Введение к работе
Актуальность темы.
Задачи об оценке роста решений линейной системы дифференциальных уравнений и изучение поведения оператора Коши при различных возмущениях исходной системы привели к возникновению целого семейства показателей линейной системы.
Надо заметить,что процесс пополнения этого семейства новыми членами продолжается и,вероятно, будет закончен еще не скоро.
Непосредственная связь с теорией устойчивости и возможность использования в различных приложениях быстро сделали показатели объектами,представляющими самостоятельный интерес для специалиста по качественной теории дифференциальных уравнений.
При изучении показателей как функций на множестве линейных систем получить определенную информацию о структуре этих функций,об устронстве множества точек непрерывности позволяет применение теории Бэра.
Одним из важных вопросов теории Бэра является вопрос о наименьшем классе Бэра к которому принадлежит
бэровская функция Ui^J -Такие вопросы уже изучались для показателей Ляпунова однородных и неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений. Обозначим через } множество матриц размера ИХ К, , компоненты которых кусочно-непрерывные ограниченные на положительной полуоси функции. Обозначим через О множество пар (А^),г) 'где
Д (t) -матрица размера П. * И. ,а -\(~У) - И- -мерная
вектор-функция.Компоненты и суть функции
кусочно-непрерывные,равномерно-ограниченные на положительной полуоси.
Заметим,что под кусочно-непрерывной функцией,определенной на положительной полуоси,в работе понимается функция.непрерывная на каждом конечном отрезке,принадлежащем положительной полуоси,всюду, кроме быть может конечного числа точек,где она имеет разрывы первого рода.
Рассмотрим однородную и неоднородную системы дифференциальных уравнении.
х = Aft)* +f&)7 (2)
1.Бэр Р."Теория разрывных функций".М.-Л.:ГТТИ.1932.136 стр. 2.Хаусдорф Ф."Теория множеств" .М. -Л. :ОНТИ . 1937 . 304 стр.
В,М.Миллионщиков в работах[3 - ?J доказал,что показатели Ляпунова однородной и неоднородной системы дифференциальных уравнений-суть функции,принадлежащие второму классу Бэра на множествах ^> и о .наделенных компактно-открытой топологией .
М.И.Рахимбердиев в работе 9 J доказал,что если множество ^ наделить топологией равномерной сходимости на положительной полуоси .тогда,если размерность системы (1/ больше 1 то показатели Ляпунова А у/ > )Сб 'j 1,... j Vx. J 7 суть функции, не принадлежащие первому классу Бэра на этом топологическом пространстве
3.Миллионщиков В.М."Бэровскне классы функций и показатели Ляпунова".1.Дифферент.уравнения.16. 3(1980).С.1408-1416. 4.Миллионщиков В.М."Бэровские классы функций и показатели Ляпунова".2.Дифференц.уравнения.16 . 9(1980).С.1587-1598. 5.Миллионщиков В.М."Бэровские классы функций и показатели Ляпунова".3.Дифференц.уравнения.16. 10(1980).С.1766-1785. 6.Миллионщиков В.М."Показатели Ляпунова неоднородных линейных систем".Дифференц.уравнения.1988.24. 1 2 .С.2 1 79-2180. 7.Миллионщиков В.М."Формулы для показателей Ляпунова неоднородных линейных систем".Дифференц.уравнения.1988.24. 12. С.2183.
8.Миллионщиков В.М."Показатели Ляпунова как функции параметра ".Мате м.сборни к.1988. 137.вып.3.С.364-380. 9.Рахимбердиев М.11."0 бэровском классе показателей Ляпунова" . Мате м . заметки . 1982.31.выи.6.С.925-931.
гль *»,
Если размерность И. = d. .тогда показатель ''^
есть функция непрерывная и значит принадлежит нулевому классу Бэра на этом пространстве .
О.И.Морозов в работе [AOJ доказал,что если размерность
\\, системы (1) больше единицы, показатели А, , \^Q \і..... . К+1 Г , суть функции,не принадлежащие первому
классу Бэра на множестве О .наделенном топологией рав
номерной сходимости на положительной полуоси.Для И. — А
О.И.Морозов доказал,что показатели ,суть функ-
ции ,не принадлежащие нулевому классу Бэра на этом пространстве.
Цель работы. Исследовать вопрос о том,к каким классам Бэра принадлежат показатели Ляпунова однородных и неоднородных линейных систем и показатели Иэобова линейных однородных систем как функции на весовых пространствах.
Методы исследования. В работе используются методы математического анализа,методы теории показателен Ляпунова (см. ) и методы теории бэ-ровских функций (см.
Научная новизна диссертации. Найдены условия на весовую функцию достаточные для того, чтобы показатели Ляпунова однородной и неоднородной систем :1) были постоянны,2)не принадлежали первому классу Бэра.Аналогичные исследования проведены для показателей Изобова линейной однородной системы.
Ю.Морозов О.И."О бэровском классе показателей Ляпунова неоднородных линейных систем".Вестник МГУ.1991. 6.С.22-30.
Найдены условия на весовую функцию достаточные для того, чтобы старший показатель Ляпунова линейного неоднородного дифференциального уравнения имел всюду плотное множество точек непрерывности.
Все результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.
Объем її структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения и пяти глав, изложена на 107 страницах.Библиографический список содержит 19 наименований.
Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер,ее результаты могут найти применение в качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и теории показателей Ляпунова.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в МГУ (рук.проф. В.А.Кондратьев,проф.В.М.Миллионщиков,проф.Н.X.Розов,в 1993-1995 г.),на расширенных заседаниях семинара им.Петровского и Московского Математического общества (в 1994,1995 г.)
Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 работы (список приведен в конце автореферата).Работ,написанных в соавторстве,нет.