Первая граничная задача для уравнений смешанного типа с сингулярным коэффициентом Сафина Римма Марселевна

Существование решения

Отсюда следует, что функции J±(iint) и j(n) также являются линейно неза 2q висимыми решениями уравнения (0.37). Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений нули двух линейно независимых решений уравнения Бесселя строго чередуются, т.е. на интервале между любыми последовательными нулями любого из этих решений содержится ровно один нуль другого решения. Функция J±(7JLnt) имеет счетное множество поло-жительных нулей. Тогда функция 7(п) также имеет счетное множество положительных нулей относительно t = Од. Справедливо следующее утверждение. Теорема 0.2.1. Если решение задачи (0.23) (0.26) существует, то оно единственно тогда и только тогда, когда выполняются условия (0.36) при всех п Є N.

Так как о , /3 и к - любые числа из промежутков задания, то выражение Е(п) при достаточно больших п может стать достаточно малым, т.е. возникает проблема "малых знаменателей". Для решения данной проблемы необходимо показать существование чисел о , /3 и к, таких, что выражение Е(п) отделено от нуля при достаточно больших п.

Лемма 0.2.1. Если oTq = p/t, p,t Є N, (p,t) = 1 и выполнено условие к Ф - (4td + 3t - 4r) - 2 , г, d Є N0, то существуют постоянные С0 0 и щ Є N, зависящие от п,т,а и а, /3, такие, что при всех п щ выполняется оценка

Теорема 0.2.2. Пусть функции ф),ф(х) Є С4[0,/] и р (0) = ф (0) = = (/(0) = "(0) = 0, (р(1) = ф(1) = (/(/) = ф"(1) = 0, и выполнена оценка (0.38) при п щ. Тогда если Е(п) ф 0 при всех п = 1,щ, то существует единственное решение задачи (0.23) (0.26), и это решение определяется рядом (0.35); если Е(п) = 0 при некоторых п = Г\, г 2, г и Щ, то задача (0.23) (0.26) разрешима только тогда, когда выполняются условия (0.39) и решение в этом случае определяется рядом (0.40).

Аналогичные результаты получены для остальных задач 1.2, 2.1, 2.2, 2.4, а именно: установлены критерии единственности, решения построены в виде суммы рядов, обоснована сходимость рядов в классе регулярных решений.

Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты: 1) Найдены промежутки изменения параметра k: к 1, к 0; к 1; к = 0, в которых задачи Дирихле и Келдыша для уравнений смешанного типа с сингулярным коэффициентом и Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области поставлены корректно. В каждом из этих случаев установлены критерии единственности, решения построены в виде суммы ряда по собственным функциям одномерной спектральной задачи с соответствующим обоснованием сходимости рядов в классе регулярных решений уравнения (0.2). 2) Установлены промежутки изменения параметров к и т: к 1 и 0 т 1;к 1и1 т 2;к 1и0 т 1;к 1и 1 т 2, в которых задачи Дирихле и Келдыша для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением и сингулярным коэффициентом в прямоугольной области поставлены корректно. В каждом из этих случаев установлены критерии единственности, доказаны теоремы существования решения задач, которые построены в виде суммы ряда Фурье - Бесселя. Установлены достаточные условия сходимости рядов в классе решений уравнений (0.3).

Основные результаты опубликованы в работах [98] - [106]. Результаты диссертационной работы обсуждались на семинарах лабора тории прикладной математики и информатики отдела физико–математических и технических наук Института прикладных исследований Республики Башкортостан (Стерлитамак, руководитель семинара – д.ф.-м.н., профессор К.Б. Сабитов), кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета (Казань, руководитель семинара – д.ф.-м.н., профессор В.И. Жегалов). Основные результаты работы докладывались на Международной конференции, посвященной 100 - летию со дня рождения Сергея Львовича Соболева "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений"(Новосибирск, 2008), Международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего "Современные проблемы математики, механики и их приложений"(Москва, 2009), Международной научной конференции "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций"(Казань, 2014), Международной конференции "Дифференциальные уравнения и математическое моделирование" (Улан-Удэ, 2015), Двенадцатой международной Казанской летней научной школы-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы"(Казань, 2015).

Задача Дирихле для уравнения Лаврентьева – Бицадзе

Из равенств (1.84) в силу полноты системы (1.76) в пространстве [0,/] с весом хк следует, что и(х,у) = 0 почти для всех х Є [0,/] и при любом у Є [-а,Р]. Поскольку и(х,у) Є C(D), то и(х,у) = 0 в D.

Допустим, нарушено условие (1.31) при некоторых а,/3, к и п = р Є N, т.е. А(р) = 0. В этом случае однородная задача (1.2) - (1.5) (где f(x) = = ф[х) = 0) имеет нетривиальное решение dp(sh\pych\p(3 - sh\p(3ch\py)Xp(x), у 0, иРіх)У)- (chXp/3sinXpy-shXpf3cosХру)Хр(х), y 0, (1.85) где dp - произвольная постоянная, не равная нулю, Хр(х) определяются по формуле (1.76). Аналогично 1.1 нетрудно показать, что построенная функция (1.85) удовлетворяют условиям (1.2), (1.3), (1.5) и и(х,Р) = 0, и(х,-а) = 0, 0 х 1. Так как выражение Л(п) относительно а = а/1 имеет счетное множество нулей (1.38), то приходим к следующему утверждению. Теорема 1.2.1. Если существует решение задачи (1.2)- (1.5), которое удовлетворяет условию (1.17), то оно единственно тогда и только тогда, когда выполняются условия (1.31) при всех п Є N.

Так как а, /3 и к - любые числа из промежутков задания, то выражение Л(п) может стать достаточно малым при достаточно больших п , т.е. возникает проблема "малых знаменателей". Чтобы избежать данной проблемы, надо показать существование чисел а, /3 и к, таких, что выражение Л(п) отделено от нуля с соответствующей асимптотикой при достаточно больших п

Лемма 1.2.1. Если а = p/q, р, q Є N, (р, q) = 1 и к ф l-Udq-q-Ar)-2, т = 1,..., 2—1, то существуют постоянные Со 0 и "До Є М, такие, что при всех п щ выполняется оценка А(п) С0е . (1.86) Доказательство. На основании формулы (1.77) имеем fina = тгпа + -(k + 2)5 + О ( . (1.87) Тогда из соотношения (1.37) с учетом (1.87), получим Л(п) = v/c/i2An/3sin [тгпй + (jfe + 2)5 + О ( + 0П1 . (1.88) Пусть теперь a=p/q- рациональное число, где р, q Є N, (р, q) = 1. В этом случае разделим пр на q с остатком: пр = sq + г, s,r Є No, 0 г q — 1. Тогда выражение (1.88) примет вид:

Из неравенства (1.91) видно, что если к является положительным иррациональным числом, то неравенство (1.90) всегда выполнено. При рациональном к условие (1.90) может нарушаться. Поэтому потребуем, что постоянная к не принимала рациональные значения из правой части (1.91).И

Доказательство. Функция Хп(х) = x Jk=i(\nx) Є С2[0,1] и при больших t справедлива оценка Jv(t) = О ( 12 ) . (1.95) Отсюда следует справедливость оценки (1.92). Для обоснования оценки (1.93) вычислим Х (х) = -XnX Ju iXnx). (1.96) Тогда из формул (1.96) и (1.95) следует справедливость оценки (1.93). Далее из уравнения (1.74) получим Х х) = --Х п{х) - Х2пХп(х).

Отсюда в силу доказанных неравенств (1.92) и (1.93) следует справедливость оценки (1.94). Если выполнены условия (1.31) и оценка (1.86), то на основании частных решений (1.76) и (1.83) решение задачи (1.2) - (1.5) можно записать в виде суммы ряда Фурье и ряды, полученные из него почленным дифференцированием по х и у один раз, при любом (ж, у) Є D мажорируются рядом

Согласно лемме 1.1.4 ряды из (1.98) – (1.100) оцениваются соответственно числовыми рядами Cnj2n 2i сі2 2п 2і c J2n 2- (1.101) n=l n=l n=l Так как числовые ряды (1.101) сходятся, то на основании признака Вей-ерштрасса ряд (1.97) и ряды из производных первого и второго порядков члены этого ряда сходятся равномерно соответственно в D, D+ и D . Поэтому функция и(х, у), определенная рядом (1.97), удовлетворяет условиям (1.2) и (1.3).

В данном параграфе, следуя работам [58, 62, 64], установлен критерий единственности решение задачи Дирихле. Решение построено в виде суммы ряда Фурье. При обосновании сходимости ряда возникает проблема малых знаменателей относительно отношения сторон а/1 прямоугольника D . В связи с чем установлены оценки об отделенности от нуля малого знаменателя с соответствующей асимптотикой для рациональных и иррациональных значений числа а = а/1, которые позволили обосновать сходимость построенного ряда в классе регулярных решений (1.105) и (1.106). Найдены случаи числа а, когда ряд является расходящимся. Также установлена устойчивость решения по граничным функциям.

В уравнении (1.104), разделяя переменные и(х,у) = X(x)Y(y), относительно Х(х) получим известную спектральную задачу: Х"{х) + Х2Х(х) = 0, 0 х 1, (1.110) Х{0) = Х{1) = 0. (1.111) Задача (1.110), (1.111) имеет счетное множество собственных значений Хп = тгп/1, п Є N, а соответствующая система собственных функций Xn(x) = Jjsm\nx (1.112) полна в пространстве L2[0,Z], и в нем образует ортонормированный базис. Пусть и{х,у) решение задачи (1.105) - (1.109), которое удовлетворяет условиям

Построение множества частных решений

Исходя из соотношений (2.49) - (2.52) видим, что поведение вторых производных при у 0 существенно зависит от тп. С учетом класса решений (2.2) в формуле (2.24) подберем постоянные ап, Ьп, сп и dn так, чтобы выполнялись следующие условия сопряжения: Уп(0 + 0) = Уп(0-0), Уп(0 + 0) = Уп(0-0). (2.53) В силу соотношений (2.29) - (2.32) первое из равенств (2.53) имеет место при dn = -nbn/2 и любых ап и сп, а второе равенство на основании (2.39) - (2.44) выполнено, когда dn = -тгЬп/2 и сп = 7r6nctg fq /2 - ап. Тогда функции (2.24) примут вид

Пусть u(x,y) - решение задачи (2.2) - (2.6), удовлетворяющее условиям (1.17). Следуя [63] введем в рассмотрение следующие функции: ип{у)= f U(x,y)xkXn(x)dx, п= 1,2,3,... . (2.55) На основании (2.55) введем вспомогательные функции 1-е ип,М= f u(x,y)xkXn(x)dx, (2.56) є где є 0 достаточно малое число. Дифференцируем равенство (2.56) по у дважды при у Є (—ск, 0) U (0,/3) и учитывая уравнение (2.1), имеем

Предварительно заметим, что следующий предел существует и конечен: fc+1 lim Л Ы = lim x+2 1J_ь+1(Хпх) = — 2i ж- 0+0 nv у ж- 0+0 2 v 2 T (—r Г Переходя в (2.60) к пределу при є — 0, с учетом граничных условий (2.5), (2.6), (2.12) и (1.17), получим, чтогЦу) удовлетворяет дифференциальному уравнению УМг (у) - (sgny)\y\-m(a2 + Х2п)ип(у) = 0, у Є (-а,0) U (0,(3). (2.61) Сопоставляя уравнения (2.16) и (2.61) видим, что они совпадают, следовательно, решения уравнения (2.61), удовлетворяющее условиям сопряжения (2.53), определяются по формуле (2.54), т.е. ип(у) = Yn(y). Для нахождения постоянных ап и Ьп в (2.54) воспользуемся граничными условиями (2.4) и формулой (2.55):

Теперь, удовлетворяя функции (2.54) граничным условиям (2.62) и (2.63), получим систему для неизвестных коэффициентов ап и Ьп:

Отсюда в силу полноты системы (2.14) в пространстве [0,/] с весом хк следует, что и(х,у) = 0 почти для всех х Є [0,/] и при любом у Є [-а,/3]. Поскольку и(х,у) Є C(D), то м(ж,у) = 0 в D.

Допустим, нарушено условие (2.65) при некоторых /, а, /3, а, т, к и n = «GN, т.е. (s) = 0. Тогда однородная задача (2.2) - (2.6) (где ф) = = ф[х) = 0) имеет нетривиальное решение В самом деле, построенная функция (2.73) в силу равенства E(s) = 0 удовлетворяет однородным граничным условиям (2.4) (где f(x) = ф{х) = 0) и принадлежит классу (2.2), так как на основании асимптотических формул (2.25) - (2.28) для функций Бесселя при у -+ 0 имеем

Из построения следует, что функция us(x,y) всюду на D+ и D является решением уравнения (2.1), т.е. удовлетворяет условию (2.3). Выражение Е(п) представим в следующем виде:

Отсюда следует, что функции J±(unt) и j(n) также являются линейно неза 2q висимыми решениями уравнения (2.75). Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений нули двух линейно независимых решений уравнения Бесселя строго чередуются, т.е. на интервале между любыми последовательными нулями любого из этих решений содержится ровно один нуль другого решения. Функция JxiJut) имеет счетное множество поло-жительных нулей. Тогда функция 7(п) также имеет счетное множество положительных нулей относительно t = OLq.

Таким образом, нами установлен следующий критерий единственности Теорема 2.1.1. Если существует решение задачи (2.2) (2.6), которое удовлетворяет условиям (1.17), то оно единственно тогда и только тогда, когда выполняются условия (2.65) при всех п Є N. 2.1.4. Существование решения

Поскольку Од, /3, т, а и к - любые числа из промежутков задания, то при достаточно больших п выражение Е(п), которое входит в знаменатели коэффициентов (2.66) и (2.67), может стать достаточно малым, т.е. возникает проблема "малых знаменателей"[1, 58, 60, 61, 63]. Для обоснования существования решения данной задачи необходимо показать существование чисел Од, /3, т, а и к, таких, что при достаточно больших п выражение Е(п) отделено от нуля с соответствующей асимптотикой.

Постановка задачи. Единственность решения

Поскольку последовательность Бп имеет конечный положительный предел BQO, то она ограничена и отделена от нуля. Пусть теперь oTq = p/t- рациональное число, p,t Є N, (р, ) = 1. Разделим пр на с остатком: пр = st + r, г, s Є N0, 0 г t- 1. В силу оценки (2.81) существует конечный предел Теперь потребуем, чтобы постоянная Сх была больше нуля, а это возможно только тогда, когда

Из неравенства (2.156) видно, что если к является положительным иррациональным числом, то неравенство (2.155) всегда выполнено. При рациональном к условие (2.155) может нарушаться, поэтому потребуем, чтобы постоянная к не принимала рациональные значения из правой части соотношения (2.156).

Тем самым показана отделимость от нуля выражения /rvy(n) при больших п. Далее в силу известных асимптотических формул (2.87) при z — оо, величина 7i (п) есть бесконечно малая при п — оо. Тогда из представлений (2.74), (2.154) и (2.157) следует справедливость оценки (2.153) при всех п щ. Ш

При выполнении оценки (2.153) при всех п щ и неравенства (2.150) при п = 1, 2,3,..., щ решение задачи ищем в виде суммы ряда и(х,у) = J2un(y)Xn(x), (2.158) где ип(у) и Хп(х) определяются соответственно по формулам (2.151) и (2.144). Перейдем к обоснованию сходимости ряда (2.158) и возможности почленного дифференцирования.

Рассмотрим следующие отношения: РМ = ші, QJy) = УШШ, , є М]; (2.159) N ;-yK тм = (-„,ffl Sn(y)= " , Тп(у)= %.,", уе[-а,0]. (2.160) Отметим, что в формулах (2.159) и (2.160) в отличии от формул (2.89) и (2.90) числа Хп являются собственными значениями спектральной задачи (1.74) и (1.75) при к 1. Лемма 2.3.2. Если сГд удовлетворяет условиям леммы 2.3.1, то для всех п щ выполняются оценки: \Pn(y)\ C2, \Qn(y)\ С5п -ъ, 0 y /3; где rf = ря/Я, є достаточно малое положительное число, Сг здесь и далее положительные постоянные. Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 2.1.2 с применением леммы 2.3.1. где Cs - произвольные постоянные, конечные суммы в (2.167) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего.

Теорема 2.3.2. Пусть функции ф),ф(х) Є С4[0,/] и р (0) = ф (0) = = (/(0) = "(0) = 0, (р(1) = ф(1) = (/(/) = ф"(1) = 0, и выполнена оценка (2.153) при п щ. Тогда если Е(гі) ф 0 при всех п= 1,щ, то существует единственное решение задачи (2.140) (2.143), и это решение определяется рядом (2.158); если Е(п) = О при некоторых п = Г\)Г2)...ги Щ, то задача (2.140) (2.143) разрешима только тогда, когда выполняются условия (2.166) и решение в этом случае определяется рядом (2.167).

В данном параграфе для уравнения (2.1) при 1 т 2ик 1 установлен критерий единственности решения задачи с неполными граничными данными. Решение построено в виде суммы ряда Фурье - Бесселя и приведено обоснование сходимости этого ряда в классе регулярных решений.

С учетом класса решений (2.168) и (2.169) при 1 т 2 в формуле (2.24) подберем постоянные ап, Ьп, сп и dn так, чтобы выполнялись условия сопряжения: YJ0 + 0) = YJ0 - 0), lim ут-1У Лу) = - lim {-y)m-lYn{y). (2.174) Первое из равенств (2.174) имеет место, если Ъп = —-dn и любых ап и сп, а второе равенство выполнено при Ьп = -dn при любых ап и сп. Следовательно, bn = dn = 0, ап и сп любые постоянные. Тогда из формулы (2.24) получим М = - lim Y Удовлетворяя функции (2.24) условиям сопряжения (2.176), найдем Ьп = = _lrfn, Ъп = Чп. Отсюда следует, что Ьп = dn = 0, а ап и сп любые постоянные. С учетом этого функции (2.24) примут вид которые получаются из формулы (2.175) при т = 1, т.е. при 2q = 1. Поэтому в дальнейшем рассмотрим только функции (2.175), где ранее q(E (0,1/2), а теперь q Є (0,1/2]. Аналогично выше введем функции где и(х,у) - решение задачи (2.168) - (2.173), которое удовлетворяет условиям (1.17). Рассмотрим функции (2.56). Аналогично п.2.1.3 2.1 дифференцируем равенство (2.56) по у дважды при у Є (—а, 0) U (0, /3) и учитываем уравнение (2.1), в результате получим, что функция (2.56) удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.61). Тогда ип(у) = Yn(y) на промежутке у Є (-а,0) U (0,/3), т.е. функции ип(у) определяются по формуле (2.115).

Отсюда в силу полноты системы (2.14) в пространстве [0,/] с весом хк следует, что почти для всех х Є [0,1] и при любом у Є [-a, (3] и{х, у) = 0. В силу (2.168) функция и(х,у) непрерывна на следовательно, и (ж, у) = 0 наЛ. Допустим, нарушено условие (2.182) при некоторых а и п = s Є N, то есть E s) = 0. Тогда однородная задача (2.168) - (2.173) (где ф) = = ф(х) = 0) имеет нетривиальное решение

Действительно, в силу условия Jx(psOLq) = 0 функция (2.185) удовле-творяет однородным граничным условиям (2.172) (где (fix) = ф{х) = 0). Нетрудно доказать, что функция (2.185) удовлетворяет условиям (2.168) -(2.173).

Так как функция Бесселя Jx(pnofl) имеет счетное множество нулей от-носительно Од, то приходим к следующему утверждению

Теорема 2.4.1. Если существует решение задачи (2.168) (2.173), которое удовлетворяет условиям (1.17), то оно единственно только тогда, когда Е п) ф 0 при всех п Є N.

Для того, чтобы обосновать существование решения задачи 2.4, необходимо показать существование чисел а , /3, /, т, а и к, таких, что выражение Е\{п) отделено от нуля с соответствующей асимптотикой при достаточно больших п.

Лемма 2.4.1. Если 5J = p/t, p,t Є N, (p,t) = 1 выполнено условие к Ф - (Ш - Аг - tq ) - 2, то существуют постоянные С0 0 и щ Є N, такие, что при всех п щ выполняется оценка Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 2.2.1. Если Е\{п) ф 0 при п = 1,п0 для указанных сц из леммы 2.4.1 и выполнена оценка (2.187) при п щ, то решение задачи (2.168) - (2.173) на основании частных решений (2.14) и (2.24) можно записать в виде суммы ряда Фурье-Бесселя

Далее покажем, что при определенных условиях относительно функций ф{х) и (р(х), ряд (2.188) сходится равномерно на замкнутой области D и там его можно почленно дифференцировать по х и у дважды.