Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
1.1. Пространство Н1. Абсолютная непрерывность функций из Н1
1.2. Пространство Е. Изоморфизм пространств Н1, Е 26
1.3. Лемма об эрмитовой операторной матрице
1.4. Некоторые факты теории операторов и теории интеграла Стилтьеса 30
Глава 2. Устойчивость решений линейных неавтономных систем ФДУ 34
2.1. Задача Коши для линейной системы ФДУ запаздывающего типа. Переход к разностной задаче 34
2.2. Критерий экспоненциальной устойчивости
2.3. Случай автономной системы с эрмитовой матрицей Т (s)
2.4. Перенос на подкласс линейных систем ФДУ нейтрального типа 56
2.5. Случай дифференциально – разностной системы 61
Глава 3. Дихотомия решений линейных неавтономных систем ФДУ
3.1. Формулировка теоремы о дихотомии 68
3.2. Доказательство теоремы о дихотомии
3.3. Случай дифференциально – разностной системы
3.4. Пример 80
Приложение. Спектральный критерий экспоненциальной дихото-мии для линейных автономных систем ФДУ Введение
1. Переход к разностной задаче Коши (4)
2. Описание спектра оператора Г
3. Критерий дихотомии 88
Заключение 94
Литература .
- Лемма об эрмитовой операторной матрице
- Критерий экспоненциальной устойчивости
- Случай дифференциально – разностной системы
- Случай дифференциально – разностной системы
Лемма об эрмитовой операторной матрице
Решение дифференциально-разностной систе-мы (0.19) экспоненциально устойчиво в Н1 – топологии тогда и только тогда, когда при некоторой матрице выполняется неравенство (0.23) где матрица (0.22) с операторами (0.20), (0.21). В приведенном примере использован функционал (0.12) с матри-цей вида (0.14).
В главе 3 развитый в главе 2 подход к анализу устойчивости решений линейных систем ФДУ сведением к такой же задаче для разно-стного уравнения в пространстве применен к анализу бо-лее сложного, чем устойчивость, типа поведения решений – экспоненци-альной дихотомии. Построен класс индефинитных функционалов Ляпу-нова применительно к этой ситуации. На этой базе в 3.2 доказано дос-таточное условие экспоненциальной дихотомии для системы ФДУ (0.7) запаздывающего типа. При этом условии построены подпространства пространства Е, реализующие дихотомию. В построениях существен-ную роль играет компактность оператора в (0.8) (лемма 2.2). В 3.3 общий результат 3.2 применен к частному случаю дифференциально–разностной системы (0.19). В 3.4 приведен иллюстрирующий пример.
Поясним последнее требование (0.24). В автономном случае дихотомия решений – следствие распада спектра на компо-ненты лежащие соответственно внутри и вне замкнутого еди-ничного круга, и спектральные подпространства, отвечающие ком-понентам С учетом компактности оператора и свойств спектра компактного оператора компонента состоит из конечного числа собственных чисел, и соответствующие корневые подпространства ко-нечномерны (теорема 1.2), поэтому В общем случае это свойство постулируется (см. также [23]).
Построим класс операторных матриц при этом в каждой паре хотя бы один из проекторов от-личен от нуля. Поставим в соответствие матрице индефинитную форму (0.12).
ТЕОРЕМА 3.1. Для того, чтобы для решений системы (0.7) име-ла место экспоненциальная дихотомия в Н1 – топологии, достаточно, чтобы при некоторой класса матрица разностной производ-ной формы вдоль траекторий системы (0.8) была равномерно отри-цательна.
Построение при этом условии подпространств (0.24), реализую-щих дихотомию, опирается на компактность оператора и свойства равномерных W – сжатий в гильбертовом пространстве с индефинит-ным эрмитовым оператором W (теорема 1.3). ЗАМЕЧАНИЕ. Из оценок (0.25) можно получить, в частности, для решений задачи Коши (0.7) оценки вида если если 2.3.2. В 3.3 в качестве следствия из теоремы 3.1 получена
Для того, чтобы для решений дифференциально-разностной системы (0.19) имела место экспоненциальная дихотомия в Н1 – топологии, достаточно выполнение при некоторой класса неравенства (0.23), где матрица (0.22) с операторами (0.20), (0.21).
Развитая в 3.2 схема построения реализующих дихотомию под-пространств (0.24) в 3.4 проиллюстрирована на конкретном примере.
В приложении изучается асимптотическое поведение решений класса автономных линейных систем ФДУ в рамках первого метода Ля-пунова. Доказан критерий экспоненциальной дихотомии в С – тополо-гии в терминах расположения на плоскости корней характеристическо-го квазиполинома. Подход состоит в переходе от системы ФДУ к экви-валентному разностному уравнению вида с компактным опе-ратором Г в фазовом пространстве и анализе спектра оператора Г. Приведен иллюстрирующий пример. единичный оператор в H0, I0 – единичная матрица порядка N, множество линейных ограниченных операторов гильбер-това пространства Н, эрмитова норма в , так же обозначается согласованная с ней матричная норма, 2. Имеет место следующее утверждение, играющее важную роль в дальнейших построениях.
Так как элементы классы эквивалент-ности функций, отличающихся одна от другой на множестве меры нуль, утверждение леммы означает: каждый класс эквивалентности в со-держит абсолютно непрерывную функцию.
Зафиксируем представитель класса эквивалентности в В си-лу теоремы о глобальной аппроксимации функций из пространства Со-болева гладкими функциями [112, С.219] существует последова-тельность функций из сходящаяся к в Фикси-руя такую последовательность и выделяя подпоследовательность, схо-дящуюся
Критерий экспоненциальной устойчивости
В этой главе развитый в главе 2 подход к анализу устойчиво-сти применен к анализу экспоненциальной дихотомии для подклассов линейных систем ФДУ. В этом и следующем параграфах рассматри-вается задача Коши для систем ФДУ (2.1) запаздывающего типа
Исследуется дихотомия решений задачи (3.1) сведением к та-кой же проблеме для разностной задачи (2.18) в пространстве (3.3)
Построен класс индефинитных эрмитовых форм в Е, доказан в этих терминах достаточный признак дихотомии в Н1 – топологии, построены подпространства, реализую-щие дихотомию. В 3.3 этот результат применен к частному случаю дифференциально–разностной системы (2.72). В 3.4 приведен иллю-стрирующий пример.
В выполняемых в этой главе построениях существенную роль играет компактность оператора (3.4) (вторая часть леммы 2.2).
Будем, следуя [34], называть взаимным наклоном подпро-странств гильбертова пространства число
В частном случае, когда прямые, где наи-меньший угол между прямыми. Будем говорить, что для решений системы (3.1) имеет место экс-поненциальная дихотомия в топологии, если фазовое пространство E задачи Коши (3.3) распадается в прямую сумму подпространств так, что для решений задачи (3.3) имеют место при некоторых оценки при этом взаимный наклон движущихся подпространств обра-зов в момент времени n – отделен от нуля:
Поясним последнее требование (3.5). В автономном случае дихотомия решений – следствие распада спектра на компо-ненты лежащие соответственно внутри и вне замкнутого еди-ничного круга, и спектральные подпространства, отвечающие компонентам В силу компактности оператора и структуры спектра компактного оператора (теорема 1.2) компонента состоит из конечного числа собственных чисел оператора и соответствующие корневые подпространства конечномерны, поэтому В об-щем случае это свойство постулируется (см. также [23]).
Введем класс индефинитных операторных матриц – функций вида (3.8) где при этом в обеих парах хотя бы один из проекторов от-личен от нуля. Поставим в соответствие матрице (3.8) индефинитную эрмитову форму ТЕОРЕМА 3.1. Для того, чтобы для решений системы (3.1) име-ла место экспоненциальная дихотомия в Н1 – топологии, достаточно, чтобы при некоторой матрица разностной производной формы вдоль траекторий системы (3.3) была равномерно отри-цательна.
Отметим, что из оценок (3.6) и вытекающей из (3.1), (3.2), с учетом локальной ограниченности функций класса оценки нетрудно получить, в частности, для решений задачи Коши (3.1) оценки вида 3.2. Доказательство теоремы о дихотомии
В силу равномерной по n ограниченности оператора в (3.3) требование (3.7) в определении экспоненциальной дихотомии – следст-вие оценок (3.6) (см. аналогично [34, С.237]). Далее строится разложе-ние (3.5) с оценками (3.6).
В силу леммы 2.2 и оценок для оператор компак-тен и равномерно по n ограничен. Из структуры спектра компактного оператора следует: спектр оператора заведомо не покрывает окружность . В силу тео-ремы 1.3 о равномерных W – сжатиях из неравенства (3.12) следует при некотором неравенство
Складывая неравенства (3.15) от до получим оценку (3.16) с заменой на . Представляя опе-ратор в базисе (3.10) матрицей и повторяя проведен-ные при построении оператора (3.19) рассуждения с заменой на , построим оператор
В самом деле, умножая неравенство (3.21) слева на , справа на , получим: откуда в силу теоремы Данфорда об отображении спектра следует: спектр самосопряженного эрмитово-неотрицательного оператора лежит на отрезке тем самым верно (3.22).
Подстановка в очевидное равенство матриц (3.17), и сравнение элементов (2,1), (2,2) в левой и правой час-тях дает: откуда с учетом определений (3.19), (3.21) получаем: Будем без ограничения общности считать в (3.13) Переходя в вытекающем из (3.13) неравенстве к матричной записи в базисе (3.10), сравнивая элементы (2,2) и умножая полученное неравенство слева на , справа на получим: или, с учетом (3.22),
Тем самым верно неравенство откуда ввиду вытекающего из (3.24) соотношения получаем Повторение рассуждения, проведенного при выводе (3.22), дает: откуда следует (3.20). Лемма доказана.
Ввиду конечномерности подпространства Е2 оператор (3.19) задается конечным набором линейных непрерывных функционалов при этом с учетом (3.20) Так как замкнутый шар в гильбертовом пространстве – компакт в сла-бой топологии (теорема 1.4)
Случай дифференциально – разностной системы
Имеем при фиксированных Члены последовательности под знаком предела, начиная с некоторого номера j, неотрицательны. В самом деле, из (3.12), в частности, следу-ет: Отсюда с учетом (3.17) и определения (3.19) получаем: при где обозначено
Тем самым для решений (3.27) верно неравенство 3.2. Умножая обе части неравенства (3.12) слева на и справа на , получим: тем самым для решений (3.27) имеем Отсюда ввиду неотрицательности первого слагаемого следует оценка и, с учетом оценка
Пусть . Из (3.29), (3.30) получаем тем самым Построим подпространство Очевидно, конечномерно. Покажем, что для решений имеет место вторая оценка (3.6) с заменой на . Складывая нера-венства (3.28) от до и обозначая аналогично (3.16) получим
Из определений (3.26), (3.32) следует Представ-ление в виде суммы функций из имеет место, если пара удовлетворяет уравнению
В силу оценок (3.20), (3.31) оператор в левой части имеет ограниченный обратный , тем самым уравнение (3.38) однозначно разрешимо при любой . Тем самым пространство Е – прямая сумма подпро-странств Теорема доказана.
Отметим, что в работе [23], см. также обзор [55], для подкласса систем (3.1) исследуется связь свойства экспоненциальной дихотомии со свойством регулярности оператора в левой части (3.1). Случай дифференциально – разностной системы Рассмотрим в качестве приложения результата 3.2 задачу Коши для дифференциально – разностной системы (2.72):
Повторение в этой ситуации рассуждений, проведенных при доказатель-стве теоремы 3.1, дает следующий результат. ТЕОРЕМА 3.2. Для того, чтобы для решений дифференциально-разностной системы (3.39) имела место экспоненциальная дихотомия в Н1 – топологии, достаточно выполнение при некоторой вида (3.8) неравенства с матрицей (3.40), (3.41). Реализующие дихотомию подпространства даются равенствами (3.26), (3.32), где оператор К вычисляется по формулам (3.19), (3.25) по элементам матрицы Коши (3.17) разно-стного уравнения (3.11), получаемого из (3.3) заменой 3.4. Пример
Матрица (3.45) удовлетворяет первому требованию (1.14) леммы 1.4. Имеем: (учтено ). Нетрудно получить: С учетом этого условия (3.4) дают:
В силу леммы 1.4 отсюда следует равномерная положительность мат-рицы (3.45), тем самым – выполнение условия (3.42) теоремы 3.2, что и требовалось. 2. Построим подпространства (3.26), (3.32). Здесь последовательность линейных непрерывных функцио-налов при этом, с учетом доказанного выше в п. 2, В силу слабой компактности замкнутого шара в гильбертовом про-странстве (теорема 1.4) существуют подпоследовательность и функция такие, что для всех Подпространства (3.26), (3.32), реализующие дихотомию, здесь имеют вид Соответствующее, в силу изоморфизма (1.10), разложение пространства Н1 имеет вид Разложение по базису имеет вид ПРИЛОЖЕНИЕ
Спектральный критерий экспоненциальной дихотомии для линейных систем ФДУ Введение В Приложении изучается асимптотическое поведение решений класса автономных линейных систем ФДУ в рамках первого метода Ля-пунова. Рассматривается задача Коши (1) Здесь непрерывна по Липшицу на . (2) Под решением понимается непрерывная функция , удов-летворяющая при начальному условию (1), при соотношению где Г – компактный оператор при этом , откуда, в частности, следует однозначная разреши-мость задачи Коши (1) в указанном классе. Анализ асимптотического поведения решений задачи (1) проводится сведением к такой же задаче для решений разностной задачи Коши (3) в фазовом пространстве С. Описан спектр оператора Г. Дихотомия решений эквивалентна дихото-мии спектра Г: распада на две компоненты лежащие внутри и вне круга . В вырожденном случае критерий экспоненциаль-ной дихотомии переходит в критерий экспоненциальной устойчивости для системы (1). Излагаемые результаты опубликованы в работе [74]. Далее – эрмитова норма в , так же обозначается согласо-ванная с ней матричная норма, – норма в С.
Переход к разностной задаче Коши (4) Зафиксируем . Вычитая из равенства (3) с заменой на равенство (3) с заменой t на n, выполняя в интеграле по отрезку замену , представляя интеграл Стилтьеса в обеих час-тях равенства в виде суммы интегралов по , и используя вве-денное выше обозначение, получим эквивалентное (3) соотношение где – постоянная Липшица для матрицы , . Из (7), (8) и очевидной оценки следует, в силу критерия компакт-ности Арцела, первое утверждение леммы. Для доказательства второго утверждения достаточно показать, что верна оценка
Из структуры спектра компактного оператора в банаховом про-странстве следует: спектр Г состоит из точки и не более чем счетно-го множества собственных чисел с возможной предельной точкой (глава 1, теорема 1.2).
Покажем, что для любого собственного числа имеет место представление (10). Пусть соответст-вующая собственная функция: Применяя к обеим частям равенства оператор и подставляя (6), последовательно получим цепочку равносильных соотношений Учтено вытекающее из (12) равенство . При любом имеем (14) где – главное значение логарифма. Заметим, что числа являются коэффициентами Фурье функции на отрезке . Ввиду отсюда следует: существует такое, что . По-ложим в (14)
Случай дифференциально – разностной системы
Подставляя в (13) , после вычислений по-лучим где Интегрирование по отрезку с учетом (15), и равенства дает равенство , откуда ввиду следует . . Пусть – корень уравнения (10) и вектор из таков, что . Нетрудно убедиться прямой подстановкой, что пара удовлетворяет соотношениям (13), равносильным (11). Теорема доказана.
Критерий дихотомии Будем говорить, что имеет место экспоненциальная дихотомия решений задачи Коши (1), если фазовое пространство С распадается в прямую сумму подпространств
Для того, чтобы имела место экспоненциальная ди-хотомия решений задачи Коши (1), необходимо и достаточно, чтобы множество корней уравнения (10) не пересекалось с мнимой осью и при этом хотя бы один корень лежал в полуплоскости . при этом внешность любого круга содержит конечное число точек . С учетом этого и теоремы 1 требования теоремы 2 оз-начают распад спектра Г в сумму непустых множеств, лежащих соответственно внут-ри и вне окружности на положительном расстоянии от нее, при этом конечно: при некотором Отсюда следует (глава 1, теорема 1.1) разложение (16), где , проекторы вычисляются по формулам при этом спектр сужения Г на инвариантное подпространство множество . С учетом этого формула Коши – Рисса дает после перехода к оценке сверху нормы интеграла первую оценку (17) при Оператор имеет ограниченный обратный со спектром в круге . При имеем Выполняя оценку сверху и выражая отсюда , получим вторую оценку (17) при том же и Обозначая , получим оценки (17) в окончательном виде.
Невыполнение требований теоремы 2 означает: либо множество лежит в круге , либо для некоторого . В пер-вом случае в (16) и не выполняется требование . Пусть имеет место второй случай: Име-ем: . С другой стороны, предполагая вы-полненным разложение (16), (17), получим: , откуда следует: либо (случай ), либо (случай ). Теорема доказана.
В вырожденном случае теорема 2 перехо-дит в критерий экспоненциальной устойчивости: решение систе-мы (1) экспоненциально устойчиво точно тогда, когда корни уравнения (10) лежат в полуплоскости ЗАМЕЧАНИЕ. Из выполненных выше построений, в частности, следует: подпространство С2 в (16) – прямая сумма корневых подпро-странств оператора Г, отвечающих лежащим вне круга собствен-ным числам оператора Г. Так корневые подпространства, отвечающие собственным числам компактного оператора, конечномер-ны (теорема 1.2), то подпространство С2 конечномерно:
В диссертационной работе получены следующие основные резуль-таты.
Разработан подход к исследованию асимптотического поведения решений линейных неавтономных систем функционально – дифферен-циальных уравнений (ФДУ) в пространстве Соболева Н1 сведением к такой же задаче для разностного уравнения в пространстве, изоморфном Н1. Развит вариант прямого метода Ляпунова применительно к этой си-туации.
Доказан критерий экспоненциальной устойчивости в Н1 – топо-логии для линейной неавтономной системы ФДУ запаздывающего типа. Построен класс функционалов Ляпунова, для которых критерий эффек-тивно проверяется. Этот результат распространен на класс линейных не-автономных систем ФДУ нейтрального типа.
Доказано достаточное условие экспоненциальной дихотомии в Н1 – топологии для линейной неавтономной системы ФДУ запазды-вающего типа. Построен класс индефинитных функционалов Ляпунова, для которых условие эффективно проверяется. Построены подпростран-ства фазового пространства, реализующие дихотомию.
На основе результатов п. 2, 3 получены условия экспоненциаль-ной устойчивости и дихотомии для линейных неавтономных дифферен-циально – разностных систем запаздывающего типа.
В Приложении доказан критерий экспоненциальной устойчивости и дихотомии для линейной автономной системы ФДУ нейтрального ти-па в терминах расположения на плоскости корней характеристического квазимногочлена. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [74, 75, 78, 81, 82, 83, 86], из них статьи [74, 75, 78, 81, 82, 83] – в ведущих рецензируемых научных журналах, включенных в список ВАК РФ.
Результаты докладывались на конференциях «Аналитическая ме-ханика, устойчивость и управление» (Казань, 12–16 июня 2012 г. ), «Ди-намика систем, механизмов и машин» (Омск, 13–15 ноября 2012 г.), «Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений» (Новосибирск , 18–24 августа 2013 г.), «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань , 22–28 августа 2013 г.), XVI МНК по дифференциальным уравнениям ЕРУГИНСКИЕ ЧТЕ-НИЯ–2014 (Беларусь, Новополоцк, 20–22 мая 2014), «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций» ( Казань, 29 сентября–1 октября 2014 г.), «Динамика систем, механизмов и ма-шин» (Омск, 11–13 ноября 2014 г.).