Свойства характеристик множества достижимости различных управляемых систем Хаммади Алаа Хуссейн Хаммади

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1 Оценка и вычисление характеристик множества достижимости управляемой системы 18

1. Определения и основные свойства характеристик инвариантности множества достижимости 19

2. Теоремы сравнения для характеристик множества достижимости 25

3. Об оценке и вычислении относительных частот для некоторого класса многозначных функций 33

4. Примеры вычисления характеристик, возникающие в задачах естествознания 42

Глава 2 Статистические характеристики множества до стижимости управляемых систем со случайными параметрами 49

5. Теорема сравнения для статистических характеристик управляемой системы со случайными параметрами 50

6. Оценка статистических характеристик множества достижи мости управляемой линейной системы 58

7. Примеры оценивания статистических характеристик 70

Глава 3 Характеристики инвариантности множества до стижимости управляемых систем со случайны ми параметрами 77

8. Характеристики инвариантности множества достижимости управляемой системы на конечном промежутке времени 78

9. Оценка характеристик множества достижимости управляе мых систем с переключениями 81

Заключение 89

Список литературы

• Об оценке и вычислении относительных частот для некоторого класса многозначных функций
• Теорема сравнения для статистических характеристик управляемой системы со случайными параметрами
• Примеры оценивания статистических характеристик
• Оценка характеристик множества достижимости управляе мых систем с переключениями

Введение к работе

Актуальность темы. Задача исследования инвариантности множеств относительно различных управляемых систем и дифференциальных включений является одной из важнейших задач математической теории управления и теории дифференциальных игр. Данной тематике посвящены работы Н.Н. Красовского, А. Б. Куржанского, Ж. П. Обена, А. И. Субботина, Е. Л. Тонкова, В.Н. Ушакова, Т. Ф. Филипповой, Ф. Хартмана и многих других авторов.

Первый результат в этой области опубликован М. Нагумо¹ в 1942 году, которым было изучено свойство слабой инвариантности заданного множества относительно дифференциального уравнения. Эти исследования продолжил Ф. Хартман², сформулировав необходимые и достаточные условия слабой инвариантности для системы дифференциальных уравнений. Большое внимание изучению вопросов инвариантности и «выживаемости» (как называют в иностранной литературе слабую инвариантность) уделял Ж. П. Обен³, который получил условия выживаемости множества К С К относительно управляемой системы

х = /(ж, и), и Є U{x)

в предположении, что для каждого х Є К множество /(ж, U{x)) выпукло и компактно. Ж. П. Обен называет множество К выживающим относительно данной системы, если для любой начальной точки хо Є К существует хотя бы одно решение x(t) этой системы, начинающееся в хо и выживаемое в том смысле, что x(t) Є К для всех t Js 0.

Е. Л. Тонков и Е. А. Панасенко⁴ сформулировали условия, при которых заданное множество обладает свойствами положительной инвариантности, инвариантности, устойчивой или асимптотически устойчивой инвариантности относительно нестационарного дифференциального включения. Наличие инвариантного множества позволяет им рассматривать сужение включения на это множество и исследовать в нем различные экстремальные движения. А. Б. Куржанским⁵ получено аналитическое описание множе-

Nagumo M. Uber die Laga der integralkurven gewohnlicher differential Gleichungen // Proc. Phys. Math. Japan. 1942. Vol. 24. P. 399–414.

Hartman P. On invariant sets and on a theorem of Wazewski // Proc. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 32. P. 511–520.

Aubin J.P. Viability Theory. Boston, Birkhauser. 1991. 543 p.

Панасенко Е.А., Тонков Е.Л. Инвариантные и устойчиво инвариантные множества дифференциальных включений // Труды Математического института им. В.А. Стекло-ва. 2008. Т. 262. C. 202–221.

Куржанский А.Б. Об аналитическом описании множества выживающих траекторий дифференциальной системы // Успехи математических наук. 1985. Т. 40. Вып. 4(244). C. 183–184.

ства, которое является замыканием множества выживающих траекторий дифференциального включения; также он исследовал структуру слабо инвариантных множеств гибридных систем⁶, движение которых осуществляется путем мгновенного переключения с одной из «стандартных систем» на другую.

Отметим, что свойство слабой инвариантности находится в тесной связи с весьма важными задачами о сближении управляемой системы с компактным целевым множеством, исследуемыми Н. Н. Красовским, А. И. Субботиным, В.Н. Ушаковым и многими другими авторами. При решении этих задач возникает вопрос о том, в какой степени заданное множество не является инвариантным относительно дифференциального включения, порожденного управляемой системой (см. работы В. Н. Ушакова⁷ и его учеников). Один из возможных подходов к решению этого вопроса состоит в применении инфинитезимального представления свойства инвариантности и вычисления дефекта инвариантности, который оценивает степень несогласованности множества и динамики системы с точки зрения понятия инвариантности.

В работах Л. И. Родиной и Е. Л. Тонкова⁸ также исследуются множества, не являющиеся инвариантными в «классическом» смысле; для таких множеств вводится естественное расширение понятия инвариантности, которое названо статистической инвариантностью. Пусть D(t,X) — множество достижимости управляемой системы

х = fit, ж, и), (t, ж, и) Є [0, +оо) х R х R^m (1)

в момент времени t из начального множества X. Множество

9Я = {(,х) Є [0, +оо) х R : х Є M(t)}

Куржанский А.Б., Точилин П.А. Слабо инвариантные множества гибридных систем // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44. № 11. С. 1523-1533.

Ушаков В.Н., Зимовец А.А. Дефект инвариантности множеств относительно дифференциального включения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 2. С. 98–111.

Ушаков В.Н., Котельникова А.Н., Малев А.Г. Об оценке дефекта слабой инвариантности множеств с кусочно-гладкой границей // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19. № 4. С. 250–266.

Родина Л.И., Тонков Е.Л. Статистические характеристики множества достижимости управляемой системы, неблуждаемость и минимальный центр притяжения // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5. № 2. С. 265–288.

Родина Л.И., Тонков Е.Л. Статистически слабо инвариантные множества управляемых систем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 1. С. 67–86.

называется статистически инвариантным относительно системы (1), если относительная частота пребывания множества достижимости D(t, X) в множестве 9Я равна единице. Свойство статистической инвариантности связано с исследованием введенных в этих работах статистических характеристик, таких как верхняя и нижняя относительные частоты поглощения множества достижимости D(t,X) системы (1) множеством 9Я :

_Ф— mes{t Є [О, Щ : D(t, X) С M(t)}
freq (D,M) = lim ,

7-і mes{t Є [О, Щ : D(t, X) С M(t)}

freq^iJ, M) = lim ,

(2)

где mes — мера Лебега на числовой прямой. Если ireq^(и, М) = ireq [D, М), то общий предел

7-і .л mesjt Є [0, г?1 : D(t,X) С M(t)\
ireqflJ, М) = lim (3)

называется относительной частотой поглощения множества достижимости системы (1) множеством 9Я.

В данной работе исследуются свойства характеристик, одна из которых — относительная частота поглощения множества D(t,X) множеством 9Я на отрезке [т, т+Щ равна отношению меры Лебега тех t из отрезка [т, т + Щ, при которых D(t, X) С M(t), к длине данного отрезка:

mes \t Є [т, т + Щ : D(t, X) С M(t)}
freqr_T , _йі (D, М) = . (4)

Вторая характеристика —

7-і ъ r mes {^ Є [т, т + $1 : D(, X) С M(t)}
Ireq^flJ, М) = mi (5)

т^ 0 17

отображает свойство равномерности пребывания множества достижимости управляемой системы (1) в множестве 9Я на отрезке заданной длины д > 0. Доказаны утверждения, позволяющие оценивать и вычислять данные характеристики; получены теоремы сравнения, сформулированные в терминах функций А.М. Ляпунова и производной Ф. Кларка.

Другой задачей, которая изучается в работе, является задача исследования свойства статистической инвариантности, статистических характеристик (2), (3) и характеристик (4), (5) для управляемых систем со случайными параметрами

х = f(h^f'a, х, и), (t, а,х,и) Є К х Ex Rⁿ х R^m, (6)

правая часть которых параметризована с помощью метрической динамической системы (, 21, z/,/і'). В отличие от детерминированных систем, для систем со случайными параметрами часто возникает ситуация, когда множество достижимости системы находится в заданном множестве 9Я(<т) с относительной частотой, равной единице, причем это происходит не для всех, а для почти всех а из некоторого множества S* С S, вероятностная мера которого z/(E*) = [л, ц Є (0,1]. Поэтому для таких систем рассматривается свойство статистической инвариантности, выполненное с заданной вероятностью.

Цель работы. Целью диссертации является исследование характеристик (4), (5) управляемой системы (1), а также изучение статистически инвариантных множеств и оценка характеристик (3), (4), (5) для управляемой системы со случайными параметрами (6).

Методы исследований. Работа опирается на методы качественной теории дифференциальных уравнений, математической теории управления, теории случайных процессов и теории динамических систем.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми. Основные результаты состоят в следующем:

1. исследованы основные свойства характеристик (4), (5), доказаны теоремы сравнения для этих характеристик, сформулированные в терминах функций А.М. Ляпунова и производной Ф. Кларка;

2. получены оценки характеристик (4), (5) для различных многозначных функций t і-ї D(t, X), t t-ї M(t) и приведены условия, при которых можно найти их значения;

3. для системы со случайными параметрами (6) получены оценки характеристик (3), (4), (5), выполненные с вероятностью единица и исследовано свойство статистической инвариантности множества

9Я((т) = {(, х) Є [0, +оо) х R : х Є M(h^f'a)},

выполненное с заданной вероятностью;

4) получены оценки, выполненные с вероятностью единица, для характе
ристик множества достижимости управляемой системы с переключениями.
Данную систему можно отождествить со стационарным случайным процес
сом, множество состояний которого конечно; для него заданы начальное ве
роятностное распределение и вероятности нахождения в каждом состоянии;
длины промежутков между моментами переключения системы с одного со
стояния на другое являются случайными величинами с заданной функцией
распределения.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Все основные утверждения в ней сформулированы в виде теорем и сопровождаются строгими доказательствами. Результаты работы и примененные методы могут быть использованы при проведении исследований по математической теории управления в Институте математики и механики УрО РАН, в Институте динамики систем и теории управления СО РАН, в Московском, Владимирском, Воронежском, Пермском, Удмуртском и Ярославском государственных университетах, а также при чтении специальных курсов для студентов и магистров математических и естественнонаучных специальностей Удмуртского госуниверситета.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на многочисленных научных семинарах и международных конференциях, среди которых:

4. XVI международная конференция «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем» (Киев, 2013);

5. международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2014);

6. международная конференция «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна ВЗМШ-2014» (Воронеж, 2014);

7. XVI международная научная конференция по дифференциальным уравнениям «Еругинские чтения-2014» (Минск, 2014);

8. международная научная конференция «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций-2014» (Казань, 2014);

9. международная школа молодых ученых «Моделирование и управление сложными системами» MCCS 2015 (Суздаль, 2015);

7. всероссийская конференция с международным участием «Теория управления и математическое моделирование», посвященная памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова (Ижевск, 2015);

8. семинар «Нелинейная динамика и синергетика» (ЯрГУ, Ярославль, 2016);

9. Ижевский городской семинар по дифференциальным уравнениям и теории управления (УдГУ, Ижевск, 2012-2016).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 11 печатных изданиях [1–11]. Статьи [1-3] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех

Об оценке и вычислении относительных частот для некоторого класса многозначных функций

Во многих прикладных задачах величина z(t) не может принимать отрицательные значения, например, в физических процессах неотрицательными являются энергии частиц, в химических — концентрации реагирующих веществ, в биологических — размер популяции, в экономических — величины производств и цены на продукцию (соответствующие примеры приведены, в частности, в работах [4, 6, 14, 25, 38]). Поэтому для исследования этих задач введем следующие характеристики, определенные для любого с 0 : mes{ Є [т,т + #] : z(t) с} freq$(z, (—оо, с ) = inf , т 0 Х)4 1 () mes{ Є [0,1?] : z{t) с\ freqfz, (—оо, с ) = lim (если последний предел существует). Отметим, что если по содержанию задачи величина z(t) может быть отрицательной, то можно определить характеристики (4.1) для любого с Є Ш. Для управляемых процессов, которые имеют периодический характер, будем рассматривать характеристику freq$(z, (—оо, с]) при # = Т, где Т 0 период данного процесса. Найдем значение характеристики

Если ZQ СО, то cp(t) О для всех t 0, поэтому первое утверждение леммы получаем из утверждения 2) следствия 3.2. Далее, если ZQ Со, то (/?() 0 для всех t 0. Кроме того, в этом случае для всех t 0 выполнено неравенство (/?( + Т) (/?() (это следует из неравенства / a(r)dr 0). Таким образом, второе утверждение леммы получается из утверждения 3) следствия 3.2. = 0 + 0 = 0. 3) Если ZQ = Со, то z(t) = z(t) — периодическое решение, поэтому равенство (4.4) выполнено в силу следствия 3.2. Пример 4.1. Получим равенства для вычисления характеристики ireqT(z, (—оо,с]), где z(t) — численность популяции, динамика которой задана задачей Коши і = (s(t) — a(t)z)z, z(0) = ZQ. (4.5) Здесь ZQ 0, s(t) и a(t) — непрерывные периодические функции с периодом Т 0. Предполагаем, что существуют постоянные «і, «2 и Єї, Є2 такие, что 0 OL\ a(t) «2, 0 Єї s(t) Є2- (4.6) Покажем сначала, что для любого начального размера популяции ZQ 0 с течением времени кривая численности популяции z(t) стремится к периодической кривой, которая задается следующей функцией:

Следовательно, функция /г() стремится к нулю при t — +оо. Далее, функция ?() периодическая c периодом Т 0, поскольку функция z() периодическая с тем те периодом. Поэтому, чтобы доказать ограниченность g(t), достаточно показать, что она ограничена на отрезке [0,Т]. Из (4.6) и (4.7) следует, что 2о 0, тогда zo a(s)exp( / e(r)dTds + l l.

В данной главе представлено продолжение работ [28, 29, 32, 34], в которых введено расширение понятия инвариантности множеств относительно управляемых систем и дифференциальных включений. Это расширение состоит в исследовании множеств, которые не являются инвариантными в «классическом» смысле, но обладают свойством статистической инвариантности.

Здесь исследуются статистически инвариантные множества и статистические характеристики управляемых систем со случайными параметрами. В отличие от детерминированных систем, для систем со случайными параметрами часто возникает ситуация, когда множество достижимости системы D(t, о", М(сг)) находится в множестве M(hfa) с относительной частотой, равной единице, причем это происходит не для всех, а для почти всех о" из некоторого множества С , вероятностная мера которого ( ) = ц, ц Е (0,1]. Поэтому для таких систем необходимо рассматривать свойства статистической инвариантности, выполненные с заданной вероятностью. В данной работе исследуются условия инвариантности (в указанном выше смысле) множества 9Л(о"), выраженные в терминах функций Ляпунова, производной Кларка, динамической системы сдвигов и характеристики freq( 7, z , (—оо, 0]), которая является относительной частотой попадания траектории верхнего решения z (t,a) задачи Коши

z = w(hta,z), z(a,0) = Zo(a) в множество (—оо,0]. Здесь также получены оценки различных статистических характеристик для управляемых систем со случайными параметрами. Результаты работы могут найти применение в задачах, возникающих в биологии, экономике и технике, которые описываются следующей вероятностной моделью. Рассматривается управляемая система, которую можно отождествить со стационарным случайным процессом. Для этого процесса длины промежутков между моментами переключения с одного состояния на другое являются случайными величинами с заданной функцией распределения. Множество состояний процесса конечно; для него заданы начальное вероятностное распределение и вероятности перехода с одного состояния на другое. Представляет интерес оценить относительную частоту поглощения множества достижимости управляемой системы заданным множеством 9JT(a") и получить условия инвариантности и статистической инвариантности множества 9Л(о"), выполненные с заданной вероятностью.

Теорема сравнения для статистических характеристик управляемой системы со случайными параметрами

В третьей главе получены оценки характеристик, которые отражают свойство равномерности пребывания множества достижимости управляемой системы со случайными параметрами (0.9) в множестве 9Л(а) на отрезке заданной длины. Это характеристики freqrTT+ i(o", D, М) и freq ( 7, D, М), которые отличаются от характеристик (0.4), (0.5), введенных в первой главе тем, что каждая из них зависит также от случайного параметра а Є Е. Получены оценки данных характеристик, выраженные в терминах функций Ляпунова, производной в силу дифференциального включения и динамической системы сдвигов.

В девятом параграфе получены оценки характеристики freq (cr, D, М) для управляемой системы (0.9). Теорема 0.6. (см. [50]). Пусть 9k = d для всех к = 1, 2,..., &тах = тах(«і,... , а і) d. Если М С X и множество {{t,x) : t 0, ж Є X} положительно инвариантно относительно системы (0.9), то для любого т = 0,1, 2,... с вероятностью единица справедливы следующие оценки: 1) если і? Є [mrf, viid + атоаж), то / ТЛ лж m{d-amax) ireq,a(a", 1/, м ) ; 2) если і? Є [mrf + аТОаж, ( + 1) )? то і? — (т + 1)атах freq (o", 1/, М) . Получены также оценки сверху для характеристики freq (cr, D, М), выполненные с вероятностью единица. Приведены примеры применения большинства из полученных результатов. Утверждения первой главы доказываются методами теории дифференциальных уравнений и математического анализа. Во второй и третьей главах используются методы теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей и теории случайных процессов. Результаты диссертации опубликованы в работах [35]-[37], [48]-[56]. Автор диссертации выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Л. И. Родиной за постановку задач и постоянное внимание к работе. Глава 1 Оценка и вычисление характеристик множества достижимости управляемой системы Данная глава является продолжением работ [28]-[30], [32]-[34], в которых введено расширение понятия инвариантности множеств относительно управляемых систем и дифференциальных включений. Это расширение состоит в изучении статистических характеристик управляемых систем и исследовании множеств, которые не являются инвариантными в «классическом» смысле, но обладают свойством статистической инвариантности. Здесь изучаются характеристики, которые отображают свойство равномерности пребывания множества достижимости управляемой системы х = f(t, ж, и), (t, ж, и) Є [0, +оо) х Шп х Мт в множестве 9JT = {(t,x) Є [0, +оо) х М.п : х Є М()} на отрезке заданной длины # 0. Пусть D(t,X) — множество достижимости данной системы в момент времени t из начального множества X. Определим относительную частоту поглощения множества D(t,X) множеством 9JT на отрезке [г, г + $\, которая равна отношению меры Лебега тех t из отрезка [г, т + #], при которых D(t, X) С M(t), к длине данного отрезка: mes {t Є [г, г + #] : D(t, X) С M(t)\ freqrTT і tf](D, М) = . Будем исследовать также характеристику freq,Q(D,M) = inf freqrTT , ,QI(D, M) = T „ mes { Є [т, т + #1 : D(t, X) С M()} mi т 0 1? В первой главе получены основные свойства указанных характеристик; доказаны теоремы сравнения, сформулированные в терминах функций А.М. Ляпунова и производной Ф. Кларка; доказана теорема об оценке и вычислении относительных частот для некоторого класса многозначных функций; приведены различные примеры вычисления данных характеристик. Также рассмотрен пример, в котором вычисляется характеристика mes\t Є [т,т + Т] : z(t) с} ііщт(х) (—оо, с ) = inf , где z(t) — численность популяции, динамика которой задана задачей Коши z = (s(t) — a(t)z)Zi z(0) = ZQ в предположении, что функции e(t) и a(t) положительные, непрерывные и периодические с периодом Т 0. 1. Определения и основные свойства характеристик инвариантности множества достижимости Основным объектом исследования в первой главе является управляемая система x = f(t,x,u), (t, х,и) Є [0, +оо) х Шп х Мт, (1.1) где функция f(t,x,u) непрерывна по совокупности переменных, управление и содержится в компактном множестве U(t,x) С Ш171 и функция U(t,x) полунепрерывна сверху в метрике Хаусдорфа при всех (t, х) Є [0, +оо) хШп. Определение 1.1. Допустимым процессом управляемой системы (1.1) назовем функцию t ь- (x(t),u(t)) Є Шп х Мт, которая удовлетворяет следующим условиям: 1) управление u(t) определено для всех t 0, ограничено и измеримо по Лебегу; 2) решение ж() в смысле Каратеодори системы дифференциальных уравнений х = f(t,x,u(t)) определено для всех t 0; 3) имеет место включение u(t) Є U(t,x(t)). Рассмотрим отвечающее системе (1.1) дифференциальное включение х Є F(t,ж), (t,х) Є [0, +оо) х Мп, (1.2) где для каждой фиксированной точки (t,x) Є [0, +оо) х Шп множество F(t, х) состоит из всех предельных значений функции f(ti, ХІ, U(tii х%)) при (ti,Xi) — (t,x). Предполагаем, что множество F(t,x) непусто, ограничено, замкнуто и выпукло. Тогда функция F(t, х) также полунепрерывна сверху, поэтому для каждой начальной точки хо Є Шп локальное решение включения (1.2) существует (см. [47, c. 60]).

Определение 1.2 (см. [36, 49]). Множеством достижимости D(t,X) системы (1.1) в момент времени t из начального множества X называется множество, состоящее из всех значений в момент t решений t ь- (/?(, х) включения (1.2), когда начальное условие (/9(0, х) = х пробегает все множество X. Множество D(t,X) является сечением в момент времени t 0 интегральной воронки включения (1.2).

Предполагаем, что для каждого X множество достижимости D(t,X) существует для всех t 0. Это означает, что для каждой точки х Є X существует решение (p(t,x) включения (1.2), удовлетворяющее начальному условию (/9(0, х) = х и продолжаемое на полуось Ш+ = [0, +оо).

Пусть множество 9JT = {(t,x) Є [0, +оо) х М.п : х Є М()} задано функцией t ь- M(t), непрерывной в метрике Хаусдорфа и для каждого t Є [0, +оо) множество M(t) непусто и компактно. Для определения характеристик множества достижимости для любых т 0, її 0 и любого компактного множества X С Шп введем в рассмотрение множество

Примеры оценивания статистических характеристик

Теорема 5.1. (см. [36]). Пусть для а Є S выполнены условия 5.1 и 5.2 и для каждой точки х Є М(сг) все решения включения (5.2) с начальным условием (/9(0, о", х) = х продолжаемы на полуось Ш+. Предположим, что существуют функции V(a,x) и w(a,z) такие, что функция V(a,x) является функцией Ляпунова относительно множества 9Л(а) и для всех х Є Шп справедливо неравенство

Кпах((75 х) w(a, V(a, ж)). (5.6) Тогда, если X Є comp(Rn) и тахУ( 7, х) о(с"), то выполнены неравен хєХ ства freq ( 7, Dx-, М) freq ( 7, z , (—00,0]), (5.7) freq ( 7, Dx, M) freq cr, z , (—00,0]). Следовательно, если Zo(o ) = 0 и freq( 7, z , (—00,0] = 1, то множество 9JT(a") статистически инвариантно относительно управляемой системы (5.1).

Доказательство. Для заданного а Є Е и для каждого ж Є X обозначим через (p(t,a,x) некоторое решение включения (5.2), удовлетворяющее начальному условию (/?(0, 7, ж) = ж Є X. Рассмотрим функцию г (, а) = V(tfa, ip(t, о-, ж)). Функция ь- г (,0") удовлетворяет локальному условию Липшица (см. [22]), поэтому в силу теоремы Радемахера она дифференцируема при почти всех t 0. Поскольку (/9(0, о", ж) Є X, то г» (0, о-) = У ( 7, ж) max У (а, ж) zo(cr). хєХ В работе [22] показано, что в точках дифференцируемости функции v(t, а) выполнено неравенство поэтому, учитывая (5.6), имеем при всех t 0 : i)(t, а) ги(Нга, v(t, о-)). Из последнего неравенства и неравенства г (0,о") %о{&), в силу теоремы 18.1 работы [28] верхнее решение z (t,a) задачи (5.4) определено и удовлетворяет неравенству v(t,a) z (t,a) при всех t 0. Обозначим через freq ( 7, (/?, М) нижнюю относительную частоту попадания решения (p(t,a,x) в множество 9Л(о"), тогда mes Н Є [0, #] : (/?(, о", х) Є M(/iV)} freq ( 7, (/9, М) = lim = mes {t Є [0, і?] : г (, т) 0} = lim . Далее, из неравенства v(t,a) Z (, T) следует, что freq ( 7, (/?, M) freq cr, z , (—oo, 0]) и, так как ip(t,cr,x) является произвольным решением включения (5.2) с начальным условием (/?(0, а,х) = х Є X, то имеет место неравенство freq ( 7, Dx, Л ) freq 5 (—? 0]) Аналогично получаем неравенство freq ( 7, Dx, М) freq ( 7, z , (—oo, 0]). Пусть ZQ{(T) = 0 и freq( 7, z , (—oo, 0]) = 1. Рассмотрим множество X = М(сг), тогда для данного а Є S выполнено неравенство freq ( 7, DM{O), M freq cr, z , (—oo, 0]) = freq( 7, z , (—oo, 0]) = 1, следовательно freq (a-, DM{O), M = freq ( r, DM(O-), M) = 1, то есть множество 9Л(о") статистически инвариантно относительно управ ляемой системы (5.1).

Будем говорить, что а Є Е обладает свойством 1, если для него выполнены условия теоремы 5.1, то есть условия 5.1 и 5.2 и условие продолжаемости на полуось Ш+ всех решений включения (5.2) с начальным условием (/9(0,(7,х) = ж, х Є M{(j). Также предполагаем, что для заданного а существуют функции V(cr,x) и w(a,z) такие, что функция V(a,x) является функцией Ляпунова относительно множества 9Л(а) и для всех х Є Шп справедливо неравенство (5.6).

Следствие 5.1. Пусть существует множество С Е с мерой v{Y ) = /І, где /І Є (0,1] такое, что для почти всех а Є выполнено свойство 1. Тогда, если X Є comp(Rn) и тахУ( 7, ж) о(с) для почти хеХ всех а Є , то неравенства (5.7) выполнены с вероятностью v /І. Следовательно, если Zo(o ) = 0 и freq( 7, z , (—оо,0]) = 1 для по-чти всех т Є , то множество 9Л(а) статистически инвариантно относительно управляемой системы (5.1) с вероятностью v /І (если /І = 1, то множество 9Л(а) статистически инвариантно с вероятностью единица).

В данном параграфе получены оценки статистических характеристик управляемой линейной системы ж = А(к1а)х + В(Ига)и, (t, а,х,и) ЄІхЕх М.п х [I, (6.1) где U — непустое компактное подмножество Шт. Покажем, что данную систему можно отождествить со стационарным в узком смысле случайным процессом (/iV) = (A(/iV), (/iV)). Для этого опишем метрическую динамическую систему (,21, z/, /г ), которая параметризует систему (6.1) и таким образом эта система превращается в систему со случайными коэффициентами (см. [18], [28]). В дальнейшем систему (6.1) будем называть системой .

Определим вероятностное пространство (,21, v), которое является прямым произведением вероятностных пространств (Si, 2li, V\) и (S2, 2І2, VQ). Здесь Si означает множество числовых последовательностей в = (во, ...,#&,...), где Ok Є (0, оо), У Ok = +00,

Тогда в силу теоремы А. Н. Колмогорова (см., например, [59, с. 176]) на измеримом пространстве (Si,2li) существует единственная вероятностная мера v\, которая является продолжением меры v\ на сигма-алгебру 2li.

Далее, пусть Ф = {г\)\,... ,фе} — конечное множество матричных пар фі = (Аі, В І) , АІ и ВІ — матрицы размеров (пхп) и (пхт) соответственно. Каждой матричной паре фі = (АІ,ВІ) поставим в соответствие линейную стационарную систему с матрицами АІ и Д; : X = АІХ + Bill, (ж, и) є Шп X [I. Обозначим через 2 множество последовательностей == {р : ty? = (ty?05 Систему множеств 2І2 определим как наименьшую сигма-алгебру, порожденную цилиндрическими множествами Gk = G((po, (pk), где Gk — совокупность всех последовательностей из Е2, у которых фиксированы к + 1 первых членов.

Оценка характеристик множества достижимости управляе мых систем с переключениями

В этом параграфе динамическая система (,21, z/,/V), которой параметризована управляемая система (8.1), немного отличается от динамической системы, рассмотренной в главе 2, поэтому опишем построение этой системы. Пространство (,21, v) также является прямым произведением двух вероятностных пространств (Si,2li,z/i) и (2,21.2, 2) и пространство (i,2li, z/i) устроено так же, как в предыдущей главе.

Опишем построение вероятностного пространства (2,21.2, 2). Пусть заданы конечное множество Ф = {фі,... ,фе} и сигма-алгебра его подмножеств 21о, на которой определена вероятностная мера щ. Обозначим через 2 множество последовательностей через 2І2 обозначим наименьшую сигма-алгебру, порожденную цилиндрическими множествами Dk = { Р Є 2 : Фо Ф(Ъ Ф\ Ь і Фк Ф/г}5 где Фі Є 21о, определим меру vziPk) = 2( 0) 2( 1) { к) и меру v i как продолжение меры V2 на сигма-алгебру 2І2- Будем предполагать, что {фі) 0 для любого і = 1,... ,. На пространстве (,21, z/) определено преобразование сдвига /г а, сохраняющее меру z/ = v\ х z/2 (см. [11, с. 190], [31]). Мера v является прямым произведением вероятностных мер г/1 и ; это означает, что v\ х V2{A х В) = v\{A)v2{B) для всех А Є 21і, -В є 2І2 Введем последовательность {T&J LQ следующим образом: то = 0, дует, что на интервалах (T T +I) между моментами переключения 7 , к = 1,2,..., система (8.1) находится в одном из состояний множества Ф, а длины интервалов 6} = Tk+i — т являются независимыми случайными величинами с функцией распределения F(t).

Замечание 9.3. Поскольку распределение случайной величины во в общем случае отличается от распределений $1,02,..., то, согласно В. Феллеру (см. [46, с. 219]), статистическое наблюдение над системой целесообразно начинать не с нулевого момента времени, а с момента т\ О, что мы и будем делать в данном параграфе.

В силу структуры динамической системы (,21, z/,/У) управляемую систему (8.1), порожденную этой динамической системой, будем называть системой с переключениями. В работах [3], [18], [26]-[28], а также во второй главе диссертации исследовалась линейная управляемая система с переключениями (6.1).

Пусть задано подмножество 9JT = {(, х) : t 0, х Є М} пространства Mn+1, где М — непустое компактное подмножество Ш"\ Обозначим через ф{ систему, которая получается из системы (8.1), когда она при всех t находится в состоянии фі множества Ф; через Di(t, X) — множество достижимости системы фі в момент времени t из начального множества X, і = 1,... ,. Напомним, что: ОІІ = oti(X, М) = minj/: Є [0, оо) : Di(t, X) С М при t г}, /ЗІ = /ЗІ(Х, М) = infj/: Є [0, оо) : Di(t,X) П М = 0 при t г}, і = 1,... ,; если какого-либо из этих моментов времени не существует, считаем OLi = оо или (Зі = оо. Множество {{t,x) : t 0, x Є X} называется положительно инвариантным относительно системы (8.1), если для любых t 0 и О" Є S выполнено включение D(t,a, X) С X. Теорема 9.1. (см. [50]). Пусть 9k = d для всех к = 1, 2,..., атга = тах(«і,..., од) i. Если М С X и множество {{t,x) : ( ) 0, і G X} положительно инвариантно относительно системы (8.1), то для любого т = 0,1, 2,... с вероятностью единица справедливы следующие оценки: 1) если і? Є [mrf, mrf + атоаж), то если система (8.1) находится в состоянии фі при t Є [т т +і). Множество {(,х) : t 0, ж Є X} положительно инвариантно относительно системы (8.1), поэтому для множества М С X имеют место включения

Отметим, что для $ ОДпаж величина mes {t Є [г, г + і?] : D(t, т, X) С М} $ достигает наименьшего значения в том случае, когда т = т и состояние фі появится на промежутке [T T +I), а также на следующих за ним промежутках, содержащих в себе отрезок [Т,Т + Щ. Покажем, что это произойдет с вероятностью единица, то есть для любого натурального m с вероятностью единица произойдет событие &, состоящее в том, что состояния фі появятся m раз подряд на соседних промежутках [T T +I), ..., [%m_i,%m) (другими словами, в испытаниях Бернулли появится серия успехов длиной га). В силу определения динамической системы (,21, v, Ьг) мера v инвариантна относительно сдвига Ы, поэтому события Bk независимы и имеют одинаковые положительные вероятности для всех к = 1, 2,..., следовательно, ряд 2 v(Bk) расходится; поэтому с вероятностью единица

Рассмотрим управляемую линейную систему х = А(Н а)х + В(кга)и, (, т, ж, и) Є М х S х Ж. xl, (9.1) параметризованную метрической динамической системой (S,2l, z/,/V), которая описана в начале параграфа. Здесь S = Si х S2, множество Si является множеством числовых последовательностей в = (#0, .. в} , ...), где $k = i = 80, к = 1,2.... Задано множество U = [1; 2] и множество Ф, которое содержит два состояния фі = (АІ, Д;), І = 1,2, где где для каждой фиксированной точки ( т, х) Є Е х Жп множество F(/iV, х) состоит из всех предельных значений функции f(htia,Xi,U =A(htia)x + B(hti(j)U при (ti,Xi) — (t, х). Обозначим через Е2І, і = 1,2 подмножество Е2, для которого (/?і = = (Aj,5j), г = 1,2. Поскольку множество Ф содержит два состояния фі,ф2, то S2 = S21 U S22 и пространство Е можно представить в виде объединения непересекающихся множеств S = S1 U S2, где Е = Si х Е21, S = Si х S22 Такое представление S связано с тем, что для множеств Е1 и Е2 по-разному находятся производные в силу дифференциального включения. Рассмот г, г, 16 рим функцию Ляпунова V[a,x) = х\ + х% относительно множества О±(0) и найдем верхнюю производную данной функции в силу включе 3

Отметим, что множество М = 04(0) содержится в множестве X = 02(0), а множество {{t,x) : 0,ж Є X} положительно инвариантно относительно управляемой системы (9.1). Для доказательства положительной инвариантности необходимо рассмотреть функцию V(a,x) = х\ + х\ — 4, которая является функцией Ляпунова относительно данного множества, и показать, что неравенство V ax( 7, х) 0 выполнено для всех о" Є Е и всех х Є М2 \ Ог(0) (данное условие положительной инвариантности приведено в работе [22]).