Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исследование краевых задач для В-метагармонического уравнения m-го порядка, когда корни характеристического уравнения положительные 16
1. Сведение уравнения (Рт) к В-эллиптической системе уравнений 16
2. Фундаментальная матрица решений В-эллиптической системы уравнений (NB) 18
3. Потенциалы и их свойства 35
4. Краевые задачи для уравнения (Рт) 51
5. Системы интегральных уравнений задач Дирихле и Неймана 57
6. Решение краевых задач для В-метагармонического уравнения m-го порядка (Рт) 61
Глава 2. Исследование краевых задач для В-метагармонического уравнения m-го порядка, когда корни характеристического уравнения отрицательные 64
1. Фундаментальная матрица решений В-эллиптической системы уравнений (NB) 64
2. Потенциалы и их свойства 74
3. Краевые задачи для уравнения (Рт) 89
4. Системы интегральных уравнений задач Дирихле и Неймана 92
5. Решение краевых задач для В-метагармонического уравнения m-го порядка (Рт) 96
Глава 3. Краевые задачи для В-эллиптических систем уравнений 100
1. Краевые задачи для В-эллиптической системы уравнений с положи тельно определенной матрицей 100
2. Краевые задачи для В-эллиптической системы уравнений с отрица тельно определенной матрицей 115
Заключение 128
Литература 1
- Фундаментальная матрица решений В-эллиптической системы уравнений (NB)
- Системы интегральных уравнений задач Дирихле и Неймана
- Системы интегральных уравнений задач Дирихле и Неймана
- Краевые задачи для В-эллиптической системы уравнений с отрица тельно определенной матрицей
Введение к работе
Актуальность темы. Сингулярные уравнения, содержащие оператор Бесселя
Вх = т^т +
д?_ кд_
дх2 х дх'
действующий по одной или нескольким из пространственных переменных, являются актуальной областью исследований. Изучение таких уравнений вызвано и теоретическими интересами, и практической необходимостью. Отметим, что исследование задач гидроаэродинамики вязкой жидкости и неидеального газа, а также задачи акустики привели к изучению дифференциальных уравнений с сингулярным оператором Бесселя. Например, в середине 60-х годов при изучении влияния вязкости и теплопроводности на структуру сжимаемых течений при обтекании тел конечных размеров звуковым на бесконечности потоком неидеального газа О.С. Рыжовым и Г.М. Шефтером были получены стационарное и нестационарное вязкое трансзвуковые уравнения
Piu = ( Т^я + ТОЇ. + --^7. ) и(хіУ) = fo(x,y).
<93 д2 7 д
1 Ь — —
дхг ду2 у ду t
Liv= Т^ТГ ~Pi Ы*>ж>2/) = -f(t,x,y)-,
^dtdx где 7 = const ^ 0.
Кроме того, вырождающиеся эллиптические уравнения с оператором Бесселя встречаются в теории фильтрации при исследовании процессов переноса массы через неоднородные пористые пласты, а также в современной космологии при рассмотрении экзотических состояний материи.
Начиная с самых первых исследований дифференциальных уравнений с частными производными теория сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя играла важную роль (Е. Beltrami, A.Weinstein и др.).
В 1881 году впервые Е. Beltrami были построены фундаментальные решения уравнения
Ави = 0, (0.1)
где Ав = Ах> + ВХр1 Ах> —оператор Лапласа, х' = (жь х2, , xp-i), ВХр — оператор Бесселя, при к = 1 и р = 2. A. Weinstein этот результат распространил на любое значение к > 0. И.А. Куприяновым и В.И. Кононенко построены фундаментальные решения общих линейных В-эллиптических уравнений. Фундаментальной матрице решений В-параболической системы (параболической системы с оператором Бесселя) посвящена работа В.В. Крехивского и М.И. Матийчука.
Как и для любых уравнений в частных производных, в теории сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя центральное положение занимает теория краевых задач.
Одной из первых работ, посвященных краевым задачам для этого класса уравнений, является статья И.Н. Векуа, опубликованная в 1947 году. В ней изучен вопрос о корректности постановки задачи Дирихле для уравнения (0.1) в полуплоскости Х2 > 0 при р = 2 и к < 1. Ряд результатов о краевых задачах для уравнений с оператором Бесселя в случаер > 2 были получены М.Н. Олевским, A. Huber, СП. Пулькиным, В.Ф. Волкодавым, В.И. Евсиным, N.S. Hall, О.И. Маричевым, и другими.
Начало интенсивному развитию теории сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя положила фундаментальная работа И.А. Киприянова, опубликованная в 1967 году. Эллиптические уравнения, по одной или нескольким переменным которых действует оператор Бесселя, впервые и были названы И.А. Куприяновым В-эллиптическими. Задачи для дифференциальных уравнений с особенностью в коэффициентах давно и хорошо известны. Методы их решения не являются стандартными и, как правило, зависят от характера особенностей уравнения. Один из подходов, развитый И.А. Киприяновым и его научной школой (Л.А. Иванов, В.В. Катрахов, М.И. Ключанцев, Л.Н. Ляхов и др.), заключается в использовании интегральных преобразований, приспособленных именно к данной особенности уравнения.
И.А. Киприяновым была создана теория весовых функциональных пространств. В настоящее время эти пространства известны как пространства Киприянова. С помощью этих пространств им и его учениками установлен ряд важных результатов для В-эллиптических, В-параболических и В-гиперболических уравнений.
Другой подход к построению весовых функциональных пространств на основе операторов преобразования типа Пуассона и Сонина был предложен учеником И.А. Киприянова В.В. Катраховым. Эти исследования применены им к изучению общих краевых задач для В-эллиптических уравнений с весовыми неоднородными граничными условиями на характеристической части границы.
Важный вклад в изучение сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя внесли работы Л.Н. Ляхова и его учеников. Так Л.Н. Ляховым введен и изучен новый класс гиперсингулярных интегралов, названный им В-гиперсингулярными интегралами. Им рассмотрены основные приложения этих конструкций к описанию весового класса функций дробной В-гладкости, представляющих собой обобщения функциональных классов И.А. Киприянова, и к
построению формул обращений интегральных уравнений с В-потенциальным ядром.
Совместные исследования Л.Н. Ляхова и И.А. Киприянова привели к получению преобразования Киприянова-Радона и формулы, связывающей все три классические интегральные преобразования — Фурье, Фурье-Бесселя и Радона. Позднее Л.Н. Ляховым были получены формулы обращения преобразования Киприянова-Радона.
В работе Н.В. Роговой вариационным методом, используя теоремы вложения, решены задачи Дирихле и Неймана для сингулярного В-эллиптического уравнения и основная краевая задача для В-полигармонического уравнения
А%и = 0.
Ряд результатов для уравнений с оператором Бесселя были получены А.Б. Муравником. Он доказал в терминах весовых средних граничной функции необходимое и достаточное условие стабилизации решения, то есть существование конечного предела решения при стремлении аргумента к бесконечности по направлению, ортогональному граничной гиперплоскости.
Среди методов решения краевых задач для сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя особое место занимает метод потенциалов, поскольку с помощью правильно подобранных потенциалов сингулярная задача может быть сведена к регулярной системе интегральных уравнений, к тому же интегральные уравнения — это весьма удобный аппарат для доказательства теорем существования. Мы знаем, что доказательство существования решения часто является трудной задачей, и в ряде проблем существование решения до сих пор остается недоказанным. Известно, что очень долго (до создания общей теории интегральных уравнений) существование функции Грина, играющей, как известно, большую роль при исследовании задач математической физики, в общем случае выводилось из физической гипотезы о потенциале точечного источника и индуцируемых этим источником зарядов на границе.
Что касается метода потенциалов в теории В-эллиптических, В- полигармонических уравнений, то можно назвать работы Ф.Г. Мухлисова, Н.Р. Раджабова, А.Ю. Сазонова и их учеников.
В частности, Н.Р. Раджабов исследовал краевые задачи для уравнения (0.1) при условиях, когда нехарактеристическая часть границы есть поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол. Далее А.Ю. Сазонов распространил эти результаты на общие линейные В-эллиптические уравнения с переменными коэффициентами при тех же ограничениях на нехарактеристи-
ческую часть границы области.
Ф.Г. Мухлисовым методом потенциалов решена задача типа Рикье для уравнения
А%и = О,
краевые условия которой задаются в видах
Акви
к = 0,ш — 1,
fk,
г
дАкви дп
fk, к = 0,т-1.
г
В дальнейшем ученики Ф.Г. Мухлисова М.Ю. Денисова, А.Ш. Хисматуллин и Э.В. Чеботарева развили эти результаты. М.Ю. Денисова применила метод потенциалов при решении основных краевых задач для уравнений
кв<
Alu = 0, Ави = О,
с краевыми условиями
и
г
/о
ди дп
г
/ь Ави
г
h
т > 0, у ^ О, т > 0, у ^ О,
А.Ш. Хисматуллин распространил результаты, полученные для вырождающихся эллиптических уравнений, на вырождающиеся В-эллиптические уравнения с двумя независимыми переменными первого и второго рода.
д2и
О,
Bru +
О,
О, 0 <а< 1,2/^0.
Э.В. Чеботарева обобщила результаты полученные А.Ш. Хисматуллиным на многомерные вырождающиеся В-эллиптические уравнения.
Краевые задачи как для эллиптических, так и для В-эллиптических уравнений могут ставиться также в неограниченных областях. Однако в этом случае для обеспечения единственности решения, кроме условий на границе области, необходимо задавать условия на бесконечности. Впервые такие условия для уравнения Гельмгольца были найдены Зоммерфельдом. В работе И.Н. Векуа этот результат был распространен на т-метагармонические уравнения, а в статьях В.В. Грушина, Ф.Г. Мухлисова на гипоэллиптические,
В-гипоэллиптические уравнения более общего вида, а в данной диссертационной работе — на В-метагармоническое уравнение и В-эллиптические системы.
Отметим, что несмотря на исследование дифференциальных уравнений в частных производных с оператором Бесселя разными учеными и школами, вопросы существования и единственности решения основных краевых задач для В-эллиптических систем и В-метагармонических уравнений оставались не изученными.
Изучение краевых задач для сингулярного В-метагармонического уравнения и для В-эллиптических систем является актуальным в связи с тем, что эти краевые задачи могут найти применение при решении многих важных задач прикладного характера, в их числе задачи дифракции акустических волн, задачи гидроаэродинамики вязкой жидкости и неидеального газа, задачи фильтрации в пористой среде, задачи теории упругости и др. Кроме того, они представляют и самостоятельный математический интерес, так как методы решения этих уравнений открывают дополнительные возможности для развития теории сингулярных дифференциальных уравнений. Таким образом, прогресс в аналитическом исследовании подобных задач важен как с теоретической, так и с практической точек зрения.
Целью настоящей работы является решение основных краевых задач методом потенциалов В-метагармонического уравнения m-го порядка методом сведения этого уравнения к многомерной В-эллиптической системе, последующее построение и применение потенциалов к исследованию внутренних и внешних краевых задач для многомерных В-эллиптических систем второго порядка и доказательство существования единственного решения краевых задач.
Методы исследования. Применяются методы классической теории потенциала, теории функциий действительной переменной, дифференциальных и интегральных уравнений.
Научная новизна и положения, выносимые на защиту. В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:
Методом потенциалов решены основные краевые задачи для В- метагармо-нического уравнения m-го порядка.
Построены фундаментальные матрицы решений многомерных В- эллиптических систем уравнений, доказана единственность решения основных краевых задач для многомерных В-эллиптических систем уравнений и изучены основные свойства этих решений, в частности, поведение их на бесконечности.
Построены потенциалы, изучены их свойства. Исследована разрешимость основных краевых задач для многомерных В-эллиптических систем уравнений методом потенциалов.
Теоретическая и практическая значимость. Данная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории неклассических уравнений с сингулярным оператором Бесселя, краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений и осесимметрических задач теории потенциала, применяемых при решении задач прикладного характера. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и монографиях, в научных исследованиях, проводимых в Воронежской государственной технологической академии (научная школа Л.Н. Ляхова), Тамбовском государственном университете им. Г.Р. Державина (научная школа А.Ю. Сазонова), Черновицком национальном университете Украины (научная школа В.В. Городецкого), Институте математики и механики Национальной Академии наук Азербайджана (научная школа B.C. Гулисва).
Апробация работы. Результаты диссертационной работы по мере их получения докладывались на семинарах кафедры математического анализа Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета (Казань, 2009-2011), семинарах кафедры высшей математики и математического моделирования Казанского (Приволжского) федерального университета (Казань, 2011 2014, руководитель семинара — профессор Ф.Г. Мухлисов), семинарах кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета (Казань, руководитель семинара — профессор В.И. Жегалов), межвузовском городском семинаре <Неклассические задачи математической физи-ки> (Самара, 2013, руководитель семинара — профессор Л.С. Пулькина).
Основные результаты работы докладывались на Второй всероссийской научно-практической конференции, посвященной памяти заслуженного деятеля науки РФ, члена-корреспондента РАЕ, доктора физ.-мат. наук, профессора В.Ф. Волкодавова (Самара, 2009), Девятой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2010), XVIII Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (Ростов-на-Дону, 2010), Десятой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2011), Втором Международном Российско-Узбекском Симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Кабардино-Балкарская Республика, Нальчик, 2012) (включен в «Перечень научных конференций,
симпозиумов, съездов, семинаров и школ на 2012 г.> по Отделению математических наук РАН и по Отделению нанотехнологий и информационных технологий РАН), XX Международной конференции <Математика. Экономика. Образование> (Ростов-на-Дону, 2012), Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева ««Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск, 2012), научно-практических итоговых конференциях при кафедре математического анализа Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета (Казань, 2009-2011, руководитель — профессор Ф.Г. Мухлисов), при кафедре дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета (Казань, 2013, руководитель — профессор В.И. Жегалов), Международной научной конференции, посвященной 80-летию В.И. Жегалова <Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций - 2014» (Казань, 2014).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата, из них две [1], [2] — в изданиях, входящих в перечень ВАК и базу РИНЦ. Работы [1], [11] написаны совместно с Ф.Г. Мухлисовым, которому принадлежат постановка задач, идея и рекомендации по их решению. Доказательства всех результатов получены автором.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 13 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 85 наименований. Работа набрана в системе I^T^X и изложена на 135 страницах.
Фундаментальная матрица решений В-эллиптической системы уравнений (NB)
Эти задачи сводятся к краевым задачам для системы (NB). Доказывается единственность решения краевых задач. В пятом параграфе задачи Дирихле и Неймана для В-эллиптической системы (NB), а вместе с тем и краевые задачи для В-метагармонического уравнения т-го порядка (Рт) сводятся к системам интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Доказывается однозначная разрешимость этих систем. В шестом параграфе строятся решения систем интегральных уравнений соответствующих внутренним и внешним краевым задачам Дирихле и Неймана для В-эллиптической системы уравнений. С помощью этих решений дается явное представление решения краевых задач для уравнения (Рт).
Во второй главе исследуются краевые задачи для В-метагармонического уравнения т-го порядка (Рт), когда корни Xj, j = 1, га характеристического уравнения Рт(—X) = 0 различные вещественные отрицательные. В первом параграфе строится и исследуется фундаментальная матрица решений Q(X,XQ) В-эллиптической системы уравнений (NB), при Xj 0, j = 1,га. Во втором параграфе с помощью фундаментальной матрицы решений П(х,хо) вводятся в рассмотрение потенциалы простого и двойного слоя v(0&dT, Изучаются свойства этих потенциалов и, в частности, доказываются теоремы о предельном значении потенциала двойного слоя и нормальной производной потенциала простого слоя на границе области. ТЕОРЕМА 2.1. Пусть Г — поверхность Ляпунова и в точках пересечения поверхности где точка хо Є Г — фиксированная точка, Wi(xo) и We(xo) означают предельные значения для потенциала двойного слоя, когда точка х стремится к точке х0 Є Г соответственно изнутри и извне границы Г, a W(xo) — прямое значение потенциала двойного слоя в точке XQ Є Г, щ = Кжо) — вектор-столбец. ТЕОРЕМА 2.2. Пусть Г — поверхность Ляпунова и в точках пересечения поверхности Г с Г0 углы между касательными плоскостями с плоскостью Г0, таковы, что 9j
ТЕОРЕМА 2.3. Пусть Г — поверхность Ляпунова и в точках пересечения поверхности Г с Го углы между касательными плоскостями с плоскостью Г0, таковы, что 9j
Первая внутренняя краевая задача. Найти функцию и(х), являющуюся решением уравнения (Рт) в области D, когда корни характеристического уравнения Рт(—Л) = 0 различные отрицательные, и удовлетворяющую условиям (0.2).
Первая внешняя краевая задача. Найти функцию и(х), являющуюся решением уравнения {Рт) в области Д=, когда корни характеристического уравнения Рт{—Л) = 0 различные отрицательные, и удовлетворяющую условиям (0.3), причем на бесконечности и{х) = 0{e R). Вторая внутренняя краевая задача. Найти функцию и(х), являющуюся решением уравнения (Рт) в области D, когда корни характеристического уравнения Рт(—А) = 0 различные отрицательные, и удовлетворяющую условиям (0.4). Вторая внешняя краевая задача. Найти функцию и(х), являющуюся решением уравнения (Рт) в области De, когда корни характеристического уравнения Рт(—А) = 0 различные отрицательные, и удовлетворяющую условиям (0.5), причем на бесконечности и(х) = 0(e R).
Эти задачи сводятся к краевым задачам для системы (NB). Доказывается единственность решения краевых задач. В четвертом параграфе задачи Дирихле и Неймана для В-эллиптической системы (NB), а вместе с тем и краевые задачи для В-метагармонического уравнения m-го порядка (Рт) сводятся к системам интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Доказывается однозначная разрешимость этих систем, а тем самым существование решения краевых задач. В пятом параграфе дается явное представление решения краевых задач для уравнения (Рт).
В третьей главе диссертационной работы исследуются краевые задачи для В- эллиптических систем уравнений более общего вида. Она состоит из двух параграфов, каждый из которых разбит на четыре пункта.
В первом пункте 1 строится фундаментальная матрица решений системы (0.6) и изучаются ее свойства. Во втором пункте с помощью фундаментальной матрицы решений вводятся в рассмотрение потенциалы простого и двойного слоя для системы (0.6) и изучаются их свойства, в частности, исследуются предельные значения этих потенциалов на границе области.
В третьем пункте даются постановки основных краевых задач для системы (0.6) и доказывается единственность их решения. Рассмотрены следующие краевые задачи: Внутренняя краевая задача Дирихле. Найти вектор-функцию и(х), являющуюся решением Є C2(D) П C(D) C\Cl(системы (0.6) в области D и удовлетворяющую следующим условиям: и(х) DVJ Го),
В первом пункте 2 строится фундаментальная матрица решений системы (0.11) и исследуются ее свойства. Во втором пункте 2 с помощью фундаментальной матрицы построенной в первом пункте этого параграфа вводятся потенциалы простого и двойного слоев для системы (0.11). Изучаются свойства этих потенциалов и, в частности, исследуется их поведение на границе области.
Системы интегральных уравнений задач Дирихле и Неймана
В третьем пункте даются постановки основных краевых задач: Внутренняя краевая задача Дирихле. Найти в области D решение системы (0.11), удовлетворяющее условиям (0.7). Внешняя краевая задача Дирихле. Найти в области De решение системы (0.11), удовлетворяющее условиям (0.8), причем на бесконечности и(х) = О (e-R) . Внутренняя краевая задача Неймана. Найти в области D решение системы (0.11), удовлетворяющее условиям (0.9). Внешняя краевая задача Неймана. Найти в области De решение системы (0.11), удовлетворяющее условиям (0.10), причем на бесконечности и(х) = О (e-R) . Доказывается единственность решения всех поставленных краевых задач. В четвертом пункте краевые задачи сводятся к системам интегральных уравнений Фредгольма второго рода и доказывается их однозначная разрешимость.
Результаты диссертационной работы по мере их получения докладывались на семинарах кафедры математического анализа Татарского государственного гуманитарно- педагогического университета (Казань, 2009-2011), семинарах кафедры высшей математики и математического моделирования Казанского (Приволжского) федерального университета (Казань, 2011— 2014, руководитель семинара — профессор Ф.Г. Мухлисов), семинарах кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета (Казань, руководитель семинара — профессор В.И. Жегалов), межвузовском городском семинаре «Неклассические задачи математической физики (Самара, 2013, руководитель семинара — профессор Л.С. Пулькина).
Основные результаты диссертационной работы докладывались на Второй всероссийской научно-практической конференции, посвященной памяти заслуженного деятеля науки РФ, члена-корреспондента РАЕ, доктора физ.-мат. наук, профессора В.Ф. Волкодавова (Самара, 2009), Девятой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения (Казань, 2010), XVIII Международной конференции «Математика. Экономика. Образованно (Ростов-на-Дону, 2010), Десятой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы (Казань, 2011),
Втором Международном Российско-Узбекском Симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики (Кабардино-Балкарская Республика, Нальчик, 2012) (включен в «Перечень научных конференций, симпозиумов, съездов, семинаров и школ на 2012 г. по Отделению математических наук РАН и по Отделению нанотехнологий и информационных технологий РАН), XX Международной конференции «Математика. Экономика. Образование (Ростов-на-Дону, 2012),
Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева «Обратные и некорректные задачи математической физики (Новосибирск, 2012), научно-практических итоговых конференциях при кафедре математического анализа Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета (Казань, 2009-2011, руководитель — профессор Ф.Г. Мухлисов), при кафедре дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета (Казань, 2013, руководитель — профессор В.И. Жегалов),
Международной научной конференции, посвященной 80-летию В.И. Жегалова «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций — 2014 (Казань, 2014).
Основные результаты опубликованы в работах автора [18]—[28], из них две [23], [27] — в изданиях, входящих в перечень ВАК и базу РИНЦ. Работы [23], [28] написаны совместно с Ф.Г. Мухлисовым, которому принадлежат постановка задач, идея и рекомендации по их решению. Доказательства всех результатов получены автором.
В заключение автор выражает признательность и благодарность доктору физико- математических наук Елене Анатольевне Уткиной за научное руководство, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку. А также автор благодарен ныне покойному первому научному руководителю Фоат Габдулловичу Мухлисову за предложенную тематику исследований, помощь и советы.
Системы интегральных уравнений задач Дирихле и Неймана
Доказательство леммы 3.7 проводится аналогично доказательству соответствующей леммы 2.3. ТЕОРЕМА 3.12. Пусть Г — поверхность Ляпунова и в точках пересечения поверхности Г с Г0 углы между касательными плоскостями с плоскостью Г0, таковы, что 9j где точка хо Є Г — фиксированная точка, Wi(xo) и We(xo) означают предельные значения для потенциала двойного слоя (3.85), когда точка х стремится к точке х0 Є Г соответственно изнутри и извне границы Г, a W(x0) — прямое значение потенциала двойного слоя (3.85) в точке хо Є Г, і/0 = V(XQ) — вектор-столбец, матрица ТЕОРЕМА 3.13. Пусть Г — поверхность Ляпунова и в точках пересечения поверхности Г с Г0 углы между касательными плоскостями с плоскостью Г0, таковы, что 9j
Пусть Г — поверхность Ляпунова и в точках пересечения поверхности Г с Г0 углы между касательными плоскостями с плоскостью Г0, таковы, что 9j = ж, означают предельные значения для нормальной производной потенциала простого слоя (3.84), когда точка х стремится к точке хо Є Г соответственно изнутри и извне границы Г, ц0 = ц(хо) — вектор-столбец, матрица Е определяется формулой (3.26). Индекс у нормали означает, что она проведена в точке XQ.
Доказательство теорем 3.12, 3.13 и 3.14 проводится аналогично доказательству соответствующих теорем 2.1, 2.2 и 2.3 главы 2.
Постановка краевых задач и теоремы единственности Внутренняя краевая задача Дирихле. Найти в области D решение системы (3.65), удовлетворяющее условиям (3.37), (3.38). В силу замечания пункта 2.1 этой главы, w{x) также удовлетворяет системе уравнений (3.66) в области D. Пусть у Є D — произвольная точка. Опишем сферу Sye с центром в точке у радиуса є, чтобы Sye С D. Пусть De — область, ограниченная гиперповерхностью Г, гиперплоскостью Го и сферой Sye.
Применяя вторую формулу Грина (3.68) к фундаментальной матрице решений Q(x,y) с особенностью в точке у и вектор-функции w в области D, имеем Переходя в равенстве (3.91) к пределу при є — 0 имеем w{y) = 0. Так как точка у Є D произвольная, то w{y) = 0 в D, или щ = щ. Теорема доказана. Внешняя краевая задача Дирихле. Найти в области De решение системы (3.65), удовлетворяющее условиям (3.41), (3.42), причем на бесконечности
Допустим, что существуют два различных решения щ{х) и «2(х) внешней задачи Дирихле. Тогда их разность w{x) = мг(ж) — щ{х) удовлетворяет системе (3.65) в области De, условиям (3.41), (3.92) и граничному условию
Поскольку D — конечная область, то существует число R такое, что D содержится в полушаре 5д радиуса R. Через DPR обозначим область, лежащую вне D и внутри полушара. Пусть у Є DCR — произвольная точка, Sy — сфера с центром в точке у радиуса є такая, что Sye С DPR. Область, ограниченную сферами S и Sye, гиперповерхностью Г и гиперплоскостью Го обозначим через DR.
Применяя вторую формулу Грина (3.68) к w и фундаментальной матрице решений Q(x,y) с особенностью в точке у в этой области DER, имеем Переходя в последнем равенстве к пределу при є — 0 имеем w{y) = 0. Так как точка у Є DeR произвольная и при R — оо DeR — De, то w{y) = 0 в De, или щ = щ. Таким образом, теорема доказана. Внутренняя краевая задача Неймана. Найти в области D решение системы (3.65), удовлетворяющее условиям (3.45), (3.46). ТЕОРЕМА 3.17. Внутренняя краевая задача Неймана не может иметь более одного решения.
Доказательство теоремы 3.17 проводится аналогично доказательству теоремы 2.6. Внешняя краевая задача Неймана. Найти в области De решение системы (3.65), удовлетворяющее условиям (3.47), (3.48), причем на бесконечности Вектор-функция и{х) удовлетворяет системе (3.65) в области D, условию (3.37). Пока неопределенную плотность i/() найдем из требования, чтобы (3.95) удовлетворяла граничному условию (3.38) внутренней задачи Дирихле. Подставив и{х) в это граничное условие и учитывая формулу предельного значения потенциала двойного слоя (3.86), получаем Еи(х) + 2 У v{t)$dT = 2f{x). (3.96) г Получили систему интегральных уравнений соответствующую внутренней задаче Дирихле. Решение внешней задачи Дирихле ищем в виде потенциала двойного слоя Вектор-функция и{х) удовлетворяет системе (3.65) в области Д=, условиям (3.41) и (3.92). Плотность i/() — пока неопределенная вектор-функция. Найдем ее из требования, чтобы вектор-функция (3.97) удовлетворяла граничному условию (3.42) внешней задачи Дирихле. Подставим (3.97) в это граничное условие. Учитывая предельное значение потенциала двойного слоя извне (3.87), имеем
Получили систему интегральных уравнений соответствующую внешней задаче Дирихле. Решение внутренней задачи Неймана будем искать в виде потенциала простого слоя
Вектор-функция и{х) удовлетворяет системе (3.65) в области D, условию (3.45). Подставляя ее в граничное условие (3.46) внутренней задачи Неймана и учитывая предельное значение нормальной производной потенциала простого слоя (3.88), получаем Получили систему интегральных уравнений соответствующую внутренней задаче Неймана. Решение внешней задачи Неймана также ищем в виде потенциала простого слоя и(х) = J Q(C,x) OCpdr. (3.100) Вектор-функция и{х) удовлетворяет системе (3.65) в области De, условиям (3.47) и (3.94). Плотность //() найдем из требования, чтобы (3.100) удовлетворяла граничному условию (3.48) внешней задачи Неймана. С этой целью подставим и{х) в граничное условие (3.48) и учитывая предельное значение нормальной производной потенциала простого слоя извне (3.89), имеем
Краевые задачи для В-эллиптической системы уравнений с отрица тельно определенной матрицей
Фундаментальная матрица решений Пусть Е+ — полупространство хр 0 р-мерного евклидова пространства точек х = (х!,хр), D — конечная область в Е+, ограниченная частью Го плоскости хр = О и поверхностью Г, De = Е+ \ D. Рассмотрим в Е+ В-эллиптическую систему уравнений вида LB[u] = Ави + Аи = 0, (3.1) р-1 где ДБ = Аж/ + ВХр, Аж/ = Y, J? — лапласиан, ВХр = - + — оператор Бесселя, к О, A = (aSj) — вещественная симметрическая положительно определенная матрица порядка га, и = \ . — искомая вектор-функция. Если искомую вектор-функцию записать в виде вектор-строки, то систему (3.1) нужно записать как В-эллиптическую систему уравнений следующего вида
В системе уравнений (3.1) можем под и подразумевать также некоторую прямоугольную матричную функцию с числом строк, равным га. Это будет означать, что каждый столбец этой матрицы представляет собой решение системы (3.1).
Если в системе уравнений (3.2) под и будем подразумевать также некоторую прямоугольную матрицу с числом столбцов, равным га, то, как нетрудно видеть, любая строка этой матрицы будет представлять собой решение системы (3.2).
Пусть и и v — произвольные матрицы порядка га, элементы которых принадлежат множеству C2(D) П Cl(D). Справедливы формулы
Если в системе уравнений (3.1) и будет являться матрицей вышеуказанного вида, в системе (3.2) вместо вектор-функции и возьмем матрицу v тоже вышеуказанного вида, то умножая систему (3.1) на хк и слева на матрицу v, систему (3.2) — на и справа на матрицу и, получим
Формулы (3.9) и (3.11) называются соответственно первой и второй формулами Грина. Формулы Грина также справедливы когда иии являются вектор-функциями, то есть когда и — вектор-столбец, v — вектор-строка. Отметим, если и является произвольной матрицей порядка га, то в системах (3.1), (3.2) порядок сомножителей в произведениях Аи и и А существенен, так как вообще Аи ф и А.
Замечание. Если и — вектор-функция, только в этом случае, из-за того, что А — симметрическая матрица, системы (3.1) и (3.2) совпадают. Это значит, что если вектор-функция
Совокупность столбцов функциональной матрицы Т(х) будет определять фундаментальную систему решений системы (3.1) с особенностью в начале координат,, если для любой вектор-функции г](х) = (г]\{х) щ{х) ... г]т(х)), г](х) Є С(Ер) такой, что О Є Supp rj(x) выполняется столбец матрицы Т(х), Е — матрица-столбец состоящий из т единиц, 3 = 1 т Матрицу Т(х), столбцы которой составляют фундаментальную систему решений системы уравнений (3.1) с особенностью в начале координат, будем называть фундаментальной матрицей системы (3.1) с особенностью в начале координат. где Xj (j = l,m) — собственные значения матрицы А, матрица В — транспонированная к матрице В. Также известно [5], что Xj 0, j = 1,га. Ищем фундаментальное решение системы (3.1) в виде матрицы, которая зависит от г = \х\. Обозначим его через Ф(г).
Докажем, что матрица (3.18) при определенных значениях произвольных постоянных aSj (s,j = 1,та) является фундаментальной матрицей решений системы (3.1) с особенностью в начале координат. Действительно, применяя вторую формулу Грина (3.11) к j-му столбцу Ф3(г) (j = 1,т) матрицы Ф{г) и вектор-функции г](х) в полушаровом слое Q R = Qj \Qt и переходя к пределу при є — 0 я R — оо, с учетом финитности вектор-функции 7]{х) в Ер имеем есть фундамен Откуда получаем, что если aSj = тальная матрица решений системы (3.1).
Используя представление функции Ханке ля через ряды, получаем, что элементы фундаментальной матрицы решений Ф{г) на нуле имеют такую же особенность, что и фундаментальное решение уравнения Ави = 0. Так что матрица Ф{г) суть фундаментальная матрица решений системы (3.1) с особенностью в начале координат.
Известно [12], что при больших значениях аргумента z имеет место следующее асимптотическое представление функции Ханкеля
Чтобы получить фундаментальную матрицу решений с особенностью в произвольной точке х = Хо нужно применить к (3.18) оператор обобщенного сдвига Т . Обозначим полученную матрицу через Ф(х,Хо)
Доказательство леммы проводится аналогично доказательству леммы 1.1. Докажем, что матрица (3.21) при определенных значениях произвольных постоянных aSj (s,j = 1,та) является фундаментальной матрицей решений системы (3.1) с особенностью в точке X = XQ. В самом деле, пусть rj(x) Є С(Е ), ж0 Є Suppr](x) — фиксированная точка. Через SXoe обозначим сферу с центром в точке XQ И радиуса є такую, что Sxoe С Е+, через SR = {х Є Е+ : \х\ = R,xp 0} — полусферу в Е+ с центром в начале координат такую, что Suppr? С Q\, гДе Q R — полушар, ограниченный SR. Пусть Q R — область, ограниченная SR, SX(iE и частью гиперплоскости хр = 0.
Из разрешимости систем интегральных уравнений внутренней задачи Дирихле и внешней задачи Неймана следует, что разрешимы и сами задачи. Таким образом, справедливы следующие теоремы.