Структура множества управляемости и позиционное управление линейной нестационарной системой Милич, Николай Владимирович

Введение к работе

Актуальность темы. Для управляемой системы

x-v(t,x,u), іеГ, ueUcR"¹, (1)

и заданной начальной точки (to,xo) Є R¹⁺ⁿ обозначим u(t;to,xo) оптимальное в смысле быстродействия программное управление, переводящее точку (to,xo) на прямую С = {(t,0): t Є Щ. Пусть далее, x(t;to,xo) — решение системы (1) при управлении и — u(t;to,xo) (поскольку управление u(t;to,xo) не предполагается непрерывным, решения соответствующей системы понимаются в смысле Каратеодори), Q(to,xo) — время быстродействия: x(to + Q(to,xo); to,xo) = 0.

Позиционным управлением, оптимальным в смысле быстродействия, будем называть функцию и: 2) —» U переменных (t,x) Є 2), определенную в некотором цилиндре Э = R х {і Є К" : |г| < г}, принимающую значения в U и такую, что выполнены следующие два условия:

1) всякое решение x(t;to,xo) замкнутой системы

х = v{t, х, u(t, х)), (t, х)еЭ, (2)

с начальной точкой (to, хо) Є 2) определено при всех t ^ to, не покидает шар {х Є Rⁿ : |а;| < г} и обращается в нуль за конечное время (найдется tf(*o,*o) ^ 0, что x(t₀+i}(to,xo);to,x₀) = 0);

2) программное управление u(t;to,xo) = u(t,x(t;to,xo)) оптимально
в смысле быстродействия для системы (1) (если t = t₀ + г?(<о,хо) —
первый момент обращения в нуль решения x(t;to,xo) системы (2), то
$(*о,яо) = @(t₀,x₀)).

Это определение позиционного управления не является строгим до тех пор, пока мы не укажем, в каком смысле следует понимать решения системы (2) (функция u(t,x), как правило, разрывна не только по переменной t, но и по переменной х, поэтому определение решений системы (2) нуждается в уточнении). Мы будем понимать решения системы (2), как это сложилось исторически, в двух разных смыслах: в смысле К. Каратеодори¹ или в смысле А.Ф. Филиппова² и подчеркивать это обстоятельство записью ue(t,x) (в случае решений Каратеодори) или записью %(,х) (в случае решений Филиппова).

Напомним, что всякое абсолютно непрерывное решение системы ин-

¹ Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. — С. 7 ²Там же. - С. 40

теграпьных уравнений

x(t)=Xo+ / v(s,x(s),ue(s,x(s)))ds,

называется решением Каратеодори (Є-решением) системы (2) при управлении u(t,x) — ue(t,x), а всякое абсолютно непрерывное решение дифференциального включения

і Є Р| Pi conv w(Oe(t,x) \fi),

e>0 mes/j=0

где w{t,x) = v(t,x,uy:(t,x)), O_e(t,x) — е-окрестность точки (t,x), mes/i — мера Лебега в E¹⁺", называется решением Филиппова (^-решением) системы (2) (при управлении u(t,x) = u^(t,x)). В соответствии со сказанным будем говорить о Є-позиционном ue(t, х) оптимальном в смысле быстродействия управлении, либо об ^"-позиционном u^(t,x) оптимальном в смысле быстродействия управлении.

Из этих определений следует, что ^"-позиционное управление нечувствительно к изменениям uy(t,x) на множествах нулевой меры Лебега в Е^1+п (поэтому u?(t, х) достаточно задавать на множестве положительной меры). Недостатком Є-позиционного управления является внутренняя неустойчивость замкнутой системы (изменение ue(t,x) на множестве меры нуль может привести к «разрушению» управляемой системы: может исчезнуть не только оптимальность в смысле быстродействия решений замкнутой системы, но и обращаемость в нуль за конечное время большинства как Є, так и У-решений замкнутой системы). Ясно поэтому, что с точки зрения практики наибольший интерес представляют задачи, допускающие ^"-позиционное управление. Оказывается при этом, что наличие С-позиционного управления всегда влечет существование и С-позиционного управления (достаточно «правильно» переопределить ^"-позиционное управление на множестве меры нуль). Обраіное утверждение неверно.

Вероятнее всего, ситуация, когда система (1) допускает С-позицион-ное управление, но при этом отсутствует ^"-позиционное управление, в некотором смысле, типична, а поскольку Є-позиционное управление не представляет большого интереса, то для таких систем имеет смысл говорить чолько о программном управлении, оптимальном в смысле быстродействия. Поэтому представляет практический интерес поиск систем, допускающих 3"-позиционное управление. Среди таких систем, допуска-

ющих vF-позиционное управление, содержатся системы вида

х = A(t)x + b(t)u, х Є Rⁿ, \u\ ^ 1, (3)

удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.

Следует отметить, что задача быстродействия наиболее полно изучена для линейных стационарных систем, для которых в ряде случаев удается построить С-позиционное управление³ и У-позиционное управление⁴. Программное управление и С-позиционное управление для нестационарной системы (3) изучались Е.Л. Тонковым⁵, им и его учеником С. Ф. Николаевым рассматривались, также, вопросы существования и построения ^"-позиционного управления для такой системы⁶. Позиционное управление для линейных дифференциальных игр изучалось в работах В. С. Пацко⁷, В. Н. Ушакова⁸ и их учеников.

Целью данной работы является углубленное изучение структуры множества управляемости (первого и высших порядков) линейной нестационарной системы; построение класса возмущенных линейных нестационарных систем, для которых Э'-позиционным управлением может служить оптимальное У-управление, построенное для невозмущенной системы; выяснение условий дифференцируемое функции быстродействия вдоль произвольных направлений; разработка численно-аналитических методов, позволяющих оценивать границы расширенного множества управляемости; построение линейных преобразований (Q-преобразований) исходной системы, позволяющих привлекать теорию квазидифференциальных уравнений при синтезе позиционного управления.

Научная новизна. Показано, что функция быстродействия допускает дифференцирование во всех точках расширенного множества

³Понтрягин Л. С, Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. <Р- Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. — Гл. 1, 5.

⁴ Brunovski P. The closed-loop time-optimal control. I: Optimality. // S3AM J.
Control. 1974. V. 12, № 4. P. 624-634.

⁵ Тонкое E. Л. К теории линейных управляемых систем // Дис. д.ф.-м.н., ИММ
УНЦ АН СССР, Свердловск, 1984, С. 267. - гл. 5, 20.

^Николаев С. Ф., Тонкое Е. Л. Дифференцируемость вектора быстродействия и позиционное управление линейной докритической системой // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, JV» 1. С. 78-84.

⁷Боткин Н.Д., Пацко В. С. Позиционное управление в линейной дифференциальной игре // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1983. № 4. С. 78-85.

⁸ Grigorieva S. V., Ushakov V. N. Use finite family of multivalued maps for constructing stable absorption operator // Topol. meth. in nonlin. anal. 2000. V. 15, № 1. P. 75-89.

управляемости по направлению некоторых векторов как функция, действующая из Е¹⁺" в R. Для некоторого класса систем (обладающих так называемым свойством 3) функция быстродействия имеет конечную или бесконечную производную в любой точке и вдоль любого направления. Доказанные свойства функции быстродействия позволили устранить пробел в доказательстве теоремы о Є-позиционном управлении возмущенной системой из работы С. Ф. Николаева и Е.Л. Топкова⁹. Кроме того, используя эти свойства функции быстродействия, удалось доказать, что оптимальное в смысле быстродействия позиционное ^-управление, построенное для докритической системы, является CF-позиционным управлением для целого класса возмущенных систем, т. е. переводит за конечное время на ось t всякую точку некоторого множества в расширенном фазовом пространстве возмущенной системы. Свойство докритичности определяется поведением специально введенной С. Ф. Николаевым и Е. Л. Тонковым¹⁰ функции a(t). В диссертации подробно исследованы свойства этой функции. Это исследование опирается, в частности, на так назывемое свойство Q-приводимости, введенное в данной работе. Свойство Q-приводимости дает возможность успешно воспользоваться теорией квазидифференциальных уравнений и разработать численно-аналитические алгоритмы, позволяющие эффективно вычислять функцию 11, справедливы и для множеств управляемости второго и более высоких порядков.

Теоретическая и практическая ценность. Введенное в работе понятие Q-приводимости и полученные свойства Q-приводимых систем и функции cr(t) имеют самостоятельный теоретический интерес.

⁹Николаев С.Ф., Тонкое Е.Л. Позиционное управление нелинейной системой близкой к докритической // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск. 1998. К» 2 (13), С. 3-26.

¹⁰Николаев С.Ф., Тонкое Е. Л. Дифференцируемость функции быстродействия и позиционное управление линейной нестационарной системой // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск. 1996. Вып. 2 (8). С. 47-68.

¹¹ Николаев С. Ф., Тонкое Е.Л. Структура множества управляемости линейной докритической системы // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, К^! 1. С. 107-115.

Существование устойчивого к внешним возмущениям оптимального в смысле быстродействия ^"-позиционного управления позволяет для до-критических систем эффективно решать задачу синтеза оптимального управления, устойчивого к возмущениям основной системы, что важно для практического применения. Полученные результаты о структуре множеств управляемости высших порядков создают предпосылки для исследований в направлении расширения множества, в котором может быть задано позиционное управление. Построенные в диссертации численно-аналитические методы реализованы в виде комплекса прикладных программ, позволяющих проверять Q-приводимость системы и оценивать длину промежутка чебышевскости, а также моделировать структуру границы множеств управляемости высших порядков.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседаниях Ижевского городского семинара по дифференциальным уравнениям в 1999-2000 годах, IV Российской университетско-академичес-кой научно-практической конференции (УдГУ, Ижевск, 1999 г.), ХХХП научно-технической конференции ИжГТУ (Ижевск, 2000 г.), Всероссийской конференции «Общие проблемы управления и их приложения к математической экономике» (Тамбов, 2000 г.), заседании секции процессов управления, дифференциальных уравнений и механики (ИММ УрО РАН, Екатеринбург, 2000 г.).

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант 99-01-00454) и конкурсным центром фундаментального естествознания (грант 97-0-1.9).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, двенадцати параграфов (нумерация параграфов сквозная), 26 рисунков и списка литературы. Объем диссертации 115 страниц. Библиографический список содержит 46 наименований.