1.2) не существует траекторий, целиком погруженных в окрестность точки О(0,... ,0), если все gt {і = 1,..., п) имеют один и тот же знак. Поэтому на основании теоремы 2.8 и теорем И. Г. Малкина и Н. Н. Красовского получается
Теорема 2.9. Пусть (х1(..., хп), і = 1,..., п удовлетворяют неравенствам (2.6.2). Тогда: 1) Если р —четное, а все рі(і = 1,... ,п) —нечетные числа, то при gt 0 нулевое решение системы (2.6.1) устойчиво, а при gt 0, оно неустойчиво. 2) Если рирі(і = 1,..., п) —нечетно и все gt имеют один и тот же знак, то нулевое решение системы (2.6.1) неустойчиво. О параболичности гиперболичности системы (2.1.2). Р+РІ Если в системе (2.1.2) ,..., a\gi\xi/ ,i = 1, ...п,в некоторой области D, то в этой же области система (2.1.2) близка к потенциальной [3] —L = giXi РІ )І = і)шшшПш (2.6.3) Потенциал V(xlt..., xn) системы (2.6.3) определяется формулой ST QiPi V(xlt ...,xn) = , x РІ . (2.6.4) i=i
Поэтому при pj-нечетных, потенциал V(xlt...,xn) является функцией Ляпунова-Красовского [4] для системы (2.6.4) в достаточно малой окрестности начала координат, ибо в силу системы (2.1.2) полная производная потенциала имеет вид: dV v 2P+2Pi P+Pi -г = \д2іХі Pi +2gix (pi(xll...lxi). i=i i=i Используя неравенство Коши, имеем: (jV 2p+2pi H 2p+2pi H H 2p+2pi i=i i=i i=i i=i 2p+2pi 2p+2pi 2p+2pi - / gfxi а2 У gfxt n = (1 - a) gfxt n 0. i=i i=i i=i
Приведенные выше рассуждения показывают [3], [37], что могут представиться различные случаи в зависимости от четности и нечетности числа ри знаков чисел g i = 1,..., п, а именно имеет место
Теорема 2.10.При любом целом положительном р область D не содержит целых траекторий за исключением начала координат [10]. Если р —четное и все gt одного знака, то все интегральные правые системы (2.3.1) параболические. Если р —четное и qt 0,...,qs 0, а qs+1 0,..., qn 0, где s n, тоV(xll...,xn) = 0 многообразие, гомеоморфное п - 1 -мерной, разбивающее пространство на две области, в каждой из которых будут соответственно 0+иО кривые и гиперболические кривые.
Ограниченность решения систем
Сравнивая (3.2.8) и (3.2.9), мы опять получим справедливость утверждения теоремы 3.2 и ее следствия. Следствие 3.4. [39 ] Если J(/, w) - положительная матрица, то \[р является единственным наибольшим простым положительным собственным значением этой матрицы. 3.3. О —кривые. Рассмотрим систему [57] J(t + 1) = max(/, w)y(t). (3.3.1) w Так как Я = рявляется наибольшим собственным значением матрицы J (/, w), не зависящим от w[57], то существует и притом единственное положительное число Я такое, что однородная система Яг = max J (/»z w имеет положительное решение z 0. Это решение единственное с точностью до множителя Я = тахЯ( 7(/») = р. W
Кроме того, при t - ооимеет место у() ах2ірг. зависит от начальных условий t. Теорема 3.3.Если(7(/, w) —неотрицательная матрица и все главные миноры матрицы E-J(f, w)положительны, то все решения системы (..1) являются 0+ —кривыми, а для решений системы (3.1.1) имеет место lim x(t) = w.
Доказательство этого предложения следует из того факта, что в условиях теоремы [37] все характеристические числа матрицы J(f, w) будут внутри единичного круга [57].
Следствие 3.4. если все собственные числа матрицы J(/, w), к = 1, меньше единицы по модулю, то все решения системы (3.1.1) являются 0+ —кривыми и имеет место равенство x(t) lim / =w, с 0. (3.3.2) t oo [Л(с)]рт Пусть а Е G —вещественное нетривиальное решение системы f(x) = х. (3.3.3) Тогда x(t) = аср , где в частности можно положить с = \а\ =Vai +--- + а%, есть решение системы (3.1.1) при к = 1, Л (с) = с. Это решение назовем специальным (простейшим) [1]. Очевидно, что специальное решение является 0+{0 ) -кривой [1], если с 1и р 1 (соответственно р 1). Например, если (3.1) есть скалярное уравнение x(t + 1) = axv{t), то это уравнение имеет решение x(t) = а р-гсрґ при четном р и x(t) = ±а при нечетном р. Если х(0) =.., то нетрудно показать, что x(t) = a- (ac), а также limt_ +00x(t) = 0 (соответственно lim . x(t) = 0), если ах(0) їи p 1 (соответственно p 1). Здесь мы рассматриваем один частный случай, причем для удобства возьмем вместо "с" букву "т". Преобразование Пуанкаре-Ляпунова будет выглядеть следующим образом x(t) = (a + y(t))T (3.3.4) с учетом f(rx) = тР/(х) и непрерывной дифференцируемости /(х) в области D Є Еп. Систему (3.1.1) при к = 1, Л(с) = сприведем к виду y(t + 1) = 3{f,x)\x=ay + о(у) (3.3.5) где J(f,x)\x=a -якобиан, вычисленный при х = а. Имеет место Теорема 3.4.[10] Если определяющие уравнения /(х) = х имеют вещественное решение а = (а±,..., ап), то матрица L = J(/, x)lx=a, соответствующая этому решению, имеет характеристическое число, равное р.
Доказательство. Пользуясь формулой Эйлера для однородных функций J(f, х)х = р/(х)запишем определяющие уравнения /(х) = х в виде J(/, a)a - pa = 0 или
Система (3.3.6), по предположению, имеет нетривиальное решение х. Поэтому ее определитель равен нулю. Но (J(/, a) - ЕЛ) = 0 есть характеристическое уравнение, соответствующее системе (3.3.5) при о (у) = 0, т.е. р является характеристическим числом матрицы линейной части системы (3.3.5). Следствие 3.6. Если система (3.1.1) «треугольная» [1], то dft h=fu r - ,i = l,...,n. \xn=an Если f(x) = x определяет вещественное алгебраическое многообразие размерности 0 / п, то элементы матрицы L = J(/, а), соответствующий этому многообразию будут зависеть от параметров. Рассмотрим два случая: р —число нечетное и р —число четное. Если р нечетное и а есть решение уравнения f(x) = х, то а также будет решением этих уравнений. Поэтому решению а соответствует два специальных решения x(t) = атР\ x(t) = -ат (3.3.7) системы (3.1.1). В случае четного р вещественному решению а уравнения f(x) = х соответствует первое из специальных решений (3.3.7). Теорема 3.5. Если flt 1и "1J SUl/yl-1/иІ для всех і, для которых п Уш 1/и1, то для всех решений системы (3.1.1) имеет место асимптотическая формула lim x(t)r-Pf = ±а при р — нечетном и lim x(t)T-Pf = a при p — четном. Доказательство этого предложения следует из (3.3.5) и теоремы Брауэра [57], так как при выполнении (3.3.8) все характеристические числа матрицы линейной части системы (3.3.5) находятся внутри единичного круга и потому lim y(t) = w. 3.4. О бифуркации разностных уравнений. Исследуем поведение решений системы xs(t + 1) = ctsxsFls + bsxs+mF2s xs+m(t + 1) = -bsxsF2s + asxs+mFls, (3.4.1) где Fisidi x\ + Ъгх{+т ...amx?n + bmxfm), і = 1,2; s = 1,2,... m -обобщенно однородные функции порядка р = 0 класса матрицы Л(т) [37], непрерывно-дифференцируемые в области (х1( х2,... х2т) Є G, причем Fis(0,...,0) = 0. Теорема 3.6. Если: 1) система (3.1.1) разностная, ajF + b F%s 1, s = 1,..., m, причем множество, где имеет место равенство, не содержит целых ….. системы (3.1.1), то нулевое решение системы (3.1.1) асимптотически устойчиво; 2) система (3.1.1) разностная, a F?s + b%F$s l,s = 1, ...m, то нулевое решение системы (3..11) неустойчиво. Доказательство. В случае для системы (3.1.1) имеем V(Xl(t + 1), ...,x2m(t + 1)) - V(Xl(t), ...,x2m(t))
Теорема 3.7. Еслир -четное число и ранг матрицы b0-1, i,j = 1,..., п равен г = п - 1, то для того, чтобы особая точка О(0,... ,0)системы (3.4.3) была единственной необходимо и достаточно, чтоб хотя бы один из чисел
О бифуркациях разностных уравнений
Система (3.1.1) называется треугольной, если правая часть её зависит от количества неизвестных, равному номеру уравнения. Мы будем рассматривать «треугольную» систему ()=(1,…,), (3.5.1) где = 1,…, , (0,… ,0) = 0 - единственная особая точка (0,…, 0). Функции (3.5.1) (,…, ), = 1,…, определены в области , непрерывно дифференцируемы до порядка 0 и удовлетворяют соотношению (11, …,) = (1, …,), (3.5.2) где (-, +) Определение 3.2.Уравнение = (1, …,), = 1, …,, (3.5.3) назовем определяющее выражение xs оцт\ s = l,...,n (3.5.4) где (a1,..., an) - вещественное решение уравнения (3.5.3) назовем специальным решением системы (3.5.1). Определение 3.3. Обобщенно-однородную функцию /(х1( ...,хп), определенную в области D, назовем обобщенно-однородной формой порядка р класса матрицы \(ТцТ1] \, где р = , р,- = , т.е., к,,...,/,- целые неотрицательные числа, если существует взаимно однозначное преобразование xt = и?, і = 1, ...,п, где щ = {21 + 1)р0, при котором функция f(ua\ ..., и ) = ф(иг, ....,ип) становится однородной, формой порядкаш.
Пусть правые части (3.5.1) являются формами указанного высшего порядка и над ними проведено укороченное по порядку р [8]
В силу предположения о единственности особой точки О(0,..., 0) системы (3.5.1), формы fs(x1 ...,xs), s = 1,2, ...,п представим в виде: fs(xll...,xs)=gsxV +ips(xll...,xs), (3.5.3) где ips(xlt...,xs) являются обобщенно-однородными формами порядка р класса матрицы бті;тр , не содержащих членов gsxp и все gs Ф 0.
Определение 3.4. Нулевым решением системы (3.5.1) назовем условно устойчивым при t - оо, если в Еп существует к- мерное многообразие sk начальных значений (1 к п), такое, что для всякого решения xs = xs(t), s = 1,2, ...,п, подчиненного условию ( (to), ...,xn(t0)) Є sk, \\x(t0)\\ 8(E), будет выполняться неравенство x(t) є при t t0.
Если сверх того, II lim x(t) = 0, то условная устойчивость назовем асимптотической. Многообразие sk представляет собой условная область протяжения равновесия 0(0, ...,0).
В нашем случае, вообще говоря, областями притяжении являются (п — 1) -мерные топологические конусы [3].
Нашей целью является решение следующих задач об асимптотическом поведении решений системы (3.5.1) : 1) Установить необходимые и достаточные условия того, чтобы все специальные решения системы (3.5.1) были О- кривыми; 2) Изучать ограниченность решений систем (3.5.1); 3) Найти критерий асимптотической устойчивости нулевого решения системы (3.5.1) в целом; 4) Выяснить грубость асимптотических свойств решений. Для этого рассмотрим сначала одно уравнение вида x(T + l) = gx (t), рФІ (3.5.6) Решения уравнения (3.5.6) имеют вид і і x{t) = д Лд хЩ, (3.5.7) і Т.е. а± = др-1 - вещественное решение системы (3.5.3) и (3.5.7) і специальным решением (3.5.1), если выбрать т = д х(0). Из (3.5.7) мы видим, каждое решение уравнения (3.5.6), отличающее ненулевым начальным данным будет 01 - кривая тогда и только тогда, когда \д хр г (0)/с, причем д 0, если -нат -ное число. Теорема 3.8. 1) Пусть - четное, ( = 1,…, ) нечетные числа, тогда для того, чтобы все специальные решения () = ( = 1, …,) (3.5.8) Системы (3.5.1) с начальным данными (0) 1 были + - кривыми необходимо и достаточно, чтобы 0 1. 2) Пусть и - числа нечетным. Тогда для того, чтобы все специальные решения (3.5.8) системы (3.5.1) с начальными данными (0) 1 были + - кривыми, необходимо и достаточно, чтобы 0 1. 3) При указанных в пункте 1) условиях тривиальное решение асимптотически устойчиво.