Введение к работе
Актуальность темы. Современная теория синтеза регуляторов для динамических объектов управления имеет многочисленные приложения в задачах разработки электрических и механических систем и в то же время содержит ряд самостоятельных математических разделов. Математические задачи синтеза регуляторов являются основным предметом исследования на страницах многих крупнейших международных журналов по теории управления и ряда регулярных конференций IEEE, IFAC и других организаций. Одна из центральных задач синтеза состоит в подавлении возмущений, присутствующих в модели динамического объекта. Эта задача, поставленная как оптимизационная, относится к теории дифференциальных игр, и ее изучение является основной целью данной работы.
Основы теории синтеза линейных оптимальных систем были заложены в работах А.Н.Колмогорова, Н.Винера, А.М.Легова, Р.С.Бьюси, Ж.-Л. Лио-нса. Развитие математического аппарата и особенно вычислительных методов (В.Б.Ларин, Д.С.Юла, В.Н.Фомин, Б.Д.О.Андерсон и др.) привело к созданию линейно-квадратичной теории оптимального управления, являющейся разделом теории гильбертовых пространств. В данной работе исследованы линейно-квадратичные задачи с дополнительными ограничениями: сильной устойчивости регулятора, введенной М.Видьясагаром, и различных форм реализуемости, введенных В.А.Якубовичем.
Если возмущение ограничено в равномерной метрике, то оптимизационная задача синтеза становится игровой, а математический аппарат связан с анализом динамики совместимых множеств. В 70-е годы теория множественной идентификации и минимаксного управления была создана в работах А.В.Куржанского, Ф.Л.Черноусько, В.М.Кунцевича, В.А.Якубовича. По аналогии с линейно-квадратичной стохастической теорией автором в 1984 г. была рассмотрена минимаксная задача с показателем качества и ограничениями на возмущение, инвариантными относительно сдвига во времени [9]. В 1987 г. полностью аналогичный результат был опубликован М.Дахлехом и Дж. Пирсоном, и эта статья была признана лучшей статьей года в журнале IEEE Trans, on Automat. Control. В начале 90-х годов большое число публикаций в этом направлении оформило теорию ^-оптимального управления, которой в настоящее время посвящаются минисимпозиумы и секции на крупнейших конференциях по математической теории управления. Ей посвящена монография автора [8), состоящая почти целиком из новых результатов.
Математическая задача ^-оптимального управления для объекта в непрерывном времени состоит в минимизации нормы отображения, определяемого дифференциальным уравнением объекта, из пространства (0, со) в себя на классе допустимых стратегий управления. Методы изучения этих задач активно используют теорию двойственности, теорему о седловой точке и относятся к бесконечномерному выпуклому анализу. Для задач с интегральными или терминальными функционалами качества эти методы были впервые применены в монографии А.В.Куржанского "Управление и наблюдение в условиях неопределенности'' (М., 1977). Разработанная автором диссертации и представленная в главах 1-5 теория Iі-оптимального управления представляет собой развитие этих методов для инвариантных относительно сдвига систем с равномерным функционалом качества.
Вторая часть диссертации в основном посвящена дифференциальным играм, относящимся к теории К-оптимального управления. Исследование запасов устойчивости и грубости систем автоматического управления привело в начале 80-х годов к созданию теории ^""-оптимального управления, которая по существу является минимаксным обобщением линейно-квадратичной теории синтеза регуляторов. Первые результаты в работах Дж.3еймса, М.Сафонова, ДжДойла были быстро подхвачены и развиты в многочисленных публикациях и на специальных конференциях, организованных научными обществами ІЕЕБ и ІБЕ. Была найдена алгебраическая связь с задачами Неванлинны-Пика, проблемой наилучшего приближения аналитическими функциями, восходящей к полиномам Чебышева и методу моментов Маркова и включающей задачу Нехари, а также с последними аналитическими результатами в этой области, принадлежащими М.Г.Крейну, В.М.Адамяну, Д.З.Арову. В настоящее время известны несколько различных методов решения стандарт-вой задачи 'Н00-оптимального управления: путем сведения к задаче Нехари (монография В.Френсиса), метод двух уравнений Лурье-Риккати (К.Гловер, Дж. Дойл), полиномиальный подход (Х.Квакернаак), метод неущербной факторизации (ХКимура). Начиная с работы А. ван дер Шафта эти методы переносятся на нелинейные системы управления. В главе 9 представлено новое решение этой задачи, связанное с понятиями полиномиального алгебраического уравнения Риккати и матричной полиномиальной факторизации с ограничением на степени. Одновременно найдена алгебраическая связь спектрального алгоритма и метода уравнений Лурье-Риккати.
В главе 7 автором была впервые поставлена минимаксная линейно-квадратичная задача управления как дифференциальная игра в классе позиционных стратегий. Позицией является вектор состояний объекта управления и оставшийся ресурс анергии у игрока, выбирающего возмущение. В соответствии с теорией позиционных дифференциальных игр, разработанной Н.Н.Красовским и А.И.Су бботиным, определены классы стратегий игроков, доказано существование цены игры, найдены явно оптимальные стратегии и исследованы их свойства непрерывности.
В Главе 8 задача ^""-оптимального управления поставлена в классе произвольных нелинейных лишпилевых операторов в уравнении регулятора. В замкнутой нелинейной системе минимизируется константа Липшица в норме Цос от возмущений к выходным переменным. Эта задача занимает промежуточное положение между чисто линейными и общими нелинейными системами, однако утверждения являются безусловными и содержат полную параметризацию субоптимальных регуляторов, чего не удается достичь для нелинейных объектов.
Часть 3 содержит задачи адаптивного управления и оценивания, прикладные задачи синтеза регуляторов и задачи с дополнительными ограничениями. Системам адаптивного управления линейным объектом посвящено большое количество публикаций, начиная с работ В.А.Якубовича, В.Н.Фомива, Я.З.Цыпкина, Б.Н.Петрова, В.М.Кунцевича и др. В Главе 10 изучается система адаптивного управления линейным скалярным объектом с идентификатором по методу наименьших квадратов (МНК). Свойства сходимости МНК с белым шумом в уравнении наблюдения изучаются на протяжении двух столетий. В монографиях Ю.В.Линника, Б.Д.О.Андерсона и др. сформулированы асимптотические свойства и скорость сходимости алгоритма при условии не-
зависимости регрессоров от обновляющего процесса. В системах адаптивного управления возникает мало исследованный случай: регрессоры зависят от предыстории и интерес представляет сходимость почти наверное. В главе 10 доказано, что траектории оценок МНК в этом случае могут не только не сходиться, но и быть п. н. неограниченными. Построены алгоритмы адаптивного управления, при которых сходимость гарантируется. В 10.3 ставится задача критериальной сходимости алгоритма адаптации, относящаяся к теории стохастической оптимизации, развитой в работах Б.Т.Поляка и Я.З.Цьшкина.
Задача оптимального адаптивного управления при равномерных ограничениях на возмущение исследована в главе 11. Первые результаты в этой теории принадлежат В.АЛкубовичу, А.Б.Куржанскому и В.М.Кунцевичу. Задача синтеза і'-оптимальной адаптивной системы управления впервые поставлена В.Ф.Соколовым и решена им для частных случаев. Адаптивные системы управления с идентификаторами всегда нелинейны, и задачи синтеза оптимальных регуляторов могут рассматриваться как нелинейные обобщения линейной теории Z1- и №-оптимальяого управления, рассмотренной в первых двух главах.
Цель работы. Многие практически важные задачи синтеза устройств, компенсирующих возмущения, могут быть поставлены как математические задачи оптимизации или дифференциальные игры. Различные виды ограничений на возмущения и различные типы показателей качества работы системы порождают задачи оптимизации, относящиеся к бесконечномерному выпуклому анализу, к теории гильбертовых пространств, к теории вероятностей и т. д. Решение возникающих дифференциальных или разностных игр было целью проведенной работы.
Построена теория ^-оптимального управления, являющаяся минимаксным аналогом стохастической линейно-квадратичной теории синтеза регуляторов для систем с равномерными ограничениями на возмущения. Решены новые задачи теории Н^-оптимального управления и теории адаптивного управления. Разработаны вычислительные алгоритмы, примененные в ряде задач управления, техническими, системами.
Научная новизна. Все утверждения и все математические идеи решения поставленных в работе задач являются новыми и принадлежат автору.
Практическая ценность. Следящие системы, системы автосопровождения, демпфирования и др. являются по существу системами подавления возмущений. Они широко распространены в электротехнике и механике и применяются всюду, где требуется повышение точности работы устройств. Точная формулировка ограничений в конкретной технической задаче осуществляется специалистом данной предметной области, а возникающая математическая задача должна иметь решение, доведенное до вычислительных алгоритмов. Данная работа представляет собой коллекцию таких математических задач и алгоритмов расчета решений.
Кроме того, подробно рассмотрены следующие задачи синтеза следящих систем: синтез авторулевого для линейной модели судна методами адаптивного ^-оптимального управления (11.3) и Т^-оптимального управления (11.4); компенсация скачков нагрузки в автономной системе энергоснабжения (12.4); синтез адаптивной системы слежения при больших и неизвестных интенсив-ностях шума измерения (12.5); синтез робота-велосипедиста (1.5); синтез регулятора активной подвески автомобиля по простейшей модели с равномерно
ограниченной невязкой (1-5).
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: 3, 4 и 5 Ленинградские симпозиумы "Теория адаптивных систем" (Ленинград, 1976,1979, 1991), 4 и 8 Всесоюзные конференции по управлению в механических системах (Москва, 1982; Свердловск, 1990), 2 и 3 Всесоюзные летние школы "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Иркутск, 1982 и 1985), Всесоюзная конференция "Теория адаптивных системи ее приложения" (Ленинград, 1983), 2 Республиканская школа-семинар "Математическая теория систем и прикладные исследования" (Киев, 1984), 4, 5, 6 и 7 Всесоюзные школы-семинары "Непараметрические и робаствые методы статистики в кибернетике" (Томск, 1982 и 1987; Шушенское, 1985; Иркутск, 1990), 12 и 13 Всесоюзные школы-семинары по адаптивным системам (Могилев, 1984; Звенигород, 1986), 2 Симпозиум ИФАК по стохастическому управлению (Вильнюс, 1986), 12 Всесоюзная математическая школа по теории управления и исследованию операций (Ижевск, 1989), 11 Всесоюзное совещание по проблемам управления (Ташкент, 1989), Семинар ИФАК по адаптивным системам и его приложениям. (Тбилиси, 1989), Всесоюзная конференция "Применение статистических методов в производстве и управлении" (Пермь, 1990), Семинар института Эйлера "Нелинейныйи игровой синтез управления" (С.-Петербург, 1995), 2 и 3 Европейские конференции по управлению (Гронингев, Нидерланды, 1993; Рим, 1995), Азиатская конференция по управлению (Токио, 1994), симпозиум ИФАК по робастному синтезу управления (Рио-де-Жанейро, 1994), 33, 34 и 35 конференции ІЕЕБ по управлению и принятию решений (Флорида, 1994; Новый Орлеан, 1995; Кобе, 1996), 3 Международный семинар "Негладкие и разрывные задачи управления" (С.-Петербург, 1995), 1 и 2 Российско-шведские конференции по управлению (Линчелинг, 1992; С.-Петербург, 1995), Американская конференция по управлению (Сиаттл, 1995), Воронежская школа "Пон-трягинские чтения - 7" (Воронеж, 1996), 4 Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 1996), 3 Украинская конференция по автоматическому управлению (Севастополь, 1996), а также на семинарах Московского государственного университета, Института математики и механики УНЦ АН СССР (г. Свердловск), Института кибернетики (г. Киев), ЛО Математического института АН СССР (г. Ленинград), Ленинградского политехнического института, Института проблем управления (г. Москва), Московского института електронного машиностроения, университетов городов Лунд, Линчединг и Стокгольм (Швеция), и С.-Петербургского государственного университета.
Публикации. Результаты работы представлены в 52 публикациях.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех частей, разбитых в целом на 12 глав и 59 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем работы 482 страницы, список литературы содержит 240 наименований.