Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Ресургентность решений уравнений с голоморфными коэффициентами 22
1.1 Основные определения 22
1.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения 23
1.3 Уравнения в частных производных 30
Глава 2. Вычисление коэффициентов асимптотик решений уравнений, основные символы которых имеют только простые корни 33
2.1 Коэффициенты
2.2 Коэффициенты ряда
2.2.1 Случай младших вырождений 45
2.2.2 Случай старших вырождений 49
2.3 Пример построения асимптотики решения уравнения с иррегулярной особой точкой 53
Глава 3. Асимптотики решений уравнений с кратными корнями в основном символе 56
3.1 Уравнения с постоянными коэффициентами символа оператора 56
3.2 Уравнения с коническим вырождением в -представлении 60
Глава 4. Вычисление -преобразования Лапласа-Бореля функции exp(/) 67
4.1 Построение системы уравнений 68
4.2 Модельный пример 70
4.3 Общий случай 72
4.4 Пример построения асимптотики решения неоднородного уравнения 80
Заключение 83
Список литературы
- Обыкновенные дифференциальные уравнения
- Коэффициенты ряда
- Уравнения с коническим вырождением в -представлении
- Пример построения асимптотики решения неоднородного уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Основной символ этого уравнения п+М Но(р) = У Ііі(0)рг і=п имеет нулевой корень кратности п. Предполагается, что все остальные его корни — простые. Показывается, что с помощью / -преобразования Лапласа-Бореля такие уравнения сводятся к уравнениям с коническими вырождениями, исследованными в работах В.А. Кондратьева [5]. Доказывается
Теорема 0.0.6. Пусть функция и(г) является решением уравнения (11), тогда, при сделанных предположениях, она k-ресургентна и представима в виде (8), где сумма берется по объединению pj корней полинома Щ(р), а функции Uj(r) являются обратными преобразованиями Лапласа-Бореля функций, имеющих особенности в точках pj, и имеют асимптотические разложения / k—l і \ оо и + / T Г У i=\ i=0 j / Pi ST ak-i a І і Uj(r) = exp —г + У r sr-r при pj Ф 0. Компонент щ(г), соответствующий нулевому корню полинома Щ(р) имеет асимптотическое разложение оо тц щ(г) = Y rk{-xi+i) 2 Yl AfrilnJ r 1=0 i=0 j=0
Результаты параграфа 3.2 изложены в работе [49].
В главе 4 рассматривается задача вычисления образов / -преобразования Лапласа-Бореля функций вида ехр(а/гп), где а Є С, к, п Є N, 1 п к. Необходимость вычисления образов таких функций возникает, например, при построении асимптотик решений вырождающихся неоднородных дифференциальных уравнений вида (3). При решении таких уравнений возникает потребность в заменах вида и{г) = ехр (Хл=і C1i/r%) rav(r), но, после коммутации умножения на ехр ( Хл=і (1i/r%) fCr с дифференцированием и домножения уравнения на ехр ( — Хл=і (1г/г%) r , рассматриваемые функции начинают фигурировать в правой части и требуется вычислять их / -преобразования Лапласа-Бореля. Аналогичная проблема возникает при исследовании уравнений, имеющих крат 18 ные корни основного символа, методом повторного квантования, описанного в работе [39], т.к. уравнение, получаемое после первого применения преобразования Лапласа-Бореля к исходному всегда будет неоднородным.
В параграфе 4.1 с помощью известных свойств / -преобразования Лапласа-Бореля составляется система уравнений, содержащая искомый образ функции ехр(а/гп).
В параграфе 4.2 эта система решается в модельном случае к = б, п = 4, позволяющем на конкретном примере продемонстрировать основные сложности, связанные с решением таких систем в общем случае. Доказывается, что б-преобразование Лапласа-Бореля функции ехр(а/г4) имеет асимптотическое разложение / а \ —ч BQ ехр ( —1 = Сф + г4 2-— г=3 ъ р 51/18С 1 + У р2г Т\(Шв2 - 783s + 1820) , 81pz 2-— -L-L где СІ, С — некоторые постоянные.
В параграфе 4.2 задача решается в общем случае. Сначала система редуцируется до единственного уравнения, доказывается
Теорема 0.0.7. Один из представителей 1о(р) класса функций 1о(р), являющегося к-преобразованием Лапласа-Бореля функции ехр(а/гп); удовлетворяет уравнению
В случаях s = 0 и s = 1 основной символ данного уранения имеет только простые корни. С использованием результатов работ [35; 46] удается доказать следующие две теоремы.
Теорема 0.0.8. Если натуральное число п является делителем числа к, то к-преобразование Лапласа-Бореля функции ехр(а/гп) имеет асимптотическое разложение k/n-l оо оо exp(qi/pk-n)pk-n у sipk-n + у Sip , 1=1 г=0 i=0 где (fc-n)/n ak/ nn(k - пУк пУп «=w /7/7 г» \ 7 9 (k—n)/n 1 / k(k — 2n) k — n к —n - .7j_i (7 —— I — — 7 Ъгь (fr)/y\(k—n)/n I 2т7 17 hk/n / J s\, Si — числовые коэффициенты. Теорема 0.0.9. Если натуральное число п = 2НОД(п,к) (т.е. s = 1), то к-преобразование Лапласа-Бореля функции ехр(а/гп) имеет асимптотическое разложение 2{к—п)/п оо оо exp(qi/pk-n)pk-n у 8$к-п + у Sip , 1=1 г=0 г=0 где 2(к-п)/п1а2к/пп2(к - n)2(fc"n)/n qi = і , ,, , а, s\, Si — числовые коэффициенты. При s 2, уравнение (13) имеет кратный корень в основном символе, однако в таком случае оно является уравнением вида (11), исследованном в главе 3. С помощью ее результатов доказывается
Теорема 0.0.10. Если натуральное число п 2НОД(п,к), то к-преобразова-ние Лапласа-Бореля функции ехр(а/гп) имеет асимптотическое разложение (к-п)/НОД(п,к) оо /л оо ПЦ У exp(qi/p7)pan У s\p%1 + 1=1 i=0 1=0 i=0 т=0 где qi — ненулевые корни основного символа уравнения (13); 7 = п/(к — п); o i, х\, s\, А 1 — числовые коэффициенты. Также, сформулированные выше результаты главы 4 позволяют доказать, что верна Теорема 0.0.11. Пусть к, п Є N; 1 п к, 7 = п/(к — п), тогда (к-п) I НОД(п,к) 7 [Bk exp(a/rn)] (q) = N wi(q — qi), 1=0 где qi — корни основного символа уравнения (13); a wi представляются в виде конормальных асимптотик, т.е. в виде Щ ОО nijl WI(Q) = / QXjl / Q / m I11 (h j=0 i=0 m=0 где Xji, Аг — некоторые числовые коэффициенты. Фигурирующие в асимптотиках функций wi(q) ряды являются сходящимися. В параграфе 4.4 приводится пример применения теоремы 0.0.8: с ее помощью строится асимптотика неоднородного уравнения со старшим вырождением тип клюва, а именно, доказывается, что асимптотика решения уравнения
Коэффициенты ряда
Этот параграф посвящен вычислению коэффициентов а3- и х,- асимптотических разложений (2.4) решений уравнений вида (2.1) в случае наличия у полинома Щ(р) только простых корней.
Как уже было сказано, в работе [43] было показано, что решения уравнений вида (2.1) при условии простоты корней полинома Щ(р) могут быть представлены в виде (2.2), где сумма берется по объединению pj корней полинома Щ(р), а функции Uj(r) являются обратными преобразованиями Лапласа-Бореля функций, имеющих особенности в точках , и имеют асимптотические разложения (2.4) (рассматривается случай к 1, случай к = 1 рассмотрен в работе [35]). Коэффициенты сг,-, огк_ предлагалось искать из следующих соображений (рассмотрим коэффициенты члена асимптотики, соответствующего нулевому корню полинома Щ(р), все остальные случаи сводятся к этому заменой и{г) = ePj r v(r)): по формуле Тейлора символ оператора Й представляется в виде полиномы (то, что это действительно полиномы, будет видно из дальнейших рассуждений). Тогда, коэффициенты и определяются из условий (0) = 0 (доказательство этого в общем случае, а также явный вид этих условий для случая = 2 можно найти в работе [43]).
Далее в этой главе мы найдем явный вид этих условий для произвольного . Докажем несколько вспомогательных утверждений. Лемма 2.1.1. N имеет место равенство X— n—j\) a — dn rt-/ erk = (—1) — e»-fc, (2.8) drn где Vn, j Є N : 0 n — j n — 1, P_Ak) — полином по к степени n — j, определяемый рекуррентно из следующих условий: Р$(к) = 1, Рг(к) = , , (2.9) Pn-j(k) = (jk + п — 1)Р_і_Лк) + Pvn_A (k),j = 2, п — 1 При n = 0 сумму в правой части равенства (2.8) следует считать по определению равной единице, тогда оно будет верно и в этом случае. Доказательство. По индукции: при п = 1 утверждение очевидно. Пусть
Теперь для того, чтобы явно выписать условия АІ(0) = 0 достаточно подставить в (2.14) явный вид ho (г) и приравнять коэффициенты при соответствующих степенях г. Имеем где q = 1,к, а ограничения на индексы суммирования вида 1 J« 0 следует трактовать следующим образом: в равенстве i+jk—j\—2J2 — .. . — (k — l)jk-i = q индекс ji следует считать равным нулю, а все коэффициенты в соответствующем слагаемом, имеющие ji в качестве индекса или степени следует считать равными единице. Это соответствует тому, что сумму в правой части равенства (2.8) мы считаем по определению равной единице при п = 0.
Рассмотрим систему ограничений на индексы суммирования в уравнениях системы (2.15) подробнее: і к, j т, 1 I j Si + . . . + Sk = I (2.16) 1 Ji Si, . . . , 1 jk-l Sk-l і + jk — ji — 2j2 — ... — (к — l)jk-i = q Утверждение 2.1.1. В системе (2.16), Vn = 1,к — 1, jn = 0 при q к — п, или, иными словами, Vn = 1,к — 1 переменная ап не входит в первые к — п — 1 уравнений системы (2.15). Доказательство. Действительно, предположим, что jn 1 и оценим снизу q: q = і + jk — ji — 2j2 — ... — (k — l)jk-i і + jk — n — (k — l)(j — 1) = = i — n + j + k — 1 k — n (2.17) Здесь в первой оценке было использовано то, что 0 jp sp, причем Si + ... + S; = / j, а во второй — то, что і 0, j I si + ... + Sk j\ + ... + jk-i + Sk jn 1. Заметим также, что переменная ап не может входить в (А; — п)-е уравнение в степени, превосходящей первую (доказать это можно, записав неравенство, аналогичное (2.17)), более того, переменная ап входит в (к — п)-е уравнение единственный раз в первой степени с коэффициентом а\{п/к), так как при jn = 1, q = к—п неравенства в (2.17) обратятся в равенства, и окажется, что і = 0, j = l,sn = 1,1 = l,sp = 0,jp = 0 при р ф п. Стоит отметить, что а\ = Щ(0) ф 0, если 0 является простым корнем Но(р). Полностью аналогично можно показать, что переменная а входит только в последнее уравнение, только в первой степени и с коэффициентом —а\.
Отметим, что данная система уравнений однозначно разрешима: она является «треугольной» в том смысле, что в каждое следующее уравнение данной системы входит только одна, не встречавшаяся ранее, неизвестная, притом в первой степени и с ненулевым коэффициентом.
Этот параграф посвящен вычислению коэффициентов sj асимптотических разложений (2.3), (2.4) решений уравнений вида (2.1) в случае наличия у полинома Но(р) только простых корней. Случаи младших (к = 1) и старших (к 1) вырождений будут рассмотрены отдельно. Как и при вычислении коэффициентов а\ и 7j, достаточно рассмотреть случай нулевого корня полинома Щ(р). Все прочие случаи легко сводятся к этому заменой и{г) = ePj r v{r).
Уравнения с коническим вырождением в -представлении
В данном параграфе будут рассматриваться уравнения вида n-\-M і п і Ек\ 1 А-+1 V" (ri-i)ki к\ 1 А-+1 а Л г ) ——г — и{г) + у г{ а Л г ) —гг — и{г) = д(г), к dr — к dr ь=п-\-1 1=1 (I —v (n_j)u1 , k\ 1 А-+1 d — it (г) + rK hdr ) —гГ — dr —- к dr (3.5) где hi(rk) — полиномы, hn(0) Ф 0, /іп+м(0) ф 0, а g(r) — /с-ресургентная функция, которая имеет асимптотическое разложение вида mj оо \ газ \ In Г Aif\ 0 j IK- (3.6) j 1=0 i=0 Ясно, что основной символ этого уравнения п+М Но(р) = У hi(0)pl i=n имеет нулевой корень кратности п. Будем предполагать, что все остальные его корни — простые. В таком случае имеет место Теорема 3.2.1. Пусть функция и(г) является решением уравнения (3.5), тогда, при сделанных выше предположениях, она k-ресургентна и представима в виде и (г) = У uj{r)i где сумма берется по объединению корней полинома 0(), а функции () являются обратными преобразованиями Лапласа-Бореля функций, имеющих особенности в точках , и имеют асимптотические разложения к — 1 7 оо Pi ST ak-i a ST Ujir) = exp —г + ,_. r 3 у i=l i=0 sV при pj T 0. Здесь a], o j, S\ — числовые коэффициенты. Компонент щ(г), соответствующий нулевому корню полинома Щ(р) имеет асимптотическое разложение т оо ГПЦ щ{г) = У г ( Х1+ у у Л -г In-7 г, (3.7) /=о i=0 j=o где xi, А 1 — некоторые числовые коэффициенты.
Доказательство. Вычисление компонентов асимптотики решения, соответствующих простым корням основного символа произведено в работе [40], поэтому здесь построим только асимптотику, соответствующую единственному кратному (нулевому) корню. Делать это мы будем по следующему плану: применим / -преобразование Лапласа-Бореля, сведем полученное уравнение к уравнению с коническим вырождением и функцией, представимой в виде конормальной асимптотики в правой части. Решение этого уравнения, как показано, например, в [56], также будет представляться конормальной асимптотикой, что позволит нам вычислить соответствующий компонент асимптотики решения исходного уравнения, взяв ее обратное / -преобразование Лапласа-Бореля.
Сначала выберем достаточно большое натуральное число N, такое что все полиномы hi(rk) будут представимы в виде mm{i+N,n+N} hi(r ) = У Ь\г3 . з=о Теперь мы можем переписать уравнение (3.5) в виде (n+N)k Покоммутируем дифференцирования с домножениями на многочлены: 1 d Нп-\-м(р)й(р) + У Сг1Щ+ _1(р)—й(р) + ... + dp d dp г=0 п+ЛГ-1 + / C1n+N_iH\n (р)—й(р)+ г=0 (1-) лі лп+N + СІ:пНпП (р)-й(р) = П Я(Р) / J п-\-п и Нт) Нт)п г=0 Здесь — биномиальные коэффициенты. Сгруппируем слагаемые при произ з водных одинаковых порядков: лп+N лп+N—1 С ТУГНОІТ)) тй(р) + (С лт л Ил (р) + С м H Jp)) й(р) + . . . + n-\-i\ "v / An-ai-\-N yj- n-i-JV—і J- v n--iv и v-f / J n+iv—1 уі СпНп+м(р) + Сі H ,M і (о) + ... + C„ , лгі п (p) ) "u(o) = TQ(P) (3.9)
Полиномы Hi(p) представляются в виде Ні(р) = pmaxl n- }pO(p), где Pf{p) — полиномы. Значит, для их производных верно, что тт\3) TJnax{0,n—i—j}-pJ(TI\ где г({р) — также некоторые полиномы. Воспользовавшись этим, а также до-множив обе части уравнения (3.9) на pN, окончательно перепишем уравнение в виде лп+N і n+N О У-У) і n+_/V лп+N—l + n+N-i (С"+%-\Р?(р) + С"Хы 1Рй{р) ) І КГТЧР) + доказывается Лемма 3.2.1. Оператор ( Л \ n Am dr drm m=0 г, — ) = У ат(г) dr 2-- 64 такой, что его коэффициенты () имеют вид () = (), где функции () — голоморфные, и (0) = 0 представим в виде v ( d \ H = у am(r) - r— 2-— dr где функции am(r) — голоморфные, и an(0) 7 0, тогда и только тогда, когда для степеней вырождения qm коэффициентов ат(г) оператора X выполнены условия qn = n; qm m, Vm = 0,n - 1. Легко заметить, что для оператора в левой части уравнения (3.10) условие леммы 3.2.1 эквивалентно требованию PQ(0) 7 0, что выполнено, так как PQ(0) = hQn = hn(0) 7 0 по условию теоремы. Таким образом, уравнение (3.10) есть уравнение с коническим вырождением. Покажем теперь, что правая часть этого уравнения представима в виде конормальной асимптотики. Для этого нам потребуется
Здесь cka и ска — некоторые постоянные, причем cka = 0 тогда и только тогда, когда а Є Ічо, но в таком случае, верно, что ска ф 0.
Доказательство. Докажем сначала формулу (3.12). Пользуясь известными свойствами / -преобразования Лапласа-Бореля получаем
Пользуясь известными (см., например, [37]) формулами для вычисления [], легко показать, что - 1 [] = (+1), где = 0 тогда и только тогда, когда N0. Имеем, Таким образом, 1,,1 = 0 тогда и только тогда, когда N0, но в таком случае 0,,1 = 0, так как функция ln не является голофморфной, а значит ее обратное -преобразование Лапласа-Бореля не является нулевым.
Составляя аналогичные уравнения, формулу (3.12) по индукции легко доказать для произвольного натурального . Формула (3.11) также легко доказывается индукцией по и применением оператора к левой и правой частям формулы (3.12).
Теперь представимость правой части уравнения (3.10) в виде конормаль-ной асимптотики доказывается тривиально, с учетом ограничений, наложенных на вид функции (). При этом, каждому слагаемому во внешней сумме ее асимптотики (3.6) в -представлении будет соответствовать слагаемых вида
Мы доказали, что уравнение (3.10) является уравнением с коническим вырождением и функцией, представимой в виде конормальной асимптотики в правой части. Значит, решение данного уравнения также представимо в виде конормальной асимптотики. Вычисляя с помощью леммы 3.2.2 ее прообраз тривиально получим формулу (3.7), что и завершит доказательство всей теоремы.
Пример построения асимптотики решения неоднородного уравнения
Далее, на каждом шаге нашего процесса в правой части уравнения будет находится некоторый дифференциальный оператор, примененный к некоторой неизвестной функции 1т(р). Следующий шаг процесса зависит от т: Если т = 0, то процесс завершен, мы получили требуемое уравнение. Если т = к —п, то нам остается сделать последний шаг, заменив функцию 1т(р) и все ее производные по формуле (4.10). Если т к — п, то чтобы произвести очередной шаг процесса мы заменим функцию 1т(р) и все ее производные по формуле (4.11). Если же т к — п, то продифференцируем обе части уравнения, полученного на предыдущем шаге, после чего заменим производные функции 1т(р) по формуле (4.12).
Так как каждая неизвестная функция входит ровно в два уравнения системы (4.6), то данный процесс определен однозначно и конечен (т.к. на однажды встреченную, а затем выраженную из другого уравнения неизвестную функцию мы больше никогда не натолкнемся, а число неизвестных функций конечно). По индукции легко доказать, что уравнение, получаемое после т шагов процесса при условии того, что т-й шаг не являлся последним, имеет вид цт (р) = hm(p) + У аргЛ (р), (4.14) где Ijm{p) — неизвестная функция, содержащаяся в правой части уравнения, с помощью которого осуществлялась замена на т-м шаге, hm(p) — некоторая голоморфная функция, а — числовые коэффициенты, а sm — количество уравнений системы (4.6), в левых частях которых фигурировали производные неизвестной функции, которые были задействованы в первых т шагах процесса. Тогда на предпоследнем шаге мы получим уравнение з IQ (р) = hj(p) + У а\р11 _п{р). г=0 Здесь j — порядковый номер предпоследнего шага. Совершив с помощью формулы (4.10) последний шаг, получим уравнение вида (4.9). Ясно, что значения коэффициентов этого уравнения, равно как и чисел s и j, зависят от того, сколько и каких уранений из системы (4.6) было задействовано в описанном процессе. При этом, как показывает модельный пример, таковыми оказываются, вообще говоря, не все уравнения исходной системы.
Покажем, что числа j и s действительно задаются формулой (4.8). Для этого выясним, какие уравнения системы (4.6) использовались при получении уравнения (4.9). Заметим, что формулы (4.10)–(4.12) дают следующее рекуррентное соотношение для индексов jm неизвестных функций Ijm(p) уравнений (4.14) I jm + П, jm к - П - 1, Зт+1 = \ (4.15) I jm + п - к, к - п jm к - 1 Так как j\ = п, то все индексы jm представимы в виде jm = хп - ук, где х,у Є Z. Отсюда вытекает, что НОД(п, к) является делителем jm для всех т. Так как процесс построения уравнения (4.9) завершается когда индекс неизвестной функции в правой части уравнения становится равным нулю, то ясно, что в нем будут задействованы все уравнения индексы неизвестных функций в правых частях которых делятся на НОД(п,&). Всего таких уравнений &/НОД(п,&), из них п/НОД(п, к) - 1 содержат знак производной в левой части. Таким образом, если ввести обозначение / = НОД(п,&), то числа s и j выражаются следующим образом п к причем, по условию, п к, а, следовательно, и s j. Таким образом мы получили относительно 1о{р) следующее линейное дифференциальное уравнение: j к - п то, воспользовавшись формулами (1.16), мы легко сможем показать, что рас сматриваемое уравнение можно представить в виде (4.7). Сделав в (4.7) замену t = р1 ,w(t) = I0{p), получим уравнение
Если s 2, то основной символ имеет кратный корень. Если s 1, то все корни основного символа являются простыми, причем при s = 1 один из корней является нулевым, что порождает резонанс с правой частью, а при s = 0 нулевого корня и, как следствие, резонанса нет. Асимптотики решений уравнений с младшими вырождениями, основной символ которых свободен от кратных корней, в нерезонансном случае были получены в работе [35], а в резонансном — в работе [46]. В частности верны следующие две теоремы.
Теорема 4.3.2. Если натуральное число п является делителем числа к, то к-преобразование Лапласа-Бореля функции ехр(а/гп) имеет асимптотическое разложение k/n-1 оо оо exp(qi/pk-n)pk-n у SiPk-n + у Sip , 1=1 г=0 г=0 где (-)/ /( - )(-)/ qi = ri kS Щ П 7/7 r\ о (k—n)/n k{k — 2n) k — n k—n - .7j_i (j —— — — / %k s\, Si — числовые коэффициенты. Доказательство. Как уже было сказано, вид асимптотики решения уравнения (4.16) для случая s = 0 найден в работе [35]: j 00 00 w{t) = У exp(qi/t)tai У Sjt% + У Sit1 1, 1=1 г=0 г=0 где qi — различные комплексные корни j -й степени числа 1/cj, а сз-і o i = а =—. Найти явное выражение коэффициентов Cj и Cj-\ уравнения (4.16) через k, п и а можно, пользуясь доказательством теоремы 4.3.1: достаточно по индукции доказать, что при s = 0 в уравнениях (4.14)
С помощью данных формул, а также формулы (4.10), можно найти явный вид коэффициентов a,j и aj-\ в уравнении (4.9), через которые с помощью формул (1.16) явно выражаются искомые коэффициенты Cj и Cj-\. Вернувшись после этого к исходным переменным получим утверждение теоремы. С использованием асимптотик, найденных в работе [46], полностью аналогично доказывается