Введение к работе
Актуальность темы В последние годы идеи и понятия из области конечномерных систем все более проникают в теорию бесконечномерных динамических систем и порождающих их уравнений с частными производными. В работах О.А.Ладыженской, А.В.Бабина, М.И.Вишика, С.Фояша, Р.Темама, Дж.Хейла, Ж.-М.Гидаглья, А.Аро, Дж.Хейла и других авторов изучались вопросы, связанные с существованием, структурой, размерностью аттракторов полутрупп, соответствующих эволюционным уравнениям, то есть таких инвариантных множеств, к которым при t — со притягиваются все семейства траекторий, выходящие из ограниченных множеств. Исследовались также вопросы поведения решений возмущенных эволюционных уравнений и построения их конечномерных асимптотик. В этих работах рассматривались следующие основные уравнения математической физики: система уравнений Навье-Стокса, система уравнений магнитной гидродинамики, уравнения химической кинетики, волновые уравнения с диссипацией и нелинейными членами взаимодействия, ряд других уравнений. В работах А.В.Бабина, М.И.Вишика и В.В.Чепыжова исследовалась зависимость от малого параметра аттракторов некоторых возмущенных эволюционных уравнений, как автономных, так и неавтономных.
В настоящей работе изучается асимптотическое поведение решений сингулярно возмущенного гиперболического уравнения с диссипацией. Кроме того, рассматривается взаимосвязь аттракторов возмущенной и невозмущенной задач в автономном и неавтономном случаях. Основная трудность, встречающаяся при изучении сингулярно возмущенных уравнений, заключается в том, что фазовые пространства возмущенной и невозмущенной задачи являются различными.
Цель работы Построить максимальные аттракторы полугруппы, соответствующей автономному сингулярно возмущенному гиперболическому уравнению с диссипацией, а также процесса, порожденного неавтономным сингулярно возмущенным гиперболическим уравнением с диссипацией, изучить их свойства и зависимость от малого параметра. В автономном случае доказать существование стабилизированной асимптотики траекторий.
Научная новизна Все результаты диссертации являются новыми.
1. Доказано существование, изучены свойства и полу
непрерывная зависимость от малого параметра аттрактора
полугруппы {S((e)}, соответствующей уравнению
д?и + dtu = -єД*и + Ди - /(«) - д(х), и |ш= Ли \ш= О, (1)
где х Є П т R3, |/(«)| < С(1 + |и|3), 0 $ є ^ єй.
2. Доказано существование, изучены свойства и полунепре
рывная зависимость от малого параметра процесса {U(t, т,е)},
порожденного уравнением
d?u+dtii = -eA2u+Au-f(u,t)-g(x, <), и \т= Ди |ап= 0, (2)
гдеяЄПєй3, \f(u,t)\iC(l+\u\'), д<2, 0 < є «; є0, f(u,t) и д(х, t) - почти периодические функции в соответствующих банаховых пространствах.
3. Для любой траектории у{і,є) полугруппы {5((е)}, выхо
дящей из ограниченного в некотором банаховом пространстве
Е множества В, доказано существование стабилизированной
асимптотики у(і) решений y(t,e) возмущенной задачи, то есть
существование такой кусочно-непрерывной траектории y(t)
невозмущенной задачи, для которой справедливо неравенство
*мр\\у(і,є)-у(і)\\Е$С0ея,
где Со , go не зависят от є, у(0,є) Є В.
Теоретическая и практическая ценность Работа носит теоретический характер. Ее результаты и разработанные в ней методы могут использоваться при исследовании асимптотического поведения решений задач математической физики, содержащих малый параметр при старших производных.
Апробация Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений МГУ.
Публикацией Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах автора, список которых приведен в конце реферата.
Структура диссертации Работа состоит из введения, вспомогательной главы, содержащей основные определения, обозначения и предложения, трех основных глав, разбитых на 10 параграфов, и списка литературы, содержащего 56 наименований. Общий объем диссертации 90 страниц.