Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. След G-оператора. Общая конструкция 19
1.1 След оператора на многообразии 19
1.2 Определение следа 20
1.3 След псевдодифференциального оператора 21
1.4 G-операторы и условия допустимости действия группы 22
1.5 След G-оператора
1.5.1 Сосредоточенность 24
1.5.2 Локализация в особых точках 28
1.5.3 Формальная конструкция 29
1.5.4 Реальная конструкция 35
1.5.5 Доказательства лемм 1.5.11 и 1.5.12 40
Глава 2. Операторы Фурье–Меллина 48
2.1 Основные идеи 48
2.2 Определение оператора Фурье–Меллина 48
2.3 Непрерывность 49
2.4 Символ, эллиптичность и теорема конечности 52
2.5 Формула индекса
2.5.1 Число вращения функции 1 + K(p) 54
2.5.2 Основная теорема 55
Глава 3. Задача Соболева, ассоциированная с действием группы Ли 63
3.1 Классическая задача Соболева 63
3.2 Постановка задачи Соболева, ассоциированной с действием группы Ли 64
3.3 Сведение на подмногообразие 65
3.4 Локализация обратного образа 66
3.5 Фредгольмовость и индекс 68
3.6 Пример 69
Литература
- След псевдодифференциального оператора
- Реальная конструкция
- Символ, эллиптичность и теорема конечности
- Постановка задачи Соболева, ассоциированной с действием группы Ли
След псевдодифференциального оператора
Применение этой леммы завершает доказательство леммы 1.5.4. В самом деле: согласно этой лемме, оператор Сер является пределом по норме операторов Сср при є — 0, при этом каждый оператор Сср компактен. Теперь поскольку множество компактных операторов замкнуто по операторной норме, то и оператор Сер также компактен. Осталось доказать лемму. Доказательство леммы 1.5.5. 1. Имеем \\Ccp — Ccp\\ = (і ВдТді (1 — ifj(g))(p(x) dg G і ВдТді (р(х) dg — \\ъ ВдТд1 (р(х)\\ dg CVol{U) С є , UE где U С G — є-окрестность конечного множества Gx, Vol(U) — ее объем, С, С — некоторые константы, к = dim G — размерность группы. Из полученной оценки следует сходимость по норме Сср — Сер при є — 0. Первое утверждение леммы установлено. 2. Установим компактность оператора Сср. Имеем Сср = і ВдТді (р{х) dg. G\UE
Теперь при всех значениях переменной интегрирования д Є G\U оператор і ВдТді (р(х) является интегральным оператором с гладким ядром, гладко зависящим от переменной д. Следовательно, и интеграл таких операторов по переменной д будет интегральным оператором с гладким ядром, т.е. будет компактным оператором.
Лемма 1.5.5 доказана. Доказательство леммы 1.5.4 завершено. Теперь мы видим, что оператор А = T lv{C) является сосредоточен ным на множестве XG особых точек как произведение псевдодифференци ального оператора и сосредоточенного оператора. Доказательство предло жения 1.5.3 завершено. Исходя из предложения 1.5.3, мы видим, что след G-оператора В, если этот след фредгольмов, представляет собой композицию эллиптическо го псевдодифференциального оператора и оператора вида 1 + Д где А — оператор, про который пока ничего неизвестно, кроме того, что он сосредоточен на конечном множестве точек подмногообразия X. Ясно, что след і (В) фредгольмов тогда, когда фредгольмов этот новый оператор 1 + А. Попробуем понять, что это за оператор, более подробно.
1.5.2. Локализация в особых точках
Пусть, для простоты, множество особых точек XG состоит из одного элемента, т.е. особых точек только одна. Тогда оператор 1 + А является суммой тождественного оператора и оператора, сосредоточенного в одной точке, поэтому его фредгольмовость полностью определяется его поведением только в произвольно малой окрестности этой точки и для его исследования можно применить метод замораживания коэффициентов.
Выберем малую окрестность U особой точки и введем в этой окрестности систему координат (ж, у) такую, что х являются координатами на подмногообразии X = {у = 0}, а неподвижная точка располагается в нуле. Пусть окрестность U выбрана так, что в этих координатах группа G действует линейными преобразованиями, и орбиты всех точек из этой окрестности не выходят за ее границы (это следует из компактности группы О).
Оператор 1 + А с замороженными коэффициентами мы обозначим снова как 1+А: хотя это разные операторы, они являются фредгольмовыми одновременно и их индексы совпадают; а это все, что нам от оператора 1 + А нужно.
Итак, пусть 1+А — оператор с замороженными коэффициентами. Выпишем его действие на функцию и{х) на подмногообразии X в координатах (ж, у) в окрестности U. Имеем: (1 + А)и(х) = и{х)+ , -.— і L -1/. / , \ т (t \т т \ ( W t\ л (1.5.4) + J f x U Is) d"1! g\sirl)- -g х і[щх)\{с,) ад , V2 G где Tg — оператор на функциях в координатах Фурье, индуцированный оператором сдвига Тд, J-, J- l — прямое и обратное преобразования Фурье. Замечание 1.5.6. Будем придерживаться следующих обозначений. Если D — псевдодифференциальный оператор на Мп, и a(D)(x, ) — его символ, то этот факт мы будем записывать так: ( d \ х, —ітг , ox (T(D)(X,) = D(x,). Символ псевдодифференциального оператора, если не указано иное, предполагается регуляризованной однородной функцией, т.е. однородной функцией, умноженной на гладкую срезающую функцию, равную нулю в нуле. Псевдодифференциальный оператор соответствует своему символу однозначно с точностью до компактного оператора (поскольку все наши многообразия компактны). Будем считать, что оператор 1+А действует в пространствах Соболева
Чтобы выяснить природу оператора 1 + А, записанного в (1.5.4), мы на некоторое время формально предположим, что символы псевдодифференциальных операторов, участвующие в выражении (1.5.4), не являются регуляризованными, и будем обходиться с ними, как с функциями, однородными всюду. После этого мы избавимся от указанного предположения с помощью умножения на подходящие срезающие функции. Далее мы увидим, что при переходе к координатам Фурье и заменой их на сферические координаты оператор 1 + А можно представить как свертку Меллина с функцией, которая получается из внутреннего интеграла (по G) в формуле (1.5.4). Получившийся оператор мы представим как элемент особого класса операторов специального вида, которые мы назовем операторами Фурье-Меллина (см. определение 2.2.1). Класс операторов Фурье-Меллина мы изучим отдельно. Это даст нам полное представление об операторе 1+А Приступим к подробным выкладкам.
Пусть А — оператор, индуцированный оператором А в координатах Фурье. Он действует по формуле: (1 + А)и( ) = и( ) + Т () dr] B g (,rj)T g u()dg. (1.5.5) Rn/2 G Посмотрим, как действует оператор Тд. Пусть и — функция координат х на Мп, — двойственные координаты и на Жп действует группа G линейными преобразованиями. Исходя из того, что д — линейное преобразование координат, имеем: Тди( ) = / е гх и(д х) dx = шп = \д\ / е г 9У и(у) dy = \д\ / е гу 9 u(y)dy = = \д\ и(д ), (здесь верхний индекс Т означает транспонирование) т.е. двойственные координаты преобразуются также линейно
Реальная конструкция
На (весовой) прямой (2.2.2) рассмотрим аналитическую функцию К{р) комплексной переменной р Є Г7, со значениями в пространстве компактных операторов, действующих в оператор. Отображение (2.5.1) определяет элемент фундаментальной группы TTI(GLK) пространства GLK, которая изоморфна Z (см. [30]). С другой стороны L2(Sn_1), которая стремится к нулю при 1т(р) — ±оо. Такая функция продолжается по непрерывности до функции на окружности S1, полученной как компактификация весовой прямой. Пусть также 1 + К(р) обратима, т.е. ее значения лежат в пространстве операторов обратимых операторов на L2(Sn l). Тогда функции 1 + К(р) однозначно сопоставлено отображение: где GLK — пространство обратимых операторов в гильбертовом пространстве вида 1 + К, где К — компактный, хорошо известно, что TT S1) = Z. Поэтому отображение (2.5.1) индуцирует гомоморфизм группы Z в себя, т.е. является умножением на некоторое целое число. Это число называется числом вращения функции 1 + К(р) (Re(p) = 7) и обозначается как Шу[1 + К(р)] є Z. Аналогично определяется число вращения функции Q(z), z Є S1, со значениями в GLK, которое будем обозначать: wgi[Q(z)]. Замечание 2.5.1. Отметим, что если функция К(р) принимает значения в конечномерных операторах, т.е. представлена как умножение на матрицу, то ее число вращения в точности равно числу вращения детерминанта как функции на прямой со значениями на комплексной плоскости (см. [22]).
Мы подошли к теореме об индексе оператора Фурье-Меллина, которая связывает индекс оператора Фурье-Меллина и число вращения его символа. Как мы видели выше, символ оператора Фурье-Меллина есть функция, определенная на весовой прямой, а весовая прямая, в свою очередь, зависит от порядка пространств Соболева, в которых действует данный оператор. Отсюда мы видим выразительную особенность: индекс оператора Фурье-Меллина оказывается зависимым от порядка пространств Соболева, в которых действуют оператор.
Теорема 2.5.2. Индекс оператора 1 + А, действующего в пространстве Соболева На{Х), равен числу вращения функции т(1 + А)(р) на прямой Ие(р) = s + dimX/2: inds(l + А) = s+dimX/2[cr(l + А)]. (2.5.2) Доказательство. На время доказательства будем считать, что dimX = п. Основная идея — показать, что оператор 1 + А сводится к оператору Теплица на единичной окружности, а индекс последнего хорошо известен. Шаг 1. Сведение к оператору в пространствах L2. Путь А — оператор Лапласа. Лемма 2.5.3. Имеют место следующие равенства: 1) inds(l + Л) = indo(As (1 + A)A S ). 2) ws+n/2[o (l + Л)] = wn/2[o (As (1 + A)A S )]. Доказательство. 1) Это утверждение следует из логарифмического свойства индекса (индекс произведения данных операторов равен сумме индексов этих операторов) и тривиальности индекса оператора Лапласа. 2) Это равенство получится, если последовательно проследить, в ка ких пространствах действуют соответствующие оператор, входящие в ком позицию As/2(1 + A)A S 2, приняв во внимание, что ordA s/2 = — s, а ord As/2 = s. Благодаря этой лемме, нам достаточно рассмотреть оператор, действующий в L2 пространствах, а не в пространствах Соболева. Шаг 2. Сведение к оператору вида свертки Меллина. Будем считать, что оператор 1 + Л действует в пространствах L2(X). С точностью до компактных операторов он имеет вид 1 + Л = 1 + (f{x)J- Л4 К(р) AiJ-ip(x), (2.5.3) где ер Є С(Х) — такая функция на X, что ср = 1 в (малой) окрестности особой точки и ср = 0 вне большей окрестности. Поскольку оператор (2.5.3) действует в L2, умножения на срезающие функции ф не требуется, и мы их не вводим. Введя координаты в окрестности особой точки, мы можем считать, что формула (2.5.3) задает некоторый оператор, действующий на Мп, и тем самым “забыть” про многообразие X. Этот оператор отличается от исходного оператора 1 + Л на компактный и потому имеет тот же самый индекс. Мы обозначим его снова как 1+Ли для него докажем формулу индекса.
Символ, эллиптичность и теорема конечности
Пусть М — замкнутое многообразие размерности п, X — подмногообразие коразмерности v = п/2, і : X - - М — гладкое вложение. Пусть также на М действует компактная группа Ли G и ее действие удовлетворяет условиям допустимости 1.4.2. Пусть действие группы G неподвижно в некоторой точке XQ. Рассмотрим задачу Соболева { Du = / (modX), и Є HS(M), f є Hs m{M) (3.2.1) i Bu = p, (рє н"-ь-Цх), где оператор D — псевдодифференциальный, а оператор В — это G-оператор порядка 6, ассоциированный с действием группы G, т.е. В имеет вид: В = Во + BgTgdg (3.2.2) G где Во — псевдодифференциальный оператор порядка 6, Вд — семейство псевдодифференциальных операторов порядка 6, гладко зависящее от д. Требуется выяснить условия фредгольмовости задачи (3.2.1) и получить ее формулу индекса. Мы будем предполагать, что порядки операторов связаны с индексами пространств Соболева неравенствами s — Ъ — п/4 0 (3.2.3) (ограниченность граничного оператора) и О т — s — п/4 1 (3.2.4) (эти неравенства обеспечивают то, что в задаче Соболева требуется только одно граничное условие (см. [14,18])). В частности, вместе с условием (3.2.3) отсюда получаем соотношение: О т — Ъ — п/2. (3.2.5) 3.3. Сведение на подмногообразие Как это уже отмечалось, задача Соболева (3.2.1) фредгольмова, когда фредгольмовы оператор D и ее обратный образ, т.е. оператор вида i BD г , который представляет собой ничто иное, как след оператора BD l, который, в свою очередь, есть произведение G-оператора и псевдодифференциального оператора. Такое произведение есть G-оператор. Действительно, BD = BQD + / BgTgD dg = BoD + / CgTg dg, G G где Cg = BgTgD lT l — псевдодифференциальный оператор. Отметим, что отд. Сд = Ъ — т, откуда, в силу (3.2.5), получаем неравенство: ord Сд + п/2 0, (3.3.1) необходимое для корректности задачи (3.2.1). Таким образом, обратный образ задачи (3.2.1) i BD li в точности представляет собой след G-оператора, поэтому, согласно результатам главы 1, ему соответствует оператор Фурье-Меллина, который отвечает за его фредгольмовость и индекс. Изучим это соответствие подробнее.
Согласно предложению 1.5.3, оператор i BD li , будучи следом G-оператора, равен i BD г = i{BD ) = Т {\ + А), (3.3.2) где Т = V{BQD 1) — псевдодифференциальный оператор, а 1 + А — некоторый оператор, сосредоточенный в точке XQ. Очевидно, оператор i BD li фредгольмов, когда фредгольмов псевдодифференциальный оператор Т и фредгольмов оператор 1 + Л, а индекс его равен сумме индексов операторов Т и 1 + А.
Так же, как это делалось в главе 1, при помощи метода замораживания коэффициентов оператору 1 + А ставится в соответствие оператор Фурье Меллина 1 + А: 1 + А = 1 + (р{х)7- лІ){ )АЛ г К(р)Л4г рф( ) хір(х), (3.4.1) символ которого представлен функцией т(1 + А) = К(р). Прямое вычисление показывает, что функция К{р) равна f / f пт ґ dt Kip) = vKU) —, (3.4.2) t R+ где K(t) — это операторно-значная функция, принимающая значения в ин (пп/2-l тегральных операторах на сфере ец, с интегральным ядром K(t,uj uj), равным / t T (u )Bg(tu) li(tu) u)))D (u,l2(tu) u)))\J(g)\ dg, (3.4.3) G где /І = ord T = b — m + n/2, а линейные преобразования /і и І2 определены как в (1.5.8). При этом, согласно предложению 1.5.9, функция К{р) корректно определена и обладает свойствами: 1. Она является аналитической в вертикальной полосе п/2 — m + Ъ Ие(р) п/2; (3.4.4) 2. Для любого фиксированного р из указанной полосы оператор К{р) является компактным; 3. Имеем К(р) — 0 внутри полосы (3.4.4). Напомним, что для определения функции К{р) требовалось, чтобы было выполнено условие (1.5.21), в котором (в нашей ситуации) число Ъ = ord Сд. Это условие выполнено, т.к. справедливо неравенство (3.3.1). Как нетрудно увидеть из предложения 2.3.1, обратный образ задачи Соболева (3.2.1) действует непрерывно в пространствах i BD \ : Ha-m+ri{X) — На-ь-гі{Х) Отсюда следует, что соответствующий оператор 1+Л действует непрерывно в пространствах Согласно предложению 2.3.1, это означает, что его символ есть функция на весовой прямой Ие(р) = s — т + п/2. Теперь мы можем сформулировать условия фредгольмовости и формулу индекса для оператора i BD li , а затем и для задачи Соболева (3.2.1). Приведем сразу последний результат. Следствие 3.5.1. Задача Соболева (3.2.1), ассоциированная с действием группы G, удовлетворяющим условию допустимости 1.4.2, фредгольмо-ва, когда эллиптичны псевдодифференциальные операторы D, і В$0 1і и эллиптичен оператор (3.4.1) в смысле определения 2.4.2. Следствие 3.5.2. Индекс задачи Соболева (3.2.1) S, ассоциированной с действием группы G, удовлетворяющим условию допустимости 1.4.2, равен ind S = inds_TO+n/4(l + Л) + ind Т + ind D, где индекс оператора Фурье-Меллина inds_TO+n/4(l + Л) вычисляется по теореме 2.5.2, а индексы псевдодифференциальных операторов Т и D вычисляются по формуле Атьи-Зингера.
Постановка задачи Соболева, ассоциированной с действием группы Ли
Пусть М — некоторое многообразие, X — множество точек этого многообразия. Определение 1.5.1. Оператор А : HS(M) — HS(M), действующий на многообразии М называется сосредоточенным на множестве X, если для любой функции ер Є С00(М), равной нулю в некоторой окрестности множества X, операторы Аср срА : На(М) — На(М) являются компактными. Замечание 1.5.2. Отметим, что если сосредоточенный оператор умножить (слева или справа) на псевдодифференциальный оператор, то получится сосредоточенный оператор. Это вытекает из определения 1.5.1.
Мы покажем, что след G-оператора можно представить в виде композиции псевдодифференциального оператора и некоторого сосредоточенного оператора, который мы назовем оператором Фурье-Меллина. Изучение структуры этого последнего оператора будет представлять собой основную часть работы.
Итак, пусть, как и вначале, М — многообразие размерности п, X — подмногообразие размерности z/, і : X - - М — гладкое вложение. Мы начнем со следующего утверждения. Предложение 1.5.3. Пусть В — G-оператор вида (1.4.1), действие группы G удовлетворяет условиям допустимости 1.4.2 и оператор і (Во) является эллиптическим как псевдодифференциальный оператор1 Тогда след оператора В с точностью до компактных операторов представим в виде і (В) = Т {\ + А) : HS+ (X) — Hs (X), (1.5.1) где Т — псевдодифференциальный оператор, А — оператор, сосредоточенный на множестве XG особых точек подмногообразия X. В частности, и сам оператор і (В) является сосредоточенным на множестве особых точек. хЭтот оператор является псевдодифференциальным согласно теореме 1.3.1. Доказательство. Положим Т = i!( o), А = Т Ч!(С), где Т 1 — почти обратный к оператору Р, а оператор С равен С = В — Во = ВдТд dg.
Тогда требуемое утверждение будет следовать из теоремы 1.3.1 (о следе псевдодифференциального оператора), очевидного равенства i (Bo + С) = і (Во) + і (С) и того факта, что оператор С является сосредоточенным на множестве XG особых точек. Этот последний факт мы сейчас и докажем. Лемма 1.5.4. Оператор C = i (C) = i i I BgTgdgH (1.5.2) G является сосредоточенным на множестве XG особых точек. Доказательство. Иначе говоря, нам требуется доказать, что для любой функции ер Є С(Х), которая равна нулю в окрестности неподвижных точек XG, выполнено: С(/?, (рС : HS(X) — Н3 И(Х) — компактные операторы, где /І = Ъ + п/2 — порядок оператора С. Сначала дадим эскиз доказательства для оператора Сер. Проанализируем структуру оператора (1.5.2), который представлен в виде интеграла. Подынтегральное выражение І ВдТдІ является оператором, сосредоточенным на множестве Хд = {х Є X дх Є X}. При этом, в силу условия допустимости 1.4.2 действия группы G, имеем: Хд = XG для всех д, кроме конечного множества Gx. Осталось показать, что это конечное множество Gx не дает вклада в интеграл. Это утверждение следует из соображений непрерывности, если вырезать из области интегрирования е-окрестность множества Gx и переходить к пределу при є — 0.
Компактность оператора срС устанавливается аналогично. Дадим полное доказательство. Определим функцию: { 0, в е-шаре вокруг множества Gx, 1, вне указанного є-шара. Рассмотрим оператор: Сє = (і ВдТді )фє(д) dg : HS{X) — HS (X). (1.5.3) G Необходимые свойства оператора Сє сформулированы в следующей лемме. Лемма 1.5.5. 1. При є — 0 имеем \\Ccp — Сср\\ — 0. 2. Оператор Сср : HS(X) — HS (X) является компактным. Применение этой леммы завершает доказательство леммы 1.5.4. В самом деле: согласно этой лемме, оператор Сер является пределом по норме операторов Сср при є — 0, при этом каждый оператор Сср компактен. Теперь поскольку множество компактных операторов замкнуто по операторной норме, то и оператор Сер также компактен.