Спектральные свойства операторов в задаче С.Л. Соболева и малые колебания вращающейся идеальной жидкости Фокин, Михаил Валентинович

Введение к работе

Одной из важнейших задач математической физики является описание качественных свойств решений уравнений гидродинамики и определяемых ими течений жидкости. Отсутствие теорем существования и тем более явных представлений классических решений в общем случае заставляет исследователей искать пути построения более простых но структуре уравнений, обладающих близкими свойствами. Одним из возможных вариантов является рассмотрение линеаризованных задач динамики жидкости.

В диссертации рассматривается система уравнений

—+2kxV' = -VP, divV = 0, (1)

полученная линеаризацией во вращающейся системе координат (х, у, z) уравнений Эйлера на решении, соответствующем твердотельному вращению идеальной несжимаемой жидкости. В системе (1) V = (vi,v%, г>з) — возмущение исходного поля скоростей, Р — отклонение давления от установившегося при равномерном вращении, к = (0,0,1/2) — вектор угловой скорости, плотность жидкости считается равной единице.

Впервые система (1) рассматривалась в работе А. Пуанкаре [1]. Исследование качественных свойств решений системы (1) и связанных с ней уравнений, не разрешенных относительно старшей производной по времени, было начато в известной работе С.Л.Соболева [2]. Им были выявлены принципиальные отличия указанных уравнений от классических уравнений математической физики, исследована разрешимость смешанных задач и задачи Коши и поставлена задача изучения асимптотического поведения решений при t —> оо. В дальнейшем вопросы, связанные с указанной тематикой: спектральные свойства возникающих самосопряженных операторов, разрешимость в различных классах функций, оценки и асимптотика решений и их производных, в том числе и для более общих уравнений и систем не типа Коши — Ковалевской, активно изучались разными методами в работах Р.А. Алек-сандряна, Т.И. Зеленяка, С.А. Гальперна, В.Н. Масленниковой, М.Е. Боговского, Н.Г. Копачевского, Ю.Н. Григорьева, Б.В. Капитонова, В.В. Сказки, Ю.Я. Кима, С.Н. Скляра, Г.В. Демиденко, С.А. Габова, В.А. Свешникова, А.А. Ляшенко, С.Д. Троицкой, Р. Шовалтера, Г. Лагнезе, С. Ралстона и многих других авторов.

В диссертации рассматривается модельный случай. Предполагается, что компоненты скорости V и давление Р зависят только от двух пространственных переменных т., z, а область, в которой расположена жидкость, представляет собой цилиндр Q = {(х, у, z)\(x, z) Є ії, У R}. Основанием цилиндра является ограниченная выпуклая область ії Є К^,г і ^ое граница Г класса С имеет положительную кривизну в каждой точке. При сделанных предположениях компоненты вектора скорости V и давление Р для любого решения системы (1) удовлетворяют уравнению

о'² (в^хи дЧ\ а²« _п , . _{п х} _

Первая краевая задача, поставленная для уравнения (2) С.Л. Соболевым, заключается в определении решения и(х, z, t) , удовлетворяющего граничному условию

«|г = 0 (3)

и принимающего при t = 0 заданные начальные данные

u\_t=0 = u₀{x,z), ^

= «i(*,*). (4)

(=0

Для изучения асимптотического поведения при t —ь оо решений задачи (2)-(4) естественно ввести оператор А, действующий в гиль-

бертовом пространстве Hi(fi) = W^Q) комплекснозначныхфункций. Для гладких функций и значение Аи определяется как решение следующей краевой задачи:

Д {Аи) = -u_zz, Аи\_т = 0, (5)

где А — оператор Лапласа по переменным х, z. Замыкание оператора А является самосопряженным в скалярном произведении

{u,v) = / (u_xv_x + u_zv_z) dxdz (6)

и ограниченным по норме || Ці, порождаемой (6) в Hi(fi). Используя оператор А, можно записать задачу (2)-(4) в виде

и" = Аи, и(0) = «о, и'(0) = щ, (7)

где u(t) — функция со значениями в Hi(fi). Для любой области 1 спектр А совпадает с отрезком [—1,0]. Собственные функции оператора А, отвечающие собственному значению Л Є (—1,0), являются решениями задачи Дирихле

Щ)и = \^ + (1 + \)^ = 0 (x,z)eQ, «|_г = о (8)

для гиперболического оператора L(A). Нетривиальные решения из Hi (ft) задачи (8) являются (обычными) собственными функциями, а слабые решения из Ьг(1)) — обобщенными собственными функциями (о.с.ф.), соответствующими спектральному значению А.

Асимптотика решений задачи (2)-(4) при t —> оо определяется характером спектра оператора А в Hi(fi). Изучение спектральных свойств оператора А и их зависимости от деформации границы Г было начато в работах Р.А. Александряна [3, 4]. Он показал, что когда Q — эллипс, оператор А обладает полной системой собственных функций. В то же время им было установлено, что при малых деформациях

круга для близких областей П у оператора А могут появиться участки непрерывного спектра. Обоснование последнего утверждения основывалось на идее С.Л. Соболева о представлении функций из Hi(fJ) в виде и = f ф_ы dp(u>), а соответствующих решений задачи (2)-(4) — в виде и = f ех.р(іиіі)ф_ш <1р(ш), где ф_ш — семейство о.с.ф. оператора А (А = — ш'²). Построение не почти периодических решений указанного вида, проведенное Р.А. Александряном, позволяло сделать вывод о существовании непрерывного спектра у оператора А. При этом в представлениях использовались кусочно постоянные о.с.ф. ф_ы, разрывы которых в П были сосредоточены на конечном числе отрезков характеристик оператора L(—u>²). Общая теория о разложении самосопряженных операторов по обобщенным собственным функциям получила свое развитие в работах А.И. Повзнера, И.М. Гельфанда, А.Г. Костюченко, Ю.М. Березанского и др. (см. [б]).

Критерии существования о.с.ф. и их структуру для областей с аналитической границей исследовал Т. И. Зеленяк [8-10]. Изучив свойства семейства диффеоморфизмов границы Г, определяемых с помощью характеристик операторов L(\), он построил подпространства

H^k_N С Hi (О) (N > 2, к = l,...,N - 1, НОД(ВД = 1), инвариантные относительно оператора А, интегральные представления для резольвенты, спектральной функции и решений с начальными данными из этих подпространств, а также описал характер спектра А в

#v Им было показано, что если начальные данные (4) принадлежат подпространству Н^, на котором спектр А абсолютно непрерывен, то решения задачи (2)-(4) стремятся в Li{Q) к нулю при t -» со. Т.Н. Зеленяк установил полноту построенных им систем о.с.ф. из Li(Q) для некоторых промежутков изменения спектрального параметра А и показал, что система кусочно-постоянных о.с.ф. не является полной. В работе автора [19] было установлено, что при любом выборе п N сколь угодно малой деформацией границы Г в С" можно добиться, чтобы спектр оператора А стал чисто непрерывным. Однако во всех случаях построения инвариантных подпространств оператора А для областей с аналитическими границами оказывалось, что спектр А в этих подпространствах либо точечный, либо абсолютно непрерывный. Открытым оставался вопрос [10], может ли спектр оператора А для каких-либо областей І) иметь сингулярную компоненту (т. е. могут ли существовать такие и Є Ні(17), для которых функция а(А) = (Еьи,и), где Е\ — семейство спектральных проекторов А, является сингулярно-непрерывной) и если да, то каким будет поведение соответствующих решений задачи (2)-(4) при t —» оо.

Целью диссертации является исследование условий появления сингулярного спектра для оператора А, асимптотики соответствующих решений задачи (2)-(4), а также зависимости качественных свойств колебаний идеальной жидкости в цилиндре Q, определяемых решениями линеаризованных уравнений Эйлера (1), от характера спектра этих решении.

Сингулярный спектр достаточно редко встречается в задачах математической физики и является "патологическим" объектом, который вносит существенные трудности в изучение асимптотических свойств решений эволюционных задач, мешает строить волновые операторы в теории рассеяния и т. д. Примеры его существования в классических задачах известны для оператора Штурма — Лиувилля на полубесконечном промежутке (Н. Ароншайн [20]), для уравнения Шрёдингера в теории рассеяния (Д. Пирсон [23]), для разностных аналогов операто-

а Штурма — Лиувилля с почти периодическими потенциалами [15]. [сследовались условия появления сингулярного спектра при одномерных возмущениях самосопряженных операторов (Б. Саймон, П. Доно-хью). В работах последнего времени [25, 26] Б. Саймона с рядом соавторов обосновывается тезис о достаточной типичности сингулярного спектра для различных классов самосопряженных операторов. Поэтому описание условий появления сингулярного спектра для линейных уравнений гидродинамики является актуальной задачей, позволяющей дополнить представления о его распространенности.

В первой главе диссертации для областей с границами Г класса С дается утвердительный ответ на вопрос о возможности существования сингулярного спектра оператора А, описываются деформации границы области, которые приводят к его появлению, и изучается асимптотическое поведение при t —> со соответствующих решений. Методика исследования заключается в построении интегральных представлений для функций из некоторых инвариантных для А подпространств Яд, С Ні(П) и решений задачи (2)-(4) с начальными данными из этих подпространств. В интегральных представлениях используются семейства кусочно-постоянных о.с.ф. оператора А, которые рассматривал Р.А.Александрян. Построение вариации границы и исследование асимптотики при t —> оо возникающих в представлениях для решений преобразований Фурье сингулярных мер опираются на результаты из [5], связанные с конструктивным описанием структуры множеств единственности и неединственности для тригонометрических рядов (в частности, используется теорема Р. Салема — А. Зигмунда).

Вторая глава диссертации посвящена изучению зависимости качественных свойств колебаний идеальной жидкости в цилиндре Q, определяемых решениями линеаризованных уравнений Эйлера, от характера спектра задачи. Считается, что на границе 8Q выполняется условие непротекания. При сделанных выше предположениях оказывается, что изменение координат х, z движущихся частиц жидкости описывается неавтономной гамильтоновой системой, гамильтониан Ф(л;, z,t) которой (функция тока для компонент vi, vz поля скоростей V) является решением задачи (2)-(4). Выделяется класс точных гладких решений системы (1), соответствующих построенным инвариантным подпространствам Яд> оператора А. Структура возникающих систем дифференциальных уравнений, порождаемых полями скоростей V, позволяет естественным образом ввести определение вихря как некоторого топологического объекта и задать его элементы и характеристики: мгновенную ось вращения, скорость вращения и

т. д. Задача описания возникновения л исчезновения вихревых структур (вихрей) сводится к изучению бифуркаций в семействе динамических систем, зависящих от f как от параметра. Эти системы определяют для заданного t линии тока в цилиндре Q и их проекции в 17. Как следует из результатов работы [21], такой подход может быть использован для широкого класса течении несжимаемой жидкости, обладающих групповой симметрией. Изучение динамики завихренности, возникновения и эволюции вихревых структур представляет собой сложную и важную проблему в гидродинамике [18]. В модели Колмогорова — Обухова — Хоифа [12] развитая турбулентность описывается следующим образом: непрерывно поступающая в жидкость энергия передается ее основному крупномасштабному движению, в дальнейшем постепенно переходит от вихревых движений (пульсаций) с большими масштабами к пульсациям с меньшими масштабами и наконец диссипируется в мелкомасштабных вихревых движениях, характерные размеры которых определяются вязкостью и средним количеством энергии, поступающим за единицу времени в единицу массы жидкости. Создание простых математических моделей, описывающих этот процесс или хотя бы отдельные его черты, является актуальной и важной проблемой.

Автором диссертации получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:

1. Установлены достаточные условия существования сингулярного спектра для самосопряженного оператора Л, связанного с первой краевой задачей для уравнения С.Л. Соболева. Построены инвариантные подпространства оператора, на которых его спектр сингулярен, описаны деформации границы области, которые приводят к появлению сингулярного спектра.

2. Охарактеризовано асимптотическое поведение при t —> оо решений задачи (2)-(4), для которых энергетический спектр содержит сингулярную компоненту, и их производных но пространственным переменным.

3. Построены точные решения линеаризованных уравнений Эйлера (1), соответствующие инвариантным подпространствам Ядг оператора А. Изучены неавтономные гамильтоновы системы, порождаемые нолем скоростей, определены и описаны вихревые структуры, возникающие во вращающейся идеальной жидкости. Установлено, что независимо от характера спектра А в H^k_N колебания жидкости имеют ячеистый характер, т. е. выбор подпространства определяет разбиение области ІЇ на систему подобластей П,-(j = 1,... ,k(N — к)) таких, что на границе каждого из цилиндров i}j х {у} выполняются условия непротекания.

4. Показано, что для типичных периодических колебаний число вихревых структур, возникающих во вращающейся жидкости, является равномерно ограниченным по t, описаны моменты бифурка-

ций возникновения и исчезновения вихрей, перемещение вихрей в цилиндре Q.

Ь. Для колебаний с непрерывным спектром установлено, что во вращающейся жидкости происходит неограниченный рост числа вихревых структур, их масштаб уменьшается, скорости вращения вихрей неограниченно возрастают. Показано, что колебания имеют ряд признаков, подтверждающих их хаотический характер.

6. Установлено, что если при возбуждении гармонических колебаний во вращающейся жидкости частота вынуждающей силы принадлежит непрерывному спектру задачи, то резонансный рост компонент вектора скорости в цилиндре Q локализуется в плоскостях, определяемых геометрическими свойствами области i).

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах академика Л.В. Ъвсянникова, чл.-корр. РАН П.И. Плотникова, профессора Б.А. Луговцова (Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН), академика Ю.И. Шокина (Институт вычислительных технологий СО РАН), чл.-корр. РАН СП. Курдюмова (Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН), профессоров В.П. Михайлова и А.К. Гущина (Математический институт им. В. А. Стекло-ва РАН), академика С.К. Годунова, чл.-корр. РАН В.Г. Романова, профессора Т.И. Зеленяка, профессора Ю.Е. Апиконова, академика PATH профессора В.Н. Врагова (Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН), а также на Всесоюзной конференции по теории дифференциальных уравнений, посвященной 75-летию С.Л. Соболева (г. Новосибирск, 1983), на конференции по условно-корректным задачам (г. Новосибирск, 1992), на конференции "Математические методы в механике" (г. Новосибирск, 1994), на 2-м Сибирском семинаре "Устойчивость гомогенных и гетерогенных жидкостей" (г. Новосибирск, 1995), на школе-семинаре по динамическим системам в Международном центре теоретической физики ЮНЕСКО (г. Триест, Италия, 1995), на международной конференции "Современные проблемы прикладной и вычислительной математики (АМСА-95)" (г. Новосибирск, 1995), на международной конференции "Нелинейные дифференциальные уравнения" (г. Киев, 1995), на Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики (г. Новосибирск, 1995).

По теме диссертации опубликованы работы [29- 38]. Принадлежность результатов каждому из соавторов в совместной работе [29] указана в ее тексте.

Структура диссертации: диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на параграфы. Общий объем работы 220 стр. Библиография: 134 наименования.

Внимание автора к вопросам, которые рассматриваются в диссертации, было привлечено Т.И. Зеленяком. Автор благодарен ему, а также

B.C. Белоносову, М.П. Вишневском}', В.В. Сказке и многим участникам перечисленных выше семинаров и конференций за обсуждение результатов и интересные дискуссии.