Введение к работе
Актуальность тэяы. Интенсивное развитие теории оптимального управления обусловлено многочисленными ее приложениями в теоретических и прикладных дисциплинах. Большое внимание при этом уделялось построению асимптотических методов решения задач с малыми параметрами.
Исследование задач оптимального управления асимптотическими методами проводилось многими авторами. Имевдееся здесь большое количество публикаций условно соответствует следующим направлениям:
-исследование задач с регулярным возмущением. Этому направлению посвящены работы Ф.М.Кирилловой, Н.Н.Красовского Н.Н.Моисеева, Ф.ЛЛерноусько, Ю.Н.Киселева, А.А.Первозванского, В.Г.Гайцгори, А.А.Белолкпецкого,В.Б.Колмановского,А.Дончева, А.И.Калинина и др.;
-направление, связанное с методом усреднения. Методам усреднения посвящены работы Н.Н.Моисеева, Ф.ЛЛерноусько, Л.Д.Акуленко, Б.Н.Соколова, В.А.Плотникова и др.;
-направление,использущее методы теории сингулярных возмущений. Данная работа принадлежит к этому направлению.
Теория сингулярных возмущений интенсивно развивается многими исследователями. Ее основы заложены А.Н.Тихоновым, А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузовым, С.А.Ломовым и др.
Исследование сингулярно возмущенных задач оптимального управления с ограничениями на управление проводилось в работах М.Г.Дмитриева,Г.А.Куриной,А.И.Калинина, P.V.Kokotovic, A.H.Haddad, P.V.Binding и др.
Большое количество работ посвящено построению асимптотики
решения и синтеза в сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задачах (В.Я.Глизер, М.Г.Дмитриев, Г.А. Курина, P.V. Kokotovic, R.A.Yackel, R.E.Jr.O'Malley и др.}. Аналогичными методами исследуются линейно-квадратичные задачи с "дешевым" управлением. Возможность формулировки последних задач в терминах теории сингулярных возмущений иллюстрируется в работах V.Dragan, A.Halanay, R.E.Jr. O'Malley, A.Jameson, A.Saberl, P.Sannutl.
Методы сингулярных возмущений довольно широко применяются при изучении больших систем с точки зрения декомпозиции и построения эффективных методов решения. Хотя многие концепции теории управления справедливы для систем любой размерности, их практическое применение ограничивается моделями низкой размерности. Наличие быстрых и медленных движений в системах большой размерности приводит к "жестким" задачам, которые требуют дорогих вычислигелъных процедур.Декомпозиция на задачи меньшей размерности для сингулярно возмущенных задач оптимального управления иллюстрируется в работах J.H.Chow, P.Sannutl, R.R.Wilde, P.V.Kokotovic на примере задач, где уравнения системы линейные по быстрым переменным и управлению, а функционал квадратичен. Для нелинейных задач подобная декомпозиция была получена в работах М.Г.Дмитриева, С.В.Белокопытова, A.Bensoussan, S.G.Peng. Отметим, что декомпозиция двухточечных краевых задач, вытекащих из необходимых условий отимальности управления в сингулярно возмущенных задачах, рассматривалась В.А.Соболевым.
Обычно методы теории сингулярных возмущений применялись в теории оптимального управления при построении асимптотических приближений к решению задач, вытекающих из необходимых или
достаточных условий оптимальности^ Однако при этом явно не раскрывается вариационный смысл асимптотических приближений и не учитывается вариационная природа исходной постановки.
В работах М.Г.Дмитриева, С.В.Еелокопытова рассматривается, так называемая, прямая схема применения метода пограничных функций А.Б.Васильевой, которой не присущи те недостатки, которые перечислены выше.Основная идея прямой схемы связана с прямой подстановкой постулируемого асимптотического разложения решения в условия задачи без перехода к необходимым условиям оптимальности и последовательным решением получающихся при этом задач оптимального управления.
Важный класс задач оптимизации представляют задачи управления линейными объектами с уравнением состояния
Fx(t) = Cx(t) + Du(t). (1)
Уравнение (1) является сингулярно возмущенным, если матрица F зависит от параметра є^О, причем при е>0 F(s) обратима, а при є=0 вырождена.
Другой вид сингулярно возмущенных задач появляется при рассмотрении минимизации функционала
т J = <р(х(Т)) + | Г [x'(t)H(t)x(t) + u'(t)R(t,e)u(t)]dt (2) о
на траекториях жнейного уравнения для х путем выбора управления
u(t). Матрица R(t,e) в (2) при е>0 обратима,а при е=0 вырождена. В этом случае при е=0 управление является особым в смысле принципа максимума Понтрягина.
Задачи управления с уравне"нием состояния вида (1) представляют интерес в теории сингулярных возмущений, так как при пренебрежении
малым параметром дифференциальный порядок модели понижается возникает вопрос о корректности пренебрежения в смысле близост решений возмущенной и невозмущенной задач. Представляет интерес построение асимптотического разложения по малому параметру решени возмущенной задачи.
Во всех вышеуказанных работах М.Г.Дмитриева, С.В.Белокопытова A.Bensoussan,S.G.Peng,J.H.Chow,P.Sanmtl,R.R.Wilde, P.V.Kokotovic приходили к исследованию уравнений, в которых матрица А+еВ, стоящая перед производной, складывалась из следущих матриц:
^ ?) н; о]
(1-единичная матрица).
На практике встречаются задачи с более сложными видам возмущений, когда у матрицы А есть присоединенные элементы ; собственному элементу, отвечающему нулевому собственному числу, . на матрицу В накладывается единственное условие : det(A+EB)tO, Такие матрично сингулярно возмущенные задачи исследованы в работа: Г.А.Куриной, где построены асимптотики по параметру е решени некоторых задач оптимального управления без ограничений на управ ление путем построения асимптотики решений двухточечных краевы: задач, получаемых из принципа максимума Понтрягина.
Наряду с известной задачей с "дешевым" управлением, в которо] управление входит в минимизируемый функционал с малым параметром представляет интерес исследование подобной задачи в случае, когд; в критерии качества не все управления являются "дешевыми". Так» задачи являются задачами, близкими к вырожденным, так как при е=< мы получаем вырожденную в смысле принципа максимума задач;
оптимального управления.
ц*ель работы. Развитие и обоснование прямой схемы применения метода пограничных функций в матрично сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задачах оптимального управления и задачах оптимального управления, близких к вырожденным.
Методы исследования. В работе применяются методы теории оптимального управления и теории сингулярных возмущений дифференциальных уравнений.
Научная новизна работы определяется следующими основными результатами:
построена и обоснована асимптотика решения матрично сингулярно возмущенной линейно-квадратичной задачи оптимального управления со свободным правым концом (для этой задачи установлено свойство невозрастания значения функционала с каждым новым асимптотическим приближением и доказана теорема о субоптимальности);
построено формальное асимптотическое решение матрично сингулярно возмущенных линейно - квадратичных задач оптимального управления с закрепленными концами;
построена асимптотика решения и доказана теорема о невозрастании значений функционала для линейно-квадратичной задачи оптимального управления с матричным сингулярным возмущением в критерии качества;
построена асимптотика решения и доказаны теоремы о невозрастании значений функционала и субоптимальности для линейно-квадратичной задачи оптимального управления с "дешевым" управлением;
Драмшческая ценность. Результаты работы могут быть использованы при построении схем приближенной декомпозиции матрично
сингулярно возмущенных задач оптимального управления и за, оптимального управления, близких к вырожденным; при исследова: задач математической экономики и теории цепей, а также , развития соответствуодих численных методов, когда в качес начальных приближений берутся найденные в работе асимптотичесі разложения.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всес юзном совещании "Прикладной асимптотический анализ и спектральн задачи" ("Ашхабад, 1990), Всесоюзной конференции "Дифференциальн уравнения и оптимальное управление" ("Ашхабад, 1990), Мевдународн конференции "Control system synthesis: theory and applicatlo (Новосибирск, 1991), Всесоюзной конференции "Асимптотические мето, теории сингулярно возмущенных уравнений и некорректно поставленні задач" ("Бишкек,1991), научно-практической конференции "Диффереї циальные уравнения и их приложения" (Ашгабат, 1993), семинар* лаборатории функционального анализа ИМ и КТ АНТ, на семинаре пс руководством С.Г.Крейна в Воронежском ЛТИ, Международной конферев ции "Singular solutions and perturbations in control systems (Переславль-Залесский, 1993), семинарах ИМ и КТ АНТ.
Публикации' Основные результаты опубликованы в шести работах список которых приведен в конце автореферата. В совместных работа: соавторам принадлежат постановки задач и схемы доказательств теорем.
Структура и объем работы.. Работа состоит из введения, двр глав, заключения и библиографии. Основной текст диссертации содержит 128 страниц, библиография - 67 названий.