Существование ненулевых периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений с параметром Бакулина, Юлия Евгеньевна

Введение к работе

Актуальность темы. Исследование автономныч систем обыкно-:нных дифференциальных уравнений япляегся одной из основных за-14 в качественной теории дифференциальных уравнений, а также при з>чешш качественного характера разл1гчньїл математнческих моделей физике, химии, биофизике и других науках.

Поэтому вопросам существования периодических решений систем пфференииатьных уравнений посвящеио большое количество работ. зчиная от классических трудов А. Пуанкаре. A.M. Ляпунова до новей-их исследований современных математиков. Существенный вклад в ивнтие этой теории внесли А.Л. Андронов. ИГ. Малкин. М.А. Крас-эсельскнн. Оту проблему решали А.Л. Бопчук. А.Д. Брюно. С.А. Гре-;ншнков. Ю.А. Рябов. Дж. Хейл и лругие математики.

Однако разнообразие конкретных систем дифференц1альных уравне-.ш порождает трудности в нахождении обших эффективных методов. озволяюшгх доказать наличие у них периодических решений. Пред-гавляет интерес исследование критических случаев, когда для решения 1дачи существования периодических решений требуется привлекать юйства нелинейных членов системы. В связи с этим задача оиределе-ня условий существования ненулевых периодических решении неличных систем дифференциальных уравнений представляется весьма ак-,-альной.

Цель работы состоит в получении достаточных условий существова-ия в окрестности точки х = О ненулевых периодических решений ко-гчномерных систем днфферн1циальных уравнений

і=ф)л-/(х,г), 1..1)

v- L(s)v + f(y,є\ (2.1)

где для системы (1.1) е- действительный параметр, х -вектор, принах

лежащий л-мерному действительному векторному пространств)

L{c)-n х п непрерывно-дифференцируемая до порядка к включіїтельн

матрица-функция(* > |),/(.г, е) -вектор-функция, /(л, є)єС^к по пе ременный .ги ы. f(0.s) = 0. Предполагается, что 1) матрица L(0) имеет р пар собственных чисел +/; 2)матріша /,(0) имеет собственное число 0 кратности (п - 2р).

В системе (2.!) e-q -мерный вектор. v є Е„,/(:. є)еС^к (к > \) /(- s) - вектор-функция. L{s) = 1(0) + 5(4 іде

_(М) ^л

L(0)=j 0 40) 0 |.%) = Г / , Ыо) = 0. гд

I 0 0 СЩ) ^{{В21{Є) В2:{Є))}

В_п(с)-т*т матрица. B_]2(f)- nix [п -т] матрице

В_гх(с)~[п-т]хт матрица. B~(s)-[n-m]x[n-m] матрица. Предпо

лагаются выполненными следующие условия

1. Z, (0)- .v х л- матрица имеет р пар собственных чисел ±/:

2. 1,(0) - [т - s] х \т - s] матрица имеет собственное число 0 кратности [т-2р\.

3. C(0)-[w-/»]x [п- т] матрица. которая имеет собственные числа, отличные от + v і, где v є Z.

Методика нсследоваїпія. Задача поиска ненулевых периодически; решений систем (1.1), (2.1) сводится к отысканию пары: начальное уело вие-параметр, которая определяет периодическое решение. Основны>

ггодом исследования является построение нелинейного оператора, недвижная точка которого является решением поставленной задачи. Для казательства существования неподвижной точки оператора использу-ся теорема Брауэра. Построение нелинейного оператора основано на ойствах как матрицы линейного приближения, так и свойствах нелк-йиыч вектор-функций.

Науїная новизна. В диссертации получены новые достаточные усло-:я существования ненулевых периодических решенмй систем диффе-ншшьных уравнений (1.1), (2.1). Для решения проблемы нривлека-гся как свойства первого приближения, так и высших приближеннй линейных членов системы..

Практическая ценность работы заключается в возможности примсшь полученные признаки существования периодических pешений к ис-еловаиию конкретпых лиффереиииатьиых уравнений, являющихся целями процессов, происходящих во всевозможных природных и со-[альньїх системах.

Основные результаты, выносимые на зашигу:

Для системы (1.1) найдены достаточные условия существования нелевых Г(А)- периодических решений. Основные требования касаются

оПств мафицы Це).

Получено представление решения системы дифференциальных уравний, позволяющее задачу о сущестнованни периодического решения ести к задаче о разрешимости некоторой системы алгебраических авнений п построению нелинейного оператора, неподвижная точка ко-рого определяет начальное значение периодического решения.

3) Определены условия существования ненулевых 2к -периодических решений для автономной системы дифференциальных уравнений (0.2), когда первым приближением нелииейной части являегся форма порядка A(к > 2)отиоснтельно неизвестноко.

Апробация диссертапии. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференшга1ьны.ч уравнений а Рязанском государственном педагогическом университете, на международной научной конференции, посвященной 90-лстию со дня рождения СП. Пулькина. в г.Самаре, на Воронежской весенней математической школе

По теме диссертации опубликованы работы [I-6J.

Структ\ра и объем рпбогы. Диссертация состоит из введения. грсх глав, разбитых на параграфы, заключения, списка лигературы. включающего 90 наименований, и изложена на 101 страницах машинописного текста.