Системы дифференциальных уравнений для квазистационарных электромагнитных полей Калинин Алексей Вячеславович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Представления вектор-функций и оценки скалярных произведений векторных полей 24

1.1. Некоторые функциональные пространства и предварительные сведения 24

1.1.1. Обозначения 24

1.1.2. Пространства измеримых функций 26

1.1.3. Пространства С. Л. Соболева Wm,p() 29

1.1.4. Пространства вектор-функций 31

1.2. Некоторые представления векторных полей 34

1.2.1. Представления векторных полей в трехмерных звездных областях 35

1.2.2. Представления векторных полей во внешних обла

1.2.3. Некоторые свойства операторов представлений

1.3. Основные неравенства для ограниченных областей 57

1.3.1. Lp-оценки для ограниченных областей 57

1.4. Оценки скалярных произведений векторных полей для ограниченных областей при р = 2 1.4.1. Оценки скалярных произведений для областей класса С гомеоморфных шару 63

1.4.2. Некоторые следствия оценок для ограниченных об

1.5. Lp-оценки векторных полей вМ 72

1.6. Оценки векторных полей в двумерных областях 83

Глава 2. Краевые задачи для стационарной системы уравнений Максвелла 99

2.1. Некоторые функциональные пространства и основные неравенства 99

2.2. Стационарная система уравнений Максвелла и основные краевые задачи

1 2.2.1. Стационарная система уравнений Максвелла 108

2.2.2. Задача (2.20)–(2.24), (2.27) в проводящей ограниченной области 110

2.2.3. Задача (2.20)–(2.24), (2.28) в проводящей ограниченной области 111

2.3. Задача (2.20)–(2.24), (2.27) в проводящей ограниченной области 112

2.3.1. Задача об определении потенциалов (; ) с калибровочным соотношением div() = 0 115

2.3.2. Задача об определении потенциалов (; ) с калибровочным соотношением = -div() 116

2.4. Задача (2.20)–(2.24), (2.28) в проводящей ограниченной области 117

2.4.1. Задача об определении полей ( ;) 117

2.4.2. Задача об определении потенциалов (; ) с калибровочным соотношением div() = 0 119

2.4.3. Задача об определении потенциалов (; ) с калибровочным соотношением = -div() 120

2.5. Эффективный учет соленоидальности векторных полей 121

2.6. Связь между задачами для потенциалов (;) при различных калибровочных соотношениях 122

2.7. Связь между решениями задач в потенциалах (;) и в полях ( ;) 124

2.8. Краевые задачи в областях с непроводящими и слабопро-водящими включениями

2.8.1. Задача с непроводящими включениями 127

2.8.2. Задача со слабопроводящими включениями 1 2.9. Задача определения ( ;) в R3 с компактной проводящей подобластью 141

2.10. Некоторые оценки в случае нелинейных материальных соотношений 146

Глава 3. Начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении 150

3.1. Вспомогательные сведения 151

3.2. Начально-краевые задачи в терминах напряженности магнитного поля 154

3.3. Эффективный учет соленоидальности поля 160

3.4. Стабилизация решения при 164

3.5. Начально-краевые задачи в терминах векторного и скалярного потенциалов 166

3.6. Связь между решениями задач при различных калибровочных соотношениях 170

3.7. Эквивалентность формулировок задач в терминах полей

( ;) и в терминах потенциалов (;) 174 3.8. Обратная задача финального наблюдения 179

3.8.1. Описание метода двойственной регуляризации 179

3.8.2. Задача финального наблюдения 184

3.9. Квазистационарная система уравнений Максвелла в неограниченной области 189

3.9.1. Формулировка задачи 189

3.9.2. Некоторые функциональные пространства и их свойства 190

3.9.3. Теорема о существовании и единственности решения193

3.10. Стабилизация решения 197

Глава 4. Начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении 200

4.1. Система уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении и задачи атмосферного электричества 200

4.2. Основные функциональные пространства и их свойства 207

4.3. Задача в терминах полей и 210

4.3.1. Существование и единственность задачи (4.13), (4.14), (4.15) 210

4.3.2. Итерационный алгоритм нахождения квазистаци онарного электрического поля 212

4.4. Задача Дирихле для скалярного электрического потенциала217

4.4.1. Основные функциональные пространства 217

4.4.2. Обобщенная формулировка задачи Дирихле 219

4.5. Задача для скалярного электрического потенциала с граничными условиями в магнитосопряженных точках 227

4.6. Численное моделирование глобальной электрической цепи в атмосфере

4.6.1. Обоснование метода Галёркина для приближенного определения скалярного потенциала 230

4.6.2. Некоторые результаты численных расчетов 236

Заключение 239

Литература

• Представления векторных полей в трехмерных звездных областях
• Стационарная система уравнений Максвелла
• Краевые задачи в областях с непроводящими и слабопро-водящими включениями
• Итерационный алгоритм нахождения квазистаци онарного электрического поля

Введение к работе

Актуальность работы. Являясь классическим объектом теории уравнений с частными производными, система уравнений Максвелла лежит в основе обширного класса дифференциальных, интегро-дифференциальных и интегральных уравнений, связанных с изучением электромагнитных процессов.

В случае, когда физические процессы протекают достаточно медленно, могут рассматриваться квазистационарные приближения для системы уравнений Максвелла. В средах с достаточно высокой проводимостью используется нерелятивистское магнитное приближение (квазистационарное магнитное приближение). В этом случае в нестационарной системе уравнений Максвелла пренебрегают током смещения. В средах с достаточно слабой проводимостью может использоваться нерелятивистское электрическое приближение (квазистационарное электрическое приближение); в этом случае в системе уравнений Максвелла пренебрегают изменением во времени магнитного поля и электрическое поле считают потенциальным в каждый момент времени¹.

Система уравнений Максвелла и ее различные приближения (стационарные и квазистационарные системы) относятся к классу систем дифференциальных уравнений с частными производными, содержащих операции векторного анализа. Исследование таких задач опирается на специальные свойства функциональных пространств, в которых эти дифференциальные операции определены.

Изучению свойств функциональных пространств, определенных для дифференциальных операций векторного анализа, связанных с различными разложениями векторных полей, теоремами о вложениях и неравенствами, результатами о регулярности и с теоремами о следах, посвящена обширная литература. Основополагающей в этом направлении была работа Г. Вейля, в которой строго было получено ортогональное разложение произвольного векторного поля на прямую сумму подпространств соленоидаль-ных и потенциальных полей. Дальнейшее развитие теория функциональных пространств для векторных полей получила в работах О.А. Ладыженской, В.А. Солонникова, Г. Дюво, Ж.-Л. Лионса, Р. Темама, В.Н. Масленниковой, М.Е. Боговского, Э.Б. Быховского, Н.В. Смирнова, С.Г. Крейна, М.Ш. Бир-¹ Толмачев, В. В. Термодинамика и электродинамика сплошной среды / В. В. Толмачев, А. М. Головин, В. С. Потапов. – М.: Изд-во МГУ, 1988. – 232 с.

мана, Дж.Дж. Хейвуда, Ю.А. Дубинского. Основы теории рассматриваемых пространств достаточно полно изложены в работах^2,3,4.

В диссертации для исследования свойств функциональных пространств, в которых определены операции векторного анализа, было предложено использовать специальные представления векторных полей. Следует отметить, что подобные представления используются в теории дифференциальных форм⁵. На основе этих представлений был получен новый класс Lp-оценок скалярных произведений векторных полей для ограниченных и неограниченных областей. В случае неограниченных областей использованы специальные весовые пространства.

Различные классы задач электромагнитной теории, постановки которых приводят к интегральным, интегро-дифференциальным и собственно дифференциальным уравнениям, следующим из системы уравнений Максвелла, рассматривались в работах В.И. Дмитриева, Е.В. Захарова, А.С. Ильинского, В.П. Ильина, А.Г. Свешникова, Г.В Алексеева, Э.Б. Быховского, Ю.П. Попова, А.Б. Самохина, В.М. Урева и других авторов.

В последние годы в связи с важным прикладным значением и интенсивными исследованиями, связанных с разработкой численных алгоритмов, особый интерес вызывает теоретическое изучение математических задач для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении. Обоснование возможности применения квазистационарного магнитного приближения для медленных процессов в средах с высокой проводимостью обсуждается в работах^6,7.

Отметим следующие особенности этих задач. Первая особенность связана с многообразием формулировок. Задачи могут быть сформулированы для различных неизвестных функций (в результате исключениядругих неизвестных функций), в частности, возможны формулировки относительно напряженности электрического поля , относительно напряженности магнитного поля , а также возможны формулировки относительно векторного магнитного потенциала и скалярного электрического потенциала , при этом для обеспечения единственности решения задач в потенциалах традиционно используются калибровочные соотношения Кулона div = 0

² Cessenat, M. Mathematical methods in electromagnets. Linear theory and applications /
M. Cessenat // Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences - Vol. 41. 1996. World Scientifc
Publishing Co. Pie. Ltd.396 p.

³ Girault, V. Finite element approximation of the Navier–Stokes equations / V. Girault, P.-A. Raviart.
– Berlin – Heidelberg – New York: Springer–Verlag, 1979. – 207 pp.

⁴ Dautray, R. Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology: Volume 3.
Spectral Theory and Applicftions / R. Dautray, J.-L. Lions. Berlin, Heidelberg: Springer, 2000.

⁵ Спивак, М. Математический анализ на многообразиях / М. Спивак. – М.: Мир, 1968. – 164 с.

⁶ Kawashima, S. Magnetohydrodynamic approximation of the complete equations for an
electromagnetic fuid. ii / S. Kawashima, Y. Shizuta // Proc. Japan Acad. Ser. A. – 1986. – Vol. 62, no. 5. –
Pp. 181–184.

⁷ Галанин, М. П. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах / М. П. Га-
ланин, Ю. П. Попов. – М.: Наука, 1995. – 320 с.

или Лоренца ср = /sdivA, где к - некоторая положительная постоянная 8,9, 0; ; . В случае, когда среда неоднородна (а Ф const), задачи об определении векторного магнитного потенциала А и скалярного электрического потенциала ср при обоих калибровочных соотношениях не разделяются ' ' ' . Другая особенность задач в квазистационарном магнитном приближении обусловлена тем, что в проводящих областях система уравнений относится к параболическому типу, а в непроводящих - к эллиптическому. Для преодоления этой проблемы используются различные, технически до-статочно сложные, подходы ' .

В диссертации для решения задач с использованием векторного магнитного потенциала А и скалярного электрического потенциала ср предлагаются модифицированные калибровочные соотношения вида div а А = 0 и ср = — к div а А. При этих соотношениях задача об определении векторного магнитного потенциала А решается независимо от задачи об определении скалярного электрического потенциала ср.

При изучении задачи в неограниченной области (Q = К. ) с компактной проводящей подобластью с использованием полученных в работе оценок скалярных произведений устанавливается корректность соответствующей па-раболо-эллиптической задачи в результате непосредственного применения теоремы Лионса для эволюционных уравнений .

В диссертации изучается обратная задача финального наблюдения для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближе-

⁸ Acevedo, R. An -based mixed formulation for a time-dependent eddy current problem / R. Acevedo,
S. Meddahi, R. Rodriguez // Math. Comput. 2009. Vol. 78. 1929–1949.

⁹ Arnold, L. A unifed variational formulation for the parabolic-elliptic eddy current equations / L.
Arnold, B. Harrach // SIAM J. Appl. Math. 2012. Vol. 72 558—576.

¹⁰ Biro, O. CAD in Electromagnetism/O. Biro, K. R. Richter // Electronics and Electron Physics,
edited by Academic press Inc. – Boston, San Diego, New York, London, Sydney, Tokyo, Toronto. 1991.
P. 1–96.

¹¹ Biro, O. On the Use of the Magnetic Vector Potential in the Finite Element Analysis of Three-
Dimensional Eddy Currents / O. Biro, K. Preis // IEEE Trans. on Magnetics. – 1989. – Vol. 25, no. 4. –
Pp. 3145–3159.

¹² Zheng, V. I. An adaptive element method for the - formulation of time-dependent eddy current
problems / W. Zheng, Z. Chen, L. Wang // Numer. Math. – 2006. – Vol. 103. – Pp. 667–689.

¹³ Kang, T. A -Based Splitting Finite Element Method for the Time-Dependent Eddy Current
Equations / P. Kang, K. I. Kim, Z. Wu // J. Comp. and Appl. Math. 2006. Vol. 85. Pp. 358–367.

¹⁴ Kang, T. Fully Discrete Potential-Based Finite Element Methods for a Transient Eddy Current
Problem / P. Kang, K. I. Kim // Computing. 2009. Vol. 85. Pp. 339–362.

¹⁵ Kwang, I. K. Fully Discrete Potential-Based Finite Element Methods for a Transient Eddy Current
Problem / K. I. Kim, P. Kang // Int. J. Comp. Math.. 2006. Vol. 83. Pp. 107–122.

¹⁶ Wu, L. A new potential-based fnite element algorithm for eddy-current problems / L. Wu, T. Chen,
T. Kang // IV Int. Conf. on Comput. and Inform. Sci. – 2012. – Pp. 57–61. DOI: 10.1109.ICCIS.2012.30.

¹⁷ Camano, J. Analysis of a - in Lipschitz domains / J. Camano, R. Rodriguez // J.
Comp. and Appl. Math. 2012. Vol. 236. Pp. 3084–3100.

¹⁸ Prato Torres, R. A. A FE/BE Coupling for the 3D Time-Dependent Eddy Current Problem. P.I: a
Prior error Estimates / R. A. Prato Torres, E. P. Stephan // Computing. 2010. Vol. 88. Pp. 131–154.

¹⁹ Dautray, R. Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology: Volume 5.
Evolution Problems I / R. Dautray, J.-L. Lions. Berlin, Heidelberg: Springer, 2000.

нии. Основы теории решения обратных задач были заложены в классических работах А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова, Ю.С. Осипо-ва, и получили дальнейшее развитие в работах А.Б Бакушинского, В.В. Васина, С.И. Кабанихина, А.В. Кряжимского, А.С. Леонова, В.Г. Романова. Важные теоретические и актуальные прикладные результаты получены в работах В.И. Агошкова, Г.В. Алексеева, А.М. Денисова, В.И. Дмитриева, А.И. Короткого, В.И. Максимова, В.А. Морозова, М.М. Потапова, А.И. При-лепко, М.И. Сумина, А.Г. Яголы и других авторов.

В диссертации для решения рассматриваемой обратной задачи используется метод двойственной регуляризации, имеющий оптимизационную природу, развитый в работах М.И. Сумина²⁰.

Для соответствующих стационарных задач в диссертации также расм-мотрны постановки в полях и , в потенциалах , с модифицированными калибровочными соотношениями, обоснована корректность применения модифицированных калибровочных соотношений с использованием оценок для скалярных произведений, исслдеованы асимптотические свойства решений стационарных задач для системы уравнений Максвелла в неоднородных средах, содержащих слабопроводящие и непроводящие включения в зависимости от малого параметра – проводимости слабопроводящих включений.

При решении всех задач использовались формулировки в виде интегральных тождеств. Для изучения этих формулировок и доказательства основных результатов использовались оценки скалярных произведений векторных полей, полученные в первой главе.

Квазистационарное электрическое приближение является основой для описания переходных явлений в атмосфере Земли. Физические аспекты применения этого приближения для решения задач атмосферного электричества и объяснение такого явления как глобальная электрическая цепь в атмосфере Земли рассмотрены в работе²¹, согласно которой глобальная электрическая цепь – распределенный токовый контур, образованный высоко-проводящими слоями верхнего слоя океана и земной коры и атмосферой. Основными источниками электродвижущей силы, поддерживающей потенциал ионосферы, служат облака, обладающие электрической структурой (в первую очередь, грозовые облака). Одной из характеристик глобальной электрической цепи является ионосферный потенциал (разность потенциалов между поверхностью Земли и условной поверхностью, разделяющей атмосферу и ионосферу).

В диссертации рассмотрены новые постановки задач для систем дифференциальных уравнений, описывающих квазистационарные электрические

²⁰ Сумин, М. И. Регуляризованный градиентный двойственный метод решения обратной задачи
финального наблюдения для параболического уравнения / М. И. Сумин // Журн. вычисл. матем. и
матем. физики. – 2004. – Т. 44, №11. – С. 2001–2019.

²¹ Мареев, Е. А. Достижения и перспективы исследований глобальной электрической цепи /
Е. А. Мареев // УФН. – 2010. – Т. 180, №5. – С. 527–534.

поля в терминах полей и и с использованием электрического скалярного потенциала . Приведенные постановки задач, в частности, позволяют определить ионосферный потенциал.

При описании глобальной электрической цепи с использованием электрического потенциала возникает неклассическое уравнение, относящееся к классу псевдопараболических уравнений (или уравнениям соболевского типа). Основы теории таких уравнений были заложены в работе С.Л. Со-болева²² и развиты Г.В. Демиденко, В.Н. Масленниковой, Р.Е. Шоуолтера, С.В. Успенского и ряда других авторов.

Постановки задач для рассмотренного псевдопараболического уравнения являются новыми и обусловлены лишь физическими приложениями и связью уравнений для электрического потенциала с уравнениями Максвел-ла.На основании полученных теоретических результатов были получены, обоснованы и реализованы численные алгоритмы решения задачи о глобальной электрической цепи и приводятся некоторые результаты численного исследования задач, имеющих конкретное физическое содержание, полученные с помощью разработанного и реализованного программного комплек-са²³.

Результаты исследований, приведенные в работе относятся к актуальным направлениям теории уравнений с частными производными и служат теоретической основой для решения актуальных практических задач.

Цель диссертационной работы. Целью работы является строгое математическое обоснование корректности краевых и начально-краевых задач для различных классов дифференциальных уравнений с частными производными, возникающих при описании стационарных и квазистационарных электромагнитных процессов в неоднородных средах; изучение свойств решений этих задач, формулировка задач в виде, ориентированном на применение современных численных методов решения.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории уравнений с частными производными, аппарат функционального анализа и теории функций действительного переменного, методы оптимизации.

Научная новизна. Все сформулированные в работе результаты являются новыми и состоят в следующем:

Получены -оценки скалярных произведений векторных полей в ограниченных и неограниченных областях. На основе -оценок скалярных произведений векторных полей получены новые результаты о корректности различных постановок задач для системы уравнений Максвелла в неоднородных средах в терми-²² Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. Математическая. – 1954. – Т. 18, №1. – С. 3–50.

²³ Программа для ЭВМ "Квазистационарные поля в атмосфере Земли"(Жидков А.А., Калинин А.В.) от 24.04.2012; авторское свидетельство – Комплекс программ "Расчёт потенциала электрического поля в атмосфере Земли"(Жидков А.А., Калинин А.В.) №18139 от 17.04.2012.

нах полей и потенциалов с использованием модифицированных калибровочных соотношений Лоренца и Кулона, исследована связь между решениями задач при различных калибровочных соотношениях.

Исследованы асимптотические свойства решений стационарных задач для системы уравнений Максвелла в неоднородных средах, содержащих слабопроводящие и непроводящие включения в зависимости от малого параметра – проводимости слабопроводящи включений.

На основе -оценок скалярных произведений векторных полей получены результаты о корректности различных постановок начально-краевых задач для системы уравнений Максвелла в неоднородных средах в квазистационарном магнитном приближении (нерелятивистском магнитном приближении) в терминах полей и потенциалов с использованием предложенных в работе модифицированных калибровочных соотношений Лоренца и Кулона, исследована связь между решениями задач при различных калибровочных соотношениях, обоснованы постановки квазистационарных задач, позволяющие эффективно учитывать соленоидальность векторных полей (в предложенных постановках свойства соленоидальности решений обладает экспоненциальной устойчивостью по времени).

Предложены новые строгие формулировки начально-краевых задач для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении, доказаны теоремы о существовании и единственности решений для соответствующих формулировок в терминах на-пряженностей электрических и магнитных полей и формулировок, использующих скалярный электрический потенциал.

Для начально-краевых задач об определении квазистационарных электрических полей предложены и обоснованы эффективные итерационные процедуры нахождения решений и постановки, удобные для применения проекционных методов решения, обоснована сходимость га-лёркинских приближений для решения рассматриваемых задач.

Исследованы обратные задачи финального наблюдения для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении при общих предположениях о связях в материальных соотношениях на основе оптимизационного метода двойственной регуляризации для формулировок задач в терминах полей и в терминах потенциалов для различных калибровочных соотношений, предложенных в работе.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическую и практическую значимость представляют предложенные в работе постановки краевых и начально-краевых задач для рассматриваемого класса дифференциальных уравнений с частными производными, используемых для моделирования электромагнитных процессов в неоднородных средах, теоремы об их разрешимости и свойствах решений, обоснование сходимости некоторых

новых алгоритмов их численного решения и регуляризованные алгоритмы решения обратных задач. Практическая значимость этих результатов обусловлена возможностью их применения для математического и численного моделирования электромагнитных явлений. В качестве конкретного практического применения полученных результатов можно рассматривать результаты исследований, проведенных с помощью разработанного программного комплекса для решения прикладных задач атмосферного электричества.

Степень достоверности. Все результаты работы строго обоснованы.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции “Современные проблемы математики, механики и их приложения” (Москва, 2009 г.), 53-й научной конференции МФТИ “Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук” (Москва, 2010 г.), 8 Международном конгрессе ISAAC (Москва, 2011 г.), II, III Международной конференции “Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования” (Воронеж, 2007, 2009 г.г.), IV, XIII, XIV, XVII, XIX Воронежской весенней математической школе “Понтрягинские чтения” (Воронеж, 2002, 2003, 2006, 2008 г.г.), Воронежской зимней математической школе “Современные методы теории функций и смежные проблемы” (Воронеж, 2003, 2007, 2009 г.г.), VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи–Адлер, 2007 г.), XIV Международной конференции по атмосферному электричеству (Рио-де-Жанейро, Бразилия, 2011 г.), Международной конференции “Алгоритмический анализ неустойчивых задач” (Екатеринбург, 2011 г.). Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010, 2016 г.), Международной конференция "Обратные и некорректные задачи" (Новосибирск, 2012 г.), X, XI Международном семинаре “Супервычисления и математическое моделирование” (Саров, 2008, 2009 г.г.), VI Всесоюзной школе "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" (Горький, 1986 г.), Итоговой конференции учебно-научного инновационного комплекса “Модели, методы и программные средства” (Нижний Новгород, 2007 г.), VI Российской конференции по атмосферному электричеству (Нижний Новгород, 2007 г.), XVI Международной конференции “Проблемы теоретической кибернетики” (Нижний Новгород, 2011 г.), VIII Всероссийской научной конференции “Нелинейные колебания механических систем” (Нижний Новгород, 2008 г.), VII Всероссийской конференции по атмосферному электричеству (Санкт-Петербург, 2012), Международной конференции "Обратные и некорректрые задачи математической физики", посв. 80-летию со дня рожд. акад. М.М. Лаврентьева (Новосибирск, 2012), Всероссийской конференции "Глобальная электрическая цепь" (Борок, 2013), Международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посв. 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Ново-

сибирск, 2013), Четвёртой Международной конференции, посв. 90-летию со дня рожд. чл.-корр. РАН, акад. Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева (Москва, 2013), Десятой Международной конференции "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 2014), Школе-конференции "Состав атмосферы. Атмосферное электричество. Климатические процессы" (САтЭП2014, Борок, 2014), XVth International Conference on Atmospheric Electricity ICAE2014 (Norman, Oklahoma, USA, 2014), International Symposium Topical problems of nonlinear wave physics (NWP-2014, Nizhny Novgorod, 2014), Второй Всероссийской конференции "Глобальная электрическая цепь" (Бо-рок, 2015), Международной конференции "XXVII Крымская осенняя математическая школа-симпозиум по спектральным и эволюционным зада-чам"(КРОМШ-2016, Симферополь, 2016), XI Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ 2016 Алушта, 2016), 11 International Conference "Mesh methods for boundary-value problems and applications"(Казань, 2016), Международной конференции, посв. 60-летию Института математики им. С.Л. Соболева. (Новосибирск, 2017), International conference on mathematical modelling in applied sciences (ICMMAS’2017, Saint Petersburg, 2017).

По теме диссертации были сделаны доклады на семинаре “Обратные задачи математической физики” в НИВЦ МГУ (рук. проф. А.Б. Бакушин-ский, проф. А.В. Тихонравов, проф. А.Г. Ягола), семинаре кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ (рук. проф. А.С. Антипин, проф. Ф.П. Васильев, проф. М.М. Потапов), расширенном семинаре отдела дифференциальных уравнений и отдела прикладных задач института математики и механики УрО РАН (рук. проф. В.И. Максимов, проф. А.И. Короткий), семинаре кафедры математической физики ННГУ (рук. проф. В.И. Сумин), семинаре кафедры общей математики ВМиК МГУ (рук. действительный член РАН, проф. В.А. Ильин), семинаре кафедры математического моделирования МЭИ (рук. проф. Ю.А. Дубинский, проф. А.А. Амосов), семинаре кафедры дифференциальных уравнений ММФ МГУ (рук. действительный член РАН, проф. В.В. Козлов, проф. А.С. Шамаев)

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 89 печатных работах. В том числе 25 в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций, из них 8 в индексируемых в международных базах данных Web of Science (WoS), Scopus. Публикации приведены в конце автореферата.

Личный вклад автора. В публикациях, выполненных совместно с С.Ф. Морозовым, соискателю принадлежат постановки всех задач и доказательства всех утверждений; В работах, выполненных совместно с учениками: А.А. Тюхтиной (А.А. Калинкиной), А.А. Жидковым, В.Е. Метелевой (В.Е. Молодкиной), соискателю принадлежат постановки всех задач, идеи доказательства всех утверждений и доказательство всех основных резуль-

татов. В работах, выполненных совместно с М.И. Суминым, М.И. Сумину принадлежат абстрактные результаты по методу двойственной регуляризации. В работе, выполненной совместно с Н.Н. Слюняевым [24], Н.Н. Слюня-еву принадлежит раздел, посвященный глобальной электрической цепи. В работах, выполненных совместно с Е.А. Мареевым и Н.Н. Слюняевым [15, 16], автору принадлежит постановка задач и аналитические результаты.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации 282 страницы. Диссертация содержит 3 рисунка и 321 наименование литературы.

Представления векторных полей в трехмерных звездных областях

В случае, когда среда неоднородна ( = const), задачи об определении векторного магнитного потенциала и скалярного электрического потенциала при обоих калибровочных соотношениях не разделяются.

Многообразие различных дифференциальных и численных формулировок отражено в работах [72–75, 77, 78, 80, 82, 84, 88, 89, 93].

Другая особенность задач в квазистационарном магнитном приближении обусловлена тем, что в проводящих областях система уравнений относится к параболическому типу, а в непроводящих – к эллиптическому [75, 77, 81, 82, 88, 90, 91, 94].

Для преодоления этой проблемы используются различные, технически достаточно сложные, подходы. Например, для описания полей в непроводящей части используется теория потенциала, в результате получается задача для определения полей в проводящей части с нелокальными интегральными граничными условиями на поверхности раздела проводящих и непроводящих сред.

В диссертации для решения задач с использованием векторного магнитного потенциала и скалярного электрического потенциала предлагаются модифицированные калибровочные соотношения вида div = 0 и = -div.

При этих соотношениях задача об определении векторного магнитного потенциала решается независимо от задачи об определении скалярного электрического потенциала . При этом показано, что оба калибровочных соотношения корректны в том смысле, что найденные по формулам (11) поля соответствуют исходной постановке задачи. Установлена связь между векторными потенциалами при двух различных калибровочных соотношениях. При этом показано, что Ак — А при к — оо по норме функционального пространства, определенного постановкой задачи (Ак - решение, соответствующее калибровочному соотношению tp = — к diva А).

Также в III главе при изучении задачи в неограниченной области (Q = К. ) с компактной проводящей подобластью с использованием оценок скалярных произведений, полученных в I главе, устанавливается корректность соответствующей параболо-эллиптической задачи в результате непосредственного применения теоремы Лионса для эволюционных уравнений [44].

В диссертации изучается обратная задача финального наблюдения для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении. Различные подходы к решению обратных задач отражены в работах [104-153].

Основы теории решения обратных задач были заложены в классических работах А.Н. Тихонова [145-147], М.М. Лаврентьева [124-127], В.К. Иванова [121], Ю.С. Осипова [132, 133] и получили дальнейшее развитие в работах А.Б Бакушинского [112, 113], В.В. Васина [117, 118], СИ. Кабанихина [122, 123], А.В. Кряжимского [105], А.С. Леонова [128], В.Г. Романова [138-141]. Важные теоретические и актуальные прикладные результаты получены в работах В.И. Агошкова [177], Г.В. Алексеева [157], А.М. Денисова [108,149], В.И. Дмитриева [109], А.И. Короткого [151-153], В.И. Максимова [129-131], В.А. Морозов [106], М.М. Потапова [134, 135], А.И. Прилепко [111, 136, 137], М.И. Сумина [142-144], А.Г. Яго-лы [150].

Обратные задачи и задачи оптимизации, связанные с электромагнитными процессами рассматривались в работах [139-141, 154-159].

В диссертации для решения рассматриваемой обратной задачи используется метод двойственной регуляризации, имеющий оптимизационную природу, развитый в работах М.И. Сумина.

Также в III главе приводится строгое обоснование постановки задачи для определения напряженности магнитного поля, в которой условие соленоидальности является экспоненциально устойчивым, предложенной в работе [77].

При решении всех задач III главы использовались формулировки в виде интегральных тождеств. Для изучения этих формулировок и доказательства основных результатов использовались оценки скалярных произведений векторных полей, полученные в I главе.

Для соответствующих стационарных задач в диссертации также расм-мотрны постановки в полях и , в потенциалах , с модифицированными калибровочными соотношениями, обоснована корректность применения модифицированных калибровочных соотношений с использованием оценок для скалярных произведений, исслдеованы асимптотические свойства решений стационарных задач для системы уравнений Максвелла в неоднородных средах, содержащих слабопроводящие и непроводящие включения в зависимости от малого параметра – проводимости сла-бопроводящих включений.

Квазистационарное электрическое приближение является основой для описания переходных явлений в атмосфере Земли. Физические аспекты применения этого приближения для решения задач атмосферного электричества и объяснения такого явления как глобальная электрическая цепь в атмосфере Земли изучается в работах [160–191].

Стационарная система уравнений Максвелла

В этой главе иллюстрируются возможности применения полученных в первой главе оценок скалярных произведений векторных полей для системы уравнений Максвелла, описывающей стационарные электрические и магнитные поля в неоднородных средах. Рассматриваются вариационные формулировки основных задач в терминах полей , и потенциалов и . В последнем случае анализируются предложенные в работе калибровочные соотношения, позволяющие в неоднородных средах разделить задачу об определении векторного потенциала и скалярного потенциала на две независимые задачи. Доказываются теоремы о существовании и единственности решений соответствующих задач в терминах полей и потенциалов при достаточно общих условиях на коэффициенты системы. Исследуются асимптотические свойства решений в зависимости от коэффициентов. Возможность применения оценок скалярных произведений векторных полей иллюстрируется также на примерах некоторых нелинейных задач и задач в неограниченных областях.

Для изучения задач в неоднородных средах к введенным выше функциональным пространствам необходимо добавить некоторые специальные функциональные пространства. Всюду будет предполагаться, что Q - открытое ограниченное подмножество К. с границей Г класса С , гомеоморфное шару.

Обозначим через \L2iri\\l)) гильбертово пространство с элемента ми из {Ь2(ІІ) и со скалярным произведением (U,V) = п порождающим ввиду (2.1) норму, эквивалентную -2п. Пусть Я гл \ - ( т /гл\Т 3 _ тт с\\ (div 77; ) = \ и Є \Li2 \Щ\ TJU Є ti (div; \l) , iio (div 77; S2J = и Є {1 2 ( J j Щ Є Ho (div; і 2) , і\ (div 77; ) = і и Є {1 2 ( J j : 77м Є К (div; і 2) , KQ (div 77; Q) = К (div 77; Г2) П Щ (div 77; Г2), W (div77; Q) = H (div77; Г2) П H (rot; Г2), Wo (div 77; Г2) = Щ (div77; Г2) П H (rot; Г2), VK (div rj;Q) = H (div 77; Г2) П Дэ (rot; Г2), У (div 77; Г2) = W (div 77; Г2) П К (div 77; Г2), Vo (div 77; Г2) = Wo (div 77; Г2) П К (div 77; Г2), V (div r]]Q) = W (div 77; Г2) П К (div 77; Г2). Пространства такого вида рассматривались в работах [30, 46, 49, 218]. Справедливы следующие утверждения 100 Лемма 2.1 (Леммы 2.1, 2.2 [218]) Н (div77; Г2), Щ (div77; Г2), ІІГ (div77; Г2), ІІГ0 (div77; Q), W0 (div77; ), VK (div77; Q), VА (div77; f2); V0 (div77; Q), V (div77; Q), W (div 77; Q) - сепарабельные гильбертовы пространства с соответствующими скалярными произведениями

Лемма 2.2 (леммы 3.3, 3.4 [218]) Каждый элемент w Є W (div77; Г2) однозначно представим в виде w = v + grad(/?; где v Є V (divr]]Q), tp Є H0 (Q) , причем (v grad (/9) ( 7) = 0; соответственно, каждый элемент w Є W0 (div 77; Г2) однозначно представим в виде w = v + g, где v Є V0 (div77; f2); g E К (rot, Г2); причем (v g)v(Q) = 0. Лемма 2.3 (леммы 3.8, 3.9 [30], леммы 3.5, 3.6 [218]) К (div77; ) - ортогональное дополнение в {ІУ2ІГ?(Г2)} к К (div 77; Q) совпадает с множеством { gradp : р Є 1 0 (Г2) } ; К0 (div 77; Q) - ортогональное дополнение в {ІУ2ІГ?(Г2)} к К0 (div 77; Q) совпадает с множеством К (rot; Q). Лемма 2.4 (леммы 3.7–3.10[218]) Следующие вложения плотны и непрерывны: V (div 77; Q) С К (div 77; Q); V0 (div 77; Q) С К0 (div 77; Q); W (divr]]Q)P\K (divr]]Q) zK (div 77; Г2); W0 (div 77; Q) П К (rot; Q) С К (rot; Q). 101 Легко доказываются Лемма 2.5. Если ІЇ Е К (rot; Q), v Є Щ (rot; Q), то (ІЇ rot v)2yn = 0. Лемма 2.6. Пусть ІЇ Є ІІГ (rot;f2) П і о (rot; il)7 v Є i/(rot;f2). Тогда (ІЇ rottf)2,n = 0. Лемма 2.7 (неравенство Пуанкаре при р = 2) Пусть Q - открытое ограниченное подмножество Ж класса С . Тогда существует положительная постоянная T(Q) 0, зависящая только от области Q, такая что при каждом и Є Н (Q) найдется такая постоянная Си, что (и(х) — Си) dx T(Q) I gradw dx. (2.2) Лемма 2.8 (лемма Лакса-Мильграма, гл. 1(1.2.2)[44]) Пусть Н- гильбертово пространство со скалярным произведением (, )#; а(-, ) : Н х Н — Ж - билинейная форма, такая, что существуют положительные постоянные т, М такие, что при всех v, w Є Н справедливы неравенства \a(v,w)\ М (V,V)JJ (W,W)JJ , a (v,v) т (v,v)H , (2.3) / : Н —. - линейный ограниченный функционал. Тогда существует единственный элемент и Є Н, удовлетворяющий равенству а (и, v) = I (v), при всех V Є Н. Также справедливы следующие леммы Лемма 2.9. Пусть Q - открытое ограниченное подмножество Ж с границей Г класса С гомеоморфное шару. Тогда для всех и Є W (div г]] )

Отметим, что утверждения лемм 2.9, 2.10 могут быть получены и другими способами. Приведем вариант доказательства, не использующий оценки скалярных произведений. Пусть Q - открытое ограниченное подмножество К. . Справедлива Лемма 2.11 (неравенство Фридрихса [213]) Существует постоянная cp(Q) о 0, зависящая только от области Q такая, что при всех ф ЄН {&) выполнено ф dx cp(Q) grad dx. (2.9) Приведем вариант доказательства лемм 2.9, 2.10 опирающееся на утверждение следующей леммы. 104 Лемма 2.12 (гл. I, лемма 3.4 [23]) Пусть Q - область класса С го-меоморфная шару. Тогда существует постоянная Co(Q) О, зависящая только от области Q такая, что при всех v Є /o(rot; Q) П K(div; Q) выполнено \v\ dx CQ(Q) \rotv\2dx. (2.10) Q Q Лемма 2.13. Пусть г] : {L2( )} — {L2( )} - линейный ограниченный самосопряженный оператор, удовлетворяющий при всехw Є {L2( )} условиям T] \\W\\2Q (l]W,w)2,n ? І2П5 (2.11) где ту 0, ту 0 – положительные постоянные, не зависящие от выбора w Є {L2( )} . Тогда при всех и Є Щітоі ; Q)P\H(divr]] Q) справедливо неравенство

Краевые задачи в областях с непроводящими и слабопро-водящими включениями

Приводятся различные обобщенные постановки начально-краевых задач для системы уравнений в частных производных, соответствующей системе Максвелла в квазистационарном магнитном приближении. Доказываются теоремы о существовании и единственности решений. Изучается связь между задачами в терминах векторного потенциала при различных калибровочных соотношениях и доказывается их эквивалентность соответствующим задачам в терминах напряженности магнитного поля.

Рассматривается задача о создании электромагнитного поля заданной конфигурации в результате квазистационарного управляемого процесса с помощью источников (объемной плотности токов). Математически эта задача может быть сформулирована как обратная задача финального наблюдения для дифференциального уравнения, описывающего напряженность магнитного поля или векторный магнитный потенциал.

Обсуждаются алгоритмы для решения указанных обратных задач, основанные на методе двойственной регуляризации, изложенном в работах [142].

Здесь приводятся используемые в дальнейшем сведения из теории эволюционных уравнений в гильбертовом пространстве [211, гл.XVIII], [215, гл.IV], [44, гл.III, 1].

Пусть X - банахово пространство с сопряженным X , Т 0. Значение функционала / Є X в точке х Є X обозначается /, х . Функция и : (0,Т) — X называется деминепрерывной, если для каждого / Є X функция (f,u(t)) непрерывна; функция и : (0,Т) — X называется дифференцируемой в точке Є (0,Т), если существует элемент u(t + h) — u(t) х Є X, для которого Iim ж =0. (Элемент х назы /і- 0 h x вается производной от и в точке t: х = u (t).) Функция и : (0,Т) — X называется слабо дифференцируемой в точке Є (0,Т), если существует it( + h) — u(t) элемент ж Є X, для которого Нт(/, х) = 0 при всех /i- 0 h f Є X . (Элемент х называется слабой производной от и в точке t.) С (0,Т, X) - множество функций из [0,Т] в X, обладающих непрерывными производными до порядка к включительно; Сш(0,Т,Х) - множество функций из [0,Т] в X, обладающих деминепрерывными слабыми производными до порядка к включительно; Lp(0,T, X), 1 р оо пространство классов эквивалентных измеримых по Бохнеру функций из (0,) в , для которых ИВ ь 7" Ґ (\ ГТ1 \г\ о xat оо, -ЦДІ), і , X J банахово простран во пространство, пространство 2(0,,) со скалярным произведением ство с нормой lip;X = И Р ы т тт Ґ xat . о случае, когда Н - ГИЛЬОЄрТО tX, и) 1,2(0,Т,Н) ((), ()) также является гильбертовым. 151 Лемма 3.1 (гл.III, лемма 1.1 [44]) Пусть функции и Є Li(0,T, X), д Є Li(0, Т, X). Тогда и = g в смысле распределений на (О, Т) со значениями в X в том и только в том случае, если для каждого ц Є X выполнено — m, и) = ш, g) at в смысле скалярных распределений на (0,Т). При этом функция и эквивалентна некоторой непрерывной функции из (0,Т) в X.

Пусть У, Н - сепарабельные гильбертовы пространства, V С Н непрерывно и плотно вложено в Н. Отождествляя по теореме Рисса Н и Н , можно записать V С Н = 77 С У , где 77 также плотно и непрерывно вложено в V . Очевидно, справедливо (/, м)я = (/, и) для всех f є Н, и Є V. Пусть W = {и Е L2 (О, Т, У) : it Є iv2 (О, Т, V )} . Пространство W - банахово пространство с нормой \W\w = \\U\\L2(O,T,V) + IMI Справедливы следующие леммы Лемма 3.2. Множество С (0,T,V) П W плотно в W. Лемма 3.3. W непрерывно вложено в С (О, Т, Н). Для всех и Є W справедливо следующее равенство, выполняющееся в смысле скалярных распределений на (0,Т): d I 2 / / \ — it = 2 (и ,и) . at 152 Пусть а(.,.) - симметричная билинейная непрерывная коэрцитив тг / \ . II 2 / \ II II II II ная форма на V (для всех и, v Є V а [и, и) OL\ \\Щ , a {u,v) а2 \\и\\ \\v\\, где OL\ О, а2 0 - постоянные, не зависящие от U,U Є V). Тогда для всех и, v Є L2 (О, Т, У) т a(u(t),v(t))dt а2 \\u\\L Ty) ЫЫоуу), a(u(t) ,u(t)) dt «і \\u\\L ,Q ту) о T Следовательно, (() , ()) – также симметричная билинейная непре рывная коэрцитивная форма на L2 (0,Т, У). Для каждого ш У через Aw обозначим элемент из V такой, что для всех v Є V выполнено (Aw,v) = a(w,v). Тогда для и Є L2(0,T,V) Аи Є L2(0,T, V ) и тем самым определен оператор А : L2 (О, Т, У) — L2 (О, Т, У ). Пусть / Є L2(0,T, У ), /г Є і/. Рассмотрим задачу определения функции it Є L2 (0,Т, У), удовлетворяющей равенству d — (и, V) + а ш, -и) = (/, -и) при всех -и Є К (3-І) at и начальному условию м(0) = h. (3-2) Заметим, что если и Е L2 (0, Т, V) - решение задачи (3.1), то согласно леммам 3.1, 3.3, и = f — Аи Є L2 (0, Т, У ), и Є VK С С (0, Т, 77) и, следовательно, начальное условие (3.2) имеет смысл.

Теорема 3.1. Задача (3.1); (3.2) имеет единственное решение и Є L2 (0,Т, У). 77ри этом и Є VK С С (0, Т, ії"); соответствие h — it как отображение 153 из И в С (0,Т, Н) непрерывно и справедлива оценка II \\С(0,Т,Н) 1112(0,Т,V) Jj 1112(o,r,v ) г ІгЧІ-Н где константа С 0 не зависит от f, h. Лемма 3.4. Если в (3.1); (3.2) / є L2 (0,Т, i/); h Е V, той Є L2 (О, Т, 77). Теорема 3.2. Пусть f Є С (0,Т,Н), элемент h Є V таков, что \a(h,v)\ K\V\ для всех v Є V. Тогда для решения задачи (3.1); (3.2) справедливо включение и Є Сш (О, Т, 77) П С (О, Т, У). 3.2. Начально-краевые задачи в терминах напряженности магнитного поля Система уравнений Максвелла в нерелятивистском магнитном приближении в гауссовой системе единиц записывается в виде ([1, 2]): rot Н (x,t) = —J (ж, t), (3.3) с div В (ж, t) = 0, (3.4) ,- 1 9Б rot / (x,t) = — (x,t), (3.5) С ОТ div D (ж, ) = 47гр (ж, ), (3.6) где (x,t) Є QT = Г2 х (0,Т), і/ : QT Ж , : QT - Ж , Е : QT - Ж , J : QT — Ж , .D : QT Ж и p : QT — Ж - неизвестные функции, Г2 С К. - ограниченная область класса С , гомеоморфная шару в Ж , с границей Г, на которой почти всюду определен единичный вектор внешней нормали v(x), Т 0.

Итерационный алгоритм нахождения квазистаци онарного электрического поля

Система уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении (нерелятивистское электрическое приближение) [2] используется при моделировании достаточно медленных электромагнитных процессов в средах с достаточно малой проводимостью. В основе этого приближения лежит предположение о потенциальности электрического поля. Это означает, что в нестационарной системе уравнений Максвелла вместо уравнения rot = - записывается уравнение rot = 0. Это приближение традиционно используется для описания переходных 200 электрических процессов, происходящих в атмосфере Земли [162, 167, 171, 177, 189].

Таким образом, в квазистационарном электрическом приближении система уравнений Максвелла с материальными соотношениями записывается в виде [2]: rot H(x,t) =—J(x,t)-\ , rot E(x,t) = О, (4.1) с с at divD(a?, t) = Аж p(x,t), div B(x,t) = 0, (4.2) B(x,t) = p,(x)H(x,t), D(x,t) = e(x)E(x,t), (4.3) J(x,t) = a(x)E(x,t) + JCT(x,t). (4.4) Здесь x Є Q, t Є (0, T) (T 0), Q С Ж - открытая ограниченная область с границей dQ = Г. Неизвестными являются вектор-функции Е, Н, D, В, J и скалярная функция р. Учитывая материальные соотношения (4.3), (4.4) запишем систему уравнений для определения rot H(x,t) и E(x,t), следующую из (4.1) є(х)—Е(х, t) + 4:7ia(x)E(x,t) + 4-7rJ (x,t) = crot H(x,t), (4.5) at rot E(x, t) = 0. (4.6) Имея в виду прикладные задачи теории атмосферного электричества, сделаем следующие предположения относительно области Q С Ж , коэффициентов и граничных условий для системы уравнений (4.1)-(4.4).

Будем предполагать, что Q С Ж - открытое ограниченное односвяз-ное подмножество Ж с границей Г = Г і UT2, состоящей из двух связных компонент Гі и Г2 класса С , каждая из которых гомеоморфна сфере S1 = {і Е 1 : ж = 1}. В соответствии с прикладной интерпретацией постановки задачи область Г2, занимаемая атмосферой, ограничена поверхностью Земли (Гі) и некоторой поверхностью Г2, ограничивающей

атмосферу «сверху», в частности, это может быть условная поверхность, разделяющая атмосферу и ионосферу.

С точки зрения проводимости атмосфера является существенно неоднородной средой. В частности, проводимость a(x,t) существенно зависит от химического состава атмосферы в данном регионе в данный момент времени; может меняться в десятки раз в областях, занятых облаками; проводимость увеличивается при удалении от поверхности Земли по экспоненциальному закону, что связано с увеличением концентрации ионов при удалении от поверхности Земли (на высоте порядка 70 км проводимость в тысячи раз больше, чем в приповерхностном слое [174]); если в приповерхностном слое атмосферы проводимость можно считать изотропной, то на больших высотах проводимость становится существенно анизотропной, что объясняется возрастанием роли магнитного поля Земли в механизмах проводимости в разреженной среде.

В последнем случае проводимость а является тензором, который в некоторой декартовой системе координат может быть представлен в виде [174, 180] (4.7) О" = 0 0 0 7р — 0"н о"н сгр Здесь первая координатная ось параллельна магнитному полю, 7ц, ар и о"н — соответственно продольная, педерсеновская и холловская проводимости. В этом случае, согласно (4.4) J = (Гц ( Е ho ) ho + op ( Е — (E-ho)ho) — сгцЕ х ho + JCT, где ho = Hi н Обычно предполагается, что 0, где 0 – напря женность магнитного поля Земли. 202 По своему физическом смыслу функции 7ц, 7р и о"н должны при всех х Є Vt удовлетворять условиям (Гц, 7р, о"н Є Ь(Г2), (4.8) essinf (Гц 0, essinf (7р 0. (4.9) Поэтому для каждого = {ь25з} ( ) = H i + аР 2 + Р З — а \С\ і (4.10) где 7 = min{essinf 7ц,essinf 7р}, « 1, 2, 3 – координаты в декартовой системе координат, в которой представлен тензор а (4.7).

В рассматриваемых задачах плотность стороннего тока JCT(x, t) считается заданной функцией. Ток JCT описывает процессы разделения зарядов в областях атмосферы с развитой электрической структурой (ме-зомасштабные конвективные системы, грозовые облака и др.) В настоящее время общепринятой является точка зрения Вильсона [182, 183], согласно которой именно грозовые облака являются основным генератором глобальной электрической цепи в атмосфере. Таким образом, функция JCT(x,t) описывает пространственно-временное распределение грозовых облаков в атмосфере.

В дальнейшем будет предполагаться, что JCT(x,t) Є (О, Т, {ІУ2(Г2)} ). (4.11) Обычно в задачах атмосферного электричества считается є = /І = 1, (4.12) поэтому уравнение (4.5) переходит в уравнение —Е(х, t) + 47Г(т(х)Е(х, t) + 4-7rJCT(:r, t) = crot H(x, t) (4.13)

Основной рассматриваемой в этой главе задачей является задача определения напряженности электрического поля E(x,t). Если электрическое поле E(x,t) будет определено, то зная rot Н(х, t), (из (4.13)) и учитывая условие соленоидальности div(jjH) = div Н = О, при соответствующих граничных условиях может быть найдена и напряженность магнитного поля в результате решения соответствующей задачи магнитостатики (гл. 2 настоящей диссертации).

Одна из возможных постановок задач для определения Е и с rot Н получится, если систему (4.13),(4.6) дополнить граничным и начальным условиями Е(х,t) х v(x) = О (ж Є Г), (4.14) E(x,t) = EQ(X). (4.15) t=o Возможность использования граничных условий (4.14) обусловлена тем, что поверхность Земли (граница Гі) и поверхность, ограничивающая атмосферу (граница Г2), могут считаться идеальными проводниками (при удалении от Земли проводимость атмосферы растет по экспоненциальному закону [162, 178]).