Введение к работе
Актуальность_темы^ Изучение нелинейных моделей является важной задачей современной математической физики. Упрощенные модели, хорошо описывающие характерные свойства нелинейных процессов, часто оказываются полезным для решения широкого класса проблем. В последние десятилетия в результате соединения различных методов были открыты многие новые явления: солитоны, странные атракторы, эффект Т-слоя и ряд других.
Особый интерес представляют локализованные диссипативные структуры. Если размер области достаточно велик, то влияние граничных условий становится несущественным, и можно рассматривать структуры как проявления внутренних свойств данной среды. Однако в настоящее время известно сравнительно мало моделей, описывающих локализацию.
В ряде случаев, таких как, развитие неустойчивостей в плазме, атмосферные процессы с отрицательной вязкостью, развитие биологического вида в новой экологической нише и так далее, интерес представляют наиболее быстрые процессы, происходящие в системе. Их идеализацией является режим с обострением, когда за конечное время tQ какая-либо величина, например, температура, неограниченно растет. Рост в режиме с обострением может сопровождаться локализацией и возникновением диссипативных структур.
Как оказалось, свойства нестационарных диссипативных структур можно изучать на сравнительно простой модели. Это квазилинейные уравнения теплопроводности со степенным источником. Их исследование в течение ряда лет производилось в ИПМ им.М.В.Келдыша под руководством академика А.А.Самарского и члена-корреспондента С.П.Курдюмова. Для них в вычислительном эксперименте удалось выявить эффекты локализации, обострения и возникновения структур, то есть самоорганизации - упорядоченного усложнения среды. На развитой стадии процесс описывается поведением автомодельного решения, которое сохраняет основные особенности задачи. Построение автомодельного решения приводит к необходимости изучения краевой
задачи ОДУ.
Для уравнения такого типа было получено много интересных аналитических и численных результатов, однако, ряд вопросов нуждался в исследовании, например, вопрос определения всех возможных типов собственных функций и классификация семейств решений. Система уравнений этого типа также представляет как объект изучения большой интерес. Исследование этих задач и является предметом диссертации.
Цвль_рабдты: изучение нелинейных краевых задач ОДУ, возникающих при построении автомодельных решений нелинейных параболических уравнений в LS-режиме с обострением.
Методы_исследования: В работе используются методы качественной теории ОДУ, методы вычислительного эксперимента, методы классической механики.
Научная_новизна. В работе с помощью последовательного использования динамической аналогии удалось доказать для автомодельной задачи при любой области существования решения конечность числа минимумов, выделить параметр р, определяющий характер возможных собственных функций (с.ф.), и указать в каком интервале его значений какой тип с.ф. может существовать. Это позволило предсказать теоретически и построить неизвестный ранее тип с.ф. с перетяжкой и определить, когда могут существовать с.ф. с нулевым значением в окрестности О. Разработан и реализован новый алгоритм построения с.ф. произвольного типа.
На основе линейного анализа была получена качественная оценка числа собственных функций для системы двух уравнений. Для численного построения с.ф. был использован итерационный алгоритм и проведен сравнительный анализ, используемых при построении начальных приближений модификаций методов сшивания. Разработанный метод построения начальных приближений при непрерывном изменении параметров позволил построить с.ф. с разным числом максимумов по компонентам вектора решения. Реализованный автором пакет программ для решения систем таких уравнений в частных производных, включающий обобщение автомодельной обработки, позволил провести анализ устойчивости решений такой системы уравнений к возмущениям.
Щзактическая_ценность. Результаты работы расширяют данные о мире нелинейных структур и могут быть использованы при изучении сверхбыстрых процессов в различных областях знания, как то в физике плазмы, химии и биологии. Методы, использованные и разработанные автором, могут быть применены, при дальнейшем изучении теории диссипативных структур.
Апробация_работы^ Результаты работы докладывались на семинарах в ИПМ АН СССР им.М.В.Келдыша, в ИАЭ им.И.В.Курчатова, в ОИЯИ г.Дубна.
Публикации. По основным результатам работы опубликовано 5 статей.
Объем_работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, изложенных на 104 страницах машинописного текста, содержит 3 рисунка, а также список литературы из 52 наименований.