Введение к работе
І. .
Актуальнозть_тега. Спектральная теория линейных операторов играет фундаментальную роль в различных математических дисциплинах и их приложениях. Дифференциальные уравнения и многие разделы теоріш функции стимуліфовали развитие спектральной теоріш. Большое влияние на спектральную теорию всегда оказывали такие науки, как квантовая механика и механика сплошьих сред.
Одной из основных задач в теории линейных дифференциальных операторов является исследование их спектра, а также определение их индексов дефекта в зависимости от поведения коэффициентов соответствующего дифференциального вирішення. Ватенч разделом спектральной теории операторов является также распределение их собственных значений. Такие задачи изучались Ч. Титчмаршем, Б.М. Левитаном, М.Ш. Бирманом, U.3. Соломяком,' М.В. Федорюком, М. Отелбаевым, А.Г. Костюченко, И.О. Саргсяном, Я.Т. Султаітешм. Ими, в основном, рассматривались симметрические операторы о вещественными коэффициентами, а теория дифференциальных операторов с комплексными коэффициентами еще далека от завершения и в настоящее время интенсивно развивается.
Дифференциальные операторы о комплексными коэффициентами изучались Шльбвртом Р.С, Хинтоном Д.Б., Пфайфером Ж.У. Но ими рассматривались только опораторы третьего порядка со степенными коэффициентами. Мало изучены дифференциальные операторы нечетного порядка общего вида, когда коэффициенты имеют правильный рост на бесконечности.
Поэтому ' исследование спектральных свойств для дифференциальных операторов с комплексными коэффициентами, рассматрИЕемнх в диссертации, является актуальной задачей.
Полью_работы является исследование спектральных свойств дифференциальных операторов в зависимости от поведения коэффициентов соответствующего дифференциального выражения. В качестве объекта такого исследования берутся конкретные дифференциальные операторы.
_НрїІ!ная_ноБизни. Доказано, что. индексы дефекта в случае операторов нечетного порядка в отличие от операторов "четного порядка с вещественными коэффициентами могут быть разными. Получены условия, при которых индексы дч'2*жта операторов нечетного порядка равны, причем для оператора третього порядка в
_ч-
терминах коэффициентов, для оператора нечетного порядка общего вида в терминах корней характеристического уравнения. Полученные результаты обобщают результаты Жильберта Р.С, Пфайфера Ж.У.,сТз,е2з.
Теэрэтическая ^?_щактич9ская_значимость_резулътатов. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и в теории операторов нечетного порядка и в различных их приложениях..
Апробация_работы. . Основные результаты диссертации докладывались на семинарах д.ф.-м.н., профессора Я.Т. Султаяіела /кафедра дифференциальных уравнений БГУ. (1992-1995г.г.>/, д.ф.-м.н., профессора К.Б. Сабитова /кафедра математического анализа СГШ, г. Стерлитамілс, 1995г./, д.ф.-м.н., профессора Л.А. .Калякина /Институт Математики УНЦ РАН, г. Уфа, 1996г./, на рэгиональной научно-практической" конференции /Нижневартовск, 1994г./, на мевдународной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" /Саранск, 1994г./.
Публикации. По темо . диссертации опубликованы 4 работы, список которых приведен в конце автореферата.
Ст5уктща_диссдрташр!. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы,содержащего 47 найменоваций. Нумерация теорем, формул трехгадексная.Например, теорема 2.2.1 (формула 1.2.2) означает , что эта теорема I из 2 Главы 2 (формула 2 из 5 2 Главы I).