Введение к работе
Актуальность темы. Важным разделом спектральной теории дифференциальных и псеьдодиффэренциальных операторов является распределение их собственных значения (Р.С.З).
Этому вопросу посвящено много работ, подробную библиографию по этому вопросу можно каати в' работах С.Кларка (1976), М.Ш.Бирмана, М.З.Соломяка (IS77), К.Х.Боаматова <1979, 1991), Ю.М.Березанского (1970), С.З. Левендорского (1982, 1988): Л.Г. Костюченко (IS69, 1981:).'Можно также рекомендовать обзор Алекеандряна Р.А., Березанского Ю.М., Ильина В.А. и Костюченко А.Г. по спектральной теории краевых задач, где, в частности, описаны полученные к тому времени в СССР результаты об асимптотике спектра. См. также 'обзорную статью В.И. Горбачука и М.Л. Горбачука (РЖ Мат, 1976, 6Б 717). Асимптотику собственных значения, оператора Шредингера в Rn изучали Ж.Бэт, .Мандл, Д.Рзй, ИЛ.Титчмарш, Б.М.Левитан и А.А.Арсеньев.
В настоящее время имеются отдельные работы, посвященше Р.СЗ. эллиптических операторов, задаядых на компактных многообразиях без края (наиболее полные результаты здесь принадлежат А.Н.Кожевникову) или в ограниченных областях Пей" (см. работы Агмона и Браудера).
Исследование асимптотики спектра общих эллиптические оперзторов в R" начинается с цикла работ А.Г.Костюченко. В настоящее время в этом направлении имеется достаточно большое число работ. Однако, имеются лишь отдельные работы,посвященные неограниченным областям П с Я" специального вида, например, "параболического" типа или удовлетворяющие условию конуса. В диссертации впервые исследуется случая неограниченного n-мерного многообразия м, не вложенного в R". В качестве множества М можно, например, положить М = аП, где О с Я"** -неограниченная область с С" -границей. При этом в диссертации сразу рассматривается случай общих эллиптических дифференциальных операторов произвольного порядка.
Цель работы; Получение спектральной асимптотики эллиптических диффэренциалыых операторов с переменными
е:
коэффициентами, заданных на неограниченных многообразиях без края.
Методика исследования. Исследования проводятся методом параболических уравнений, основанному на равенстве
JGft.M.uMi = JeIAdNfM.
М о
где G(t,M,\i) - функция Грина параболического уравнения
u'(t,\ih-Au(t,[i), u(0,\x)=g(\x), А - эллиптический дифференциалный оператор заданный в пространстве 12СМ:ф;, ф - положительная гладкая мера на Ы
Научная норизна. Получена асимптотика спектра самосопряженных эллиптических дифференциальных операторов с переменными коэффициентами па неограниченных многообразиях без края. Получены также теорема существования и единственности решения задачи Коши, условия самосопряженности оператора и интегральное представление функции Грина вспомогательного параболического уравнения. Это интегральное представление находит применение при исследовании гладкости решения.
Все полученные результаты являются новыми и обоснованы достоверными математическими доказательствами.
Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты диссертации носят теоретический характер. Предлоненная новая схема конструкции оператор-функции G(t) дала возможность получить формулы спектральных асимптотик для широких классов дифференциальных операторов. Результаты, полученные в диссертации, имей? важное значение для спектральной теории дифференциальных операторов, в теории параболических уравнений на неограниченных многообразиях, имеют практическое значение для исследования операторов типа Бельтрама- Лапласа, рассматриваемых на некомпактных многообразиях.
Апробация работы: Основные результаты диссертации об-сукдались на научном семинаре отдела "функционального анализа" Института математики с ВЦ АНРТ (рук.член-корр., доктор физ,-мат. наук, профессор К.Х. Еойматов); на Республиканской научно-практической конференции молодых ученых"и специалистов Таджикистана (г.Куляб 1991г.): на объединенном заседании кафедр функционального анализа и дифференциальных уравнений,
математического анализа и теории функций, высшей математики механико - математического факультета Таджикского Госуниверся-тета (пред, член-корр. АН FT, доктор физ.-мат. наук, профессор Н.Р.Раджабов, 1994.)
Публикации; По теме диссертации опубликованы три научные статьи„ список которых приведен з конце настоящего автореферата „
Объем и структура работы: Диссертационная работа изложена на 90 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав и списка литературы. Библиография насчитывает 48 наименований.