Сингулярно возмущенные параболические задачи с кратными корнями вырожденного уравнения Бычков Алексей Игоревич

Содержание к диссертации

Введение

1 Обзор литературы 17

1.1 Параболические задачи в случае простого корня вырожденного уравнения 17

1.2 Краевые задачи 19

1.3 Задачи с кратными корнями вырожденного уравнения 23

1.4 Задачи с внутренними переходными слоями 25

1.5 Системы сингулярно возмущенных уравнений в случае кратного корня вырожденного уравнения 26

2 Сингулярно возмущенная параболическая задача с двукратным корнем вырожденного уравнения в прямоугольной области 28

2.1 Постановка задачи 28

2.2 Построение асимптотики решения 29

2.2.1 Вид асимптотики 29

2.2.2 Регулярная часть асимптотики 30

2.2.3 Погранслойный ряд И(х,т,є) 31

2.2.4 Погранслойный ряд Q(,t,e) 38

2.2.5 Угловой погранслойный ряд 39

2.3 Обоснование асимптотики 43

3 Сингулярно возмущенная параболическая задача с двукратным корнем вырожденного уравнения в цилиндрической области 48

3.1 Постановка задачи 48

3.2 Построение асимптотики решения 50

3.2.1 Вид асимптотики 50

3.2.2 Регулярная часть асимптотики 50

3.2.3 Погранслойный ряд И(х,т,є) 51

3.2.4 Погранслойный ряд Q(p,l,t,e) 53

3.2.5 Угловой погранслойный ряд 55

3.3 Теорема об асимптотике решения 57

4 Сингулярно возмущенная параболическая задача с трехкратным корнем вырожденного уравнения в прямоугольной области 60

4.1 Постановка задачи 60

4.2 Построение асимптотики решения 61

4.2.1 Вид асимптотики 61

4.2.2 Регулярная часть асимптотики 62

4.2.3 Погранслойный ряд И(х,т,є) 63

4.2.4 Погранслойный ряд Q(,t,e) 73

4.2.5 Угловой погранслойный ряд 74

4.3 Обоснование асимптотики 78

5 Сингулярно возмущенная параболическая задача с трехкратным корнем вырожденного уравнения в цилиндрической области 83

5.1 Постановка задачи 83

5.2 Построение асимптотики решения 84

5.2.1 Вид асимптотики 84

5.2.2 Регулярная часть асимптотики 85

5.2.3 Погранслойный ряд И(х,т,є) 86

5.2.4 Погранслойный ряд Q(p,l,t,e) 88

5.2.5 Угловой погранслойный ряд 89

5.3 Теорема об асимптотике решения 92

Заключение 94

Список литературы

• Задачи с кратными корнями вырожденного уравнения
• Погранслойный ряд И(х,т,є)
• Погранслойный ряд Q(p,l,t,e)
• Погранслойный ряд Q(,t,e)

Введение к работе

Актуальность темы. Нелинейные сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения выступают в качестве математических моделей при моделировании процессов в химической кинетике, экологии, физике полупроводников, космической электродинамике, нейрофизиологии, задачах тепло и массопереноса и в других областях.

Любая математическая модель является приближенной, не адекватной полностью тому процессу, который она описывает. Конечно, при составлении математической модели стремятся к тому, чтобы она отражала все наиболее существенные стороны процесса. Однако, с другой стороны, математическая модель должна быть достаточно простой для исследования, должна давать возможность извлечь из нее доступными средствами необходимую информацию о процессе. Поэтому какие-то факторы, влияние которых на процесс представляется малым, неизбежно приходится не учитывать, и они оказываются не представленными в математической модели процесса.

Естественно поставить вопрос о роли этих неучтенных факторов: будет ли их влияние на ход процесса несущественным, или, напротив, учет этих факторов, хотя они и кажутся нам незначительными, может существенно изменить ту информацию о процессе, которую мы получаем из математической модели. Чтобы ответить на этот вопрос, нужно составить более сложную (расширенную) модель, учитывающую те малые факторы, которые в первоначальной (упрощенной) модели не были представлены, и затем исследовать вопрос о близости решений, полученных из упрощенной и расширенной модели.

Учет отмеченных малых фактов приводит, как правило, к тому, что в расширенной модели по сравнению с первоначальной появляются дополнительные члены с малыми множителями, которые и характеризуют малость этих факторов. Указанные малые множители называют малыми параметрами. Если математическая модель представляет собой дифференциальное

уравнение, то вопрос о влиянии малых параметров на исследуемый процесс сводится к изучению зависимости решений дифференциальных уравнений от малых параметров. Члены уравнения, содержащие малые параметры, называются возмущением, исходное уравнение, не содержащее этих членов, - невозмущенным, а расширенное уравнение - возмущенным уравнением или уравнением с возмущением.

Задача, решение которой нельзя равномерно приблизить решением соответствующей задачи без возмущения, называется сингулярно возмущенной.

К такому классу задач относятся дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной. Систематическое развитие теории сингулярных возмущений началось с классических работ А.Н. Тихонова [1]–[3]. Наиболее известными методами теории являются метод пограничных функций [4]–[9], метод Вентцеля – Крамерса – Бриллюэна (ВКБ) [10]–[12], метод сращивания (согласования) асимптотических разложений [13]–[15], метод исследования релаксационных процессов [16], метод регуляризации сингулярных возмущений [17], [18].

Метод пограничных функций для нелинейных уравнений был разработан А.Б. Васильевой и получил дальнейшее развитие в работах ее учеников и других авторов (см., например, [7], [19]-[27]). Он позволяет строить и обосновывать равномерные асимптотические разложения решений с пограничными и внутренними слоями в ряды по степеням малого параметра. Коэффициенты этих рядов зависят как от исходных, так и от растянутых (погранслойных) переменных. Для доказательства существования и обоснования асимптотики таких решений Н.Н. Нефедов предложил асимптотический метод дифференциальных неравенств, основанный на теоремах сравнения для эллиптических и параболических задач и использующий предварительно построенную формальную асимптотику [28].

Представляемая диссертация посвящена исследованию вопросов существования и асимптотики классических решений нового класса сингулярно возмущенных задач – дифференциальных уравнений параболического типа в случае (ранее не исследованном), когда вырожденное уравнение имеет кратный корень.

Цель работы. Основные цели работы могут быть кратко сформулированы следующим образом:

1. Исследовать некоторые новые сингулярно возмущенные задачи пара
болического типа:

– начально-краевую задачу для сингулярно возмущенного параболического уравнения с двукратным корнем вырожденного уравнения в прямоугольной области,

– начально-краевую задачу для сингулярно возмущенного параболического уравнения с двукратным корнем вырожденного уравнения в цилиндре, основанием которого является произвольная ограниченная двумерная область с достаточно гладкой границей,

– начально-краевую задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения с трехкратным корнем вырожденного уравнения в прямоугольной области,

– начально-краевую задачу для сингулярно возмущенного параболического уравнения с трехкратным корнем вырожденного уравнения в цилиндре, основанием которого является произвольная ограниченная двумерная область с достаточно гладкой границей.

1. Определить условия, при которых в рассматриваемых задачах существуют решения погранслойного типа.

2. Разработать новый алгоритм построения асимптотических разложений решений для рассматриваемых задач, поскольку известный алгоритм в случае простого корня вырожденного уравнения становится неприменимым.

3. Доказать существование решений, обладающих построенной асимптотикой.

Основные результаты.

1. Получены условия, при которых в рассматриваемых задачах существуют решения погранслойного типа.

2. Разработан новый алгоритм построения асимптотических разложений решений для рассматриваемых задач.

3. Доказаны теоремы существования решений, обладающих построенной асимптотикой, для каждой из рассмотренных задач.

Методы исследования. В диссертационной работе применяется существенно модифицированный метод пограничных функций для нелинейных уравнений, предложенный А.Б. Васильевой (см., например, [5]–[7], [29]– [31]). Метод А.Б. Васильевой позволяет строить и обосновывать равномерные асимптотические разложения решений с пограничными и внутренними слоями в ряды по степеням малого параметра. Для доказательства существования решений с пограничными слоями применяется асимптотический метод дифференциальных неравенств, предложенный Н.Н. Нефедовым (см. [28]), который основан на теоремах сравнения для эллиптических и параболических задач, использующий предварительно построенную формальную асимптотику .

Научная новизна. Настоящая работа посвящена развитию метода пограничных функций на некоторые (ранее не изученные) классы сингулярно возмущенных задач. Рассмотренные в диссертации сингулярно возмущенные параболические начально-краевые задачи относятся к тому случаю, когда соответствующее вырожденное уравнение, получающееся из исходного уравнения, если положить малый параметр равным нулю, имеет двукратный или трехкратный корень. Это обстоятельство приводит к существенным отличиям в асимптотике погранслойного классического решения задачи от случая простого корня вырожденного уравнения. В ходе исследования задач с кратными корнями вырожденного уравнения оказывается, что классический алгоритм А.Б. Васильевой ([4], [7]) построения погранс-лойной части асимптотики в случае простого корня вырожденного уравнения становится непригодным и требует принципиальной модификации. Основное содержание диссертации составляет разработка алгоритма построения асимптотических разложений решений.

В отличие от ранее изученных задач пограничные функции характеризуются различным поведением в трех зонах пограничного слоя, а по-гранслойная временная переменная имеет различные масштабы в разных зонах. Достоинство предложенного алгоритма состоит в том, что он дает возможность построить пограничные функции не раздельно по зонам пограничного слоя (как это делается в известном методе сращивания асимптотических разложений [15]), а единые пограничные функции, пригодные во всех зонах пограничного слоя.

Для каждой задачи доказана теорема существования решения с построенной асимптотикой. Результаты по обоснованию получены путем развития метода дифференциальных неравенств на задачи исследуемого типа.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит в основном теоретический характер. Развит метод пограничных функций в применении к новому классу сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, что позволит в дальнейшем рассматривать более широкие классы задач.

Предложен новый алгоритм построения пограничных функций, позволяющий строить единые пограничные функции, описывающие поведение решения во всех зонах пограничного слоя, что удобно для применения алгоритма в прикладных задачах.

Рассматриваемые в диссертации типы уравнений описывают в частности физические, химические и биологические процессы. Например, в химической кинетике рассматривают системы уравнений данного типа, описывающие химические реакции с учетом диффузии, в которых компоненты искомой вектор-функций являются концентрациями реагирующих веществ, а малый параметр - величиной, обратной константам скоростей быстрых реакций.

Достоверность изложенных в работе результатов обеспечивается строгостью математических доказательств и использованием апробированных научных методов.

Личный вклад автора. Основные результаты, включенные в диссертационную работу и отраженные в совместных публикациях с научным руководителем, получены лично автором. Постановка задач и анализ по-

лученных результатов проводились под руководством профессора В.Ф. Бу-тузова. Основное содержание и результаты достаточно полно изложены в 5 печатных работах.

Апробация работы. Содержание различных разделов диссертационной работы представлялось в виде докладов на научных конференциях «Ломоносовские чтения 2011» (МГУ, Москва, 2011), «Тихоновские чтения» (МГУ, Москва, 2015), «Международная конференция. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики» (МГУ, Москва, 2016). Работа докладывалась и обсуждалась на научных семинарах Ярославского Государственного Университета им. П.Г. Демидова (руководители семинара профессора С.А. Кащенко, С.Д. Глызин), факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова (руководитель семинара Е.И. Моисеев), РУДН (руководитель семинара А.Л. Скубачевский), кафедры математики физического факультета МГУ (руководители семинара профессора А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, Н.Н. Нефедов).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 5 научных работ, из которых 3 статьи в рецензируемых журналах по перечню ВАК. Список публикаций приведен в конце диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы. Полный объем диссертации составляет 100 страниц. Список литературы в диссертации включает 49 наименований.

Задачи с кратными корнями вырожденного уравнения

В последние годы ведутся активные исследования сингулярно возмущенных задач, в которых решения имеют внутренние переходные слои. Решения такого типа называют контрастными структурами. Подробно эта тема освещена в обзоре [19].

В работе [45] рассмотрены контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного уравнения в случае двукратного корня вырожденного уравнения. Рассматривается задача: d и e2— = f(u,x), 0 ж 1, (1.15) и(0,є) = и, и(1,є) = и1, (1.16) где є - малый положительный параметр. Пусть выполнены следующие условия: Условие У6.1. Функция f(u,x) определена в области D = (О х 1) х (—со и +оо) и непрерывна в этой области вместе с производными до четвертого порядка. Условие У6.2. Вырожденное уравнение f(u,x) = 0 имеет три корня р\(х) ро(х) ф2(х). Корни tpo(x) и ц 2(х) являются простыми корнями, причем fu((po(x), х) О, fu(if2(x), х) О, a fi(x) - двукратным корнем, т.е. f(tpi(x),x) = 0, fu(tpi(x),x) = 0, и, кроме того, fuu(ipi(x),x) 0. Условие У6.3. и0 р\(х), и1 р\(х). Условие У6.4. fuu 0 в области D = (0 х 1) х (и — ірі А). Постоянная А не зависит от параметра є и по абсолютной величине превосходит max (и0 — i(0),tt1 — /?i(l)). Условие У6.5. Уравнение 1{х)= / f(u,x)du = 0 Jtpi(x) имеет решение х = XQ, причем I (XQ) ф 0. Условие У6.6. tp1 (х) 0 при х0 — 5 х 1, a tp2 (х) 0 при 0 х х0 + 5. Основным результатом работы [45] является: Теорема. При выполнении условий У6.1 - У6.6 уравнение (1-15) имеет решение в виде контрастной структуры типа ступеньки. Это решение удовлетворяет краевым условиям (1.16). На интервале (0,Жо) оно стремится при є — 0 к решению (яО вырожденного уравнения, а на интервале (хо, 1) - к решению fi(x) вырожденного уравнения.

Краевые задачи для систем сингулярно возмущенных уравнений встречаются во многих приложениях как модельные. В работе [46] рассматривается система сингулярно возмущенных уравнений: є2ихх = F(u,v,x,e), evxx = f(u,v,x,e), 0 x 1, (1-17) их(0,є) = их(1,є) = 0, vx(0,e) = vx(l,e) = 0, (1.18) где є - малый положительный параметр, и(х,є) и v(x,e) - искомые скалярные функции, F и / - заданные достаточно гладкие функции (бесконечно дифференцируемые в некоторой области изменения своих аргументов). Задача рассматривалась при условиях: Условие У7.1. Функция F(u,v,x,e) имеет вид F(u,v,x,e) = h(u,v,x)(u — ip(v,x))2 — eFi(u,v,x,e). (1-19) Условие У7.2. Уравнение g(v,x) := f(tp(v,x),v,x,0) = 0 имеет корень v = VQ(X), 0 х 1, причем gv(vo(x),x) О, 0 х 1. Условие У7.3. h(uo(x), Vo(x),х) О, 0 х 1, где Мо(ж) := p(v0(x),x). Условие У7.4. Fi(u0(x), щ(х),х, 0) 0, 0 ж 1. Условие У7.5. pv(v0,x) 0, /ад(мо(ж),г;о(ж),ж,0) 0, 0 ж 1.

Кратность корня приводит к изменению структуры асимптотики погранслойного решения по сравнению со случаем простого корня: изменяется масштаб погранслой-ных переменных, асимптотическое разложение погранслойного решения ведется не по целым, как в случае простого корня, а по дробным степеням малого параметра. Кроме того, существенное влияние на характер асимптотики играет малый член порядка є, входящий в правую часть уравнения (1.19).

Основным результатом работы [46] является

Теорема. Если выполнены условия У7.1 - У7.5, то для достаточно малых є задача (1.17) - (1.18) имеет решение и(х,є), v(x,e), для которого построенные функции Un(x,e), Vn(x,e) при любом п = 0,1,2,... являются равномерным на отрезке [0,1] асимптотическим приближением с точностью О (є2 J, т.е. и(х,є) = ІІп(х,є) + О (є2 ) , v(x,e) = Уп(х,є) + О [є ) , 0 х 1. Глава 2 Сингулярно возмущенная параболическая задача с двукратным корнем вырожденного уравнения в прямоугольной области

Рассмотрим начально-краевую задачу e2(ut-uxx) = f(u,x,t,e), (x,t)eD = (0 x l)x(0 t T), (2.1) и(х,0,є) = и(х), 0 ж 1, (2.2) ux(0,t,e)=ux(l,t,e) = 0, 0 t T, (2.3) где є - малый положительный параметр. Исследуется вопрос о существовании и асимптотике при малых є классического решения задачи (2.1) - (2.3) в прямоугольной области D, т.е. функции u(x,t,e)) Є C2(D) П Cl{D)1 которая в D удовлетворяет уравнению (2.1), а также начальному условию (2.2) и граничным условиям (2.3). Сформулируем условия, при которых рассматривается задача. Условие А\. Функция f(u,x,t,e) имеет вид f(u, х, t, є) = —h(x, t)(u — ip(x, t))2 + efi(u, x, t, є), (2.4) причем h(x,t) 0, (x,t) Є D. Из представления (2.4) следует, что вырожденное уравнение имеет двукратный корень и = ip(x,t). Условие А2. Функции h(x,t), ip(x,t), fi(u,x,t,e), и(х) являются достаточно гладкими (для построения асимптотики гг-го порядка п + 2 раза непрерывно дифференцируемыми) , и для начальной функции и0 (х) выполнены условия согласования начального и граничных условий их(0) = их(1) = 0. (2.5) Как обычно, требуемый порядок гладкости входных данных зависит от порядка строящейся асимптотики. Для построения асимптотики произвольного порядка потребуем, чтобы эти функции были бесконечно дифференцируемыми.

Погранслойный ряд И(х,т,є)

Выражение (4.19) для П(ж,г) аналогично выражению (4.17) для П(ж,г), с тем лишь отличием, что в показателях экспонент стоят другие числовые коэффициенты, а это означает, что функция П(ж, т) ведет себя в пограничном слое таким же образом, как и функция П(ж,г), т.е. имеет одинаковое с П(ж,г) поведение в трех зонах пограничного слоя.

Таким образом, оценки сверху и снизу для П0(ж, т) подтверждают сказанное выше о пограничном слое в данной задаче. Пограничный слой имеет в окрестности начального момента времени три зоны : в первой зоне функция По (ж, т) убывает с ростом г степенным образом как Л—, затем во второй зоне происходит изменение масштаба погранслойной переменной и характера убывания, и, наконец в третьей зоне функция По (ж, г) убывает экспоненциально : П0 = О (є») ехр(—хт), где f = 73 Как будет видно из дальнейшего, следующие члены погранслойного ряда (4.10) имеют такое же поведение, как и П0(ж,т).

Чтобы получить уравнения для функций ПІ (ж, г), г 1, перепишем равенство (4.11) в развернутом виде (учитывая, что t = є т):

Из этого равенства будем извлекать уравнения для функций ПДж,г) не стандартным способом (т.е. путем приравнивания коэффициентов при єз в разложениях левой и правой частей равенства), а с определенными модификациями стандартного способа. Прежде всего в правую часть уравнения для ПІ(Х,Т), левая часть которого равна -, наряду с членом — 3h(x, 0)Пд(ж,г)П включим слагаемое -h(x, 0) (бє йі(х, 0)П0 + Зє2йЦх, 0)) ПІ, соответствующее слагаемому —h(x, 0) ( Зєзщ(х, 0)П0 + Зєзй1(х, 0)) П0, добавленному в уравнение (4.13) для П0 (см. (4.16)). Поэтому ИІ(Х,Т), г = 1,2,... определим как решение задачи: -ї-1 = -а(х,т,є)Пі + Кі(х,т,є), г 0, (4.21) от Щх,0) = -щ(х,0), (4.22) где а(х,т,є) = Щх,0) (и0(х,т) +є щ(х,0)\ , (4.23) а 7ГІ(Х,Т,Є) выражаются рекуррентно через функции Hj(x,r) с номерами j і. При этом функции ТГІ(Х,Т,Є) формируются иначе, нежели при стандартном подходе. В состав ІГІ(Х,Т,Є) нужно включить те коэффициенты при єг/3 в разложении П/ (см. (4.20)), оценки которых содержат не менее трех сомножителей Щ, Пт, Пга, к + m + n = і, к і, m і, n і, а также умноженные на єз коэффициенты при є(г+1)/3, оценки которых содержат два таких сомножителя, и умноженные на єз коэффициенты при е(г+2)/3, оценки которых содержат только один сомножитель Пд., к і, и после этого нужно заменить аргумент f на е т. Кроме того, в состав тп(х,т,є) нужно включить при г 4 слагаемое є з э 2 , это слагаемое умноженное на є , т.е. слагаемое 2 э г2 4; содержится в разложении члена є2Пжж (см. (4.20)).

В качестве примера отметим, что формирование функции тп(х,т,є) по указанному принципу дает следующее выражение : ТГІ(Х,Т,Є) = є5 [—6к(х,0)щ(х, 0)м2(ж, 0)По(ж, г) + fi(ip(x, 0) + П0(ж, г), ж, 0, 0) — -Мф,0),х,0,0)] - Зєі [/і(ж,0)й2(ж,0)П2 (ж,г)] , поскольку выражение в первых квадратных скобках не превосходит величины сПо(х, г), а выражение во вторых квадратных скобках не превосходит величины сПд, в то время как при стандартном подходе тті(х,т,є) = 0. Как будет показано ниже, указанная процедура формирования функций ТГІ(Х, Т, Є) позволяет получить единообразную оценку пограничных функций Ц(:г, т) и их про (х,т) изводных ЦЬ (х, т), г = 0,1,2,... : д2Т1і \Т1г(х,т)\ СПЯ(Х,Т), -j— где функция Ия(х, т) имеет вид: сПя(х, г), 0 х 1, г 0; (4.24) Ня(х,т) = exp —h(x,0) / (IIQ(X,S) + ЗєзМі(Ж)0)П0(ж, s)) ds — 2єзк(х,0)иІ(х,0)т — є ят \ о (4.25) Сравним выражение для Пж(ж,т) с выражением для П0(ж,г), которое следует из (4.16), (4.14): г П0(ж, г) = П(ж)ехр -Л,(ж,0) / (n„(j;,s) + ЗєзМі(Ж) 0)По(ж, s) J ds - ЗєзЦх,0)и1(х,0) (4.26) Функция Пя(х, т) имеет такой же вид, как П0(ж, т) в виде (4.26), с тем лишь отличием, что в (4.26) перед экспонентой стоит множитель П(ж) и в показателе экспоненты выражения (4.25) вместо члена — Зєз1г(х, 0)uf (х, 0)т стоит — 2єзІі(х,0)й1(х, 0)т — езят. В качестве я берется некоторое число из интервала 0 я я0 := тіпжЄ[0)і](Л-(ж, 0)uf(x, 0)) Число я в оценках (4.24) будет различным для различных г, но для упрощения записи все такие числа будем обозначать буквой я.

Заметим, что оценка (4.24), очевидно, верна при і = 0 для любого я є (0, я0): По(х,т) сПя(х,т). (4.27) Лемма 3. Функции ПДж, т) и их производные г(ж, г), г = 0,1, 2,..., п1 где п-любое фиксированное натуральное число, имеют оценки (4.24).

Доказательство. Для И0(х,т) оценка верна (см. (4.27)). Чтобы получить оценку (4.24) для -(х,т)1 рассмотрим сначала уравнение для -т г(х,т), которое получается из уравнения (4.16) дифференцированием по х: д (дИ0 \ дИ0 а{х,т,є)— \-г(х,т,є), т 0, (4.28) дт \ дх ) дх где функция а(х,т,є) определена формулой (4.23), а г(х,т, є) = — hx(x,0) Пд(ж,г) + Зєзйі(х,0)НІ(х,т) + Зєз (ж, 0)По(ж, г) — — h(x,0) Зєзщх(х, 0)Пд(ж,г) + 6єзщ(х, 0)щх(х, 0)По(ж, т) . В силу неравенства (4.27) для г(х,т,є) имеет место очевидная оценка \г(х,т,є)\ с(іІІ(х,т)+є иІ(х,т)+є-зия(х,т)), 0 ж 1, г 0. (4.29) Начальное условие для Щ -{х,т) получается из (4.14) дифференцированием по х: (х,0) = Пх(х). (4.30)

Таким образом, производная - -(х,т) является решением линейного дифференциального уравнения (4.28) с начальным условием (4.30), причем неоднородность г(х,т,є) в уравнении (4.28) имеет оценку (4.29). Ниже, рассматривая задачу (4.21), (4.22) для ИІ(Х,Т) (задача (4.28), (4.30) такого же типа, как (4.21), (4.22)), мы докажем, что если неоднородность ТГІ(Х,Т,Є) в уравнении (4.21) имеет такую же оценку, как оценка (4.29) для г(х,т,є), то решение ПДж,г) задачи (4.21), (4.22) имеет оценку (4.24). Поэтому и для -(х,т) справедлива оценка вида (4.24).

Уравнение и начальное условие для -т Р-(х,т) получаются дифференцированием по х из (4.28) и (4.30), причем неоднородность в уравнении (обозначим ее Г\{х,т,е)) будет иметь такую же оценку, как и оценка (4.29). В этом нетрудно убедиться, записав выражение для г\{х,т,е) и используя оценки (4.24) для П0(ж,г) и Щ {х,т).

Итак, функция П0(ж, т) и ее производные - -(х, т) и - -(х, т) имеют оценки вида (4.24). Далее по индукции. Допустим, что оценки (4.24) верны для Hj(x, т) и - -(х, т) при j і. Тогда, учитывая принцип формирования неоднородности ТГІ(Х, Т, Є) В уравнении (4.21) и очевидное для любого к 0 неравенство (є т) Ия(х,т) сПя{х,т) (с разными я в левой и правой частях неравенства) приходим к оценке вида (4.29) для 7ц(х,т,е):

Погранслойный ряд Q(p,l,t,e)

Внутренний интеграл в квадратных скобках не превосходит числа f_ exrp(— s2)d, 2у27г и, следовательно, для Уi( ,Т,Є) получается оценка Vi(,T,e)\ cn„(0,T) П2(0,г)+є3П0(0,г)+є3 rexp(-x1C). Используя (4.17) и (4.18), нетрудно показать, что П2(0,г)+е3П0(0,г) т с, и так как єзтПя(0,т) сПЯ2(т), где х2 х, то окончательно получаем Ы,т,е)\ сПж(0,г)ехр(-х1Є). (4.52) Из (4.52) и неравенства \ді(,т,є)\ сПя(0, т) ехр(—х) (эта оценка следует непосредственно из (4.49)),обозначая числа я\ и х2 снова буквой х, для Pj(, г) получаем оценку (см. (4.48)): Д(Є,г) сЩ(0,г)ехр(-хЄ).

Таким образом, РІ(,Т) имеет оценку (4.47). Лемма 4 доказана. (га) Для невязки, вносимой в равенство (4.42) функцией Р := є1/3 =0є 3Рг( r) получается оценка (га) (га) -ei -P/ = O(e )( (0,r)+el (0,r)+ +єіпж(0,г))ехр(-хО, 0,т 0. (4.53) Погранслойный ряд Р(,т,є) := є1/3 =0е 3Р( г) строится аналогично ряду Р(,т,є). Функции РІ(,Т) имеют оценку типа (4.47) с заменой на и Пж(0,г) на Пж(1,т), а для невязки, вносимой в равенство, аналогичное (4.42), функцией Р := є1/3 =0 єг/3Р(, т) справедлива оценка: (га) (га) дР 2 д2Р дт еІ-ф-Р! = О(е ) (П (1,т) + П (1,т)+ +ein„(l,r))exp(-xf), 0,т 0. (4.54)

Будем считать, что все функции Qi(, t) и Pj(, г) умножены на срезающую функцию, в результате чего они не изменяются в фиксированной -окрестности отрезка {х = О, 0 t Т}, но становятся равными нулю вне 2 -окрестности этого отрезка и тем самым не вносят невязки в граничное условие при х = 1. Аналогичным образом умножим на срезающую функцию все функции Qi(,t) и РІ(,Т). Обозначим через Un(x,t,e) частичную сумму ряда (4.6) следующего вида: га-2 Un(x, t,e) = J2 єг/3( (ж, t) + Щх, г)) + є2/3 J2 І/3 (Qi& t) + Qi(, t) i=0 i=0 n—1 -еУе ,т) + т,т)), i=0 здесь n 2, а при n = 0 и n = 1 функции с отрицательными номерами, возникающие в этих суммах, считаются равными нулю.

Теорема 3. Если выполнены условия С\ - С 4, то для достаточно малых є задача (4.1) - (4.3) имеет решение u(x,t,e), для которого построенный ряд (4.6) является асимптотическим рядом, т.е. для любого целого п 0 справедливо равенство u(x,t,e) = U n (x,t,e) + О (є"з ), (x,t) Є D (4.55)

Доказательство. Проведем доказательство теоремы с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств, т.е. путем построения с использованием частичной суммы ряда (4.6) подходящих нижнего и верхнего решений задачи (4.1) - (4.3).

Пусть п - любое натуральное число, такое что п 2. Нижнее решение возьмем в виде п +1 U_(x,t,e) = Un(x,t,e) — є 3 z(x,e), (4.56) где X 1-х z(x, є) = М + ехр ( -к— ) + ехр ( —к 2/3 Покажем, что если взять положительные числа М и к достаточно большими, то для достаточно малых є функция (4.56) будет нижним решением задачи (4.1) - (4.3).

В силу оценок (4.9), (4.36), (4.41) и аналогичной оценки для Q, (4.53) и (4.54) имеем оценку: Л , п +3 LEUn = 0 є— О (є Ul(x, т) + 0 (є Ul(x, т) + 0 (є Ux(x, т) -віє п +1 п+2 ехр(-х)+ехр(-х) + О[є—)ии0,т) + О[є—)иі(0,т) п+2 п+3 О є— Пх(0,г) ехр(-х)+ 0[є—)иі(1,т) + 0[є—)иі(1,т) -0(е )пх(1,т)]ехр(-х) Следовательно, LeUn = О (є + О (є22 1) ІіЦх, т) + 0 (е2 ) 11„{х, г), (ж,t) Є Д. Вычислим Lef/: LM = LMn+e—k2 n + l ехр(-х)+ехр(-х) - f[Un-e з z,x,t,e) - f (Un,x,t,e) = О (V ) (1 + fc2) + О (є2 ) n ,r) + О (є22 1) Пх(Ж,г) + /„ (tfn,s,t,e) e z 2п+2 — f e zz (4.57) где fu (Un, x, t, є) = -3h(x, t) (Un(x, t, є) - ip(x, t)f + єfiu (Un, x, t, є) = -3h [є1/3щ + П0+ +є1/3П! + є1/3Р0 + є1/3Р0 + О (є2/3)] \о (є) = -h [(є1/3щ + По) + a(x,t,e)]2 + 0 (є), (4.58) а(х, t, є) = (л/3 - 1) (є1/3щ + П0) + V3el/3 (щ + Р0 + Р0) + О (є2/3) (л/3 - 1) {є1/3щ + П0) - сє1/3 (Пя(х, т) + П„(0, г) + П„(1, г) + є1/3) , производная второго порядка /4 берется в некоторой промежуточной точке. Возьмем го столь большим, что при {т то, 0 ж 1} и для достаточно малых є выполняется неравенство: се1/3 (Пя(х, т) + П„(0, г) + П„(1, г) + є1/3) (л/3— 1) шіпгл(ж, t). D Тогда, поскольку П0(ж,т) 0, то a(x,t,e) 0, 0 х 1, t e2r0 для достаточно малых е. При {0 т то (т.е. О і є2то), 0 ж 1} для достаточно малых є справедливо неравенство: (л/3 - 1)П0(ж, г) се1/3 (П„(х, т) + П„(0, г) + П„(1, г) + є і/з поэтому a(x,t,e) (у/З- 1)є1/3щ 0, 0 ж 1, 0 t є2т0. Таким образом, для достаточно малых є a[x,t,e) 0, (x,t) Є D. Из (4.58) теперь получаем: fu(Un,x,t,e) -h(x,t) (e1/3ui(x,t) + U0(x,T))2 -2со(є1/3 + П0(ж,г))2 , (x,t) eD, а из (4.57) следуют неравенства LeU О (є (1 + к2) + О (є Ul(x, т) + 0 (є П„(х, т) - 2с0 (є2/3+ +2є1/3П0(ж, т) + П20(х, т)) є М+є О (М2) є [с(1 + к2) - с0М + є сМ2 +є [с (ПЦх, т) + є1/3Пж(ж, т)) - соМ (U20(x, т) + є1/3П0(ж, г) + є2/3)] , (ж, і) Є D, (4.59) где с и Со - некоторые положительные числа.

Выражение во вторых квадратных скобках также будет отрицательным при достаточно большом М, это нетрудно доказать, используя равенство П0(ж,г) = И(х)Ия(х Так как п 2, то при достаточно большом М (таком, что c(l + fc2) СоМ) и достаточно малых є (таких, что є сМ2 CQM — с(1 + к2)) выражение в первых квадратных скобках в правой части (4.59) будет отрицательным., т) ехр(—є2 3(Іі(х, 0)й2(х, 0) — х)т), которое следует из (4.25) и (4.26).

Следовательно, при п 2 для достаточно большого М и достаточно малых є выполнено неравенство LU 0, (x,t)eD, т.е. функция U_(x,t,e) удовлетворяет условию 1 определения 1. Так как Un(x,0,e) = и(х) (это следует из (4.14),(4.22) и (4.44)), то Ц_(х,0,є) = и(х) - е г(х,е) и(х), 0 х 1, и, тем самым, для U_(x,t,e) выполнено условие 2 определения 1. Наконец, поскольку —(0,«,f) = - (0,t,)-5 . «U) = « - - (0,«)+.- -(0,«)+ П —1 C/J-J-rj 1 / ч П Ол-Л-г, . , 71 — 1 . - (0,г)+ (0,г)+Т 1 " ехР I "S75 для достаточно большого fc выполнено неравенство дії - {0,t,e) 0, 0 t T, т.е. функция U_(x,t,e) удовлетворяет условию 3 определения 1. Таким образом, функция U_(x, t, є), определенная равенством (4.56), для достаточно большого М, достаточно большого к и достаточно малых є удовлетворяет всем условиям определения 1 и, следовательно, является нижним решением задачи (4.1) - (4-3). Аналогично доказывается, что функция п-\-1 U(x, t, є) = Un{x} t, є) + e z(x, t) (4.60) для достаточно большого М, достаточно большого к и достаточно малых є является верхним решением задачи (4.1) - (4.3), а поскольку U_(x,t,e) U(x,t,e), то построенные нижнее и верхнее решения являются упорядоченными. Следовательно, для достаточно малых є существует решение и(х, t, є) задачи (4.1) - (4.3), удовлетворяющее при п 2 неравенствам (3.2). Из этих неравенств и вида (4.56) и (4.60) нижнего и верхнего решений следует, что при п 2

Погранслойный ряд Q(,t,e)

Указанная процедура формирования функций щ(х,у,т,е) позволяет получить единообразную оценку пограничных функций Пі(х,у,т) и функций АПі(х,у,т), і = 0,1,2,... : \Щх,у,т)\ сПх(х,у,т), \АЩх,у,т)\ сПх(х,у,т), (х,у)ед, т 0. (5.15) Оценки вида (5.15) для Иі(х,у,т) и АПі(х,у,т), і = 0,1,2,... получаются таким же образом, как в лемме 3. (п) Для невязки, вносимой в равенство (5.8) функцией П = =0єг 3Пі(ж,г/, г), получается оценка: (п) и/-е2Аи=0(е )(111(х,у,т)+ег,и1(х,у,т)+ег,ия(х,у,т)). 5.2.4 Погранслойный ряд Q(p, I, t, є) Для построения ряда оо Q(p,/,t,e) = e2/3J] 3Q,(p,/,t) г=0 перейдем в окрестности границы дд области д к новым (локальным) координатам (аналогичным образом, как это было сделано в п. 3.2.4.). Коэффициент растяжения погранслойной переменной р возьмем равным є2/3, т.е. р = - щ. В переменных р,1 оператор є2 А имеет вид где функции в, і), ф выражаются такими же формулами, как в п. 3.2.4, Li- линейные дифференциальные операторы с коэффициентами, зависящими от р, I, содержащие операторы дифференцирования Qf = f(u(e2/3p,l,t,e) + Q(p,l,t,є),є2/3р,I,t,є) - f(u(e2/3p,l,t,є),є2/3р,I,t,є), для функций Qi(p,l,t) стандартным образом получаются задачи (/, входят как параметры, 0 / /0, 0 t Т): d2Q% dp f32(l,t)Qt = qt(p,l,t), р 0, (0,1,1) = - (0,l,t), Qt(oc,l,t) = 0, (5.17) где /3(і) = [ЗЛ,(0,/, t)ul(0,1, t)]1/2 0, a qi(p,l,t) рекуррентно выражаются через Qj(p,l,t) с номерами j і, в частности q0(p,l,t) = 0. Все функции Qi(p,l,t) можно последовательно найти в явном виде, например, Qo(p,l,t) = (0,/,t)/3-1 (/,i)exp(-/3(/,t)p). Все Qi(p,l,t) имеют экспоненциальную оценку вида \Qi(p,l,t)\ с ехр(-хр), р 0. (как и для функций Пя(х,у,т) множитель я в показателе экспоненты обозначен одной и той же буквой для всех і). Нетрудно показать, что такие же оценки имеют производные -тр-, -Ц1, - г Jf" (га) Для невязки, вносимой в равенство (5.16) функцией Q = е2 3 =0e 3Qi(p, М) справедлива оценка (га) (га) m - T-J2 L -Qf = 0(є )ехр(-хр), р О, О / /о, о t т. г=1

Хотя формально функции Qi(p,l,t) определены для р 0, фактически они име-еют смысл только при 0 р -2/3, т.е. в той (достаточно малой) -окрестности границы 9 , где введены локальные координаты (г,/). Для гладкого продолжения их на всю область D умножим Q-функции на бесконечно дифференцируемую срезающую функцию с (г), в результате чего Q-функции не изменятся в 2 -окрестности границы 3D и станут равными нулю вне 6- окрестности 3D. Для регуляризованных таким образом функций Qi(p,l,t) сохраним старые обозначения.

Коэффициент а(0,/,т, є) определен формулой (5.14), а функции рі(р,1,т,є) ре-куррентно выражаются через Pj(p,l,r) с номерами j г, а также через II,- и Q с номерами j г, в частности, Р0(р, /, г, є) = -Зєз/,(0, /, 0)П20(0, /, r)Q0(p, /, 0)-6eh(0,1,0)щ(0,1, 0)П0(0, /, r)Q0(p, /, 0). Отметим, что начальное (5.20) и граничное (5.21) условия согласованы в точках кривой {дд х ( = 0)}. При г = 0 это следует непосредственно из (5.20) и (5.21), а при г = 1 имеем равенства (см. (5.17)): P1(P,/,O)=0 = - (O,/,O) = (O,/,O) и (см. (5.21), (5.5) и (5.10)) (0,/,0) = - (0,/,0) = -и0х(0,1) + (0,/,0) = (0,/,0), которые и означают согласованность начального и граничного условий (5.20) и (5.21) при i=l. Нетрудно проверить согласованность начального и граничного условий при любом г 1. При формировании правых частей рі(р,1,т,є) уравнений (5.19) при г = 1,2,... нужно включать в состав рі(р,1,т,є) не только коэффициенты при є(г+1)/3 в разложении Pf по степеням є1/3, но также некоторые коэффициенты при е(г+2)/3 (умноженные на є») и некоторые коэффициенты при е(г+3)/3 (умноженные на єз), аналогично тому, как это делалось при формировании правых частей іГі(х,у,т,є) уравнений (5.13), и после этого заменить f на є2/3т. Кроме того, при г 2 в состав Рі(р,1,т,є) нужно включить слагаемые є2/3 J22j+k=i LjPk при j 1, к 0, извлекаемые из последнего члена в правой части (5.18). Это позволяет получить для функций Рі(р,1,т,є) оценку Ыр, І,Т,Є)\ С [иЦ0,1, т) + є ПЦО, I, т) + є2 Пх(0, /, г)] ехр(-хр), (5.22) что в свою очередь обеспечивает единообразную оценку угловых функций Рі(р,1,т), і 0,1,2,...: Рг(р,/,т) clU0,/,r)exp(-xp), г = 0,1, 2,..., р 0,т 0. Например, при таком подходе функция рі(р,1,т,є) имеет вид Рі(р,1,т,є) = -Ш рШоЩРо + оПо] - Seh [щР + 2U0UlQ0 + П2 ! + 2м2Р0По+ +2м1Р0П1 + 2UQQQPQ] - 3eh [U0Q 2 0 + 2щщР0 + 2ulP0Q0 + 2йіВДі + 2u2Q0U0+ +2м1д0П1 - h fmiifiO, 1,0) + По(0, /, г), 0, /, 0, 0)P0 где h = h(0,1, 0), u\ = «i(0, /, 0), u2 = й2(0,1, 0). В силу (5.22) для функций Pi(p, I, г), і = 0,1, 2,..., получается оценка вида \Рг(р,1,т)\ сПж(0,/,г)ехр(-Хр). Доказательство данной оценки аналогично доказательству, приведенному в лемме 4. тт ЭР- ЭР- Э2Р Нетрудно показать, что такие же оценки имеют производные -тр-, -gf, - 2 (п)

Для невязки, вносимой в равенство (5.18) функцией Р = є1/4 =0єг 4Рі(р,/, т), получается оценка (га) З P ("") ("") +2 / 1 2 \ _ _ Є2Д p _ p/ = 0( V) (ir , /, r) + єз П2 (0, /, r) + єз n„(0, /, r)J ехр(-хЄ). Аналогично тому, как это было сделано с функциями Qi(p, l,t), умножим функции Рі(р,1,т) на срезающую функцию а (г) и сохраним за ними старые обозначения. 5.3 Теорема об асимптотике решения Обозначим через Un(x,y,t,e) частичную сумму ряда (5.6) следующего вида: га га—2 га—1 Un(x, у, t,e) = Y, ег/\тф, у, і)+Щх, у, т))+е2/3 J] ег/3Шр, /, )+е1/3 J] ег/3Д(р, /, г), здесь п 2, а при п = 0 и тг = 1 функции с отрицательными номерами, возникающие в этих суммах, считаются равными нулю. Теорема 4. Если выполнены условия D\ - D4, то для достаточно малых є задача (5.1) - (5.3) имеет решение u(x,y,t,e), для которого построенный ряд (5.6) является асимптотическим рядом, т.е. для любого целого п 0 справедливо равенство u(x,y,t,e) = Un(x,y,t,e) + 0(en k) , (x,y,t)eD (5.23)

Доказательство. Проведем доказательство теоремы с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств, т.е. путем построения с использованием частичной суммы ряда (5.6) подходящих нижнего и верхнего решений задачи (5.1) - (5.3). Нижнее и верхнее решения соответственно возьмем в виде: U(x,у, t,є) = Un(x,у, t,є) - e z(x,у,є), (5.24) п + 1 U(x,y,t,e) = Un(x,y,t,e) +e—z(x,y,t), (5.25) где z(x,e) = М + ехр (-к—щ ) а (г), а (г) - срезающая функция.

Аналогично тому, как было доказано в теореме 3, можно показать, что при п 2 функции U_(x,y,t,e) и U(x,y,t,e), определенные равенствами (5.24) и (5.25), для достаточно большого М, достаточно большого к и достаточно малых є удовлетворяют всем условиям определения 2 и, следовательно, является нижним и верхним решениями задачи (5.1) - (5.3).

Следовательно, для достаточно малых є существует решение u(x,y,t,e) задачи (5.1) - (5.3), удовлетворяющее при п 2 неравенствам: U(x,y,t,e) u(x,y,t,e) U(x,y,t,e), (x,y,t) Є D. Из этих неравенств и вида (5.24) и (5.25) нижнего и верхнего решений следует, что при п 2 u(x,y,t,e) = Un(x,y,t,e) + 0(es k) , (x,y,t)eD. (5.26) При п = 2 из (5.26) имеем: и = U2 + О (є) = Ul + О (є2/3) , (x,y,t)eD, (5.27) где Ui=u0 + є1/3иг + П0 + є1/3П! + є1/3Р0 а так как Ux = U0 + О (є1/3), то из (5.27) получаем и = U 0 + О (є1/3) , (x,y,t)eD. Таким образом, равенство (5.23) верно для любого целого п 0. Теорема 4 доказана.