Преследование жестко скоординированных убегающих Вагин Дмитрий Александрович

Простое преследование жестко скоординированных убегающих

В предлагаемой работе рассматриваются дифференциальные игры преследования нескольких управляемых объектов группой управляемых объектов. Потребность изучения таких задач возникает, например, при решении ряда прикладных задач из механики, экономики, военного дела и некоторых других областей. Одной из первых работ в этой области, по всей видимости, следует считать работу Г. Штейнгауза, опубликованную в 1925 году, в которой он формулирует задачу преследования как дифференциальную игру преследования. Становление теории дифференциальных игр связано с исследованиями Р. Айзекса, А. Брайсона, У. Флеминга, Ю. То, Б. Н. Пшеничного, Л. А. Матроска. Основополагающий вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли академики Н. Н. Красовский и Л. С. Понтрягин. К настоящему времени теория дифференциальных игр получила существенное развитие.

В первой главе диссертации рассматривается задача простого преследования группой преследователей группы убегающих, использующих одно и то же управление, при условии, что скорости убегающих и преследователей по норме не превосходят единицы. В работе [115] Б. Н. Пшеничного рассматривалась задача простого преследования группой преследователей одного убегающего, при условии, что скорости убегающего и преследователей по норме не превосходят единицы. Были получены необходимые и достаточные условия поимки.

В работе [144] Ф. Л. Черноусько рассматривалась задача уклонения управляемой точки, скорость которой ограничена по величине, от встречи с любым конечным числом преследующих точек, скорости которых также ограничены по величине и строго меньше скорости уклоняющейся точки. Был построен такой способ управления, который обеспечивает уклонение от всех преследователей на конечное расстояние, причем движение уклоняющейся точки остается в фиксированной окрестности заданного движения.

Указанные работы были, по существу, первыми работами, посвященными задаче группового преследования группой преследователей одного убегающего.

В работе [20] Н. Л. Григоренко получены необходимые и достаточные условия уклонения от встречи одного убегающего от нескольких преследователей при условии, что убегающий и преследователи обладают простым движением, и множество управлений каждого из игроков - один и тот же выпуклый компакт.

Работа [17] обобщает результат Б. Н. Пшеничного на случай / - поимки. В работе [165] Б. К. Хайдаров рассмотрел задачу позиционной I -поимки одного убегающего группой преследователей при условии, что каждый из игроков обладает простым движением. В работах [44, 126] получены условия оптимальности времени преследования в дифференциальной игре одного убегающего и нескольких преследователей, движение которых является простым. В работе [22] Н. Л. Григоренко получены необходимые и достаточные условия г - кратной поимки одного убегающего группой преследователей при условии, что все игроки обладают простым движением с максимальной по норме скоростью, равной единице. В работе [42] Р. П. Иванов рассмотрел задачу простого преследования группой преследователей одного убегающего при условии, что убегающий не покидает пределы выпуклого компакта с непустой внутренностью. Было доказано, что если число преследователей меньше размерности множества, то будет уклонение, иначе - поимка и получена оценка времени поимки. Работа [82] Н. Н. Петрова обобщает результат Р. П. Иванова на случай, когда убегающий не покидает пределы выпуклого многогранного множества с непустой внутренностью. Задачи простого преследования с "линией жизни" рассмотрены в [100]. А. М. Ковшов [46] рассмотрел задачу простого преследования одного убегающего группой преследователей на сфере. По всей видимости, первой работой, посвященной задаче преследования группой преследователей группы убегающих была работа [81]. В данной работе рассматривалась задача простого преследования группой преследователей группы убегающих, при условии, что скорости всех участников по норме не превосходят единицы и целью преследователей является поимка всех убегающих. Были получены достаточные условия уклонения от встречи и получены оценки сверху и снизу минимального числа убегающих, уклоняющихся от заданного числа преследователей из любых начальных позиций. Работа [158] обобщает результаты предыдущей работы на линейные дифференциальные игры. Хотя с момента первой публикации, посвященной задаче преследования группой преследователей группы убегающих прошло уже 20 лет, число публикаций посвященных данной задаче невелико. В работе [80] рассматривалась задача простого преследования группой преследователей группы убегающих, при условии, что скорости всех участников по норме не превосходят единицы, каждый преследователь ловит не более одного убегающего, а убегающие в начальный момент времени выбирают свое управление на интервал [0, со). Были получены необходимые и достаточные условия поимки. В работах [55, 160] рассматривалась задача преследования четырьмя преследователями на плоскости двух убегающих. В работе [131] Н. Ю. Сатимов и М. Ш. Маматов рассмотрели задачу преследования группой преследователей группы убегающих, при условии, что преследователи и убегающие обладают простым движением с единичной по норме максимальной скоростью и, убегающие, кроме того, используют одно и то же управление (жестко скоординированные убегающие). Цель группы преследователей - поймать хотя бы одного убегающего. Были приведены достаточные условия поимки.

Простое преследование жестко скоординированных убегающих с фазовыми ограничениями

В пространстве Rk рассматривается дифференциальная игра п + т лиц: п преследователей Pi,..., Рп и т убегающих Е\,..., Ет. Закон движения каждого из преследователей Р{ имеет вид: Закон движения каждого из убегающих Ej имеет вид: Здесь xi, yj, щ, v Є Rk, ait..., щ Є R1. При t — 0 заданы начальные условия причем а )0 — у о 7 0 Для всех и 3 Здесь и всюду далее, если не оговорено специально г = 1,..., n, j = 1,..., m. Отметим, что действия убегающих можно трактовать следующим образом: имеется центр, который для всех убегающих Ej выбирает одно и то же управление v. Вместо систем (2.3), (2.4) рассмотрим систему Обозначим через ipq(t), q = 0,1,..., I — 1 решения уравнения u{l) + aiu -1) + + щш = 0 (2.7) с начальными условиями: ш(0) = 0,.. .,J -V(0) = 0,и ( г)(0) = іУ«+1 (0) = 0,... ,0 (0) = 0. Предположение 2.1. Все корни характеристического уравнения имеют неположительные вещественные части. Предположение 2.2. ipi \{t) 0 для всех t 0. Отметим, что предположение 2.2 выполнено, если уравнение (2.8) имеет только вещественные корни. Обозначим через Ai,...,As (Ai А2 As) - вещественные корни, /Lti doivi,..., /ір±г і/р (/Lti \іі цр) - комплексные корни уравнения (2.8), ks - кратность As, mQ - кратность корня fj,a ± iva. Отметим, что в силу предположения 2.2 fip As. Пусть далее Отметим, что в силу леммы 2.3: Считаем, что y(T, 0) 0 для всех i,juT 0, ибо если (Т, 0) = 0 при некоторых р, q и Т, то преследователь /р ловит убегающего Zg к моменту Т, полагая up() = v(t). Считаем также, что Pija{t) тождественно не равен 0 для всех і и j, ибо в противном случае преследователи первоначально добиваются выполнения указанного условия. Обозначим через 7fj - степень многочлена P?js(t), 7 - степень многочлена P/_i)S. Можно считать, что 7ij = 7 Для всех г и h ибо в противном случае преследователи Pi первоначально добиваются выполнения данного условия. Обозначим Обозначим данную игру Г. Определение 2.1. В игре Г происходит поимка, если существуют Т 0 и измеримые функции Ui(t) = Ui(t,zfj,v(t)) такие, что для любой измеримой функции v(t) существуют момент т Є [0,Т] и номера s, q, для которых xs(r) = yq{r). Определим функцию где Л Є comp(Rk). Здесь comp(Rk) - пространство компактных подмножеств Rk с метрикой Хаусдорфа, V - единичный шар. Лемма 2.4. Пусть выполнено предположение 2.2, Bi(t) Є Rk, і = 1,...,р, inf maxХ(Ві(Т + t),v) 5 0 для ecerr t 0. Функция X veV і непрерывна на множестве (t,v), таком, что X(Bi(T + t),v) 0. Тогда существует момент Т 0 такой, что для любой допустимой функции v(t) найдется номер q такой,

Преследование жестко скоординированных убегающих в примере Понтрягина

Если г Є /, тогда Г)і(Т, Т) = 0 и, следовательно в игре Г происходит поимка в момент времени TQ + Т если мы положим ur(t) = v(t).

Если /ig+ao_i(T) = 0 ПРИ некотором Oft Є J, ao 7 1, то +ao_M(T,T) = -//С1)ао(Т,Г) = - C1)Qo(T + r50). І,І(Т, Т) = 1,1( + Т, 0)hi (t), для всех і Є / и следовательно образуют положительный базис. Значит составляют положительный базис. Отсюда составляют положительный базис. Подставляя д+ао -1,і (Т,Т) вместо -Сі,а0{ТJ O получаем, что составляют положительный базис, причем так как все наши рассуждения верны для любого Т Т, а при Т — со, T{ZQ) — 0, то составляют положительный базис при любом t 0. Пусть ао = 2, тогда положим q = q + 1, а {2,..., /} перенумеруем в J = {1,..., /}, при / = / — 1. Мы получили утверждение аналогичное (2.10), но количество убегающих \J\ фигурирующих в наших рассуждениях уменьшилось на единицу. Принимая момент Т за начальный и повторяя наши рассуждения до тех пор пока количество убегающих не станет равным единице, получаем {fti(T + t,r), e/} для любого t 0, причем / = к -f 1. Отсюда согласно 2 [73] в игре Г наступает поимка. Теорема доказана. П р и м е р 2.1. Пусть законы движения (2.3) и (2.4) имеют вид: Xi = U{, \\щ\\ 1, Xj(0) = хі0, Хі(0) = xifi, Уз = v \\v\\ ! Уі(0) = уо. fe(0) = 2#i В этом случае корни характеристического уравнения (2.8) Аі = Л2 = 0, а уравнение (2.7) имеет вид: Функции ipo(t), (pi(t) имеют вид: ipo(t) = 1, (pi(t) = t. Таким образом выполнены условия предположений 2.1, 2.2 и значит ij(t, 0) = tz i + zitjt0, Ztj = zitjtl. Утверждение 2.1. Пусть n к + 1 и 0 Є Intco{ . ! . Тогда в игре Г происходит поимка. Пример 2.2. Пусть законы движения (2.3) и (2.4) имеют вид: В этом случае корни характеристического уравнения (2.8) Лі = —2, Лг = —1, а уравнение (2.7) имеет вид: / + За; + 2а; = 0. Функции (po(t), pi(t) имеют вид: p0(t) = 2е- - e 2t, ipft) = е 1 - e 2t. Таким образом выполнены условия предположений 2.1, 2.2 и значит Утверждение 2.2. Пусть п к + 1 и Oelnbco{z9Jtl + 2z?Jfi}. Тогда в игре Г происходит поимка. 2.3. Преследование жестко скоординированных убегающих с фазовыми ограничениями в примере Понтрягина В пространстве Rk рассматривается дифференциальная игра п + т лиц: п преследователей Р\,... ,Рпит убегающих Е\,..., Ет. Закон движения каждого из преследователей Р{ имеет вид: x\l) + aixf-1] + - + ЩХІ = щ, и,- 1» xteRk. (2.11) Закон движения каждого из убегающих Ej имеет вид: 2/f + ai _1) + + «/ /; = v, ЦЧК1, УІЄЯК (2.12) Здесь ХІ, yj, щ, v Є Rk, ai,..., щ Є Я1. При t = О заданы начальные условия !в,(0) = aft,, yf(0) = vla, a = 0,...,/-1, (2.13) причем х 0 — yQjQ ф 0 для всех і и j. Дополнительно предполагается, что убегающие Еі,...,Ет не покидают пределы выпуклого множества где Pi,... ,Pr - единичные векторы, fii,...,fir - вещественные числа такие, что IntD ф 0. Здесь и всюду далее, если не оговорено специально г = 1,..., n, j = 1,..., т. Отметим, что действия убегающих можно трактовать следующим образом: имеется центр, который для всех убегающих Ej выбирает одно и то же управление v. Вместо систем (2.11), (2.12) рассмотрим систему Обозначим через ipq(t),q = 0,1,..., I — 1 решения уравнения w(/) + axu -V + щи = 0 (2.15) с начальными условиями:

Преследование жестко скоординированных убегающих с фазовыми ограничениями в примере Понтрягина

Из леммы 2.5 следует, что существует номер г такой, что hr(T) — 0. Если г Є /, тогда Г)і(Т, Т) = 0 и, следовательно в игре Г происходит поимка в момент времени Т + Т если мы положим ur(t) = v(t). Если hq+ao-i(T) = 0 при некотором ао Є J, ао ф 1, то й+оо-мСГ0, Т) = -/zCWT0, Т) = -/iC1)ao(T + Г, 0). образуют положительный базис. Значит составляют положительный базис. Отсюда составляют положительный базис. Подставляя aQ-\ T Т) вместо —CiiQo(T,T) получаем, что составляют положительный базис, причем так как все наши рассуждения верны для любого Т Т, а при Т — со, T(ZQ) — 0, то {tij(T + t,T),i elU{q + a0- 1}J Є J,j ф 1,рі} составляют положительный базис при любом t 0. Пусть OLQ — 2, тогда положим q = q + 1, a {2,...,/} перенумеруем в J = {1,..., I}, при Z = I — 1. Мы получили утверждение аналогичное (2.24), но количество убегающих \J\ фигурирующих в наших рассуждениях уменьшилось на единицу. Принимая момент Т за начальный и повторяя наши рассуждения до тех пор пока количество убегающих не станет равным единице, получаем ШТ + І,Т),ІЄІ,РІ} для любого t 0, причем / к + 1. Отсюда согласно 2 [73] в игре Г наступает поимка. Пусть теперь г 1 произвольно. Так как {Z?j,pi,...,pr} образуют положительный базис, то существуют положительные вещественные числа a,j, /3S такие, что Рассмотрим вектор Ро = /Зрі + Н РгРг Покажем, что {Zfj,po} образуют положительный базис, если ро ф 0 и положительный базис образуют {Zfj} если ро = 0. Пусть PQ ф О, х Є R . В силу предположения любые к векторов из совокупности {Zfj} линейно независимы. Поэтому существуют вещественные числа 7ь 7fc) векторы bi,...,bk из набора {Z?j} такие, что х = 71&1 Н Н 7 &ь В силу соотношения (2.25) получаем, что х = 7i&i + + іФк + d( T aijZfj + 2 PsPs) = = фо + Х -. (2.26) Взяв d" положительным и достаточно большим получим, что все коэффициенты в (2.26) положительны. Последнее означает, что образуют положительный базис. Случай ро — 0 рассматривается аналогично. Теорема доказана. Пример 2.3. Пусть законы движения (2.3) и (2.4) имеют вид: x\3) + Xi = uh \\щ\\ 1, xi\ty — xi,0i xi\) = xi,l j хг (0) = xi,2 yf + yj = v, IMI i, У№ = У%, Ш = У1Ъ Й-(О) = У?2. В этом случае корни характеристического уравнения (2.8) Ai = — 1, А2 = A3 = 0, а уравнение (2.7) имеет вид: w(3) + ш = 0. Функции fo(t), iM V M имеют вид: Таким образом выполнены условия предположений 2.1, 2.2 и значит у(4, 0) = ( - 1 + е-«) ,2 + ш + zi,j,0 = - H J,2 + zi,j,l) - zi,j,2 + zi,j,l + 2iJ,2e J ij Zi,j,2 -Г zi,j,V Утверждение 2.3. Пусть n к и 0 Є Intcofc? + zVj pt, . . . ,pr}. Тогда в игре Г происходит поимка. Пример 2.4- Пусть законы движения (2.3) и (2.4) имеют вид: В этом случае корни характеристического уравнения (2.8) Лі = 0, k\ = 2, ці ± гі/і = ±г, mi = 1, а функции (po(i) = 1, pi(t) = t, (p2{i) = 1 — cost, Уз( ) = 2 — s mt. Таким образом выполнены условия предположений 2.1, 2.2 и значит