Введение к работе
Актуальность. В последние десятилетия в связи с приложениями резко возрос интерес к сингулярным и виро'кдающиися уравнениям в частных производных. Основополагающей в этом направлении была известная работа М.В.Келдыша. В дальнейшем его постановки краевых задач J и Е были перенесены в различных форлах на широкие классы уравнений С.М.Никольским, А.В.Вицацэе, Л.Д.Кудрявцевым, И.А. Киприяновш, П.И.Лизоршіньм, М.И.Видаком, В.В.Грушиным, Х.Тркбелем и многими другими. На в&'шость изучения в случае сильного вырок-. дения весовых краевых задач указал А.В.Бицадзе. Весовые краевые задачи для эллиптических и гиперболических уравнений изучались в работах Д.-Л.Диоиса, А.Вайнштейна, П.И.Лизоркнна, А.А-.Вашарина, М.М. Смирнова, С.А.Терсенова, Г.Н.Яковлева, А.Й.Януааускаса, Р.Кэррола,, Р.Шоуолтера и других авторов.
Уравнения с сильным вырожденней естественным образом возникают в теории особенностей решений эллиптических уравнений. Классические результаты получены здесь Н.Винером и М.В.Келдышем. Современное состояние предмета описано в книгах Н.С.Ландкофа, Е.М.Лан-диса, И.СШишмарева. Основные результаты этого направления заключаются в выяснении условий, при которых решение будет иметь устранимую особенность, что соответствует постановке задачи Е . Постановка весовых краевых условий без дополнительных ограничений на рост решения в этом случае не возможна. .;.''
.- - .К настоящему времени сложилась такая ситуация, что краевые задачи типа глубоко и разносторонне изучены. Весовые же краевые задачи рассматривались лишь для довольно простых уравнений второго .порядка. Другие постановки краевых условий для уравнений с сильньм выролсдением, которые.заменили бы весовые в случае невозможности постановки последних, с должной глубиной ДО- сих пор не изучались. Такое'положение на наш взгляд можно, объяснить в основном отсутствием подходящего метода,"поскольку обычные методы тео- . рии эллиптических уравнений мало, приспособлены для решения указанных задач, а некоторые из них, например, вариационный метод {по крайней,мере в-его., классической''форме)' для не сильно эллиптических уравнений, а также для уравнений, решения которых имеют особенности высоких порядков, в принципе не применимы. Кроме того, для. изучения ; вирогдаи-ихся . или "сингулярних-'краевых задач' обычно вводят весовые С-ут!кциоі:;ільіа-:е пространства ( отметим в этом плане рабо-
- ч -
ты С.М.Никольского, „Л.Д.Кудрявцеве, И.А.Киприянова, П.И.Лизоршша
и др.; , которые, однако,-'обладают тем характерным свойством,
что порядок особенностей функций из этих пространств уменьшается
с увеличением показателя гладкости. Последнее же обстоятельство,
вообще говоря, не приемлимо, например, при весовой постановке крае
вых, условий.
Целью диссертации является постановка новых весовых и нелока
льных эллиптических краевых задач и исследование их в новых функ
циональных пространствах, а также развитие для этих целей метода
операторов преобразования,. ,
Основным методом исследования в диссертации является метод операторов преобразования. Своим появлением в краевых задачах этот , метод обязан работам Ж.Дельсарта, Ж.-Л.Лионса, Б.Н.Левитана, который дал название операторов Сонина и Пуассона известному классу операторов преобразования. Операторы Сонинаи Пуассона, а также более общие операторы Эрдейи-Кобера нашли широкое применение в теории сингулярных уравнений типа Эйлера-Пуассона-Дарбу (см. монографии S.-Л.Лионса, Р.Кэррола, Р.ІІІоуолтера и недавно вышедшую монографию С.Г.Самко, А.А.Килбаса, О.И*Ыаричева>. В другом плане j операторы преобразования применялись в спектральной теории {см. монографии В.А.Марченко и К.Шадана, П.Сабатье), В диссертации ме- ! тод операторов преобразования получил дальнейшееразвитие. В пер- ' вую очередь это связано с построением на их основе функциональных і пространств типа пространств С.Л.Соболева. Ранее подобные констру- , \ кции с операторами преобразования не проводились, причем применение известны:: операторов преобразования для этих целей оказалось не всегда возможным. В связи с этим в диссертации введены некоторые новые операторы преобразования в одномерном и. многомерном случаях и изучены новые свойства операторов Эрдейи-Кобера и Радона, теория которого изложена в монографиях Й.М.Гельфанда, М.И.Граева, Н.Я.Ви-. ленкина и С.Хелгасока. При этом существенно использовалась теория специальных функций, а также лиулиллевские и другие близкие к ним операторы.
В диссертации получены следующие новые научные -результаты;
введены некоторые новые операторы преобразования в одномерном и многомерном случаях,
впервые поставлены весовые краевые задачи для уравнений высших порядков, при этом изучены общие краевые задачи для одного
класса сингулярных эллиптических уравнений высшего порядка с комп-лекснозначиыми коэффициентами и для этих целей
введены функциональные пространства, для которых справедливы теоремы о весовьк следах,
введено новое понятие в определенном смысле нелокального б -следа в особой точке, которое имеет смысл, в частности, для гармонических функций с произвольной особенностью в этой точке,
поставлена и изучена краевая задача для уравнения Пуассона, Гельмгольца и более общих уравнений высших порядков, решению и правой части которых разрешается иметь особенность произвольного порядка в изолированных граничных точках, при этом в случае уравнений с нулевой правой частью ма поведение решения в указанных точках никаких априорных ограничений не накладывается; для этих целей
введены новые более широкие, чем пространства С.Л,Соболева, функциональные пространства типа Фреще, для которых имеют место соответствующие теоремы о 5" -следах. '
Кроме того, результаты по весовым краевым задачам являются новыми и для уравнений второго порядка. В.терминах 5 -следов дана также классификация изолированных особых точек гармонических функций.
Теоретическая и практическая'значимость. Работа носит.теоретический характер. Полученные результаты представляют интерес для различных разделов физики .и механики сплошных сред. В частности, в класс расмотренных краевых задач входит стационарное волновое уравнение Гельмгольца на плоскости Цушигара с краевыми условиями, являющимися аналогами условий излучения Зоммерфельда. К тому же классу относится и стационарное осесиметрическое уравнение Шредингера с сингулярным потенциалом. Краевая задача с . Є -следом описывает классические явления в электростатике, гидродинамике и теории упругости. В теоретическом плане результаты работы могут служить идейной основой дальнейшего развития" весовых и других постановок краевых задач для уравнений с сильным вырождепием, а также основой дальнейшего изучения особенностей решений эллиптических уравнений.
Развитый метод операторов преобразования может быть применен в г',р.угих <:азде,.ьх теории уравнений с частными производными. В связи с этим упомянем о" полученных тем же методом операторов преобразова'-ния результатах П.А.Киприянова и автора по построению алгебры'сингулярных псевдоди';/:.еренциальншс'' операторов и по. теории дробных степеней сингулярных эллиптических . операторов.-
б -
Структура диссертации» Диссертация изложена на 225 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы, содеркащего 90 названий.