Введение к работе
Актуальность проблемы. Теория симметрии дифференциальных уравнений, восходящая к работам С. Ли, интенсивно развивалась в последние двадцать лет в связи с потребностями теоретической и математической физики, и в первую очередь, теории солитонов. После открытия метода обратной задачи началось изучение критериев его применимости к конкретным уравнениям, классификация интегрируемых уравнений и исследование необходимых для нее замен переменных. Оказалось, что все эти вопросы тесно связаны со структурой алгебры симметрии дифференциального уравнения.
Простейшими, с точки зрения теории симметрии, уравнениями с частными производными являются эволюционные уравнения
ut = Ptt.X.U.U^Ug,...,^), (1)
где и^ = д^и/дх*. Структура локальных симметрии' таких уравнений, независящих явно от х и t, достаточно хорошо изучена. В диссертации изучаются симметрии уравнений (1), зависящие явно от х и t. Кроме этого, затрагиваются вопросы, возникающие при попытках исследования симметрии нелокальных уравнений и уравнений с большим числом независимых переменных. Известно, что в этих случаях возникают проблемы с выбором "динамических" переменных, что существенно затрудняет алгебраическую формализацию задачи. В диссертации рассматривается модельный класс нелокальных уравнений, для
Под локальной симметрией уравнения понимается функция, зависящая от независимых переменных X и t, зависимой переменной U(X,t) и всевозможных производных U по. X и t, и удовлетворяющая линеаризации уравнения на каждом его решения u(x.t)
которых указанные трудности удается преодолеть.
Цель работы. Работа посвящена изучению локальных симметрия эволюционных уравнений.
В главе 1 изучаются явно зависящие от х и t локальные симметрии некоторых классов эволюционных дифференциальных уравнений с полиномиальной правой частью.
В главе 2 изучаются контактные симметрии эволюционных дифференциальных уравнений общего вида.
В главе 3 изучаются высшие симметрии некоторых псевдодифференциальных эволюционных уравнеірій.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.
В главе 1 полностью описаны явно зависящие от х и t локальные симметрии достаточно широкого класса эволюционных дифференциальных уравнений с полиномиальной правой частью.
В главе 2 доказано, что эволюционные уравнения, имеющие бесконечномерную алгебру классических симметрии, линеаризуются контактным преобразованием.
В главе 3 на примере псевдодифференциалышх эволюционных уранений, интегрируемость которых методом обратной задачи установлена Дегасперисом и Сактини , показано, что выбор нетрадиционных динамических переменных позволяет применить локальную теорию симметрии к нелокальным уравнениям.
Методика исследования. В работе используется язык, близкий к дифференциальной алгебре. Понятия эволюционнного уравнения и его симметрии формализуются как эволюционные
Degasperis A., Santini P.M. Linear operator and conservation laws lor a class of nonlinear integro ,.-differential evolution equations // Phys. Lett. А, 1Я83, v.98, » 5.6, p. 240 - 244.
дифференцирования в алгебре функций от динамических переменных.
Теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в исследованиях по теории солитонов и нелинейным уравнениям в частных производных.
Апробация работы. Результаты диссертации регулярно .докладывались на семинаре "Интегрируемые системы" под руководством проф. А.В.Шабата в Башкирском государственном университете, а также докладывались автором на семинаре под руководством чл.-корр. АН СССР В.Е.Захарова и Всесоюзной конференции по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям (Черноголовка, 1987).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах И - 3). Работа 11] выполнена совместно с В.В'.Соколовым. Из результатов этой работы в дассертаціш автором включены только те результаты, которие получены им лично.
ООъеи работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на семь параграфов, и списка литературы, содержащего 30 наименований. Диссертация изложена на 100 страницах.
:-.,:.гй l
Актуальность темы. Создание математических моделей реальных процессов в эпоху научно-технической рзволиции является важным направлением современной прикладной математики. Для анализа этих модален используются различные приближенные методы. На пракгине большой интерес представляют уравнения с малым пара-негром. Поэтому, естественно, наряду с численными методами используются асимптотические методы. В настоящее время асимптотический анализ для дифференциальных операторов имеет развитую теорию в основном для случая регулярных возмущений. Что же касается сингулярно возмущенных задач, т.е. задач с малыш параметрами при старшей производной, они привлекли внимание математиков посла известных работ А.Н.Тихонова, в которых были доказаны теоремы о предельном переходе. На основе этих работ А.Б.Васильевой л ее учениками был разработан метод асимптотического интегрирования нелинейных сингулярно возмущенных задач. 8тот метод позволяет решать задачи в не колебательном случае. Для исследования задач в колебательном случае был разработан метод усреднения, получивший развитие в трудах Н.М.Крылова, Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Штропольского, А.Н.Платова, И.Н.Хапаева и других исследователей. Однако ни тот, ни другой метод не используются в задачах, когда спектр содеркит как мнимые точки, тан и точки, на леаащие на мнимой оси. К задачам со смешанный спектром применяется метод регуляризации Ломова С.А. Путем выделения существенно особых многообразий по спектру предельного оператора метод Ломова С.А. позволяет с единой точки зрения изучить сингулярно возмущенные задачи. Поэтому развитие этого метода на сингулярно
- f -
возмущенных задач с кратный спектром является актуальным.
Цель работы. В настоящей работе изучаются линейные сингулярно возмущенные задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнении, в случае тождественно кратных корней характеристического уравнзнил. Целью работы являются получение точных теорем о гладкости по малому параметру решений задачи Коши и развитие алгоритмов асимптотического интегрирования для краевых задач на основа метода регуляризцции Ломова С.А.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертационной работе получены следующие новые результаты.
-
Получены необходимые условия обычной сходимости решений сингулярно возмущенной задачи Коти с країнам спектром к точним решениям.
-
Построено регуляризованное асимптотическое решение сингулярно возмущенной краевой задачи с кратным спектром. Задача изучена в услоаіях стабильности спектра и при нарушении стабильности спектра предельного оператора.
S. Для краевой задачи проведено обоснование асимптотической сходимости.
Результаты диссертации могут быть применены к задачам теории гироскопов, теории оптимального управления, к различным задачам радиотехники.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всесоюзном научном совещаний "Методы малого параметра" (Нальчик, 198? г.), на конференции математиков и механиков Киргизии (Фрунве, 1987г.), на школе-семинаре ВМК МГУ (Черноголовка, 1988 г.), на
- б -
научно-технической конференции МЭИ (Москва, 1985 г.), на школе-семинаре молодых ученых МЭИ (Фирсановка, 1986 г.), на семинарах проф. Васильевой А.Б. и проф. Хапаева М.М. и на научном семинаре по теории возмущений МЭИ (руководитель - профессор С.А.Ломов).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 статей.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 80 названий. Объем диссертации составляет 90 страниц машинописного текста.