Введение к работе
Актуальность темы. Многие физические процессы описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром при старшей производной. Простейшим примером уравнения такого тина является уравнение движения тела малой массы \i в среде, обладающей сопротивлением, под действием некоторой силы.
Можно привести примеры и более сложных физических явлений, приводящих к дифференциальным уравнениям или системам дифференциальных уравнений с мальм параметром при старшей производной. Такие задачи, например, естественным образом возникают там, где имеются неравномерные переходы от одних физических характеристик к другим.
Аппарат теории дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной может бьпь с успехом использован при исследовании піроскопичсскіїх систем, при решении ряда задач, встречающихся в теории автоматического регулирования, при изучении разрывных колебаний, при изучении движения оперенной ракеты с малым моментом инерции, при изучении движения ракеты, у которой отношение экваториального момента инерции к аэродинамическому восстанавливающему моменту мало.
Вопрос о зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров возникает при решении ряда задач, возникающих в экономике, в математической теории популяций и во многих других областях исследований, использующих дифференциальные уравнения.
При расчете различных систем дифференциальных уравнений с малым параметром довольно часто пренебрегают влиянием последних и в качестве приближенного решения берут решение системы, в которой параметры полагают равными нулю. Такая система обычно проще полной и часто может быть проинтегрирована, в то время как полная система не интегрируется.
Возникает вопрос, в какой мере это действие законно?
Известно, что в случае непрерывной зависимости правых частей системы обыкновенных дифференциальных уравнений
х = F(x,m) от параметра ц решение полной системы уравнений может быть со сколь угодно высокой точностью представлено решением упрощенной системы уравнений
x = F(x,t,0), если параметр ц достаточно мал. Этот вид зависимости решения дифференциального уравнения от параметра хорошо изучен. Поставленная задача исследована также и для некоторого ряда дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при старших производных.
Одной из первых работ в этом направлении, согласно Тихонову А.Н., была работа Чень - Юй - И (Yii-Why-Tshen). В работе рассматривалось линейное уравнение с переменными коэффициентами
d"v d'-'v
И,(0—+ Ь,—f + ... + b„y = 0.
' dt* dt"-' "У
Было доказано, что решения y,(t) этого уравнения, определяемые условиями
<»V(0) vk dt" ~У' сходятся при условии, что
Нтц,(1) = 0, ц,(«)>С
к решению вырожденного уравнения (то есть полученного из данного при n,(t) = 0), если bi(t)>0.
Тихоновым А.Н. было рассмотрено нелинейное дифференциальное уравнение, разрешенное относительно старшей производной
dt" dt dt-1 J
с начальными условиями
dky(0)
= y'k', k=0,n-l.
dtK для которого были даны ответы на следующие вопросы:
1. Будет ли решение полной системы вместе с производными — до (n-l)-ro
порядка при ц -> 0 стремиться к решению и его производным вырожденного уравнения?
2. К какому решению вырожденного уравнения будут стремиться y(kl(t,n), если
вырожденная система распадается на несколько нормальных уравнений:
.-d—ту--'^
( - і-2у) где ф, t,y,...,—^j- -корни уравнения
F(t,y,y' ср) = 0 ?
3. Будет ли такой предел устойчив при малых изменениях у},10, (к = 0,п -1)?
Здесь же указано на то, что приведенный для данного уравнения результат не
изменится, если вместо параметра ц -> 0 ввести последовательность функций ц, (t) -> 0, но строгого утверждения на этот счет не приводится.
Все дальнейшие работы, относящиеся к сингулярно возмущенным дифференциальным уравнениям, за исключением статьи Сабурова М.С. "О предельном переходе в сингулярно возмущенных системах с переменными малыми параметрами" (см. Докл. АН, 1993, том 333, №2, на ней мы остановимся ниже) изучают вопросы связи исходного и вырожденного дифференциального уравнения при постоянном малом параметре при старшей производной.
В то же время мы видим, что в реальных физических системах малый параметр, являющийся конкретной физической величиной, обязательно будет как-то меняться с течением времени. К примеру, в уравнении, описывающем движение вязкой жидкости, вязкость, играющая. роль малого параметра, зависит, вообще говоря, от давления и температуры окружающего воздуха, а они, очевидно, не могут быть постоянными. Спрашивается, имеем ли мы право пренебрегать этим?
Цель диссертации состоит в том, чтобы выяснить, влияет ли зависимость малого параметра от переменной дифференцирования на близость решений реальной и вырожденной систем, и, если такое влияние будет установлено, найти его количественные характеристики.
Научная новизна работы состоит, в исследовании ряда сингулярно возмущенных задач с малыми параметрами, зависящими от переменной дифференцирования.
Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в ней, могут быть использованы при дальнейшем изучении вопроса о возможности существования предельного перехода в случае систем с переменными малыми параметрами при старших производных.
Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на научном семинаре по теории сингулярных возмущений кафедры математики физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководители - докт.ф.-м. н.. профессор Васильева А.Б.. докт. ф.-м. н., профессор Бутузов В.Ф.) в 1987, 1995, 1997г., на научном семинаре по дифференциальным уравнениям в Московском энергетическом институте (руководитель - докт. ф.-м. н., профессор Дубинский Ю.А.) в 1999, 2000г., на конференциях по методам малого параметра, проходившим в Нальчике в 1987г., в Ашхабаде в 1990г. и в Обнинске в 2000г., на Учредительной конференции ассоциации женщин-математиков, проходившей в Суздале в 1993 г.
Структура н объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, приложения и списка использованной литературы. Она содержит 117 страниц основного текста, 41 наименование использованной литературы.