Введение к работе
Актуальность темы. Одним из направлений современного математического анализа является изучение малых возмущений различных задач. При этом, особое внимание уделяется сингулярным возмущениям, при которых свойства допредельных задач качественно отличают-' ся от свойств предельных.
Отметим, что малое возмущение некоторой задачи чаще всего обусловлено одной из следующих причин: погрешность исходных данных или малость тех или иных компонент в математической модели. Тип малого возмущения определяет и основные цели исследования и роль предельной задачи.
Для возмущений первого типа предельная задача самоценна, а ее возмущение - неизбежное зло, с которым надо бороться различными способами, возможно и далекими от методов, характерных для исходной задачи. Здесь главное - построить приближение исходной задачи в том или ином смысле. При этом решение вспомогательной задачи может качественно отличаться от искомого, и, в любом случае, нет не-' обходимости находить приближенные решения точнее, чем тот уровень погрешности, который гарантируется теорией. Сингулярно возмущенные задачи такого рода характерны для теории некорректно поставленных задач.
При возмущениях второго типа, наоборот, "возмущенная" задача является исходной, требующей решения, а ее предельная - лишь удобный способ для нахождения приближенного решения исходной задачи. Поэтому здесь вопросы сходимости решений возмущенной задачи к решениям предельной - лишь первый этап, этап определения "нулевого" члена приближения, за которым следует задача нахождения следующих поправок, по возможности дающих приблюкепие псходноіі задачи с наперед заданной точностью. Сингулярно возмущенные задачи тако-' го типа характерны для асимптотической теории.
В диссертационной работе исследуются сингулярно возмущенные задачи оптимального управления обоих типов.
Теория оптимального управления, основы которой были заложены в работах Л.С. Понтряпша, Н.Н. Красовского, В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкреліідзе, Р. Беллмапаи теория некорректных задач, у истоков которой стояли А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев, Р. Лат-тес и Ж.-Л. Лионе, появившись почти одновременно, развивались во
:ї
взаимном влиянии и проникновении методов и понятий обеих теорий.
Например, основные регуляризаторы, такие как регуляризатор А.Н. Тихонова, квазирешения В.К. Иванова, метод невязки, являются абстрактными задачами оптимального управления. А с другой стороны, многие задачи оптимального управления неустойчивы относительно возмущений данных и, тем самым, являются некорректными в смысле Адамара. Особенно это относится к задачам оптимального управления системами с распределенными параметрами. Поэтому работы, посвященные некорректным задачам теории управления, принадлежат представителям обеих теорий. Особенно заметно это взаимовлияние в работах уральских математиков, где существуют сильные научные школы обоих указанных направлений.
Абстрактные некорректные задачи теории управления рассматривались уже в работах А.Н. Тихонова.
В работах Ю.С. Осипова, А.В. Кряжимского, В.И. Максимова, А.И. Короткого исследована корректность некоторых задач оптимального управления и построены динамические регуляризующие алгоритмы восстановления динамики управляемого процесса в реальном масштабе времени.
Построению алгоритмов решения задач управления и наблюдения в условиях неопределенности, многие из которых неустойчивы и требуют той или иной регуляризации, посвящены работы А.В. Куржанского, Б.И. Ананьева, М.И. Гусева, И.Я. Каца, А.Г. Кремлева, И.О. Никонова, И.Ф. Сивергиной, Т.Ф. Филипповой.
Конкретные регуляризаторы для решений дифференциальных уравнений и задач управлення в банаховых пространствах строились И.В. Мельниковой.
Различные аспекты теории некорректных задач разрабатывались в работах А.Л. Агеева, В.Я. Арсенина, А.Б. Бакушинского, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, А.В. Гончарского, В.А. Морозова, В.Н. Страхова, В.П. Тананы, А.Г. Яголы и др.
Асимптотические методы анализа, появившиеся значительно раньше, в развитие которых существенный вклад внесли работы Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Митронольского, А.Н. Тихонова и А.В. Васильевой, Л.С. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко и Н.Х. Розова, О.А. Олейник, М.И. Ви-шика и Л.А. Люстерника, О.А. Ладыженской, В.П. Маслова и др.,с созданием теории оптимального управления получили новый импульс к дальнейшему развитию и новую сферу прложения.
Одним из основных способов применения метода малого параметра к задачам управления является построение асимптотических разложении решении систем краевой задачи принципа максимума Л.С. Понтря-пша и его обобщений на задачи управления системами с распределенными параметрами. Задачи управления системами с распределенными параметрами активно разрабатывались в работах А.Г. Бутковско-го, Ф.П. Васильева, А.И. Егорова, В.Г. Литвинова, К.А. Лурье, Ж.-Л. Лионса, В.И. Плотникова, У.Е. Райтума и др.
Сингулярные возмущения задач управления часто связаны с наличием малого параметра при старшей производной в уравнениях, определяющих динамику процесса. В этом случае у решений соответствующих систем могут появиться функции пограничного слоя. Теория экспоненциально убывающих функций пограничного слоя, развитая в работах А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузоиа и их учеников, была успешно применена и для исследования задач управления. Другой подход к задаче с быстрыми и медленными переменными основан на прямом опорном методе и развит в работах Р. Габасова, Ф.М. Кирилловой, А.И. Калинина и др.
Однако, в ряде случаев решения вспомогательных задач пограничного слоя имеют нарастающие степенные особенности. Такие задачи характерны для областей с негладкими границами, а также при наличии малых полостей, тонких шелей и тел и т.п. В последнее время они получили название бисингулярных задач.
Одним из мощных методов построения равномерных асимптотик бисингулярных задач является метод согласования асимптотических разложений. И. хотя идеи метода высказаны Прандтлем еще 1904 году, а процедура согласования использовалась Ван-Дайком. Л. Френкелем и В. Экхаузом, однако строгое обоснование асимптотических разложений, построенных таким методом, особенно для задач с распределенными параметрами появился сравнительно недавно в работах В.М. Бабича, A.M. Ильина. P.P. Гадылыиииа. Л.А. Калякнна. Е.Ф. ЛеликовоН. Б.И. Сулеймапова и др.
Несколько иными методами исследовались бпепнгулярные задачи в работах В.Г. Мазьи, С.А. Назарова, Б.А. Пламеневского, М.В. Федорю-ка.
Проблемам оптимального управления возмущенными системами в последние годы посвящемо много работ. Так регулярные возмущения исследовались в работах Л.Д. Акулснко. Э.Г. Альбрехта. 13.Б. Кол-
мановского, Н.Н Моисеева, В.А. Плотникова, Ф.Л. Черноусько и др. Сингулярно возмущенные задачи, чаще всего в постановке "быстрые - медленные неременные", изучались в работах А.А. Белолипецкого, В.Г. Гайцгори, М.Г. Дмитриева, А. Дончева, А.И. Калинина, Ю.Н. Киселева, А.Г. Кремлева, П.В. Кокатовича, Г.А. Куриной, А.Ю. Рябова и др.
Бисингулярно возмущенные задачи оптимального управления исследованы существенно хуже. Здесь следует отметить работы В.Е. Капустяна.
Работа посвящена развитию методов регуляризации и согласования асимптотических разложений для исследования сингулярно возмущенных задач оптимального управления.
Методы регуляризации разрабатываются для задач, в которых в качестве исходных данных выступают некоторые множества. Такие задачи характерны для управляемых систем, функционирующих в условиях неопределенности. При этом операторы решения соответствующих задач неограничены либо определены на замкнутых множествах. В этих случаях, как правило, нельзя получить приближенное решения возмущенной задачи путем применения оператора решения к иогым данным.
Здесь используются два различных подхода. Первый связан с использованием того или иного регуляризатора обратного оператора, порождаемого динамикой процесса, что приводит к подобной же задаче управления с новой системой. Второй подход связан лишь с корректировкой ограничений, оставляя динамику процесса без изменений. Для построенных регуляризаторов рассмотрены также вопросы оптимальности и сходимости конечномерных аппроксимаций (включая дискретную сходимость)
Метод согласования применен как для исследования сингулярно возмущенной задачи быстродействия, так и для задач управления решениями краевых задач для эллиптического уравнения.
При этом в задаче быстродействия для линейной системы с постоянными коэффициентами возмущению подвергается вектор начальных условий. Сингулярность задачи проистекает из-за различных качественных характеристик оптимального управления, которое разрывно в предельной задаче и гладкое во всех допредельных. В этом случае оказывается, что ни время быстродействия, ни вектор начальных условий сопряженной задачи не раскладываются по рациональным функ-
циям малого параметра и логарифма от него. Здесь метод согласования применяется для получения асимптотики некоторого итеграла, входящего в систему, определяющую конечное число рассматриваемых, скалярных параметров.
В построении асимптотических разложений решений задач оптимального управления системами с распределенными параметрами именно метод согласования разложений, как и для краевых задач уравнений в частных производных, позволяет однозначно определить асимптотические разложения в пограничных слоях степенного роста и, тем самым, построить равномерное асимптотическое разложение. При этом, в отличие от случая одного уравнения, здесь возникает система уравнений. Таким образом возникает необходимость рассмотрения различных систем с распределенными параметрами, описывающих члены асимптотических рядов в различных подобластях, обоснование их разрешимости в тех или иных классах функций, нахождение вида асим-. птотики получившихся разложений в пересечениях соседних подобластей.
Отдельной проблемой, возникающей здесь в связи с наличием интегральных соотношений на решения, является получение асимптотики интегралов от произведения функций, зависящих от разномасштабных аргументов.
Цель работы - разработка и теоретическое обоснование методов регуляризации задач оптимального управления в условиях неопределенности относительно возмущения множества исходных данных или множества ограничений; построение и обоснование асимптотических разложений решения линейной задачи быстродействия в случае качественного изменения оптимального управления у предельной зада-, чи, приводящего к бисингулярности; применение метода согласования (сращивания) асимптотических разложений для построения и обоснования равномерного асимптотического разложения решений бисингу-лярных задач оптимального управления, описываемых краевыми задачами для уравнений эллиптического типа; разработка методов нахождения асимптотики интегралов от произведения функций, зависящих от разномасштабных аргументов.
Методы исследования. Методы исследования опираются на концепции и подходы теорий оптимального управления, некорректных задач и асимптотических методов. Систематически используются понятия и методы функционального анализа, теории обыкновенных диф-
ференциальных уравнений и уравнений в частных производных, метод согласования (сращивания) асимптотических разложений, методы теории экстремальных задач и методы оптимизации, методы теории оценивания (априорные оценки, оценки интегралов) и др.
Научная новизна. Полученные в диссертации результаты являются новыми и дополняют существующие теории оптимального управления, некорректных задач и асимптотических разложений решений бисингулярных задач. Среди полученных результатов отметим следующие.
-
Для абстрактной линейной задачи оптимального управления в условиях неопределенности, неустойчивой относительно возмущения множества исходных данных, предложен и обоснован метод регуляризации, обобщающий метод регуляризации А.Н. Тихонова. Показана устойчивость этого метода относительно конечномерных аппроксимаций, включая дискретную аппроксимацию.
-
Для абстрактной нелинейной задачи оптимального управления, неустойчивой относительно возмущения множества ограничений, предложен и обоснован метод регуляризации, обобщающий метод невязки. Исследована оптимальность предложенного метода.
-
Для линейной задачи быстродействия с гладкими ограничениями и малым возмущением начального вектора, приводящим к качественному изменению оптимального управления, найдена и обоснована асимптотика времени быстродействия и начального вектора сопряженной системы. Показано, что указанные величины не могут быть разложены в ряд по рациональным функциям малого параметра и логарифма от него.
-
Исследованы Два класса задач оптимального управления решениями задачи Дирихле для уравнений эллиптического типа, бисингу-лярно зависящих от малого параметра. Построены равномерные асимптотики оптимального управления и состояния в этих задачах.
-
Доказана разрешимость нетрадиционных задач для систем уравнений в частных производных, возникающих при описании членов составных разложений в пограничных слоях и в окрестностях угловых точек. Введены специальные классы функций, позволяющие описать асимптотическое поведение членов составного разложения.
Теоретическая и практическая ценность. Изложенные в диссертации методы и установленные результаты имеют теоретическое и практическое значение для математической теории оптимальных
управляемых процессов, общей теории дифференциальных уравнений с малым параметром, теории некорректных задач, теории построения асимптотических разложений бисингулярных задач. Работа носит конструктивный характер. Разработанные в ней методы алгоритмичны и допускают численную реализацию. Результаты качественного анализа, на которые опираются алгоритмы, имеют и самостоятельное значение.
Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на конференциях и семинарах: Воронежской зимней математической школе (1990), Всесоюзной школе "Понтрягинские чтения" (Кемерово 1990, Воронеж 1993), международной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных науках (Москва 1991), Всероссийских научных конференциях, посвященных памяти В.К.Иванова '.Алгоритмический и численный анализ некорректных задач" (Екатеринбург 1995) и "Алгоритмический анализ некорректных задач" (Екатеринбург 1998), Втором международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (Челябинск 1993), международной научной конференции "ДИУ-99" (Челябинск 1999), семинаре отдела уравнений математической физики ИММ УрО РАН, (руководитель чл.-корр. РАН проф. А.М.Ильин), семинаре отдела динамических систем ИММ УрО РАН (руководитель проф. В.Н.Ушаков), на семинаре кафедры математического анализа УрГУ (руководитель проф. И.В.Мельникова), на семинарах в ПОМИ (руководитель проф. Бабич В.М.) и МГУ (руководитель чл.-корр. РАН проф. Кряжимский А.В.) и др.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в [1 - 23]
Работы [18 - 22] написаны совместно с научным консультантом A.M. Ильиным, а работа [23] - с Л.Г. Корзушшым. Результаты этих работ получены совместно с указанными соавторами.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, включающих 19 пунктов, и списка литературы. Объем диссертации 303 страниц; список литературы насчитывает 239 наименований.