Введение к работе
Актуальность тедм. В теории дифференциальных уравнений с частными производными большое внимание уделяется изучению плоских линейных граничных задач для одного вещественного уравнения эллиптического типа второго порядка
и для системы \у\ > 1 таких уравнений. Система обычно записывается в том же виде (I) при условии, ЧТО U>(Xy^)=(tt,>—vtm) есть m -мерный искомый вектор, а все коэффициенты А, В >—-есть заданные функциональные (тхт )-матрицы.
В скалярном случае (mcl ) при аналитических коэффициентах основные результаты в теории линейных граничных задач были получены методами комплексного анализа, при атом доказательства теорем единственности для достаточно широкого класса областей оказались относительно простыми, а доказательства теорем существования решений - сложными как в случае выполнения условий теоремы единственности-, так и в случае их невыполнения. Чаще всего доказательства теорем существования реше -ний сводились к разработке алгоритмов построения этих решений. Наиболее эффективным оказался метод И.Н.Векуа, основанный ' на построенных им интегральных' представлениях любых регулярных решений уравнения (I) с аналитическими коэффициентами через произвольные голоморфные функции одного комплексного перемен-
I. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических урав-яенийі - М.-Л.: ОГИЗ Гостехиздат, 1948. - 296 с.
ного, при этом число этих функций определяется порядком связности области ( [Ц , гл.1). И.Н.Векуа показал ( [і] , гл.Ш), что его интегральные представления удобны при решении граничной задачи Дирихле .и одного из ее обобщений задачи Пуанкаре с производными в граничном условии в случае односвязных и многосвязных областей, ограниченных линиями Ляпунова. Регулярные ре шения этих граничных задач он записывал в виде своих формул, входящие в них неизвестные голоморфные функции записывал в ви-тте интегралов типа Коши или некоторых их обобщений с неизвестными плотностями, для определения которых на основе граничногс условия получал сингулярное интегральное уравнение ( а иногдг уравнение фредгольма). На основе эквивалентности между исходной .граничной задачей и полученным интегральным уравнением путем исследования интегрального уравнения получались выводы . о разрешимости граничной задачи. Были выделены и те достаточно редкие случаи эффективности этого метода, когда одновременно возможно в замкнутой форме построить ядро представления И.Н. Векуа'и получить в замкнутой же форме решение интегрального уравнения.
'А.В.Бицадзе показал, что метод И.Н.Векуа переносится на матричные уравнения (I). частного вида
с аналитическими ( Піхт )-матрицами d jb s С ( ft)>1 ),
Его результаты по исследованию задачи Дирихле и частного случая задачи Пуанкаре'- задачи с наклонной производной в случае
2. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. - М.: Наука, 1966. - 203 с.
односвязных областей для системы (2) изложены в монографии [jEj (гл.ІУ) и в монографиях [2J , [з\ самого А.В.Бицадзе. В монографиях [YJ , [з] изложены также результаты А.В.Бицадзе, Е.В. Золотаревой, Н.Е.Товмасяна и др. по конструированию таких эллиптических систем (I), для которых задача Дирихле при невыполнении условий теоремы единственности является однозначно разрешимой или имеет даже бесконечное множество решений в случае областей специального вида. Основная часть таких систем оказалась принадлежащей классу систем
я эх* ^ -ь*ъу +и -bf- -и
с постоянными матрицами-коэффициентами А / В t С . Все регу
лярные решения таких систем выражаются линейно через конечное
число голоморфных функций, каждая из которых зависит отодного
из комплексных переменных ZR= х + ]; у , где комплексные
числа %s являются корнями характеристического многочлена
f>w(fc) =
соответствующего системе (3). С помощью таких неинтегральных представлений регулярных решений граничные задачи для системы (3) приводятся к эквивалентным граничным задачам для системы функций с несколькими смещениями.
' А.В.Бицадзе [2] , [З] неоднократно подчеркивал значение линейных граничных задач для эллиптических систем <1) при изучении свойств различных классов функций ( бианалитических, обобщенных аналитических функций по Векуа и Бёрсу) и при решении
3. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. - М.: Наука, 1981. - 448 с.
некоторых прикладных задач (граничных задач плоской теории упрз гости в случае изотропных и анизотропных сред, граничных задач теории упругих оболочек) и считал необходимой дальнейшую разработку этого раздела современной теории дифференциальных уравнений. При этом к числу основных вопросов, подлежащих изучению, он относил выявление новых классов эллиптических систем (I) и новых классов областей, для которых решение граничных задач можно было бы получить новыми или уже известными методами. Цель работы. В диссертации рассматривается лишь часть проблемы, сформулированной А.В.Бицадзе. В ней для эллиптических систем вида (2) при любом т>1 к систем (3) при т = 2 разрабатывается новый метод решения задачи Дирихле и частного случая задачи Пуанкаре (задача-с наклонной производной) в случае односвязных и многосвязных областей, ограниченных заданной алгебраической кривой или дугами такой кривой и ее осями сим -метрии. Среди рассматриваемых областей выделяются такие, для которых рассматриваемый метод может быть эффективным.
Общая методика исследования. В основу метода решения задач Дирихле и Пуанкаре для систем (2) положены интегральные представления Векуа-Бицадзе любых регулярных решений U-(x,y)= - QeU(2/1)системы (2); аналитическое продолжение U(z> ) искомого вектора И(Х/у)на комплексные переменные Z = X-+ty' t, = X - I Ч определяется путем перехода на риманову поверхность 'симметрии граничной алгебраической кривой как решение задачи Шварца для этого вектораU(.?'О0 граничной задачи Римана-Гильберта-Пуанкаре, при этом при решении последних задач на римановой поверхности используется известный метод симметрии, применяемый Л.И.Чибриковой и ее учениками при решении
іекоторнх граничных задач для аналитических функций в плоских эбластях [4] ; при спуске с поверхности симметрии на плоскость
Z по известному вектору 17(2>) неизвестные голоморфные век-горы в представлении Векуа-Бицадзе определяются либо только из інтегрального уравнения Больтерра второго рода, либо обращением сравнения Больтерра с последующим обращением уравнения Фредголь-ла.
При решении тех же граничных задач для системы (3) при т = 2 важную роль играет приведение этой системы к канонической юрме методом, предложенным авторами монографии Гб! , и полу -іенное на этой основе неинтегральное представление любого регу-іярного решения системы через две голоморфные функции, завися-дае либо от одного переменного н . либо от z nz.=«z+fZ-Іереход на риманову поверхность симметрии приводит в обоих слу-іаях к обычной краевой задаче (без сдвига) для одной кусочнсь-голоморфной функции на этой поверхности.
Научная новизна. Новым в теории линейных граничных задач уія эллиптических систем является заключение о влиянии рода
f ф 0 алгебраической границы области на разрешимость рассматриваемых задач. Новой является вся схема определения голоморфных векторов в представлениях Векуа-Бицадзе при построении зегулярных решений граничных задач Дирихле и Пуанкаре для сис-
4. Чибрикова Л.И. Граничные задачи теории аналитических
Функций на римановых поверхностях //Математический анализ. Т.
'8 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). - М.,1980. - С.3-67.
5. Hua Leo Kens, Ыл '.Vei, W\i Сі Quian. Second-order sys-
ems of partial differential equations in the plaio - London:-
itnan. 1985. - 292 p.
темы (2) в случаях односвязных и многосвязных областей, ограниченных алгебраической кривой и ее осями симметрии. Впервые полностью осуществлена идея использования векторного оператора Шварца при получении интегрального представления для решения задачи Римана-Гильберта-Пуанкаре на римановой поверхности
Теоретическая и практическая ценность. В целом диссертация представляет соб.ой теоретическое исследование. Разработаї ная в ней схема построения решений граничных задач Дирихле и Пуанкаре в случае областей с границей ненулевого рода фактиче ски представляет собой доказательство существования решений. Лишь для задач Дирихле и Неймана, когда граница области есть уникурсальная кривая, и немногочисленных случаев границ ненулс вого'рода, разработанный в диссертации метод может-быть эффе} тивным и его можно применить при решении конкретных прикладных задач.
Апробация работы. результаты диссертации, по мере их ш лучения, неоднократно докладывались на семинаре кафедры дифф< ренциальных уравнений Казанского университета и на итоговых научных конференциях КГУ за 1990 и 1991 годы.
Структура и р^ъем_диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы из 51 наименования. Её общий объем - 139 страниц машинописи.