Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Одна из наиболее известных математических проблем, шестнадцатая проблема Гильберта, состоит из двух ча-ггеп. В первой части речь идет о числе и взаимном расположении овалов шгебранческой кривой. Вторая часть является проблемой качественной те-)рни дифференциальных уравнений и п неп поставлен вопрос о максималь-юм числе Н{п) предельных циклов и их взаимном расположении для дву-лерпой системы дифференциальных уравнений, правые части которой - по-шномы степени п.
Несмотря на простоту постановки, проблема до сих пор не решена да-ке для случая, когда полиномы в правой части системы дифференциальных /равнений имеют степень п = 2. Тем не менее она притягивает все возражающее внимание очень многих математиков.
Одной из классических и пионерских работ в этом направлении являлся статья Н.Н. Баутина, где он доказал, что Н(2) > 3. В этой работе он тел также понятие цикличности, которое играет одну из ключевых ролей і современной теории полиномиальных систем.
После работ Е.М.Лаидиса и И.Г.Петровского, где авторы пытались до-сазать, что Я(2) = 3, долгое время считалось, что эта оценка действнтель-ю пыполпяется. Однако около 1980 года первые примеры квадратичных :истс,м (т.е. двумерных систем, правые части которых полиномы второй пенсии) с четырьмя предельными циклами были построены китайскими латематнкамн Ши Сонг-Лннг, Л.Чспом и М.Вапгом. Исследованию квадратичной системы и, главным образом, проблемы Гильберта для этой системы, посвящено очень большое число работ исследователей различных лран - библиография, составленная голландским математиком Дж.Рейном > 1994 году содержит более 1500 статей. Среди них следует отметить зна-штсльные результаты, полученные Н.И.Вулпе, Ф.Дюмортье, Е Янкьяном, "".Жолондеком, Р.Россари, Дж.Рейном, К. Руссо, Л.А. Черкасом, Чжан Чи І'сп, Ли Чапгжи. В настоящее время широко распространена гипотеза, что уія квадратичной системы имеет место оценка Н(2) = 4.
Некоторые нижние оценки получены также для случая кубических си-:тсм, т.е. систем, правые части которых - полиномы третьей степени. Так, Г'.Жолондек показал, что существуют кубические системы, имеющие центр пікличиости 11 и, следовательно, #(3) > 11. Следует отметить, что до сих тор неизвестно, является ли Н{п) конечным при п > 2. Более того, до не-гапнего времени не решена была даже проблема конечности числа предельных циклов для полиномиальных систем, т.е. было неизвестно, имеет ли юлппомнальпая система с фиксированными коэффициентами лишь копеч-юс число предельных циклов. В начале века Г.Дюлак опубликовал работу : решением проблемы. Однако в начале 80-х Ю.С.Ильяшснко указал па :ущсст1)сннып пробел в работе Дюлака и проблема вновь стала рассматри-
ваться как открытая. В 1986 исзаписнмо чилийским математиком Р.Бамонои. и автором была решена проблема конечности для квадратичной системы г вскоре после этого Ю.С.Ильяшснко и Д.Эколь решили проблему в общеу случае, т.е. доказали, что полипом пальная система с фиксированными коэффициентами имеет лишь конечное число предельных циклов.
В настоящее время, несмотря па значительные усилия, проблема оценки числа предельных циклов полиномиальных систем далека от завершения даже для малых значений п. Один из возможных подходов к ее решению -сосредоточиться на детальном изучении локальной ситуации. И действительно, сейчас исследовательская активность многих математиков направлена в это русло. В частности, одной из чрезвычайно важных локальпы> задач является проблема оценки числа предельных циклоп, бпфурцпру-юіцих из состояния равновесия типа центра или фокуса полиномиальное системы (проблема цикличности). Эту проблему иногда называют локальной шестнадцатой проблемой Гильберта. Кроме основополагающей статьи Н.Н.Баутина, следует отметить работы в этом направлении Г.Жолондска К.Кристофера, Н.Г.Ллойда, Дж.Пирсон, Л.П.Садопского, К.С.Снбирского Ж.Франсуа и И.Емдина, Л.Л.Черкаса, А.С.Шубэ.
Однако, для исследования цикличности состояния равновесия типа центра или фокуса прежде необходимо решить проблему различения центр.' и фокуса, которая сама по себе является одной из старейших и наиболее известных проблем качественной теории дифференциальных уравнений. Общий подход к решению данной проблемы был предложен Л.Пуап каре и A.M.Ляпуновым, и в современной постановке проблема впервые бы ла решена в 1908 году Г.Дюлаком для квадратичной системы. С тех по| она интенсивно исследовалась многими авторами и значительные результаты были получены А.Ф.Андреевым, Н.И.Вулпс, А.Гажулсм, Дж.Джине Г.Жолондеком, К.Кристофером, И.С.Куклесом, Дж. Ллибре, Н.Г. Ллойдом, К.Е.Малинным, Дж.Пирсон, В.Мапосой, А.П.Садовским, К.С.Сибир скнм, Я.Сокульскпм, А.Фронвиллс, Дж. Чаварпджой, Л.А. Черкасом, А.С Шубэ, Ж.Франсуа и многими другими.
Проблема центра и фокуса тесно связана с проблемой изохронности центра. Методы исследования этих проблем тесно переплетаются. Кроме того, как показали К.Чнкоис и М.Джакобс, бифуркации критических пери одов вполне аналогичны бифуркациям малых предельных циклов. Поэтому представляется логичным рассматривать проблему изохронности п комплексе с проблемами цикличности и центра-фокуса. Существенный вклад в исследование проблемы изохронности центров внесен В.В.Амслькиным А.П.Воробьевым, Н.А.Лукашевичем, И.И.Плсшкапом, К.Руссо, П.Мардсси чем, М.Урабс и другими.
Дискретный аналог проблем центра-фокуса и цикличности был предложен недавно Г.Жолондеком. Многие методы из теории векторных полей как, например, метод нормальных форм, метод функций Ляпунова, могу'
быть перенесены на случал отображений. Оказывается, проблема центра и фокуса имеет простое решение для случая алгебраических отображении. Поэтому предстаплястся целесообразным исследовать проблему цикличности для алгебраических отображений и пытаться использовать разработанные методы и идеи для систем дифференциальных уравнений и наоборот.
Проблема построения спектра урапнения Шрсдингсра является одной из важных физических проблем. Методы построения такого спектра, основанные на ВКБ разложении были разработаны Д.Данхомом, М.В.Фсдорю-ком, К.Вендором, К.Олаусссном, П.Вангом и другими. С их помощью удастся вычислить спектр для некоторых потенциалов. Как оказалось, идеи, развитые для исследования проблем центра-фокуса и цикличности, позволяют предложить эффективные алгоритмы для построения ВКБ разложений решений уравнения Шредингсра для произвольных аналитических потенциалов п найти ВКБ разложения спектра некоторых аналитических потенциалов.
Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертационная работа пыполиена п Белорусском государственном университете информатики и радиоэлектроники в рамках научно-исследовательской темы "Качественные и конструктивные методы исследования периодических решений нелинейных дифференциальных систем", которая входит в программу важнейших НИР Национальной академии наук Беларуси, а также научно-исследовательских работ Фонда фундаментальных исследований Республики Беларусь "Аналитическое и качественное исследование нелинейных уравнений Пенлеве-типа и автономных полиномиальных систем", "Качественная теория полиномиальных систем и 16-я проблема Гильберта." и ПИР "Исследование малоамплитудных; предельных циклов и изохронных центров автономных полиномиальных и дискретных алгебраических спе^.м и решений Псплсве-тнна динамических систем", "Качественное неелсдоьа-шіс полиномиальных систем на плоскости" Министерства образования Республики Беларусь.
Цель и задачи исследования. Разработка методов для исследования бифуркаций малых предельных циклов (цикличности) для аналитических динамических систем. Разработка методов для решения проблем центра-фокуса и изохронности для полиномиальных систем дифференциальных уравнений. Решение этих проблем для различных классов полиномиальных систем дифференциальных уравнений и аналитических отображений.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются периодические решения динамических систем.
Методология и методы проведенного исследования. Для исследования іримспялнсь методы нормальных форм, функций Ляпунова, вычислитель-юй алгебры (основанные на теории базисов Гробнсра), разработанные автором методы для вычисления фокусных величин и условий изохронности,
анализа многообразия центра и идеала фокусных полігши.
Научная новизна и значимость полученных рсзультатоп. Разработаны новые эффективные методы пычислспия фокусных величин и условий изохронности для полиномиальных систем в случае чисто мнимых корней характеристического уравнения. Доказаны новые теоремы о необходимых и достаточных условиях центра и необходимых н достаточных условиях изохронности для различных классов дифференциальных уравнений. Предложен эффективный алгоритм редукции фокусных величин в моноидпых кольцах. Разработаны новые методы для построения базиса идеала фокусных величин для полиномиальных систем дифференциальных уравнений и алгебраических отображений. Решена проблема цикличности для различных классов кубических систем дифференциальных уравнений. Найдено неприводимое разложение многообразия центра и исследованы бифуркации малых предельных циклоп для отображения, определяемого кубическим многочленом. Найдены новые формулы ВКБ разложения решений и спектра уравнения Шредингсра для произвольного потенциала и некоторых частных типов потенциалов.
Практическая значимость полученных результатов. Полученные результаты могут быть использованы при качественном исследовании полиномиальных систем дифференциальных уравнений и при исследовании периодических траекторий аналитических отображений, при исследовании математических моделей из физики, химии, биологии, экологии, техники и т.д.
Основные положения диссертации, пыносимыс на защиту. Новые эффективные методы вычисления фокусных величин и условий изохронности для полиномиальных систем в случае чисто мнимых корней характеристического уравнения; новые теоремы о необходимых и достаточных условиях центра и необходимых и достаточных условиях изохронности для различных классов дифференциальных уравнений. Алгоритм редукции фокусных величин в моноидпых кольцах. Методы для построения базиса идеала фокусных величин для полиномиальных систем дифференциальных уравнений и алгебраических отображений; новые теоремы о цикличности для различных классов кубических систем дифференциальных уравнений и бифуркациях малых предельных циклов для отображения, определяемого кубическим многочленом. Формулы для ВКБ разложения решений и спектра уравнения Шредингсра для произвольного потенциала и некоторых специальных потенциалов.
Личный вклад соискателя. Представляемые на защиту результаты получены автором самостоятельно. При исследовании многих проблем, представленных в диссертации, приходится иметь дело с очень трудоемкими вычислениями. Поэтому результаты, предстаплениые в совместных статьях, как правило, были получены авторами независимо, чтобы иметь возможность сравнить результаты сложных вычислений.
Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докла-
дмпалнсь па:
Республиканской конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992); Международном семинаре "Нелинейные явления d сложных системах" (Полоцк, 1993, 199-1, Минск, 1996, 1998, 1999); Международной конференции "Преподавание математики для индустрии" (Прага, 1994); семинаре "Особенности дифференциальных уравнений и уравнении Пфаффа" в международном центре Стефана Банаха (Варшава, 1995); Международной конференции по диофантопому анализу и его приложениям, посвященной академику Спрннджуку (Минск, 1996); Международной конференции "Дифференциальные уравнения и приложения" (Санкт-Петербург, 1996); 3-й и 4-ой международных школах-конференциях "Взгляд на хаос через нелинейную динамику" (Марнбор, Словения, 1996, 1999); Международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям "EQUADIFF" (Брно, Чехия, 1997); Международной конференции по математике и гс приложениям, посвященной 90-летшо Л.С.Понтряпша (Москва, 1998); Международной конференции "Вычислительная алгебра и ее приложения" (Ларами, США, 1999); Ленинградском городском семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (Ленинград, 1986), Кишиневском семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (Кишинев, 1991); научных математических семинарах Центра прикладной математики и тсорстичекол :])нзикп Мариборского университета (Марнбор, Словения, 1995, 1996, 1997, 1998); Люблинского университета (Любляна, Словения, 1995, 1996); Датского технического университета (Копенгаген, 1996); университета Триеста (Триест, Италия, 1996); Олдепбурского университета (Олдснбург, Германия, 1997); Технологического университета. Дельфта (Дельфт, Голландия, 1997); Варшавского университета (Варшава, 1998), Белорусского государственного университета (1999), Белорусского математического общества (2000).
Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 29 научных работах, из которых 17 статей в научных журналах [7 за рубежом, 6 без соавторов), 4 статьи в материалах международных конференций (1 за рубежом, 2 без соавторов), 8 тезисов докладов конференций і выступлений (3 за рубежом, 5 без соавторов). Общий объем опубликованиях материалов — 169 журнальных страниц.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит нз введения, об-цей характеристики работы, семи глав, заключения, списка использованиях источников. Список использованных источников содержит 175 нанме-юваннй.