Синтез оптимального управления в теории дифференциальных уравнений с последействием Гуменникова, Юлия Валериевна

Введение к работе

з

Актуальность темы. Многочисленные процессы, происходящие в живой природе, экономических системах и технических устройствах характеризуются тем, что их поведение в будущем зависит от предыстории их протекания на некотором промежутке времени. Такие системы с последействием описываются дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом вида

Систематическое изучение таких уравнений началось с работ Л.Э.Эльсгольца и А.Д.Мышкиса и было продолжено такими учеными, как Ю.А.Митропольский, Р.Беллман, К.Кук, А.Б.Куржанский, С.Н.Шиманов, Ю.С.Осипов, В.Б.Колмановский и др. В частности, направление, связанное с устойчивостью рещений систем с последействием, развивалось Н.Н.Красовским и Е.М.Маркушиным, обобщившими известные методы Ляпунова на случай уравнений с последействием. Однако, несмотря на сформулированные и доказанные ими теоремы, общих методов построения квадратичных функционалов Ляпунова-Красовского не существует, что значительно затрудняет применение метода Ляпунова для исследования систем с последействием.

Большое количество регулируемых систем с последействием нейтрального типа описывается дифференциальным уравнением произвольного порядка

где а_к,Ь_к - постоянные коэффициенты;

г - постоянное положительное отклонение аргумента;

/(9) - непрерывная на отрезке запаздывания функция; 4(f) - неизвестное управляющее воздействие. Начальные условия заданы в виде

4) = 9М x>(t)=₉M.,^4 »єі-г,0],

где непрерывно дифференцируемые функции.

Формирование свойств системы с последействием, описываемой уравнением (1), приводит к решению задач стабилизации и оптимальной стабилизации этого уравнения.

Наличие последействия существенно осложняет исследования динамических процессов. Это связано с тем, что решения уравнения (1) не выражаются конечными комбинациями элементарных функций. Кроме того, характеристическая функция уравнения (1) может иметь бесконечное множество корней с положительной действительной частью. Полученное в результате решения задач стабилизации управление представляет собой линейную комбинацию обобщенных координат системы, число которых при наличии последействия бесконечно. Это приводит к необходимости дополнительных исследований формируемых управляющих воздействий (ограниченности и сходимости).

Цель работы. Целью работы является решение задач исследования, стабилизации и оптимальной стабилизации систем с последействием нейтрального типа, описываемых дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом произвольного порядка п.

Научную новизну результатов представляют:

1. развиваемый в диссертации способ исследования систем с последействием, в основе которого лежит идея перехода от уравнения и-го порядка к счетной системе обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка;

2. методы синтеза систем, обладающих заданными спектром;

3. решение задачи аналитического конструирования оптимального регулятора для систем с последействием нейтрального типа.

Теоретическая ценность работы. Полученные результаты носят теоретический характер. Разработанные способы исследования стабилизации и оптимальной стабилизации решений уравнений с запаздыванием могут быть использованы для исследования динамических процессов, происходящих в реальных системах с последействием, а также для обеспечения указанным процессам устойчивости.

Апробация работы. Отдельные вопросы и разделы диссертации докладывались на семинарах доктора физ.-мат. наук, профессора Е.М.Маркушина в Самарском институте инженеров железнодорожного транспорта (Самара, 1994, 1995, 1997), на IX и X Межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самарском государственном техническом университете (Самара, 1999, 2000), на семинарах доктора физ. - мат. наук, проф. В.И. Жегалова в Казанском государственном университете ( Казань, 2000), докторов физ.-мат. наук, проф. В.А. Соболева и О.П. Филатова в Самарском государственном университете ( Самара, 2000), доктора физ.-мат. наук, проф. В.Ф. Волкодавова в Самарском государственном педагогическом университете ( Самара, 2000).

На защиту выносятся:

4. способ исследования уравнений нейтрального типа, состоящий в замене уравнения с последействием л-го порядка системой обыкновенных дифференциальных уравнений;

5. решение задачи перемещения корней характеристической функции уравнения с последействием в любые, наперед заданные точки комплексной плоскости;

6. метод синтеза системы с последействием нейтрального типа, обладающей заданным спектром;

7. решение задачи оптимальной стабилизации систем с последействием нейтрального типа.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 81 странице машинописного текста и состоит из введения, пяти глав, заключения и библиографии, содержащей 54 наименования.