Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Скалярные линейные стационарные системы 33
1.1. Система с первым относительным порядком 33
1.2. Обращение систем произвольного порядка 58
1.3. Обращение систем с неустойчивой нулевой динамикой 69
1.4. Обращение при известной волновой модели 76
1.5. Обращение управляемых систем 83
Глава 2. Обращение линейных многомерных стационарных систем 99
2.1. Вспомогательные утверждения 100
2.2. Обращение векторных систем по фазовому вектору 145
2.3. Наблюдатели для векторных систем в условиях неопределенности 150
Глава 3. Минимальные инверторы 175
3.1. Постановка задачи 176
3.2. Функциональные наблюдатели 181
3.3. Минимальные функциональные наблюдатели 197
Глава 4. Обращение нелинейных систем 240
4.1. Обращение нелинейных систем по состоянию 240
4.2. Обращение нелинейных систем по выходу 267
Литература 276
- Обращение систем с неустойчивой нулевой динамикой
- Наблюдатели для векторных систем в условиях неопределенности
- Минимальные функциональные наблюдатели
- Обращение нелинейных систем по состоянию
Введение к работе
Актуальность работы. Предлагаемая диссертация посвящена одной из классических задач теории управления, а именно задаче обращения (инвертирования) динамических систем, т.е. задаче восстановления (оценивания) неизвестного входа динамической системы по ее измеряемому выходу.
Важность задачи обращения динамических систем обусловлена тем фактом, что она находит применение при решении практических задач, таких, например, как идентификация сигналов и параметров систем, управления в условиях неопределенности, построения измерительных систем для сложных динамических процессов, при планировании-траекторий в робототехнике и т.д.
Задача обращения динамических систем (под тем или иным названием, в частности, как задача оценивании сигналов или обратная задача динамики) имеет значительную предысторию. Еще в 60-ые годы прошлого века появились работы (Silverman), где рассматривалась принципиальная разрешимость задачи обращения динамических систем. Позднее основное внимание исследователей сосредоточилось на поиске практически реализуемых алгоритмов обращения. При этом можно выделить два класса задач обращения. Первый класс - это расчетные задачи, т.е. задачи восстановления неизвестного входа в случае, когда известны измерения выхода на всем интервале времени (как правило, в этом случае речь идет о конечном временном интервале). Такие задачи возникают в геологии, томографии и т.д.
Второй класс задач - задачи обращения в реальном времени (в режиме on-line). При этом, как правило, рассматривается решение задачи в асимптотике. К таким задачам сводится построение различных измерительных комплексов для сложных процессов. Кроме того, особенно важна робастность алгоритмов обращения, т.е. их устойчивость к различным факторам неопределенности, как то к погрешности измерения выхода системы, различным классам параметрических возмущений, неидеальностям в работе элементов системы обращения (например, релейных элементов) и т.д.
Именно о таких, робастных алгоритмах обращения, решающих задачу для линейных и нелинейных конечномерных систем в режиме реального времени, и идет речь в данной диссертации.
Существуют различные подходы к решению. Алгоритмы обращения, предложенные в первых работах Silverman (1969), Singh и Massey (1969), Willsky (1974), не были пригодны для решения задачи в режиме реального времени. Позднее появились более практичные алгоритмы (например, в работах Ю.С. Осипова и А.В. Кряжимского (1983), D. Chen (1993)), которые могут быть использованы для работы в режиме on-line.
Алгоритмы Ю.С. Осипова и А.В. Кряжимского основаны на дискретизации системы и построении кусочно-постоянной аппроксимации неизвестного входного сигнала. Описанные в литературе алгоритмы этого типа применимы лишь для систем с полностью определенной динамикой (допускается только погрешность измерений выхода) и требуют информацию о полном фазовом векторе системы.
Ситуация качественно меняется, если рассматривается задача обращения по выходу с неточно известной динамикой объекта. В этом случае многие известные алгоритмы не применимы, либо требуют серьезных изменений.
В предлагаемой диссертации рассматриваются алгоритмы обращения систем, основная идея которых заключается в сведении задачи обращения к задаче стабилизации неопределенных систем по выходу, что позволяет использовать при решении весь арсенал алгоритмов стабилизации. Такой подход позволил получить робастные алгоритмы обращения.
Для прояснения основной идеи рассмотрим следующую неформальную постановку задачи обращения линейной динамической системы. Пусть задан линейный дифференциальный оператор Р, отображающий входные функции () в выходные w(t), т.е. w(t) = P(t).
Требуется по измерениям выхода сформировать текущую оценку () входного сигнала. Алгоритм формирования оценки назовем алгоритмом обращения (инвертирования), а динамическую систему, формирующую такую оценку -инвертором.
Основная проблема заключается в том, что обратный оператор Р 1 физически нереализуем, поэтому для решения задачи надлежит построить его физически реализуемую аппроксимацию Р такую, что функцию Pw{t) = PPZ(t) можно принять за оценку неизвестного входного сигнала.
Один из способов построения такой аппроксимации основан на использовании управляемой модели исходной системы: w(t) = Pu(t), в которой управление u(t) выбирается из условия обнуления разницы между выходом системы и модели y(t) — w(t) — w(t). Если ошибка у(t) — О, то Р(и -0=о, и, значит, с точностью до функции о() из ядра оператора Р имеет место равенство «( ) = ( ) + &( ).
Из этих простых соображений следует, в частности, необходимое условие обратимости системы: ядро оператора должно содержать только функции о() — 0 при t — оо (эти условия получены еще в первых работах (Silverman)) В частности, для линейных динамических систем это условие эквивалентно минимальной фазовости системы. В этом случае в качестве оценки входа () может быть взята функция u{t), т.е.
При этом свойства алгоритма обращения определяются свойствами оператора Р и видом стабилизирующего управления u(i).
Разумеется, это лишь самое общее представление о схеме решения задачи. На самом деле проблема сложнее, в частности, стабилизирующее управление u(t) и функция () могут принадлежать к различным классам (например u(t) кусочно постоянная, разрывная функция, а (-) непрерывная или непрерывно дифференцируемая). В этом случае требуется дополнительное преобразование (фильтр) F этого управления u(i) с тем, чтобы результат этого преобразования можно было принять за приемлемое приближение функции (t) = F(u(t)).
Подобный подход уже описывался в литературе (см. работы R.M. Hirschon (1979), W. Respondek (1988), L.R. Hunt и G. Meyr (1997)), причем особенность применяемого метода определялась выбором модели системы и типом стабилизирующего управления: так, в работе Silverman (1969) использовалась точная непрерывная модель, а закон управления состоял из двух компонент: обратной связи по состоянию и прямой связи по многократным производным выхода. Ясно, что такой алгоритм обращения нереализуем точно и не является робастным. В работах Ю.С. Осипова и А.В. Кряжимского использовалась дискретная модель системы и кусочно-постоянная стабилизирующая обратная связь, которая при определенных условиях и при устремлении шага дискретизации к нулю аппроксимирует неизвестный вход. Однако, в силу специфики этого метода отвергаются разрывные законы управления, которые часто наделяют систему повышенной устойчивостью по отношению к вариациям параметров задачи и различным факторам неопределенности. Именно поэтому в данной работе широко используются разрывные управления в задачах робастного обращения.
Цель диссертационной работы. Целью работы является разработка теории алгоритмов робастного обращения для различных классов динамических систем.
Вначале рассматриваегся класс SIS01 систем. В этом базовом случае детально исследована обратимость систем, предложены различные варианты алгоритмов обращения, изучена зависимость свойств алгоритмов обращения от типов обращаемых систем, установлена устойчивость алгоритмов по отношению к некоторым классам факторов неопределенности.
Развитая теория обращения распространяется на многосвязные МІМ02 системы. Для многосвязных систем ряд характеристик, играющих важную роль при решении обратных задач, (в частности, нулевая динамика, относительный порядок и т.д.) неоднозначны и нуждаются в дополнительном уточнении. Поэтому в работе приведены уточнения этих понятий для многосвязных систем и получены удобные канонические представления таких систем.
В работе решается также задача о выборе минимального инвертора, т.е. динамической системы минимальной размерности, формирующей оценку неизвестного входа.
Результаты для линейных систем распространяются на некоторые классы нелинейных динамических систем, получены достаточные условия, налагаемые на нелинейную систему, при которых возможно робастное инвертирование.
1 SISO - Single Input Single Output (системы с одним входом и одним выходом).
1 MIMO - Multi Input Multi Output (системы с векторным неизвестным входом и векторным измеряе
мым выходом). _ Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:
1. Теория робастных инверторов для линейных скалярных и для векторных систем. Предложены алгоритмы инвертирования с использованием глубокой обратной связи, разрывных законов управления, а также стабилизацией по полному фазовому вектору или по выходу с использованием асимптотических наблюдателей.
2. Для векторных систем даны корректные определения определения нулевой динамики и относительного порядка.
3. Указаны способы преобразования векторных систем к различным каноническим формам, в том числе с явным выделением нулевой динамики и удобных для решения задач обращения. Разработаны методы вычисления размерности нулевой динамики. Предложены алгоритмы вычисления спектра матрицы, определяющей нулевую динамику.
4. Теория минимального инвертора для динамических систем. Теория основана на приведении систем к специальным каноническим видам (с выделением нулевой динамики) и теории функциональных наблюдателей.
5. Для некоторых классов нелинейных систем разработаны робастные алгоритмы обращения, с оценками качества работы алгоритмов, характерными для линейных систем.
Практическая значимость. Предложенные в работе алгоритмы ро-бастного обращения, в том числе минимального порядка, имеют не только теоретическую, но и практическую значимость и, в частности, могут использоваться для решения задач планирования траекторий, идентификации и измерения в условиях неопределенности и др.
Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные её части докладывались: на научных семинарах кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета Вычислительной математи ки и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова; на научном семинаре "Нелинейная динамика: качественный анализ и управление" под руководством академиков РАН СВ. Емельянова и С.К. Коровина; на Международной конференции по управлению «Автоматика 2001», Одесса, 2001 г.; на научной школе—конференции "Мобильные роботы и мехатронные системы" (Москва, МГУ, Инстигут механики имени Е.А. Девянина) 2004 г.; на Симпозиуме IFAC по Обобщенным решениям в задачах управления (GSCP-2004); на Первой Между народной конференции "Системный анализ и информационные технологии" САИТ-2005 (12-16 сентября 2005 г., г. Переславль); на Второй Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" САИТ-2007 (10-14 сентября 2007 г. Обнинск, Россия); на семинаре в Международном Институте прикладного системного анализа (IIASA, Austria Laxenburg) 2007 г.; на семинарах в университете Лафборо (Великобритания) 2007 г.; на Ломоносовских чтениях в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, Москва, 2004-2008 г.г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 25 работах, из них 22 работы - в ведущих математических журналах (Доклады РАН, Дифференциальные уравнения) и рецензируемых сборниках. Список основных публикаций помещен в конце автореферата.
Лично автором получены следующие результаты:
1. Методы робастного обращения линейных стационарных систем.
2. Для векторных систем корректно введены понятия нулевой динамики и относительного порядка, играющие важную роль при решении задач обращения.
3. Методы обращения векторных динамических_систем.
4. Методы обращения динамических систем при известной волновой моде ли оцениваемого сигнала.
5. Методы синтеза инвертора минимального порядка.
6. Методы обращения управляемых динамических систем.
7. Методы обращения некоторых классов нелинейных систем.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Главы разбиты на параграфы, параграфы на пункты. Нумерация утверждений, теорем, лемм, замечаний, примеров и формул - двойная, сквозная по каждой главе. В конце приведена библиография из 111 наименований, вначале в алфавитном порядке перечислены работы на кириллице, затем в алфавитном порядке - работы на латинице.
Обращение систем с неустойчивой нулевой динамикой
Разумеется, это лишь самое общее представление о схеме решения задачи. На самом деле проблема сложнее, в частности, стабилизирующее управление u(t) и функция () могут принадлежать к различным классам (например u(t) кусочно постоянная, разрывная функция, а (-) непрерывная или непрерывно дифференцируемая). В этом случае требуется дополнительное преобразование (фильтр) F этого управления u(i) с тем, чтобы результат этого преобразования можно было принять за приемлемое приближение функции
Подобный подход уже описывался в литературе (см. работы R.M. Hirschon (1979), W. Respondek (1988), L.R. Hunt и G. Meyr (1997)), причем особенность применяемого метода определялась выбором модели системы и типом стабилизирующего управления: так, в работе Silverman (1969) использовалась точная непрерывная модель, а закон управления состоял из двух компонент: обратной связи по состоянию и прямой связи по многократным производным выхода. Ясно, что такой алгоритм обращения нереализуем точно и не является робастным. В работах Ю.С. Осипова и А.В. Кряжимского использовалась дискретная модель системы и кусочно-постоянная стабилизирующая обратная связь, которая при определенных условиях и при устремлении шага дискретизации к нулю аппроксимирует неизвестный вход. Однако, в силу специфики этого метода отвергаются разрывные законы управления, которые часто наделяют систему повышенной устойчивостью по отношению к вариациям параметров задачи и различным факторам неопределенности. Именно поэтому в данной работе широко используются разрывные управления в задачах робастного обращения. Цель диссертационной работы. Целью работы является разработка теории алгоритмов робастного обращения для различных классов динамических систем. Вначале рассматриваегся класс SIS01 систем. В этом базовом случае детально исследована обратимость систем, предложены различные варианты алгоритмов обращения, изучена зависимость свойств алгоритмов обращения от типов обращаемых систем, установлена устойчивость алгоритмов по отношению к некоторым классам факторов неопределенности. Развитая теория обращения распространяется на многосвязные МІМ02 системы. Для многосвязных систем ряд характеристик, играющих важную роль при решении обратных задач, (в частности, нулевая динамика, относительный порядок и т.д.) неоднозначны и нуждаются в дополнительном уточнении. Поэтому в работе приведены уточнения этих понятий для многосвязных систем и получены удобные канонические представления таких систем. В работе решается также задача о выборе минимального инвертора, т.е. динамической системы минимальной размерности, формирующей оценку неизвестного входа. Результаты для линейных систем распространяются на некоторые классы нелинейных динамических систем, получены достаточные условия, налагаемые на нелинейную систему, при которых возможно робастное инвертирование. Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты: 1. Теория робастных инверторов для линейных скалярных и для векторных систем. Предложены алгоритмы инвертирования с использованием глубокой обратной связи, разрывных законов управления, а также стабилизацией по полному фазовому вектору или по выходу с использованием асимптотических наблюдателей. 2. Для векторных систем даны корректные определения определения нулевой динамики и относительного порядка. 3. Указаны способы преобразования векторных систем к различным каноническим формам, в том числе с явным выделением нулевой динамики и удобных для решения задач обращения. Разработаны методы вычисления размерности нулевой динамики. Предложены алгоритмы вычисления спектра матрицы, определяющей нулевую динамику. 4. Теория минимального инвертора для динамических систем. Теория основана на приведении систем к специальным каноническим видам (с выделением нулевой динамики) и теории функциональных наблюдателей. 5. Для некоторых классов нелинейных систем разработаны робастные алгоритмы обращения, с оценками качества работы алгоритмов, характерными для линейных систем. Практическая значимость. Предложенные в работе алгоритмы ро-бастного обращения, в том числе минимального порядка, имеют не только теоретическую, но и практическую значимость и, в частности, могут использоваться для решения задач планирования траекторий, идентификации и измерения в условиях неопределенности и др.
Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные её части докладывались: на научных семинарах кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета Вычислительной математи ки и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова; на научном семинаре "Нелинейная динамика: качественный анализ и управление" под руководством академиков РАН СВ. Емельянова и С.К. Коровина; на Международной конференции по управлению «Автоматика 2001», Одесса, 2001 г.; на научной школе—конференции "Мобильные роботы и мехатронные системы" (Москва, МГУ, Инстигут механики имени Е.А. Девянина) 2004 г.; на Симпозиуме IFAC по Обобщенным решениям в задачах управления (GSCP-2004); на Первой Между народной конференции "Системный анализ и информационные технологии" САИТ-2005 (12-16 сентября 2005 г., г. Переславль); на Второй Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" САИТ-2007 (10-14 сентября 2007 г. Обнинск, Россия); на семинаре в Международном Институте прикладного системного анализа (IIASA, Austria Laxenburg) 2007 г.; на семинарах в университете Лафборо (Великобритания) 2007 г.; на Ломоносовских чтениях в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, Москва, 2004-2008 г.г.
Наблюдатели для векторных систем в условиях неопределенности
В качестве оценки неизвестного входа используем, как и раньше, скользящее среднее второй компоненты управления = (U2)T, однако, вместо и из (1.11) используем управление (1.18). В этом случае верно
Следствие 1.2. Пусть выполнены все предположения Теоремы 1.2 и управление задано в виде (1.18) и (1.19). Тогда для любого числа є О существуют такие числа Т, а О, что для функции скользящего среднего ( ) = (и2())г начиная с некоторого момента времени, справедливо неравенство
Доказательство. Как было показано в доказательстве Теоремы 1.2, начиная с некоторого момента времени, т— 2 - Оценим теперь погрешность Отсюда очевидно, что выбирая Т достаточно малым, аа- достаточно большим можно, начиная с некоторого момента времени, сделать последнее выражение в (1.21) сколь угодно малым. Следствие 1.2 доказано. Заметим, что при та « 1 имеет место оценка (1 — еат) ат, поэтому погрешность оценивания Е Ц + К\е 11. Для уменьшения погрешности Е требуется выбирать а достаточно большим, т.е. а , а для уменьшения общей ошибки (1.21) надо выбирать Т є. Аналогичные результаты можно получить и в случае, когда релейный элемент реализован с неидеальностями типа петли гистерезиса или мертвой зоны. Для этих случаев верна Лемма 1.3. Пусть Є Q,1, у(і) - решение уравнения (1.6) с управлением (1.11), где релейный элемент реализуется с неидеальностью типа петли гистерезиса с шириной А (с зоной нечувствительности шириной А). Тогда, начиная с некоторого момента времени, выполняется неравенство Доказательство. Для доказательства леммы достаточно показать, что, начиная с некоторого момента времени, при \y{t)\ min{A; } (\y(t)\ min{A; —}) выполнено неравенство ysgny 0. Пусть 0 Д (0 Д ). Тогда при \у\ А следуег, что sgnAy = sgny (где под sgnA(y) следует понимать релейный элемент с неидеальностью, характеризующейся параметром А). Тогда ysgny = -а\у\ -F-{ + Л"е }sgny, и так как ё - -»0, F , то, начиная с некоторого момента времени, ysgny 0 при \у\ А. Если 0 2 А (О А), то при \у\ (\у\ ) будет верно неравенство а\у\ 2F {pt\y\ F), откуда , очевидно, следует выполнение условия ysgny 0 с некоторого момента времени при \у\ — (\у\ —). Таким образом, начиная с некоторого момента времени, для области \y(t)\ min{A; } (\y(t)\ min{A; —}) выполняется неравенство ysgny О, а, следовательно, у (і) стягивается в область \y(t)\ min{A; } (\y(t)\ min{A; }) и остается там бесконечно долго. Лемма доказана. Теперь нетрудно показать, что для = (г т? где и2 теперь содержит неидеальный релейный элемент, будет справедливо Следствие 1.3. Пусть выполнены условия Теоремы 1.2. Тогда для любого є 0 существуют такие Т и а 0, что для = (и2)т при Щ, реализованном с неидеальностями типа петли гистерезиса или мертвой зоны, справедлива оценка:
Доказательство. Из Леммы 1.3 следует, что, начиная с некоторого момента времени, в системе выполнено неравенство \у\ (при любом типе неидеальностей и соответствующем выборе F и а, т.е. при А либо — А). Тогда, как и в доказательстве Следствия 1.2, нетрудно получить оценку (1.21) с последующими необходимыми выводами. Следствие доказано.
Необходимо отметить, что при малых є коэффициент обратной связи а должен быть достаточно большим, что приводит к большим значениям второй компоненты управления и . Однако управление (1.11) можно "под-корректировать"таким образом, чтобы щ было равномерно ограничено при любых величинах а. Например, выберем щ в виде: где t - момент первого попадания траектории системы в область у . Таким образом, новое управление совпадает со старым в окрестности нуля, там где произведение \ау\ 2F, т.е. ограничено, а при больших y(t) управление и2 = —Fsgny, что гарантирует попадание траектория за конечное время в заданную окрестность нуля и удержанием ее там сколь угодно долго, т.к. внутри области это управление полностью совпадает с ич из (1.11). При этом нетрудно заметить, что при любом а выполнено неравенство: гі2І 3F. Таким образом, предложенная схема обращения является прочной по отношению различным неидеальностям в релейном-элементе.
Минимальные функциональные наблюдатели
Рассмотрим вновь систему (1.1), когда (), y(t) Є Ж. Исследуем случай, когда нулевая динамика системы неустойчива, т.е. числитель передаточной функции W(s) = Ш - полином Pm(s) имеет корни в С+. В этом случае методы, предложенные в 1-2 напрямую применить нельзя, тж. ошибка наблюдателя нулевой динамики системы типа (1.10) теперь может экспоненциально нарастать, и, следовательно, все дальнеинше результаты перестают быть справедливыми.
Представим полином Pm(s) в виде pm(s) = Pmi(s)Pm2(s), тгц + m2 = m, (1.49) где все корни полинома /5mi(s) лежат в левой открытой, а корни /3m2(s) - в правой открытой полуплоскости С Не ограничивая общности будем считать, что для j3mi(s) выполнено предположение П.2., а все корни Pm2(s) удовлетворяют условию Re(Xi) fi 0 , г=1,...,т2. (1.50) Запишем систему (1.1) в операторном виде, учитывая (1.49), имеем Pmi{s) m2{s)e(s)=Y(S), (1.51) где 6(s) и Y(s) - преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях входа () и выхода у it) соответственно. Пусть входной сигнал () принадлежит классу D,m2+1 = {() : г() г, г = 0,... 7П2 + 1}. Введем новый сигнал № = Ш) + fa№ + ... + /Wi(m2)(0 = Р2 (), (1.52) т.е. pm2{s) = /3m2+ism2 +pm2sm2 1 -{-...+Pi, где Pi - коэффициенты полинома Pm2{s) (не ограничивая общности, в дальнейшем будем считать, что Pm2+i — 1). Так как Є Q,m2+1, то, очевидно, у Є fi1. Тогда система (1.51) в новых обозначениях будет иметь вид: здесь Y = L[y]. Первое уравнение (1.53) может быть рассмотрено как стандартная задача обращения системы с устойчивой нулевой динамикой и с неизвестным входным сигналом y(t) Є Ql. Для решения этой задачи могу г быть использованы алгоритмы, предложенные в 1-2. Таким образом задача обращения системы с неустойчивой нулевой динамикой сводится к поиску равномерно ограниченного решения неустойчивого дифференциального уравнения Ап2()Ш=у( ), (1.54) где в правой части стоит равномерно ограниченная известная функция (т.е. І2/0ОІ — const при t 0). Из [2], известно, что для любого равномерно ограниченного у существует равномерно ограниченное решение дифференциального уравнения (1.54), если среди корней полинома (3m2(s) нет таких, что Re(Xi) = 0. Из (1.50) следует, что это условие выполнено. Так как весь спектр полином (3m2(s) целиком лежит в С+, то равномерно ограниченное решение (1.54) единственно. Действительно, пусть i() и г() _ равномерно ограниченные решения (1.54). Тогда Д() = i() — 2 СО является решением однородного дифференциального уравнения Функция Д() равномерно ограничена как разность равномерно ограниченных функций i(t) и 2СО, а так как все корни /3TO2(s) лежат в С+, то Д ( ) 5= 0. В качестве оценки сигнала () используем функцию Для функции оценки () справедлива Теорема 1.6. Пусть () - равномерно ограниченное решение дифференциального уравнения (1.54), где j3m2(s) удовлетворяет условию (1.50). Тогда для любого є О при А 1п{- —}//г; где С с = max Е,г, а константа І—0,... ,7712 + 1 С 0 - зависит только от параметров уравнения (1.54), выполнено неравенство: \№-Ш є. (1.57) Доказательство. Пусть функция у {і) известна на промежутке времени [0,Т], Т 0. Поменяем направление дифференцирования, сделав замену переменных m d d г ,-rvi Введем обозначения: y (s) = у(Т — ), (s) = (Т — і). Тогда вместо уравнения (1.54) получим: Так как для (3m2{s) выполнено условие (1.50), то очевидно, что все корни полинома /5ТО2(—s) лежат в С_ и уравнение (1.58) является асимптотически устойчивым.
Обращение нелинейных систем по состоянию
В главе рассмотрена задача обращения многосвязных (MIMO) систем, т.е. систем с векторным неизвестным входом и векторным измеряемым выходом.
При описании многосвязных систем ряд терминов, которые играют важную роль при решении обратных задач, в частности понятия нулевой динамики, относительного порядка и т.д., требуют уточнения. Рассмотрению этих понятий посвящен первый параграф данной главы. Кроме того, в нем будут приведены некоторые канонические представления для многосвязных систем, которые далее используются при решении задачи обращения и некоторых вспомогательных задач.
Во втором параграфе рассмотрена наиболее простая задача обращения системы с векторным входом по полному фазовому вектору. Рассматриваются основные подходы к решению задачи обращения, описаны основные методы формирования оценок входных сигналов с помощью разработанных алгоритмов обращения для SISO-систем.
В третьем параграфе рассматривается теория синтеза наблюдателей для МІМО-систем в условиях неопределенности. Предложены методы синтеза асимптотических наблюдателей для гипервыходных систем (т.е. систем, для которых размерность выхода превышает размерность входа), а также методы синтеза наблюдателей с заданной точностью для квадратных систем.
В четвертом параграфе рассматривается задача обращения векторных систем по выходу. При этом обобщаются методы обращения по фазовому вектору, рассматриваемые во втором параграфе, с тем важным отличием, что теперь в них вместо неизвестного фазового вектора системы используется его оценка, которая получается с помощью наблюдателей, рассмотренных в третьем параграфе.
Как видно из описанных в Главе 1 алгоритмов обращения, для их реализации важную роль играют такие понятия, как нулевая динамика системы и ее относительный порядок. Для векторных систем определение этих понятий встречают определенные затруднения. Ниже будут рассмотрены некоторые вопросы, связанные с этой проблемой. Рассматривается стандартная управляемая и наблюдаемая стационарная линейная динамическая система вида: где х Жп — фазовый вектор системы, и Є Rm и у Є Ж1 - известные управление и выход системы, А, В и С - постоянные вещественные матрицы соответствующих размерностей. Далее такую систему будем называть системой общего положения. Под нулевой динамикой а системы (2.1), по традиции, понимается движение в системе (2.1), целиком принадлежащее многообразию (т.е. при тождественно нулевом выходе системы, что и определяет название нулевой динамики). Нулевая динамика играет чрезвычайно важную роль в теории автоматического управления. Поэтому, естественно, возникает задача о вычислении нулевой динамики, т.е. о построении уравнений этого движения, свойствах и возможностях управления нулевой динамикой. При описании нулевой динамики можно выделить следующие взаимосвязанные задачи. Задача 1. Определение уравнений нулевой динамики, т.е. системы дифференциальных уравнений, описывающих движение системы по многообразию у = Сх = 0. Для линейной стационарной системы (2.1) нулевая динамика также описывается системой линейных стационарных уравнений. В теории управления зачастую достаточно знать, устойчива ли данная система уравнений. Поэтому возникает Задача 2. Вычисление спектра нулевой динамики, т.е. задача нахождения спектра матрицы, определяющей нулевую динамику, а также изучение возможности назначения этого спектра по произволу. Кроме того, в приложениях часто возникает Задача 3. Определение размерности нулевой динамики, т.е. задача нахождения динамического порядка системы уравнений, описывающих нулевую динамику. Известен полный ответ на поставленные задачи для скалярной системы, т.е. при т = I = 1. Для системы ( 2.1) в этом случае определяется передаточная функция где a(s) = det (si" — A) - характеристический полином матрицы А системы (2.1), deg(a(s)) = щ /3(s) - полином от s степени р п — 1, полиномы a(s) и (3(s) взаимно просты для системы общего положения, т.е. W{s) - правильная дробь. Относительным порядком скалярной системы (2.1) называют натуральное число г, для которого выполнены соотношения Для скалярных систем имеет место соотношение dim(/3(s)) = р = п — г. Рассмотрение задач по описанию нулевой динамики начнем с наиболее простой задачи 3. В скалярном случае имеет место Утверждение 2.1. ДЛЯ скалярной системы (2.1) общего положения размерность нулевой динамики Таким образом, в скалярном случае размерность нулевой динамики и относительный порядок системы однозначно связаны соотношением (2.4). Рассмотрим задачу об определении спектра нулевой динамики. Как отмечено выше, для линейных стационарных систем нулевая динамика описывается системой линейных стационарных дифференциальных уравнений, и, следовательно, можно естественным образом определить характеристический полином нулевой динамики. Тогда спектр нулевой динамики (далее Spec(cr)) 102 множество корней характеристического полинома нулевой динамики, и задачу 2 решает Утверждение 2.2. Для скалярной системы (2.1) общего полооїсения характеристическим полиномом нулевой динамики является числитель j3{s) передаточной функции W{s); Spec(o-) - мнооюеетво корней характеристического полинома (3{s).