Предельные циклы уравнений Льенара Колюцкий Григорий Аркадьевич

Содержание к диссертации

Введение

1. Предельные циклы уравнений Льенара чётной степени в случае фокуса 19

1.1. Свойства С-многочленов и унитарных С-многочленов 20

1.2. Мешок Бендиксона изнутри 22

1.3. Продолжение отображения Пуанкаре в комплексную область 25

1.4. Окончательная оценка числа предельных циклов . 28

2. Предельные циклы обобщённых уравнений Льенара нечётного типа 30

2.1. Особые точки обобщённых уравнений Льенара . 31

2.2. Канонический вид обобщённых уравнений Льенара . 31

2.3. Выталкивающие окрестности бесконечности 32

2.4. Глобальная геометрия обобщённых уравнений Льенара 35

2.5. Построение оснащённого мешка Бендиксона для обобщённых уравнений Льенара нечётного типа 39

2.6. Оценки индекса Бернштейна 44

2.7. Окрестность особой точки. Функция Ляпунова . 52

2.8. Комплексификация отображения Пуанкаре 56

2.9. Верхние оценки на число предельных циклов 59

Литература 60

• Свойства С-многочленов и унитарных С-многочленов
• Продолжение отображения Пуанкаре в комплексную область
• Глобальная геометрия обобщённых уравнений Льенара
• Построение оснащённого мешка Бендиксона для обобщённых уравнений Льенара нечётного типа

Введение к работе

Актуальность темы. Настоящая диссертация относится к качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Работа посвящена получению явных верхних оценок на число предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости специального вида, т.н. уравнений Льенара

^{

х = у — F(x),
У и, ₍₁₎

у = -х,

и обобщённых уравнений Льенара

Г х = уН{х) -xG{x), \у = -х.

Напомним, что полиномиальное векторное поле на плоскости задаётся системой обыкновенных дифференциальных уравнений

(х = Р(х,у), \у = Q{x,y),

где (х,у) Є К², а Р(х,у) и Q(x,y) — многочлены.

Предельным циклом называется изолированная замкнутая траектория векторного поля (иными словами — периодическое решение, в некоторой окрестности которого других периодических решений нет, соответственно все остальные траектории из этой окрестности наматываются на предельный цикл в положительном или отрицательном времени).

В своём знаменитом списке проблем XX века¹ Гильберт во второй части проблемы под номером 16 интересовался числом предельных циклов (Гильберт называл их предельными циклами Пуанкаре, по имени их первооткрывателя и автора определения) полиномиальных векторных полей на плоскости. С современной точки зрения вторая часть 16-ой проблемы Гильберта распадается на следующие вопросы²:

(і) Верно ли, что число предельных циклов индивидуального полиномиального векторного поля на плоскости конечно?

^XD. Hilbert, Mathematical problems, Bull. Amer. Math. Soc, 2000, 37(4), 407-436, Reprinted from Bull. Amer. Math. Soc, 1902, 8, 437-479.

²Yu. Ilyashenko, Centennial History of Hubert's 16th Problem, Bull. Amer. Math. Soc, 2002, 39(3), 301-354.

(И) Можно ли оценить число предельных циклов всех полиномиальных векторных поля на плоскости величиной Н(п) (называемой числом Гильберта), зависящей только от п — наибольшей из степеней многочленов Р и Q?

(iii) Если ответ на предыдущий вопрос положителен, то оценить сверху Н{п).

Эта проблема была сформулирована Гильбертом в 1900 г. в докладе на П-ом Международном конгрессе математиков. За прошедшие более, чем сто лет удалось ответить (положительно) только на первый из этих трёх вопросов. Его называют проблемой (индивидуальной) конечности и иногда проблемой Дюлака, потому что Дюлаку принадлежит работа³, содержащая неверное решение этой задачи. Необходимо отметить, что ошибка была найдена лишь через 60 лет после публикации труда Дюлака.

Окончательное решение проблемы конечности было получено Ю. С. Ильяшенко⁴ и Экалем⁵ независимо. Отметим также, что для квадратичных векторных полей (т.е. для случая п = 2) этот результат был получен ранее Бамоном⁶.

Вопрос о существовании чисел Гильберта, в частности, существует ли Н(2), открыт до сих пор. Тем не менее, по крайней мере одна знаменитая работа, содержащая ошибочное решение этой проблемы, была предложена И. Г. Петровским и Е. М. Ландисом . Ошибка была обнаружена Ю. С. Ильяшенко⁸, а также в семинаре С. П. Новикова при активном участии Д. В. Аносова. С современной точки зрения понять, что там действительно была ошибка, несложно: И. Г. Петровский и Е. М. Ландис утверждали, что Н(2) = 3, но прозрачный пример Ши

³Н. Dulac, Sur les cycles limites, Bulletin Soc. Math. France, 1923, 51, 45-188.

⁴Yu. Ilyashenko, Finiteness theorems for limit cycles, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc, 1991.

⁵J. Ecalle, Introduction aux junctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Paris: Hermann, 1992.

⁶R. Bamon Quadratic vector fields in the plane have a finite number of limit cycles, Publ. I.H.E.S, 1986, 64, 111-142.

⁷И. Г. Петровский и E. M. Ландис, О числе предельных циклов уравнения dy/dx = P(x,y)/Q(x,y), где Р и Q многочлены, степени 2, Мат. Сб., 1955, 37(79), 209-250.

И. Г. Петровский и Е. М. Ландис, О числе предельных циклов уравнения dy/dx = P(x,y)/Q(x,y), где Р and Q многочлены, Мат. Сб., 1957, 43(85), 149-168.

⁸Yu. Ilyashenko, Centennial History of Hubert's 16th Problem, Bull. Amer. Math. Soc, 2002, 39(3), 301-354.

Сонглина⁹ показывает, что Н(2) > 4.

В 1928 году Льенар рассмотрел¹⁰ уравнения вида

х + f(x)x + x = 0, (4)

где /(ж) — это многочлен чётной степени. Эти уравнения возникли в качестве обобщения знаменитого уравнения Ван Дер Поля¹¹, подробно исследовавшего случай /(ж) = ж² — 1. Причём обобщение было не формально-математическим, а естественно возникало из рассмотренного Льенаром нелинейного затухания колебаний в электрических цепях. Дифференциальное уравнение второго порядка (4) эквивалентно другому дифференциальному уравнению (первого порядка), заданному векторным полем на плоскости с координатами (ж, у):

х = у,

У= -x-yf(x).

(5)

Преобразование Льенара: (ж, у) і—> (ж, у-\-1(х)), где 1{х) = J f(s)ds,

о сопрягает систему (5) с системой (1).

Уравнения Льенара попали в поле зрения специалистов по второй части 16-й проблемы Гильберта после исследования Линса Нето, Ди Мелу и Пью¹², показавших, что отображение Пуанкаре для системы (1), у которой степень многочлена F{x) нечётна, глобально определено и не тождественно. Также ими была решена проблема конечности для таких систем и получена верхняя оценка на число предельных циклов, рождающихся в окрестности единственной особой точки при возмущении центра по линейным членам. На основании этой оценки Лине Нето, Ди Мелу и Пью выдвинули гипотезу о том, что число предельных циклов уравнений Льенара нечётной степени п = 2к + 1 не превосходит к.

Необходимо отметить, что в 2007 году Дюмортье, Панаццоло и Руссари построили контрпример¹³ к гипотезе Линса Нето, Ди Мелу и

Shi Songling, A concrete example of the existence of four limit cycles for plane quadratic systems, Scientia Sinica, 1980, 23(2), 153-158.

¹⁰ A. Lienard, Etudes des oscillations entretenues, Revue generale de l'Electricite, 1928, 23, 901-912, 946-954.

¹¹B. Van der Pol, On oscillation hysteresis in a triode generator with two degree of freedom, Phil. Mag., 1922, 6(43), 700-719.

¹²A. Lins Neto, W. de Melo, С. C. Pugh, On Lienard Equations, Proc. Symp. Geom. and Topol., Springer Lectures Notes in Mathematics, 1977, 597, 335-357.

¹³F. Dumortier, D. Panazzolo, R. Roussarie, More limit cycles than expected in Lienard equations, Proc. Amer. Math. Soc, 2007, 135(6), 1895-1904.

Пью. Они предложили пример уравнений Льенара (1) нечётной степени п = 2к + 1, для которого доказали существование не менее, чем к + 1 предельного цикла.

В 1998 году Смейл включил гипотезу Линса Нето, Ди Мелу и Пью в свой список¹⁴ «Математических проблем XXI века», немного ослабив её. Он предположил, что искомое число предельных циклов допускает некоторую полиномиальную оценку (по степени п многочлена F(x)).

Первую явную оценку на число предельных циклов в уравнениях Льенара нечётной степени получили Ю. С. Ильяшенко и А. Панов в 2001 году¹⁵. Их оценка (тройная экспонента по п) также зависела от константы С, ограничивающей сверху модуль коэффициентов многочлена F{x) (размера компакта в пространстве параметров). Основная идея Ю. С. Ильяшенко и А. Панова состояла в том, чтобы локализовать единственное гнездо предельных циклов, продолжить отображение Пуанкаре в комплексную область и применить теорему о нулях и росте голоморфных функций¹⁶. Здесь же отметим, что аналогичный подход применялся Ю. С. Ильяшенко¹⁷ к уравнениям Абеля на цилиндре и Ю. С. Ильяшенко и Либре¹⁸, а также А. Ю. Фишкиным¹⁹ к квадратичным векторным полям на плоскости.

Несколько лет спустя Ю. С. Ильяшенко предложил обобщить их с А. Пановым результат на случай обобщённых уравнений Льенара и на обычные уравнения Льенара чётной степени²⁰. Та работа Ю. С. Ильяшенко и А. Панова и по сей день остаётся единственной, содержащей явные оценки на число предельных циклов в проблеме Гильберта-Смейла (за исключением результатов настоящей диссертации).

S. Smale, Mathematical Problems for the Next Century, Math. Intelligencer, 1998, 20(2), 7-15.

¹⁵Yu. Ilyashenko, A. Panov, Some upper estimates of the number of limit cycles of planar vector fields with applications to Lienard equations, Moscow Math. J., 2001, 1(4), 583-599.

¹⁶Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko, Counting real zeros of analytic functions satisfying linear ordinary differential equations, J. Differential Equations, 1996, 126(1), 87-105.

¹⁷Yu. Ilyashenko, Hilbert-type numbers for Abel equations, growth and zeros of holomorphic functions, Nonlinearity, 2000, 13(4), 1337-1342.

¹⁸Yu. Ilyashenko, J. Llibre, A restricted version of the Hubert's 16th problem for quadratic vector fields, Moscow Math. J., принято к печати. Препринт arXiv:0910.3443vl.

¹⁹А. Ю. Фишкин О числе предельных циклов квадратичных векторных полей на плоскости, Доклады Академии Наук, 2008, 428(4), 462-464.

²⁰Yu. Ilyashenko, Some open problems in real and complex dynamical systems, Nonlinearity, 2008, 21(7), 101-107.

Наконец, в 2008 году Кауберг и Дюмортье показали²¹, что для уравнений Льенара чётной степени п = 2к число предельных циклов большой амплитуды не превосходит к, т.е. существует такое R > 0, что число предельных циклов, не содержащихся целиком в круге с центром в нуле и радиусом Д, не превосходит к.

Актуальность темы вытекает из вышесказанного — значимости получения явных верхних оценок на число предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости.

Цель работы. Целью работы является исследование глобальной геометрии (т.е. описание топологии фазовых портретов) уравнений Льенара чётной степени и обобщённых уравнений Льенара и следующее вслед за этим описанием получение явных верхних оценок на число предельных циклов уравнений Льенара чётной степени и обобщённых уравнений Льенара нечётного типа.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

1. Получена верхняя оценка на число предельных циклов уравнений Льенара чётной степени в случае, когда единственная неподвижная точка является фокусом. Это число оценивается функцией, зависящей от четырёх параметров: степени (чётной) многочлена, задающего векторное поле, максимума модулей коэффициентов этого многочлена, радиуса Кауберг-Дюмортье, вне которого расположены предельные циклы большой амплитуды, и расстояния в пространстве систем от линеаризации исходной до центра по линейным членам (та же константа отвечает и за расстояние до узла).

2. Получена явная верхняя оценка на число предельных циклов обобщённых уравнений Льенара нечётного типа. Это число оценивается функцией, зависящей от трёх параметров: степени многочленов, задающих векторное поле, максимума модулей коэффициентов этих многочленов и константы, отделяющей снизу от нуля значения многочлена Н в мешке Бендиксона, ловящем все предельные циклы рассматриваемого векторного поля.

Методы исследования. В работе применяются методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории функций комплексного переменного, а также теории особенностей векторных полей.

²¹М. Caubergh, F. Dumortier, Hubert's 16th problem for classical Lienard equations of even degree, J. Differential Equations, 2008, 244(6), 1359-1394.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Как результаты работы, так и разработанные в ней приёмы, могут быть полезны специалистам, занимающимся исследованием предельных циклов, в частности многообразием задач, связанных с 16-й проблемой Гильберта.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

на семинаре кафедры теории динамических систем механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством академика РАН Д. В. Аносова — неоднократно, с 2006 по 2008 год;

на семинаре «Динамические системы» механико-математического
факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством д. ф.-
м. н., профессора Ю. С. Ильяшенко — неоднократно, с 2005 по
2009 год;

на семинаре кафедры математики факультета математики и компьютерных наук института им. X. Вайцмана под руководством профессора СЮ. Яковенко в 2008 г.;

на семинаре отдела дифференциальных уравнений математического института им. В. А. Стеклова РАН под руководством академика РАН Д. В. Аносова, д. ф.-м. н., профессора Ю. С. Ильяшенко в 2009 г.;

на международной конференции «Дифференциальные уравнения
и смежные вопросы», посвященной памяти И. Г. Петровского
(г. Москва, 2007 г.);

на международной конференции «Pyapunov Memorial Conference» (г. Харьков, 2007 г.);

на Воронежской зимней математической школе С. Г. Крейна —
2008 (г. Воронеж, 2008 г.);

на международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвященной 100-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (г. Москва, 2008 г.);

на девятой Крымской международной математической школе
«Метод функций Ляпунова и его приложения» (г. Алушта,
2008 г.)

на седьмой молодёжной научной школе-конференции «Лобачев-

ские чтения — 2008» (г. Казань, 2008 г.);

на Добрушинской международной конференции (г. Москва, 2009 г.);

на второй международной научной конференции «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения» (г. Минск, 2009 г.);

на Украинском математическом конгрессе — 2009, посвященном столетнему юбилею Н. Н. Боголюбова (г. Киев, 2009 г.);

на международной школе-конференции «International School and Conference on Foliations, Dynamical Systems, Singularity Theory and Perverse Sheaves» (г. Самарканд, 2009 г.)

на международной конференции «Topology, Geometry and Dynamics: Rokhlin Memorial» (г. Санкт-Петербург, 2010 г.);

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях (одна из списка ВАК) и в 9 тезисах конференций. Полный список приведён в конце автореферата.

Структура работы. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 23 наименования. Общий объем диссертации — 62 страницы.

Свойства С-многочленов и унитарных С-многочленов

Здесь и далее BR обозначает круг с центром в начале координат и радиусом R. Рис. 1. Фазовый портрет уравнения Льенара чётной степени внутри круга BR. Мы применяем теорему о нулях и росте для оценки числа предельных циклов уравнений внутри круга Дя, см. рис. 1. Без ограничения общности можно считать, что многочлен F, задающий уравнения Льенара чётной степени п имеет вид: Введение Единственная особая точка системы (1) (начало координат) будет фокусом по линейным членам при 0 ai 2. Именно в случае фокуса поведение решений в окрестности особенности легко контролируется, что позволяет оценить рост отображения Пуанкаре. Основной результат главы 1 заключается в следующей верхней оценке на число предельных циклов. Теорема 0.4 (Г. К., 2009 [15], [16]). Число L(n,C,abR) предельных циклов уравнения Льенара (1) чётной степени п в случае, когда С 4 и 0 \а\\ 2, допускает следующую верхнюю оценку: Т1 „ „ч / /38400С4п2Яп+1(Я + 2)п+1 _іб«_ L(n, С, аъ R) ехр ехр fll3(2 . ai)2 eHei1 Перейдём теперь к обобщённым уравнениям Льенара. Обозначим через 1(х) компоненту рациональной кривой, за G(x) данной уравнением у = xrr-k, содержащую начало координат (т.е. вертикальную изоклину, проходящую через ноль). Рис. 2. Отсутствие предельных циклов у системы (2) в случае Н(0) 0. Без ограничения общности можно считать, что в системе (2) выполнено: Я(0) 0. Действительно, если Н(0) 0, то у системы (2) нет предельных циклов. См. рис. 2. Введение 15 Уравнения нечётного типа выделяются следующим требованием: множество значений функции 1(х) должно быть всей осью ОУ. Неформально говоря это означает, что положительная и отрицательная ветви вертикальной изоклины «уходят на разные бесконечности». В противном случае говорят, что система (2) чётного типа. Геометрическое различие между чётным и нечётным типом можно пояснить ещё и следующим образом — для уравнений нечётного типа предельных циклов большой амплитуды не существует, а у чётного типа они есть, но никаких оценок на их число (аналогичных результату Кауберг и Дюмортье) не существует. Основной результат главы 2 заключается в следующей верхней оценке на число предельных циклов. п-2 Теорема 0.5 (Г. К., 2008 [17]). Пусть G{x) = xn l + ajXj, п-1 Н(х) = Y , bjxJ - Предположим, что все коэффициенты CLJ и bj не превосходят по модулю некоторой константы С 100. Наложим на систему (2) следующее условие общности по-лоэ/сения: многочлены G(x) и Н(х) не имеют общих нулей на R. (11) Тогда для системы (2) нечётного типа при условии (11) существует полоса П = {(ж, у) Є М2ж_ х ж+} (здесь х- и х+ строятся явно по многочленам Fix) и Н(х), подробнее см. ниже), содержащая все предельные циклы системы (2), в которой многочлен Н{х) отделён от нуля некоторой константой в Є (0, ): Vrr Є [х-,х+] : Н(х) в. Введение 16 Обозначим через #LC(n, С, в) число предельных циклов системы (2) нечётного типа, на которую налооюено условие (11). Тогда имеет место оценка: Отрезок [х-, х+] определяется по-разному в следующих четырёх случаях, потому что для системы (2) нечётного типа при условии (11) существует ровно 4 принципиально различных типа глобальной геометрии: 1. Многочлен Н(х) не имеет вещественных корней и п — нечётно. 2. Все корни многочлена Н(х) отрицательны. 3. Все корни многочлена Н(х) положительны и п — нечётно. 4. Многочлен Н(х) имеет как положительные, так и отрицательные корпи. Пусть г_ - наибольший из отрицательных корней многочлена Н{х), а г+ - наименьший из его положительных корней. Тогда требование нечётности типа влечёт следующие неравенства на G: G{rJ) 0 в случае 2, G(r+) 0 в случае 3, G(rJ) и G(r+) разных знаков в случае 4. Отрезок [ж_,ж+] определяется следующим образом. Положим _ = max(2Cr_n,2n+1C), S+ = max(2Cr,2п+1С). Тогда ж_ — это самый левый корень уравнения /(ж) = S- на отрезке [г_, 0] в случаях 2 и 4, а х+ — это самый правый корень уравнения \I(x)\ = S+ на отрезке [0,г+,] в случаях 3 и 4. В случаях 1 и 2: х+ = 16С2, в случаях 1 и 3: ж_ = — 16С2. Введение Фазовые портреты обобщённых уравнений Льенара (как нечётного, так и чётного типов) изображены на рис. 3-5.

Продолжение отображения Пуанкаре в комплексную область

Теорема 0.1 использует ширину є комплексной окрестности U(D), в которую аналитически продолжается (обратное) отображение Пуанкаре.

Для оценки є снизу мы применим теорему 0.2, но перед этим мы проведём некоторые предварительные вычисления, необходимые для применения этой теоремы. Лемма 1.5. Пусть v — это векторное поле, заданное системой (1). Тогда /л и L из теоремы 0.2 допускают следующие оценки: (j, 3(R + 2)n L 6(R + 2)n. (1.15) Доказательство. По определению, U2(Q) С BR+2- Поэтому \v\ \х\ + \у\ \х\ + \у\ + \F(x)\ 2{R + 2) + 2(R + 2)n, где последнее неравенство обеспечивается (1.7). Следовательно, /і 2(Я + 2+(Я + 2)п) 3(Д + 2)n, L = 2fi 6{R + 2)п, что завершает доказательство леммы. П Пусть G = BR\ Ва. Тогда П = \J ( л ) С G. xGD Глава 1. Предельные циклы уравнений Льенара чётной степени в случае фокуса 26 Лемма 1.6. Обозначим через 7У дугу фу,р-і(у) фазовой траектории системы (1), где у Є D. Тогда t(y) — время прохождения по дуге 7у — оценивается следующим образом: Ттах = тах%) . (1.16) yeD а Доказательство. Дуги jy, у Є D принадлежат G. Мы разделим G на две области: ж а и х\ а, а малое а мы выберем ниже. Вторая область содержит две части jy: в одной х —а, а в другой х а. Время прохождения по любой из них не превосходит —. В следующем предложении мы выберем а настолько малым, что в криволинейной полосе Sa = {(x,y)eG:\y-F(x)\ ay орбиты системы (1) проводят времени не больше, чем 1. Предложение 1.1. Пусть W ЗС" а 2Cn2Rn 1 6C2n2Rn 1 [ } Тогда время прохождения по любой дуге траектории системы (1); не покидающей Sa, не превосходит 1. Доказательство. В виду соображений симметрии достаточно показать, что в 5J = Sa П {х 0} выполнено: jt{v - F(x)) -2а. Докажем вначале, что в Sa мы имеем: ж си. В самом деле, пусть ж и, \y—F(x)\ а. Тогда (ж, у) Є Da. Действительно, \х\ + \у\ to + a + max F(a;). [0,ш] Глава 1. Предельные циклы уравнений Льенара чётной степени в случае фокуса 27 По (1.17), a ш \. По (1.10), \F{x)\ 2Си . Следовательно, для х Є [0,CJ], \х\ + \у\ (2С + 2)CJ ЗСш = о-. По (1.9), \F (x)\ Cn2Rn-1 в G. Поэтому для х, т.ч. (х,у) Є 5+ мы имеем: х со, и -{y-F(x)) = -3:- )(2/- )) -w + aCn2 -1 -2а, 6J о; Т"К" a = 2Cn2Rn 1 " 20 +2- П Завершим теперь доказательство леммы 1.6. Дуга 7У проводит в Sa времени не больше, чем 2 (два пролёта насквозь, каждое по времени не больше 1 по предыдущему предложению); в G \ Sa проводит времени не больше, чем — (два пролёта насквозь, одно слева направо, другое — наоборот при \х\ а). Следовательно, 4Д 6(72В"-1 2bC2n2Rn -L max - Іа а Это вычисление завершает доказательство леммы 1.6. Замечание 1.4. Тоже самое неравенство останется верным, если Ттах заменить на Tmax + 1. Проверим последнее условие теоремы 0.2. Лемма 1.7. Положим ( mC2n2Rn{R + 2)n\ _ г л г- . 10. е = ехр( — J, 5 = л/є, X = VS. (1.18) Пусть, как и в теореме 0.2, Us = U5(0) х UX(D ) С С2. Тогда в U5: VI /л. Глава 1. Предельные циклы уравнений Льенара чётной степени в случае фокуса 28 Доказательство. По (1.10) и по определению Щ, \vi(z)\ \\zi\ - F(z)\ {ст-\)- 2CS 6, здесь последнее неравенство очевидно верно. С другой сторо 1 \1. 2й VI ны, V2 = —х. В П 5, 21 5. Следовательно, Лемма 1.8. Обратное отображение Пуанкаре уравнения Лье 300С2п2Дп(Д+2)п нара (1) продолжается в Ue(D) с С, где є = е Более того, P ilJ D)) С 1 (27) Доказательство. Эта лемма следует из теоремы 0.2. Леммы 1.5 и 1.7 проверяют условия 8 и 10 соответственно. Нам остаётся только проверить условие 9. По замечанию 1.4, Г 25с2"2дп. Следовательно,

Глобальная геометрия обобщённых уравнений Льенара

На отрезке и = —а, \v\ у/а и на дуге параболы и — — v2, v у/а проводятся полностью аналогичные рассуждения. Из положительности вычисленных производных следует, что векторное поле на границе областей направлено наружу Лем ма доказана. Замечание 2.3. Если и — четно, то DQ остаётся выталкивающей окрестностью бесконечности, a D становится поглощающей (выталкивающей в обратном времени). Для доказательства основной теоремы нашей работы (теорема 0.5) необходимо вначале построить фазовые портреты для каждого из случаев 1 — 4 по-отдельности. В случае обычных уравнений Льенара ключевым для изучения глобальной геометрии является исследование поведения траекторий вблизи бесконечности, проделанное в позапрошлом параграфе. Оказывается, что для обобщённых уравнений Льенара ещё необходимо изучить расположение нулей многочлена Н(х). Грубо говоря, если на луче (0, +оо) (или (—оо, 0)) многочлен Н(х) обращается в ноль, то область DQ (соответственно DQ) не играет никакой роли при локализации предельных циклов. Мы разберём все случаи (наличия и расположения нулей многочлена Н(х)). Глобальное поведение траекторий системы (2) существенно различается в зависимости от некоторых дополнительных условий (см. теорему 0.5). Далее мы разберём все те случаи, о которых там идёт речь. Но сначала исследуем простую ситуацию, в которой предельных циклов нет вовсе. Теорема 2.1. У системы (2) в случае Н(0) 0 предельных циклов нет. Замечание 2.4. Если Н(0) — 0, то у системы (2) прямая особых точек {х = 0}, а значит, предельных циклов нет. Доказательство теоремы 2.1. Пусть Н(0) 0, т.е. Н(0) 0. Напомним, что мы обозначили через 1(х) компоненту рациональной кривой, заданной уравнением у = ж- й-, содержащую точку (0,0). Эта кривая будет вертикальной изоклиной системы (2), см. рис. 2. Обозначим через 1+(х) часть кривой 1(х), лежащую в полуплоскости х 0. На 1+(х) векторное поле, заданное системой (2) направлено вертикально вниз: х = 0, у = —х 0. Глава 2. Предельные циклы обобщённых уравнений Льенара нечётного типа 37 Пусть 7(у) ось 0Y с координатой у на ней, 7-(У) — луч на оси ОУ, заданный неравенством у 0. Тогда кривая 7(у) — тоже изоклина (горизонтальная) системы (2). На луче 7-{у) векторное поле направлено горизонтально вправо: у = 0, х = уН(0) 0, т.к. у 0 и Я(0) 0. Рассмотрим область, ограниченную кривыми 1+(х) и 7-(2/): векторное поле на всех точках границы (за исключением нача ла координат) направлено внутрь, но любой предельный цикл системы (2) (если он существует) охватывает начало коорди нат, следовательно, проходит через рассматриваемую область, что невозможно. Далее нам понадобится утверждение, связывающее поведение изоклин при приближении к нулям многочлена Н(х) со знаком значений многочлена G(x) на этих нулях. Лемма 2.2 (О согласованности). 1. Пусть Г- 0 таково, что H{rJ) = 0 и Н{х) 0 на интервале (г_, 0). Тогда: lim 1{х) = — signG(r_) со. х— г_+0 2. Пусть г+ 0 таково, что Н(г+) = 0 и Н(х) 0 на интервале (0,г+). Тогда: Ит /(ж) = sign G(r+) - со. Ж— 7 4-—0 Доказательство. Действительно, lim Я(ж) = lim Я(ж) = +0, ж- г_+0 ж г+-0 Глава 2. Предельные циклы обобщённых уравнений Льенара нечётного типа 38 a Vc Є R : lim xG(x) = cG(c) из непрерывности многочлена. Ж—»С Осталось отметить, что G(rJ) ф 0 ф G(r+) в рассматриваемых нами случаях 2 — 4 из теоремы 0.5. Случай 2. Напомним, что Я(0) 0, Н(х) обращается в 0 только слева от нуля, а г_ 0 таково, Я(г_) = 0 и \/ж Є (г_, +со): Я(ж) 0. Заметим, что на прямой х = г_ векторное поле постоянно: ж = —r_G(r_), у — —г_. Оно направлено вправо или влево в зависимости от знака G(rJ). Такрім образом, все предельные циклы системы (2) локализуются в области, ограниченной прямой х = г_ слева и областью DQ справа. См. рис. 4. Случай 3. Напомним, что Н(0) 0, Н(х) обращается в 0 только справа от нуля, а г+ 0 таково, что H(r+) = 0 и Ух G (-оо3г+): Н(х) 0. Аналогично случаю 2, все предельные циклы системы (2) локализуются в области, ограниченной прямой х — г+ справа и областью DQ слева. Случай 4. Напомним, Н(0) 0, Н(х) обращается в 0 слева и справа от нуля, а г_ 0 г+ таковы, что Н(г-) = 0 = Н(г+) и Ух Є (r_,r+): Я(ж) 0. Как и в случаях 2 и 3, на прямых х = г_ и х — г+ векторное поле постоянно (и отлично от нуля), а потому все предельные циклы системы (2) заключены в полосе г_ х г+. См. рис. 5. Случай 1. Напомним, что многочлен Я (ж) положителен на всей числовой оси. Все предельные циклы системы (2) локализуются в области, ограниченной областью D слева и областью Dj справа. См. рис. 3. Замечание 2.5. В случае 1 нечётный тип означает в точности Глава 2. Предельные циклы обобщённых уравнений Льенара нечётного типа 39 то, что число n = degxG(x) нечётно. Определение 2.1. Мешком Бендиксона называют множество, ограниченное куском траектории векторного поля v и отрезком трансверсали к этому полю, на котором векторное поле направлено внутрь. Так что получается, что все остальные траектории векторного поля либо не пересекаются с мешком, либо, попав туда единожды, остаются в нём навсегда.

Как мы увидим в следующем параграфе, именно для обобщённых уравнений Льенара нечётного типа удаётся построить оснащённый мешок Бендиксона, схожий с конструкцией для (обычных) уравнений Льенара нечётной степени (см. [13]).

Построение оснащённого мешка Бендиксона для обобщённых уравнений Льенара нечётного типа

Оценим второе слагаемое в сумме (2.17). Ввиду (1.5): xG(x) —к. Также —уН(х) \к, т.к. по условию у —/ и Н(х) 9. Поэтому xG(x) - уН(х) .

Ввиду (1.1): \Н(х)\ 2С\х\п 1. Следовательно, при хЄ [2.2С + 2]: К J - {к/2)2 Таким образом, если х Є [2, 2С + 2], то при С 64, п 3: а{х, уо) / --rxndx = r2C+2 J2C+2 8С ( 2n+l (2С + 2)п+1\ 2П+4С J2C ._ 1С + 2)"+1 _ 2"+4С (л w v +i n+i ; (n+i)/c2 _/clG+ljj \ (2-19) Чтобы доказать последнее неравенство в (2.19), мы воспользуемся следующей цепью рассуждений: 2П+4С(С +1) _1 2П+Ъ (С + 1)71-1 {п + 1)к 2 п + \- С пп+5 = — (с +1)""2, что легко доказать индукцией по n, п 3. Оценим третье слагаемое в сумме (2.17). В рассматриваемом случае (ж Є [0,2]), как и в предыдущем, выполнено: xG{x)-yH{x) . Ввиду (1.2): \Н(х)\ С2П. Следовательно, С2П a{x yo)-jkJWx Глава 2. Предельные циклы обобщённых уравнений Льенара нечётного типа 49 Таким образом, если х Є [0, 2], то при С 12, п 3: /О / 0 д/1 on+2/ f і j[ «(х, г/о) У -рГх&с = -1F- -2 --. (2.20) Неравенство (2.20) эквивалентно: п 2П+3С 1 о7 /С + 1\п(С+1) v -І6 2 (,-Г-; С І28 (С+І) Нам удалось доказать, что /(0,2/0) 4-15- = - - 2- П Замечание 2.9. В случае 2 оценка следствия 2.1 выполнена из совершенно аналогичных соображений. Ну, а случай 3 в свою очередь полностью аналогичен случаю 2. Получим аналогичную оценку в случае 4. Предложение 2.3. Пусть у\(х) и у2{х) — решения уравнения (2.15); соответствующие системе (2); удовлетворяющей условию (2.12). Пусть yj(x+) —1/; j = 1,2. Тогда \У№-У2(0)\ \\УІ(Х+)-У2(Х+)\. Следствие 2.2. Для системы (2), удовлетворяющей условию (2.12) выполнено р = d(D,dD ) . Доказательство. Пусть у — yi(x), у = У2(х) — орбиты системы (2), проходящие через А = (х+,—21) и А = (ж+,—Z), рассматриваемые на [0,ж+]. Тогда уі(х+) = —2/, 3/2(24-) = По предложению 2.3, - Y2 = 2/2(0) - 2/х(0) і(2/2(жо) - 2/i( o)) { = w П Глава 2. Предельные циклы обобщённых уравнений Льенара нечётного типа 50 Доказательство предложения 2.3. Пусть у(х,уо) — решение уравнения (2.15) с начальными условиями у(хо,уо) = уо- Рассмотрим уравнение в вариациях по начальным условиям (2.16). Решение у(х,уо) системы (2.15) монотонно растёт на [0, ж+], если уо —I. Это доказывается также, как в предложении 2.2. Следовательно, в (2.16): у = у(х,уо) —I при х Є [0,ж+]. Доказательство того, что 1(0,уо) —log2, если уо — « проводится полностью аналогично доказательству предложе ния 2.2. Необходимо отметить только то, что во-первых, ес ли х+ /2, то отрезок интегрирования уменьшается, а тогда значение 1(0, уо) возрастает, во-вторых, если х+ /2, то это влияет только на первое слагаемое в сумме (2.17), но неравен ство (2.18) верно при сколь угодно больших х+. Обозначим через 7У дугу фазовой кривой системы (2), (2.14), проходящую в обратном времени от у к Р 1(у), у Є D. Положим: Предложение 2.4. Область Г2 при условии (2.14) принадле-оюит прямоугольнику П = Т х Е, Т С Ох, Е С Оу = Г, Е = {м := 17 } , Т = { X := 68С (2.21) Доказательство. Максимальное значение #(?/) координаты ж на 7У достигается в точке а(у) пересечения jy и /(ж) в правой полуплоскости: %) = { ), )g}. Глава 2. Предельные циклы обобщённых уравнений Льенара нечётного типа 51 Мы хотим доказать, что х(у) X. Вследствие замечания после леммы 2.3, точка а(у) ниже, чем Y. Поэтому, х[у)нш) - у Предположим, что х 2С+1, иначе предложение доказано. Тогда, ввиду (1.8): \x(y)G(x{y))\ \хп{у). По (1.1): \Н(х)\ 2Схп 1. Следовательно, У Х(у)тт) , (л пХ (У) Н(х(у)) 2 "J 2Сх"-\у) Оценка х(у) —X на jy получается полностью аналогично из соображений симметрии.

Похожие диссертации на Предельные циклы уравнений Льенара

Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений и оптимизация ветвей бифурцирующих цикловДжасим Махмуд Дия

Исследование предельных циклов двумерных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравненийАтаманов Петр Степанович

Фредгольмовы уравнения с круговой симметрией и резонансные бифуркации цикловКарпова Антонина Петровна