Введение к работе
Актуальность темы. Нахождению точных решений нелинейных уравнений с частными производными посвящена обширная литература. Широко известна такие метода интегрирования как групповой анализ дифференциальных уравнений, метод обратной задачи рассеяния, метод дифференциальных связей и другие. Новые проблемы современных прикладных наук порождают огромное число новых математических моделей для исследования которых нужно знать как можно больше конкретных решений. Большой теоретический и практический интерес вызывает по* зк новых решений классических уравнений математической физики. С другой стороны, развитие численных методов решения слокішх нелинейных систем уравнений приводит к необходимости иметь достаточно богатый набор тестов.
В частности, весьма актуальны исследования, направленные на получение точных решений классических уравнений гидродинамики. Такие.работы позволяют продемонстрировать возможности новых методов и представляют несомненный теоретический интерес.
Настоящая работа выполнялась по программам СО РАН и приоритетным программам РАН, в рамках следующих тем:
Численное моделирование трансформации поверхностных волн и их взаимодействия с препятствиями (номер госрегистрации 0187.0 054086).
Математическое моделирование волновых движений однородной и стратифицированной жидкостей, в том числе динамики гращтационных волн в замкнутых и открытых водоемах; воздействия волн на берега,
закрепленные и плавающие объекты. Математическое моделирование гидротермических процессов (номер госрегистрации 01.9.20 0IS43O).
Цель работы. Разработать методы, позволяї ие получать точные решения и находить различные редукции нелинейных уравнений с частными производными. Построить новые решения уравнений идеальной несжимаемой жидкости, уравнений газовой динамики и нелинейных диффузионных уравнений.
Общая ыетодика исследования. Использованы некоторые конструкции группового анализа дифференциальных уравнений, общие метода теории переопределенных сист .і -уравнений с частными производными.
При анализе качествеиных свойств решений применялся математический аппарат теории нелинейных колебаний, использовались простейшие результаты дифференциальной топологии.
Научная новизна.
Разработан новый метод выделения классов решений нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными. На этой основе построены точные решения двумерных и трехмерных уравнений Эйлера, получены нетривиальные решения новых типов нелинейных волновых уравнений.
Изучены все случаи обобщенного разделения переменных для нелинейного уравнения Пуассона. Найдены разделения переменных для нелинейного уравнения Грэда-Шафранова и уравнения Лонга. Эти результаты позволили существенно расширить множество точных решений стационарных уравнений идеальной несжимаемой жидкости.
Введено понятие инвариантного многообразия системы эволюционных уравнений с частными производными, которое обобщает
понятие инвариантного множества системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Получены точные решения нелинейных диффузионных уравнений и найден ряд редукций многомерного уравнения теплопроводности с источником.
Теоретическая и практическая ценность. Реализованный в работе подход дает возможность находить новые классы решений уравнений с частными производными. Это позволяет получать ноенє результаты как для классичесюїх моделей (уравнения газовой динамики, уравнения гидродинамики и физики плазмы), так и для недавно возникших.
Построенные решения описывают различные типы плоских и осесимметричных структур в жидкости и плазме, а также доставляют примеры веи^отропических трансзвуковых течений идеального газа.
Найденные решения, представляющие самостоятельный интерес, могут быть использована в качестве тестов для числешшх расчетов (такие расчеты производились рядом авторов),и при проведении лабораторных наблюдений.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на:
-Всесоюзной школе-семинаре по аналитическим методам в газовой динамике (1Э85, Фрунзе);
-теоретическом семинаре Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН (руководитель - академик Л.В.Овсянников, 1989, 1990, 1992, Новосибирск);
-Всесоюзной школе молодых ученых по теоретическим и прикладным проблемам вычислительной математики и математической физики (1987, Одесса);
-Всесоюзной конференции "Математический анализ и его приложения в механике" (1989, Москва);
-международной научной школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (1989, Иркутск);
-международном симпозиуме "Генерация кру. юмасштабных структур в сплошных средах" (1990, Пермь-Москва);
-Восьмой школе по качественной теории дифференциальных уравнений (1992, Красноярск);
-международном коллоквиуме Ли-Лобачевского (1992, Эстония, Тарту);
-семинаре МТУ ил.М.В.Ломоносова "Групповой анализ уравнений математической физики" (руководител' - профессор Н.Х.Ибрагимов, 1993, Москва);
-семинаре Института прикладной математики им. М.В.Келдшла РАН (руководитель-член-корреспондент РАН С.П.Курдюмов, 1993, Москва).
Личный вклад и публикации. Все результаты получены лично автором и .опубликованы в [1-9].
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, списка литературы и двух приложений. Текст разбит на II параграфов. Работа содержит 23 рисунка. Список литературы включает 122 наименования. Общий объем диссертации - 211 страниц.