Введение к работе
Актуальность темы.
Работа посвящена исследованиям в теории динамических систем, а также качественной теории дифференциальных уравнений, теории возмущений, эргодической теории и теории фракталов.
Согласно современной научной парадигме, основной задачей теории динамических систем является описание асимптотического поведения большинства траекторий типичной динамической системы. Такая формулировка требует пояснения нескольких вопросов: относительно какой меры рассматривается большинство траекторий; в каких терминах должно быть описано асимптотическое поведение; что означает термин "типичная динамическая система"?
У всех рассматриваемых в работе динамических систем фазовое пространство представляет собой компактное рпманово многообразие. В этом случае риманова метрика каноническим образом порождает вероятностную меру Лебега. Тогда с физической точки зрения наиболее естественный способ описать „большинство траекторий" — это выбрать начальную точку траектории типичной относительно меры Лебега.
Асимптотическое поведение траекторий описывается в терминах инвариантных мер. Пусть f : М —> М — отображение компактного риманова многообразия М в себя. Знаменитая эргодическая теорема Биркгофа гласит, что если /і — эргодическая инвариантная мера для /, то для любой непрерывной функции ер Є С(М) и для /і-почти любого х Є М пространственные средние срп функции ср в точке х сходятся к ее временному среднему ф:
іп~1 Г
\тирп(х) = ф, где tpn(x) :=-У^іро fk(x), ф := (pdfi. (erg)
n^ n^ JM
Заключение этой теоремы имеет один существенный недостаток: если мера /і сосредоточена на каком-либо „тонком" множестве (например, в точке), мы не можем сделать никаких выводов относительно поведения системы вне этого множества. В частности, в этом случае эргодическая теорема не описывает поведение типичной начальной точки относительно меры Лебега.
Вышесказанное приводит нас к широко известному понятию меры Синая-Рюэлля-Боуэна (или, для краткости, SRB-меры). А именно, инвариантная вероятностная мера /і называется (глобальной) SRB-мерой для
преобразования f : М —> М, если для всякой непрерывной функции (р и для почти любой по мере Лебега точки х Є М, временные средние функции ср в точке ж стремятся к ее пространственному среднему (т. е. выполнено равенство (erg)).
Заметим, что не все системы обладают SRB-мерами. Первый пример такого рода, гетероклинический аттрактор, был указан самим Боуэном :' 2. Однако в некоторых предположениях (например, в гиперболическом случае) можно гарантировать их существование 3' 4.
На протяжении последних 100 лет, в теории динамических систем развивались два конкурирующих подхода к понятию типичности в семействе (классе) динамических систем: топологический (множество 1-й категории по Бэру) и метрический (множество полной меры). Разнообразные примеры, показывающие различие между понятиями метрической и топологической типичности, можно найти в статье Ханта, Зауэра и Йорка 5. В настоящее время наиболее широко распространена точка зрения, предложенная А. Н. Колмогоровым в пленарном докладе на Международном Математическом Конгрессе в 1954 г. в Амстердаме 6: „Категорный подход интересен в большей степени как инструмент для доказательства теорем существования..., тогда как метрический подход представляется более естественным и физически мотивированным... ".
Таким образом, рассматривая определенный бесконечномерный класс динамических систем, типичность некоторого явления в этом классе следует понимать следующим образом: оно наблюдается при почти всех (по мере Лебега) значениях параметра в репрезентативных конечнопарамет-рических семействах динамических систем 7. В частности, если некоторое свойство выполняется для произвольного малого возмущения динамической системы (в данном классе), то оно является локально типичным и
XF. Takens, Heteroclinic attractors: time averages and moduli of topological conjugacy. Bol. Soc. Bras. Mat. 25:1 (1994), 107-120.
2T. Golenishcheva-Kutuzova, V. Kleptsyn. Non-convergence of the Krylov-Bogolubov procedure for the Bowen's example. Mathematical Notes, 82:5 (2007), 678-689
3L.-S. Young. What are SRB measures, and which dynamical systems have them? J. Statist. Phys., 108 (2002), 733-754.
4L. Barreira, Ya. Pesin. Smooth Ergodic Theory and Nonuniformly Hyperbolic Dynamics. In: Handbook of dynamical systems. Vol. IB, 57-263. Editors: B. Hasselblatt, A. Katok. Elsevier, Amsterdam, 2006.
5B. Hunt, T. Sauer, J. A. Yorke Prevalence: a translation invariant almost every for infinite dimensional spaces. Bull. Am. Math. Soc, 27 (1992), 217-238; Prevalence: an addendum, 28, (1993) 306-307
6A. N. Kolmogorov. Theorie generale des syte'mes dynamiques et mecanique classique. Proc. of International Congress of Mathematicians, Amsterdam, 1954, 1, 315-333. North-Holland, Amsterdam, 1957.
7M. Lyubich. The quadratic family as a qualitatively solvable model of chaos. Notices of the AMS, 47:9 (2000), 1042-1052
„физически значимым".
Заметим также, что одна из возможных аккуратных формализации понятия метрической типичности в бесконечномерных класссах динамических систем (метрическая превалентность) принадлежит В. Ю. Калоши-
ну у.
Настоящая диссертация посвящена исследованию типичности свойств динамических систем различных классов и анализу множества нетипичных начальных условий при наличии у системы глобальной SRB-меры.
Первая глава диссертации посвящена исследованиям свойств неавтономных вещественных дифференциальных уравнений на торе Т2 = Ж2/2пЪ2 вида
х = sinrr + a + ef(t) + 6g(x), (*)
где функции fug 2-7г-периодические, а функция д(х) нечетна. При 6 = 0 семейство (*) превращается в уравнение
х = sinrr + a + ef(t), (**)
которое рассматривается не только при малом, но и при любом є.
Такие уравнения порождают векторные поля на торе с глобальной трансверсалью {t = 0}. Ключевым параметром, описывающим поведение системы, является число вращения отображения первого возвращения на эту трансверсаль (отображения Пуанкаре). Если это число рационально, то все траектории рекуррентны к периодическим, а если оно иррационально, то система демонстрирует иррегулярное поведение 10.
Специфика рассматриваемых семейств уравнений и особенная значимость числа вращения отображения Пуанкаре обусловлены тем, что такие уравнения успешно используются для моделирования динамики перехода Джозефсона П' 12' 13. Мы будем называть уравнение (**) уравнением класса Д (в честь Джозефсона). Изучение этих уравнений и рассматриваемые в
8В. Ю. Калошин. Превалентность в пространствах конечногладких отображений. Функц. анализ и его прил., 31:2 (1997), 27-33
9В. Ю. Калошин. Некоторые превалентные свойства гладких динамических систем. Тр. МИАН, 213 (1997), 123-151
10L. Barreira, Ya. Pesin. Smooth Ergodic Theory and Nonuniformly Hyperbolic Dynamics. In: Handbook of dynamical systems. Vol. IB, 57-263. Editors: B. Hasselblatt, A. Katok. Elsevier, Amsterdam, 2006.
nK. К. Лихарев, Б. E. Ульрих. Системы с джозефсоновскими контактами. М.: Изд-во МГУ, 1978
12В. В. Шмидт. Введение в физику сверпроводников. М.: МЦНМО, 2000
130. V. Karpov, V. М. Buchstaber, S. I. Tertychniy, J. Niemeyer, О. Kieler. Modeling of rf-biased overdamped Josephson junctions. J. Appl. Phys., 104:9 (2008), 093910.
работе проблемы мотивированы вопросом о том, какова зависимость среднего значения напряжения от среднего значения тока в джозефсоновском переходе. Результаты работы могут иметь приложения как в теоретической физике, так и в технике.
Приведем физическую интерпретацию этого уравнения.
В 1962 г. Б. Джозефсон теоретически обосновал возможность появления сверхпроводящей компоненты для тока, протекающего через слабый электрический контакт двух сверхпроводящих электродов (такой контакт называется джозефсоновским переходом). Через год существование этого эффекта (названного позже эффектом Джозефсона) было подтверждено экспериментально.
Предположим, что через джозефсоновский переход протекает заданный ток i(t) = i + i(t) (например, ток порождается переменным электромагнитным полем — внешним сигналом), который разлагается в сумму постоянного слагаемого і и периодического слагаемого і с нулевым средним. Напряжение на электродах джозефсоновского перехода задается производной по времени от функции ср. В то время как функция ф описывает макро-физическую величину (напряжение на полюсах ), сама функция ср имеет квантово-механическую природу. Это — разность фаз волновых функций, описывающих коллективные свойства "жидкости" куперовских пар электронов в сверхпроводящих электродах.
Для описания поведения джозефсоновского перехода успешно используется так называемая резистивная модель с малой ёмкостью (большим затуханием), которая задается следующим уравнением в безразмерных переменных 14' 15:
4> + F(tp) = i(t), (ph)
где F — нечетная 2-7г-периодическая функция. В физической литературе функция F называется токо-фазовой зависимостью. Для большинства конкретных реализаций джозефсоновского перехода она имеет вид
F(ip) = siiap + H(ip),
причем слагаемое Н либо тождественно равно нулю, либо мало, и им часто пренебрегают. Однако существуют и другие конструкции джозефсоновского перехода, для которых функция F далека от синуса. К ним относится,
14К. К. Лихарев, Б. Е. Ульрих. Системы с джозефсоновскими контактами. М.: Изд-во МГУ, 1978 15В. В. Шмидт. Введение в физику сверпроводников. М.: МЦНМО, 2000
например, т. н. SNS-сэндвич, с прослойкой из чистого металла и при очень низких температурах 16.
Следует отметить, что уравнение (ph) приводилось как моделирующее поведение сильношунтированного джозефсоновского перехода во множестве источников, в том числе в знаменитых Фейнмановских лекциях по физике 17. Однако правомерность рассмотрения такой модели и высокое соответствие результатам эксперимента было получено лишь сравнительно недавно в работах В. М. Бухштабера и соавторов 18' 19.
Отметим также, что то же самое уравнение (**) описывает велосипедные траектории и динамику планиметра Притца 20' 21.
Уравнение (ph) при малом Н = 6д и малом і = ef имеет вид (*) (мы заменяем ср на х и і на а). Зависимость среднего (по времени) значения напряжения ф от среднего значения тока в уравнении (ph) называется вольт-амперной характеристикой джозефсоновского перехода. В обозначениях уравнения (*), для описываемого этим уравнением джозефсоновского перехода среднее значение напряжения является числом вращения отображения Пуанкаре за время 27Г, рассматриваемого как функция от параметра а при фиксированных є и 6] ниже эта функция обозначается через р. Действительно, среднее значение напряжения за время Т — это значение фазы (р{Т): деленное на время Т. По определению, это число вращения уравнения (*).
Отображение Пуанкаре для уравнения (*) обозначим через Р. Пусть
А = А(а, є, 5) := limn^.oo —^п ~~ ег0 числ0 вращения. Здесь Р - поднятие отображения Пуанкаре на универсальную накрывающую. Соответственно, всюду далее число вращения понимается не как элемент из S1, а как элемент из К, и на окружности длины 2тт уравнение ф = X имеет число вращения, равное А.
Соображения, приведенные выше, показывают, что вопрос о свойствах вольт-амперной характеристики джозефсоновского перехода в резистив-ной модели с большим затуханием эквивалентен вопросу о зависимости
16В. В. Шмидт. Введение в физику сверпроводников. М.: МЦНМО, 2000
17Р. ФеЙнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Современная наука о
природе, полный курс общей физики, в 9 вып. М.: ЛКИ (2007)
180. V. Karpov, V. М. Buchstaber, S. I. Tertychniy, J. Niemeyer, О. Kieler. Modeling of
rf-biased overdamped Josephson junctions. J. Appl. Phys., 104:9 (2008), 093910.
19B. M. Бухштабер, О. В. Карпов, С. И. Тертычный. Эффект квантования числа вращения.
ТМФ, 162:2 (2010), 254-265.
20R. L. Foote. Geometry of the Prytz Planimeter. Reports on Math. Phys., 42:1/2 (1998), 249-271 21M. Levi, S. Tabachnikov. On bicycle tire tracks geometry, hatchet planimeter, Menzin's conjecture
and oscillation of unicycle tracks. Experiment. Math. 18:2 (2009), 173-186.
числа вращения отображения Р от параметра а.
В типичных конечнопараметрических семействах диффеоморфизмов окружности число вращения принимает каждое рациональное значение в целой области пространства параметров 22. Такие области называются языками Арнольда или зонами захвата фазы. В физической литературе соответствующие ступеньки на вольт-амперной характеристике называются ступеньками Шапиро.
Для уравнений класса Д структура языков Арнольда резко отличается от типичной. А именно, захват фазы в семействе уравнений (**) происходит только при целых значениях числа вращения. В работе Бухштабера, Карпова и Тертычного 23 это явление названо квантованием числа вращения.
Впервые этот факт был доказан Футом 24. Впоследствии он был обобщен Леви и Табачниковым 25 на аналогичные уравнения в большей размерности. В контексте динамики джозефсоновского перехода он был впервые опубликован в В. Бухштабером, О. Карповым и С. Тертычным 26.
Наиболее простое известное автору доказательство было предложено Ю. Ильяшенко и опубликовано в совместной работе с Д. Рыжовым и Д. Филимоновым 27. Оно основано на том, что замена у = tg | переводит уравнение (**) в уравнение Риккатти на проективной прямой с периодическими коэффициентами. Преобразование монодромии такой динамической системы за период дробно-линейно. Следовательно, когда отображение Пуанкаре является гиперболическим (имеет две неподвижные точки на окружности), число вращения целое, а параметры принадлежат зоне захвата фазы. Когда это отображение параболическое (неподвижные точки сливаются), параметры выходят на границу зоны захвата. Когда отображение Пуанкаре эллиптическое (неподвижные точки уходят в комплексную область), оно приводится к повороту дробно-линейным преобразованием независимо от того, рационально число вращения или нет.
22А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем. М., Факториал (2000)
23В. М. Бухштабер, О. В. Карпов, С. И. Тертычный. Эффект квантования числа вращения. ТМФ, 162:2 (2010), 254-265.
24R. L. Foote. Geometry of the Prytz Planimeter. Reports on Math. Phys., 42:1/2 (1998), 249-271
25M. Levi, S. Tabachnikov. On bicycle tire tracks geometry, hatchet planimeter, Menzin's conjecture and oscillation of unicycle tracks. Experiment. Math. 18:2 (2009), 173-186.
26B. M. Бухштабер, О. В. Карпов, С. И. Тертычный. Эффект квантования числа вращения. ТМФ, 162:2 (2010), 254-265.
27Ю. С. Ильяшенко, Д. А. Рыжов, Д. А. Филимонов. Захват фазы для уравнений, описывающих резистивную модель джозефсоновского перехода, и их возмущений. Функц. анализ и его прил., 45:3 (2011), 41-54
Итак, для семейства (*) при 6 = 0 ступеньки Шапиро появляются только при целых значениях числа вращения. Однако приведенный выше анализ показывает, что рассмотрение семейства при (*) при 6 ф 0 также физически мотивировано. Поэтому возникает естественный вопрос: каким образом происходит захват фазы в семействе (*) ?
Основные результаты главы 1 показывают, что типичное возмущение
синусоидальной токо-фазовой зависимости порождает счетное число зон
захвата фазы, расположенных недискретно. Типичность понимается в
указанном выше метрическом смысле. Таким образом, фазы в се-
мействе (*) происходит совсем иначе, нежели в семействе (**), и во многом напоминает захват в типичных конечнопараметрических семействах диффеоморфизмов окружности. Это является принципиально новым явлением в теоретическом моделировании ступенек Шапиро.
Вторая и третья главы диссертации относятся к эргодиче-ской теории.Мотивировкой для изучения задач, которые рассматриваются в этих главах, служит вопрос об устойчивости различных метрических свойств динамических систем, таких как наличие толстого аттрактора 28 или аттракторов с перемежающимися бассейнами притяжения 29' 30' 31.
Один из возможных подходов к доказательству локальной типичности некоторого свойства в классе (достаточно гладких) динамических систем на компактном римановом многообразии был предложен А. С. Городецким и Ю. С. Ильяшенко. Он заключается в следующем.
Предположим, фазовое пространство раскладывается в прямую сумму двух других многообразий. Если отображение, задающее динамическую систему, записано покомпонентно (в соответствии с этой прямой суммой), и образ первой компоненты („базы") не зависит от второй компоненты („слоя"), то такое отображение называется косым произведением. Подход А. С. Городецкого и Ю. С. Ильяшенко заключается в том, чтобы, обнаружив (предположительно, локально типичное) свойство динамической системы, доказать локальную типичность этого свойства в классе косых произведений, а затем перенести его на пространство произвольных гладких
28Yu. Ilyashenko. Thick attractors of boundary preserving diffeomorphisms. Indagationes Mathematicae, 22:3-4 (2011), 257-314
29I. Kan. Open sets of diffeomorphisms having two attractors, each with everywhere dense basin. Bull. Amer. Math. Soc, 31:3 (1994), 68-74
30Yu. Ilyashenko, V. Klepstyn, P.Saltykov. Openness of the set of boundary preserving maps of an annulus with intermingled attracting basins. Journal of Fixed Point Theory and Applications, 3:2 (2008), 449-463.
31V. Kleptsyn, P. Saltykov. On C2-stably intermingled attractors in the classes of boundary-preserving maps. Transactions of Moscow Mathematical Society, 72:2 (2011)
отображений с помощью отображения, сопрягающего гладкое отображение с косым произведением. При определенных условиях на отображение (dominated splitting), такое сопрягающее отображение обязано существовать 32. Проблема состоит в том, что оно может не являться абсолютно непрерывным относительно меры Лебега, а такие отображения могут переводить множество полной меры Лебега в множество меры ноль и наоборот. Это явление называется кошмаром Фубини 33' 34 (потому что заключение теоремы Фубини не выполняется при очень похожих предположениях). Оно не позволяет напрямую переносить метрические свойства динамической системы с косого произведения на его возмущения.
Однако при определенных предположениях на возмущаемое косое произведение, сопрягающее отображение оказывается гёльдеровым 35. Более того, малостью возмущения можно добиться того, чтобы показатель Гёль-
дера был равномерно стремился к 1 при стремлении возмущения к нулю в
зб подходящей метрике .
Из сказанного выше следует, что даже существования глобальной SRB-меры иногда оказывается недостаточно. В некоторых ситуациях 37' 38' 39 необходимо не только утверждение о том, что множество "плохих" начальных точек имеет нулевую меру Лебега, но и сохранение этого свойства при гёльдеровом (но не обязательно абсолютно непрерывном!) сопряжении динамических систем. "Плохим" множеством обычно оказывается множество существенно нетипичных точек относительно SRB-меры, то есть множество тех начальных условий, для которых утверждение "временные средние сходятся к пространственному" (равенство (erg)) не выполняется "существенно".
Один из возможных подходов к этой проблеме основан на анализе хаусдорфовой размерности этого множества. Действительно, как известим. Hirsch, С. Pugh, М. Shub Invariant manifolds. Lecture Notes in Math., 583 (1977).
33J. Milnor. Fubini foiled: Katok's paradoxical example in measure theory. Math. Intelligencer, 19:2 (1997), 30-32
34M. Shub and A. Wilkinson. Pathological foliations and removable zero exponents. Invent. Math., 139 (2000), 495-508
35A. С. Городецкий. Регулярность центральных слоев частично гиперболических множеств и приложения. Изв. РАН. Сер. матем., 70:6 (2006), 19-44
36Yu. Ilyashenko, A. Negut. Holder properties of perturbed skew products and Fubini regained. E-print:,
37Yu. Ilyashenko, V. Klepstyn, P.Saltykov. Openness of the set of boundary preserving maps of an annulus with intermingled attracting basins. Journal of Fixed Point Theory and Applications, 3:2 (2008), 449-463.
38Yu. Ilyashenko, A. Negut. Holder properties of perturbed skew products and Fubini regained. E-print:,
39V. Kleptsyn, P. Saltykov. On C2-stably intermingled attractors in the classes of boundary-preserving maps. Transactions of Moscow Mathematical Society, 72:2 (2011)
но , хаусдорфову размерность несложно проконтролировать с помощью показателя Гёльдера: если отображение h гёльдерово с показателем сг, а сіітя М = d, то сіітя h(M) ^ d/a. Отсюда следует, что если хаусдор-фова размерность d множества М меньше размерности многообразия, то близостью показателя Гёльдера сг к 1 можно добиться того, чтобы число d/a также было меньше размерности многообразия. В этом случае, образ "плохого" множества по-прежнему будет иметь нулевую меру Лебега, и сложность, связанная с кошмаром Фубини, будет преодолена.
Это приводит к предложенному Ю. С. Ильяшенко понятию специальной эрг одической теоремы, которому посвящены вторая и третья главы настоящей диссертации. Введем несколько вспомогательных обозначений.
Выберем произвольную непрерывную тест-функцию ер Є С(М) и произвольное число а ^ 0, и определим множество ((/?, а)-нетипичных точек как
Кра := \ х <Е X: lim \tpn(x) — ф\ > ol \ .
Другими словами, Kv^a — это описанное выше "плохое" множество, т.е. множество тех начальных условий, для которых утверждение "временные средние сходятся к пространственному" не выполняется "существенно".
По определению, если /і — глобальная SRB-мера, то Leb(iC^o) = 0. Везде ниже мы будем работать в этом предположении. Иначе наше все наши расссуждения можно ограничить на бассейн притяжения U С М этой меры — то есть, на (инвариантное) множество всех точек, для которых выполняется равенство (erg) временных и пространственного средних.
Будем говорить, что для (/, /і) выполняется специальная эргодическая теорема (СЭТ), если для всякой непрерывной функции ер Є С(М) и любого а > 0 хаусдорфова размерность множества К^а строго меньше размерности фазового пространства:
У(р Є С(М), а > 0 dimF К^а < dim М. (set)
Заметим, что, формально говоря, для того, чтобы сформулировать вопрос о выполнении специальной эргодической теоремы, нет необходимости требовать существования SRB-меры. Однако из свойства (set) автоматически вытекает, что /і — глобальная SRB-мера. Действительно, множество Круо тех точек, для которых равенство (erg) временных и пространственного средних не выполняется, может быть покрыто счетным объединением множеств К^і/п: п Є N, нулевой меры Лебега.
40К. Falconer. Fractal geometry: mathematical foundations and applications. New York, 1990.
Введя понятие специальной эргодической теоремы, Ю. С. Ильяшенко доказал 41, что она выполняется для отображения удвоения окружности; затем П. С. Салтьжов доказал 42, что она выполняется также для линейных отображений Аносова на двумерном торе. Похожие вопросы также были рассмотрены в работе Б. М. Гуревича и А. А. Темпельмана 43, посвященной вычислению хаусдорфовой размерности множеств уровня биркгофовских средних для конечных спиновых решеток.
Возникают естественные вопросы:
для каких отображений выполняется специальная эргодическая теорема?
верно ли, что специальная эргодическая теорема выполнена во всех случаях, когда у отображения есть глобальная SRB-мера?
Вторая часть диссертации посвящена доказательству специальной эргодической теоремы для более широкого класса отображений, а также потоков (определение СЭТ для потоков приведено ниже). В ней доказано, что специальная эргодическая теорема является следствием другого свойства системы, а именно, динамического принципа больших уклонений. Отсюда следует, что специальная эргодическая теорема выполняется, например, для всех транзитивных гиперболических С2-диффеоморфизмов, для частично гиперболических неравномерно растягивающих С^-диффеоморфизмов, а также для некоторых других примеров, которые будут описаны в части 2.
В третьей части диссертации дается отрицательный ответ на последний вопрос: приводится пример такого диффеоморфизма замкнутого риманова многообразия, для которого специальная эргодическая теорема не выполняется, несмотря на наличие глобальной SRB-меры.
Актуальность работы следует из вышесказанного.
Цель работы. Целью первой части работы является изучение языков Арнольда для отображения Пуанкаре уравнения (*) и анализ асимптотики их размера при малых возмущениях.Полученные результаты показывают, что структура языков Арнольда для отображения (**) и его возмущений (*) существенно различаются. Целью второй части работы является
41Yu. Ilyashenko, V. Klepstyn, P.Saltykov. Openness of the set of boundary preserving maps of an annulus with intermingled attracting basins. Journal of Fixed Point Theory and Applications, 3:2 (2008), 449-463.
42P. Saltykov. Special ergodic theorem for Anosov diffeomorphisms on the 2-torus. Functional Analysis and its Applications, 45:1 (2011), 69-78.
43Б. M. Гуревич, А. А. Темпельман. Хаусдорфова размерность множества типичных точек для гиббсовских мер. Функциональный анализ и приложения, 36:3 (2002), 68-71.
расширение достаточных условий выполнения специальной эргодическои теоремы для дискретных и непрерывных динамических систем, обладающих SRB-мерой. Целью третьей части работы является демонстрация того, что наличия глобальной SRB-меры недостаточно для выполнения специальной эргодическои теоремы. Построенный в третьей части пример разрешает указанную проблему.
Научная новизна. Результаты работы являются новыми. В работе получено два основных результата:
Доказано, что эффект отсутствия языков Арнольда в уравнениях вида (*), отвечающих дробным значениям числа вращения, наблюдается в семействе уравнений, имеющим коразмерность бесконечность в пространстве всех уравнений, моделирующих джозефсоновский переход.
Доказано, что выполнение специальной эргодическои теоремы для липшицева преобразования следует из выполнения динамического принципа больших уклонений, и описаны многочисленные случаи, когда описанная импликация применима. Построен пример бесконечно гладкого диффеоморфизма компактного многообразия, которое обладает глобальной SRB-мерой, но для которого специальная эргодиче-ская теорема не выполняется.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к качественной теории дифференциальных уравнений, эргодическои теории и теории динамических систем. Разработанная в диссертации техника и полученные результаты могут быть полезны специалистам для решения физических задач по анализу ступенек Шапиро на вольт-амперных характеристиках, а также математических задач, связанных с типичностью метрических свойств аттракторов динамических систем.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:
на семинаре кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ под руководством д. ф.-м. н., проф. Ю. С. Ильяшенко в 2009-2011 гг (неоднократно);
на семинаре кафедры математической статистики и случайных процессов механико-математического факультета МГУ под руководством д. ф.-м. н., проф. Б. М. Гуревича в 2012 г.;
на семинаре Добрушинской лаборатории ИППИ им. Харкевича (Москва) под руководством д.ф.-м.н., с.н.с. М. Л. Бланка в 2011 г.;
на семинаре «Динамические системы» лаборатории им. Чебышева при СПбГУ (Санкт-Петербург) под руководством д. ф.-м. н., с.н.с. С. Г. Крыжевича в 2011 г. (неоднократно);
на семинаре по динамическим системам отделения математики Кор-нельского университета (Cornell University, Ithaca, USA) в 2011 г.;
на семинаре отдела дифференциальных уравнений в МИАН им. В. А. Стеклова под руководством акад. Д. В. Аносова в 2011 г.;
на Международной конференции «Dynamical systems and classical mechanics: a conference in celebration of Vladimir Arnold 1937 - 2010» (Великобритания, Эдинбург, ICMS, 3-7 октября 2011 г.);
на семинаре «Динамические системы» в Независимом Московском Университете под руководством автора в 2010-2011 гг;
на летней школе «Динамические системы» под руководством д. ф.-м. н., проф. Ю. С. Ильяшенко в 2011 г.
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в двух статьях [1-2]; первая публикация входит в перечень ВАК.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 43 наименования. Общий объем диссертации — 90 страниц.