Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Система типа Брио-Буке
1.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения Брио-Буке. 21
1.2. Уравнения типа Брио-Буке. 22
1.3. Критерий обобщенной-однородности функций . 22
1.4. Некоторые свойства обобщенно-однородных форм. 27
1.5. О гомеоморфизме системы дифференциальных уравнение. 30
Глава 2 Обобщенно-однородные системы
2.1. Особенные случаи в обобщенно-однородных системах. 34
2.2. Об устойчивости систем типа Брио-Буке. 38
2.3. О свойствах обобщенно-однородной функции переменного класса. 40
2.4. О обобщенно-однородной функции переменного класса. 48
2.5. Системы Брио-Буке . 51
2.6. Связь между обобщенно-однородными системами и системами типа Брио-Буке. 53
2.7. Критерий асимптотической устойчивости нулевого решения системы.
2.8. Приложений. 65
Глава 3 Поведение траекторий обобщённо-однородних систем и близких к ним
3.1 Классификация особых точек. 71
3.2 Классификация типологически устойчивых точек . 73
3.3 Потенциальны системы. 74
3.4 Поведение траекторий системы и их грубость. 79
3.5 Частный случай и пример. 85
Литература
- Критерий обобщенной-однородности функций
- Некоторые свойства обобщенно-однородных форм.
- Системы Брио-Буке
- Классификация типологически устойчивых точек
Критерий обобщенной-однородности функций
Уравнения вида хту =f(x,y), (1.1) где ж —целое, положительное число, функция / аналитическая при х = у = 0; /у (0,0) Ф 0,/(0,0) = 0. В [1] показано, что уравнение вида a(z,w)w = P(z,w), где а (0,0) = /5(0,0) = 0 и а и /? аналитические в начале, с помощью специальных локальных замен переменных может быть сведено к некоторому числу уравнений вида (1.1). Уравнение (1.1) всегда (кроме случаев ж = 1,/у (0,0) есть натуральное число) единственное решение в виде формального степенного ряда у = (х) = х + f2x2 + f3 3 + -, (1-2) Который сходится для достаточно малых х , если ттг = 1 , и может расходится для всех х Ф 0, если ттг 1. Пусть в (1.1) / = /b(x) + /i( )y Тогда для сходимости ряда (1.2) необходимо и достаточно выполнения т — 1 условий на коэффициенты рядов Тейлора функций /0 и/ь причем в эти условия входят все коэффициенты, так что наличие или отсутствие аналитического решения у — f С 0 уравнения (1.1) не может быть определено ни по какому конечному отрезку ряда Тейлора функции /. Поэтому иногда Брио-Буке уравнением называется уравнение (1.1) ст 1.
1.2. Уравнение типа Брио-Буке.
Уравнение xm = fs(x,y1,...,yn) (1.3) s = 1,п, где т 1 — рациональна число J(0,0) ф 0 — матрица Якоби, f(x,0, ...,0) -единственное обращенное в нуль. Мы будем исследовать (1.3) систему типа Брио-Буке и рассмотреть случай, когда правые части (1.3) станут обобщенно-однородными функциями. Определение 1.1. Вещественную вектор-функцию f{x), определенную и непрерывную в области Dcn, будем называть обобщенно-однородной порядка р = — класса матрицы Л(х, с), где с Є (-1 - Ъ,\ + Ь), Ъ 0 если выполнено соотношение fiz) = cPJiz,x)fix), (1.4) где z = Aix, с)х; J(z, х) матрица Якоби, c = (piz). (1.5)
1.3. Критерий обобщённой-однородности функций
Теорема 1.1. Для того чтобы вектор-функция fix), определенная и непрерывно дифференцируемая в 0, была обобщенно однородной порядка р класса заданной матрицы А(х, с) необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла системе уравнений в частных производных Q(f,x) p(x) = [pE + 3((p,x)]f(x), (1.6) где Е —единичная матрица, 11—11 j(/,x) = \\Щ\, 3( р,х) Ш ахЛ р(х) = colonicp x), ...,(рп(х)], f(x) = colonif x), ...,/„( )] Доказательство. Необходимость. Пусть вектор-функция f{x) обобщенно-однородная порядка р класса матрицы А(х,с). Тогда по определению 1.1. справедливо равенство (1.6). Дифференцируя его по параметру с имеем: ІІМШ 1 = рсР-1 \\р\\ /(х) + СР - /( ). (1.7) uZi dc \\охЛ\ \\uXiOc\\ Учитывая равенство (1.5), имеем: дх}дс дх{ Тогда равенство (1.7) перепишется в виде: 3 J(x),z)j = рср г 3{z,x)f{x) + 3{ p(z),x)f{x). (1.8)
Умножая обе части равенства (1.8) на с, воспользовавшись соотношениями (1.5) и (1.4), получим 3{f{z),z)(p{z) = Vf{z) + с 3( p(z),x)f(x). (1.9) Из условия А(х, 1) = Е , наложенного на матрицу f{x, с), следует, что Zi\c=i = ЧЛ = 1,2,,...п. Тогда, положив в равенстве (1.9) с = 1, получим требуемое (1.6). Достаточность. Пусть задано уравнение (1.6). Покажем, что тогда вектор-функция f(x) является обобщенно-однородной порядка р класса матрицы А(х, с), т.е. выполняется соответственно (1.4). Для этого перепишем равенство (1.8) в виде 3{f(z),z)(p{z) - pf(z) - с Q( p(z),z)f(z) = О (1.10) Зафиксируем вектор х и введем в рассмотрение новую неизвестную вектор-функцию гр(х, с) = colonic, с),...,грп(х, с)] по формуле ф(х, с) = f{z) - с? J(z, х)/(х). (1.11) Дифференцируя равенство (1.11) по параметру с, затем умножив обе части на с, получим следующую систему дифференциальных уравнений для вектор-функции if (х, с): с = 3{f(z), z)cp{z) - vcv 3{z, с)f{x) - с? 3{(p(z), z)J{z, x)f{x). Учитывая равенства (1.10) и (1.11) последнее перепишется в виде с = рф(х с) + 3((p(z), z)ip{x, с). (1.12) Выберем начальные условия для (1.12): т//(х, 1) = 0. (1-13)
В силу теоремы единственности линейная задача Коши (1.12) и (1.13) имеет единственное нулевое решение гр(х, с) = 0. С другой стороны, решением задачи Коши (1.12), (1.13) является вектор-функция, определенная формулой (1.11).
Некоторые свойства обобщенно-однородных форм.
Доказательство теоремы проводится с помощью функции Ляпунова n У(Уі,-,Уп)= У ацУіУ), где симметричная матрица \\cLij\\ , имеет положительные собственные значения. Для системы (2.10) функций Ляпунова, удовлетворяющей условиям теоремы об асимптотической устойчивости (упрощённо), является (стр.223, Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, 1965г.) п V = \у2, і) К(Уі,...,у„) 0, К(0,...,0) = 0 t=i п 2) Г = 2УУІГ -Р 0 t=i Отсюда следует асимптотическая устойчивость. Следствие 2.4. Если система (2.1) «треугольная» / (х1( ...,х{) 0, то решение yt(t) = 0, і = 1,2, ...,п соответствующей системы (2.10) асимптотически устойчиво [6, Шестаков]. 2.2. Об устойчивости систем типа Брио-Бука. Пусть мы имеем систему вида Tm = gi{zll...,zn)li = ll...lnl (2.11) где ж 1 —натуральное число аналитические функции дь і = 1,.., п такие, что 0І(О,...,О) = 0, i = l,...,n, 0, = 1,…,. -(1,…,), = 1,…,. (2.12) Пусть = 1. Осуществим преобразование = -. Система (2.1) будет вида Имеет место Теорема 2.4 [7]. Если существует обобщенно-однородная функция Ф(1,…,) порядка класса матрицы (,) [7], обращающаяся в нуль только в начале координат, то нулевое решение системы (2.12) асимптотически устойчиво при 0 и асимптотически неустойчиво при 0.
Доказательство. Возьмём за функцию Ляпунова (1,…,)= 1 Ф2(1,…,). (2.13) Так как Ф(1, …,) - обобщённо-однородная функция порядка класса матрицы (, ) [7], то имеет место равенство (1,…,) Ф = Ф(1,…,). (2.14) =1 Тогда полная производная функции Ляпунова (2.13) в силу системы (2.12), имеет вид: = Ф Ф = -Ф(1,…,) Ф = -Ф2. =1 =1 Таким образом при 0 — 0,при 0 — 0. Следовательно, определенно отрицательно (положительно), то нулевое решение асимптотически устойчиво (асимптотически неустойчиво). 2.3. О свойствах обобщённо-однородной функции переменного класса. Рассмотрим систему = f{x{t)), (2.15) где х = ( !, ...,хп), / = (Д, ...,/п)непрерывно-дифференцируемые функции в области Oq, ...д„)еС, обобщенно-однородные порядка р класса матрицы Л(х,с), причём /І(0,...,0) = 0,І = 1,...,П, т.е. 0(0, ...,0)- единственная особая точка [8]. Правая часть (2.15) удовлетворяет соотношению f(z) = T Q(z,x)f(x), (2.16) где z = Л(х,т)х -непрерывно-дифференцируема по х Є G и по параметру т Є (а,Ь), J(z,x) -матрица Якоби. Будем считать, что 1 Є (a,b), А(х, 1) = Е- единичная матрица и А(х,т) определяет дифференциальное уравнение т = (р(г), (2.17) где р(0) = 0.
Отметим некоторые свойства функций, удовлетворяющих соотношению (2.16). 1. Для того, чтобы функция f(x), определённая и непрерывно дифференцируемая в G, была обобщённо-однородной порядка р класса матрицы А(х, т), необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла уравнению 0{f,x)(p{x) = [рЕ + J( p,x)]/(x), (2.18) где 3{f,x),3{(p,x) -матрицы Якоби, Е -единичная матрица. 2. Функция ср(х) является обобщённо-однородной нулевого порядка класса матрицы А(х, т). 3. Семейство (Л(т)} образует однопараметрическую группу преобразований пространства йп, а в общем случае имеет место АІАІх х,т Аіх,т х = Аіх,т х. (2.19) 4. Если /(х), РО) к -раз непрерывно дифференцируемы в G, то имеет место Ш. )] ( ) = [РЕ + J О, )]kf ( ) (2.20) Если к 2, то OQJif, х) р, х) р = [р2Е + 2pJ( p, х) + Q(Q( p, х) р, х)]/(х). 5. Если /(І)ДЕГ и g(y),yERk обобщённо-однородные функции соответственно порядков р и q классов А(х, т) и В (у, т), то F(x, у) = /(х) + д(у), {х,у) Є Дт X Rk есть обобщённо-однородная функция порядка г = [р, q], где г —наименьшее общее кратное чисел р и q класса матрицы М(х,У,г) = т) 5. 6. Если () -обобщённо-однородная функция класса матрицы (, ), каждый элемент матрицы Якоби (,) также является обобщённо-однородной функцией того же класса. 7. Если ()-обобщённо-однородная вектор-функция порядка класса матрицы (, ) , удовлетворяющая равенству (2.18), то существует вектор-функция () такая, что () = ()(), (2.21) где () = (). Справедливость свойств 1-7 следует из соотношений (2.16) и (2.18) путём осуществления некоторых математических выкладок. Как известно [6], решения системы (2.15) при 0, вообще говоря, не являются показательными функциями. В случае = 0 система (2.15) может иметь решение в виде показательных функций. Положим в (2.16) = 0. Уравнение вида () = (), (2.22) где - параметр, назовем определяющим. Если = - вещественное решение (2.22), то система (2.15) имеет специальное решение = (,), (2.23) которое является +(-) -кривой при 0 ( 0). Здесь следует отметить, что если система (2.15) линейная, то правые части её будут удовлетворять соотношению (2.16) при = 0, но обратное неверно.
Системы Брио-Буке
Матрица линейной части системы (2.53), соответствующая вещественным решениям определяющих уравнений (2.52), имеет характеристическое число, равное числу р.
Замечание. Из теоремы (2.53) следует, что при п = 3 все три характеристических числа матрицы линейной части системы (2.53) будут известны.
Для доказательства теоремы 2.14 достаточно ее доказать для одной подсистемы системы (2.53). Например, матрица линейной части первой подсистемы системы (2.53) имеет вид: -pz -qi-1- Pfijiwi,..., wn), (2.54) где і = fy_i + (2it - 1), j = 1,..., п. Данной подсистеме соответствуют первые определяющие уравнения из (2.52), т.е. PiWt + qtwi+1 + wi+2 + pfi(wlt..., wn) = 0. (2.55) Эти определяющие уравнения имеют вид: P/q_1 + (24-l) + P/fci-i + CZii-l) = 0- (2-56) (pkv+Ys-i+is + Pfkv+Ys+is = где P/q_1 + (24-l) = РіХкі_іН2ц-1) + qiXkl_1+2it + /сг_1 + (2іг-1 Ркг-г+гц = PiXk +24 - ЧіХкі_іН2ц-і) + хкі_іН2ц-і) (2-57) (pky+Ys+is = Pv+sXky+Ys+is + Xkv+Ys-i+is+l Из 3 j, x)g(x) = [pE + 0{g, x)]f{x) в данном случае следует n n Y x1,...,xJ = p/i(x1,...,xJ+Y /;(x1,...,xn). (2.58) OXi OX/ ; =1 J j=l J Положив в (2.58) xk = wk к = 1,..., n и учитывая (2.55) и (2.57), получим n У (PIWJ + QiWj+1 + wj+2(-pfij - Pi - qi 1 - рбу)) = 0, j=i где Stj - символ Кронекера. Так как не все (pt = piWt + qiWi+1 + wi+2 равны нулю, то det\\-pfij -pt-qt-1- pSij\\ = 0. (2.59) Но (2.59) существует характеристическое уравнение матрицы (2.54), следовательно, Я = р есть её характеристическое число.
Теорема 2.15. Если число р - чётное, а число pjtj = 1, ...\i + v, нечётные и ж характеристических чисел матрицы линейной части системы (2.53) имеют положительную вещественную часть, то вдоль каждой кривой, определенной формулами (2.51) при хк = ±wk, к = 1,...,п, в особую точку О системы (2.50) входит семейство размерности «т» О —кривых и для этого семейства имеют место асимптотические формулы: Vl-R Vl-R tlimzfei_i+(2irl) (t)(c0 + t)P p = tlim zkl_i+2il (t)(c0 + t)P p = 0, 1 = l,...,v; p 0 и Pv+5 limzfev+ys+is(t)(c0 + t) P [ln(c0 + t)] t + (_l)ms-is
Доказательство. Из (2.57) видно, что функция ц){{хъ ...,хп) линейны относительно х, следовательно, нечётны. Отсюда piJ(x1,...,xn) дх являются четными функциями. Положим в формулах (2.51) т = -1, тогда _1 + (2ч-1) т = _г Z ,-1 + 2i, т = _х = Z v+ -1+ , т = _г (-1)Рі ,_1 + (2іІ + і) (- )Plxkl_1+2il {-iy xky+Ys_i+is. (2.60) Из тех же формул (2.49) имеем dzt (-l)P при і = у, і = /,_! + (2ц - 1) = { (_i)Pv+s При і = у, і = fcv + 7s_1 + is (2.61) dz,- іт = — 1 ... ; 0 при і Ф j Так как z = А(т)х и — = Л(т), то очевидно равенство /(Z) = TPJ(Z,X)/(X), где г = Л(х,т)х, J(z,x) - матрица Якоби, можно переписать в виде n fi{zll...lzn)=T y fj{xll...lxn). (2.62) OXi j=l J Положим в равенстве 2.62 т = -1. Тогда, учитывая (2.60) и (2.61), получим Ж(-1)Рі і - (-1)Рпхп] = (-l)p+Pi/i( , ...,xn)
Откуда следует нечетность функций ft{xXl ...,хп). Отсюда следует, что если (w1,...,wn) является решением определяющих уравнений (2.56), то и (-w1,...,-wn) также является решением тех же уравнений (2.56). Это означает, что кривые, определенные формулами (2.47) при хк = ±wk , является 0+ —кривыми.
Очевидно, каждому специальному решению (2.47) соответствует своя характеристическая матрица. Но из выше приведенных рассуждений следует, что решение (2.47) как при хк = wk, так и при хк = —wk соответствует одна и та же матрица (2.54), т.е. характеристические числа, соответствующие этим решениям, одинаковы.
В самом деле, учитывая, что функции {хъ ..., „) и Pi(xlt ...,хп) нечётные из формулы (2.58)следует,что функции 7TL = fij(x1,...,xn) OXi чётные,откуда и следует наше утверждение. Таким образом, направления интегральных кривых системы Пуанкаре-Ляпунова (2.53), соответствующие характеристическим числам матрицы (2.54), одинаковы для векторов (w1;..4wn)и (-w1;..., -wn). Как указано выше, эти кривые являются 0+ —кривыми. Что размерность семейства этих 0+ —кривых равна т при выполнении условий теоремы, следует из уже известной теоремы 1[15, с. 111]. Итак, для системы Пуанкаре-Ляпунова при малых значениях параметров, т.е. при т - О существует семейство 0+ —кривых, зависящих от ж параметров и приближающихся к началу координат, а это значит, что вдоль каждой специальной кривой (2.51) системы (2.56) при t - +оо в начало координат семейства размерности т 0+ —кривых.
Покажем теперь справедливость асимптотических формул. Справедливость формул (2.60) очевидна. Покажем справедливость формул (2.61): Pv+s lim zkv+Ys_i+is(t)(c0 + t) v [ln(c0 + t)] -m = Js-is _Ev± " -ln(c0 + t)l = tlim (c0 + t) v P ( _n, wkv+ys_i+;s Pv+s
Очевидно, этот предел равен нулю при всеху 5 ф ms, ибо в этом случае все слагаемые суммы будут содержать множитель вида [ln(c0 + t)]a , где at 0. Если жеу 5 = ms, то в этом случае показатель степени множителя ln(c0 + t) будет равняться нулю. Тогда данный предел равен выражению \ms is \р) (_l)"is-is Наличие указанных асимптотических формул говорит о том, что кривые, определяемые формулами (2.47), имеют в начале координат определены касательные, т.е. эти кривые являются правильными О+— кривыми [15]. Теорема доказана. Отметим, что если р и все РІ (і = 1,..., /і + v) числа нечетные, то имеет место утверждение аналогичное теореме 2.15.
Классификация типологически устойчивых точек
Могут представиться различные случим в зависимости от чётности и нечётности степеней Xt. Например, если S = п и все степени нечётные и положительные, то dv V О и — О, и следовательно, все интегральные кривые параболические, если Kt нечётные и s n, то V = 0 многообразие, гомеоморфное n-1 мерной плоскости разбивающее пространство на две области в каждой и которые будут соответственно O+ и O" кривые и гиперболические кривые. Пример 3.2. Рассмотренные выше методом можно приложить к классическому случаю изучения системы п =Уаікхк + (рі{х1І...,хп) к=і Будем считать, что матрица А = \\аи\\ задано в жордановой форме, побочной диагонали стоят элементы малые и (х1(...,хп) 4.(1x1)1x1,4.(0) = 0,q.(p) - Оприр - 0 Если к корней имеет положительную действительную часть, а n+k -отрицательную, то функция Ляпунова-Красовского будет k п V = Yxf- Y xf t=i i=k+l и все положительного значении, то к у = Т xf І = 1 в первом случае особая точка будет гиперболическом седловок точка во втором случае -узлом .
Pkik\Xkik) непрерывные дифференцируемые функции, определенные для всех значений, xkik , а показатель степени у можно брать такой, чтобы при всех хкік функции (pYkik(xkik) принимала действительные значения. Функции ф3 (s=l,...,m) являются обобщенно-однородными класса матрицы [17] \\SisJsasisJs(Xsis C)\\ lS Js = l,.-.,Sn,C Є ("00,+00) (3.6) Прядка ps и имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам до второго порядке включительно в окрестности U(0) начала координат O(0,…,0) (щ,...,пт) — мерного евклидова пространства Е = Епг х Еп2 х Епт , где Ens (5 = і,...; m) _ ns _ мерное евклидова пространство, точек (х ,-.-,х 1(3.6) при с = Е становится единичной матрицей. Предпологается, что системы (3.4) и (3.5) имеют единственную особую точку в начале координат. Непрерывные функции Rkik(t,xllf хтПт ) такие, что Rkik(t,0,..,0 ) = 0, и через каждую точку окрестности U(0) проходит единственное решение системы (3.5). Для функций (3.6) имеет место обобщенные формулы Эйлера [18] ns У (Psis(xsis)T = ps0s,s = 1, ...,п (3.7) st=l Sls Где ф5 обладают свойством ( 5 = 1,..., п) ф5 Є ( psl(xsl), ..., sn(xsn);ps}. Определение 3.3. Траектория Lq системы ( 3.2 ), проходятся через точу q Є f/(0) при t = 0 называется параболической или лучом, если lim /(p,t) = 0 ( lim f(q,t) = 0), t +oo t- -oo и /( ? f) покидает область t/(0) соответвенно при некотором t 0 (t 0). Траектория Lq системы (3.4) называется гиперболической, если точка f(q, t) описывающая ее, покидает окрестность /(0) как при возрастании, так и при убывании t соответственно при некотором t± 0(t2 0). Траектория Lq системы (3.4) , вся лежащая в [/(0) называется эллиптической если lim f(q,t)= lim f(q,t) . t +oo t- -oo Точки окрестности f/(0), лежащие на параболических, на эллиптических и гиперболических траекториях называю параболическими, эллиптическими и гиперболическими точками соответственно.
Определение 3.4. Назовём систему (3.4) эллиптической, если она в окрестность и /(0) имеет эллиптических траекториям не имеет кроме них не особых траекторий, отличных от парабола.
Система (3.4) называют гиперболической, если в окрестности и [/(0) имеет гиперболические траекторим и не имеет кроме них и особой точки 0, траекторий, отличных от параболических.
Система (3.4) называют параболической, если она в окрестность и [/(0) все её траектории, кроме особой точка 0(0,… ,0), являются параболы. Теорема 3.2 [30] Если а) Фші {xkik)xkik 0 Для хкік Ф 0 и у 1, б) FlfcLi Фк TJli Vj 0 (соответствонно FlfcLi Фк Тф=і Pj 0) при m Пк k=lik=l в) bk 0 (к = 1,... ,т) соотственно Ьк(0) , то все траектории системы (3.4), кроме особой точки О, являются О- ( соответственно 0+)кривыми, т.е. система (3.4) параболическая по В.В. Немыцкому [18], [37-43]. Доказательство. Возьмём функцию Ляпунова m ns xsis V(xlll...,xmn) = yy f pl7Y(xsi)dxsi v j.j. / inn / / \ і S v лі/ лі LS О t5 s=l ts=l о (3.8) Которая в силу условия а) теоремы, положительно определенная . В силу (3.7) полная производная по t функции, рассматриваемой вдоль интегральных кривых системы (3.4), равно
Справедливость теоремы 3.1 следует из условий б) и в) теоремы, а также из [20] и [21], [44-49]. Теорема 3.3. Все траектории системы (3.5), кроме особой точки О(0,… ,0), являются О" (соответственно О+)- кривыми , если выполнена условия теоремы (3.2), а также т т ІІ ІІІ + ІІ 1"УІІІ 2 ФЛ рЛ, (3.9) s=l j=l Где т Щ R\\2H R2si (іИ)...Дтп ) S=lis=l (3.10) m Щ s=l is=l -может принимать значение нуль. (3.11) Доказательство. Теоремы 3.2 проводится с помощью той же функции Ляпунова (6), полная производная которой в силу системы (3.5) имеет вид т ns Щ = У У bs(p2r2Y dt LL Sls s=l is=l mm m ns m ns + П os у p. + У У pl;YRsi + У У м5і (з.і2) s=l ; = 1 s=lts=l s=lts=l Произведя некоторые оценки в (3.12), используя неравенства (3.10) и (3.11), можно показать, что (3.12) имеет определённые знак. Следствие.3.1. Все траектории потенциальный системы dxt дФ Где Ф Є { р1(х1),..., рп(хп),р} и рі(хі)хі 0,Xi= 0, кроме О(0,… ,0) являются параболическими , примыкающими к точке О при t - -оо (соответственно t - +оо) , если рФ, (соответственно рФ 0 ) при т У xf 0. І = 1 Теорема 3.4. Если а) Psi (xsi )xsi 0 для xsi О, б) s(xsJ 0 для xsis 0, в) і P; 0 (соответственно і P; 0 ), г) произведения т s=l -знакопеременно и его нуль многообразие (т.е. множество нулей) делим область U(0) на конечное число нормальных областей , то все не особые траектории системы (3.4) отличные от О-кривых, являются гиперболическими (соответственно эллиптическими)