Отслеживание псевдотраекторий в гладких потоках Тихомиров Сергей Борисович

< а для ti_:t₂ Є R, і\ф І2-

Определение 3. Будем говорить, что векторное ноле X и поток ф обладают (стандартным) свойством от,сле^гживания, если для всякого є > 0 найдется такое d > 0, что для любой d- псевдотраектории g(t) найдутся такие ре параметризация h Є Rep (є) и точка р Є М, что выполнены неравенства

dist(0(h(i),p),0(t)) < є, і

Множество векторных полей, обладающих стандартным свойством отслеживания, будем обозначать через StSh.

Отметим, что понятие репараметризаций необходимо в определении свойства отслеживания. Действительно, если неравен-

ства (1.2) в определении 3 заменить на неравенства

dist((j)(t,p),g(t)) < є, teR,

то многие "хорошие" векторные поля перестанут обладать свойством отслеживания. В качестве примера подобного векторного поля можно рассмотреть векторное поле на многообразии М, у которого есть гиперболическая притягивающая замкнутая траектория [15].

Свойство отслеживания играет большую роль при компьютерном моделировании векторных полей. Действительно, если векторное поле X обладает свойством отслеживания, то приближенные решения, полученные при компьютерном моделировании (а следовательно, являющиеся псевдотраекториями) этого поля отражают (с точностью до репараметризаций) поведение точных траекторий векторного поля на неограниченном промежутке времени.

Кроме того, свойство отслеживания" играет важную роль в теории динамических систем: ясно, что если векторные поля Х\ и Х2 близки в С -метрике, то точные траектории векторного поля Х2 будут псевдотраекториями векторного поля Xi, следовательно, свойство отслеживания является слабым аналогом устойчивости [15]. Также ясно, что если векторное поле X обладает свойством отслеживания, то множество неблуждающих точек [3] и множество цепно-рекуррентных точек [16] векторного поля X совпадают.

Введем несколько других видов свойства отслеживания.

Определение 4. Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают липшицевым свойством отслеживания, если существуют константы Lo, -Do > 0, обладающие следующим свойством: для любых d < Da и d-псевдотраектории д можно указать такие точку р и репарамстризацию h Є Rep(Lod), что выполнены неравенства

dist^(h(t),p),g{t)) < L₀d, t Є R.

Множество векторных полей, обладающих липшицевым свойством отслеживания, будем обозначать через LipSh. Определение 5. Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают ориентированным свойством отслеживания, если по любому є > 0 найдется такое d > 0, что для любой с-псевдотраекто-рии д можно указать такие точку р и репараметризацию h, что выполнено неравенство (1.2).

Таким образом, в определении 5 мы не требуем близости отоб-ражения h к тождественному. Множество векторных полей, обладающих ориентированным свойством отслеживания, будем обозначать через OrientSh.

Определение 6. Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают орбитальным свойством отслеживания, если по любому є > 0 найдется такое d > 0, что для любой d-псевдотраектории д можно указать такую точку р, что выполнено неравенство

dist#(C10(:E,;p),Cl{p(f) : t Є Щ) < є,

где dist# - расстояние по Хаусдорфу. Множество векторных полей,

обладающих орбитальным свойством отслеживания, будем обозначать через OrbitSh. Ясно, что

LipSh С StSh С OrientSh С OrbitSh.

Отметим, что все четыре свойства отслеживания определяют разные понятия. Примеры векторных полей, лежащих в множествах StSh \ LipSh и OrbitSh \ OrientSh достаточно просты, мы приводим их в приложении А. В ходе данного исследования был построен пример векторного поля лежащего в OrientSh \ StSh, однако, ввиду громоздкости данный пример не включен в текст диссертации.

Нас будут интересовать (^-внутренности множеств векторных полей, обладающих стандартным, липшицевым, ориентированным и орбитальным свойствами отслеживания.

Ранее аналогичная задача изучалась для дискретных динамических систем, порожденных диффеоморфизмами. Основные результаты были получены в работах [18], [21], [22], [23]. Приведем их краткий обзор.

Пусть, как и ранее, М - гладкое замкнутое многообразие класса С⁰⁰ с римановой метрикой dist. Рассмотрим пространство диффеоморфизмов многообразия М класса С¹ с топологией, порожденной С -метрикой. Пусть / Є С - некоторый диффеоморфизм многообразия М. Для всякого d > 0 последовательность

{n Є M}, для которой выполнены соотношения dist(f_n+i, /(&»)) < d для neZ,

будем называть d-псевдотраекторией.

Будем говорить, что диффеоморфизм / обладает стандартным свойством отслеживания, если для любого є > 0 найдется такое d > О, что для всякой cf-псевдотраектории {_п} найдется траектория {х_п} диффеоморфизма /, удовлетворяющая неравенствам

dist(:r_n,_n) < є для п Є Z.

По аналогии со случаем векторных полей рассматриваются также следующие два свойства отслеживания, играющие важную роль в рассматриваемой задаче.

Мы будем говорить, что диффеоморфизм / обладает липши-цевым свойством отслеживания, если найдутся такие L, Dq > О, что для любого d < Dq и всякой d-псевдотраектории {п} найдется траектория {х_п} диффеоморфизма /, удовлетворяющая неравенствам

dist(a;_n, _п) < Ld для п Є Z.

Мы будем говорить, что диффеоморфизм / обладает орбитальным свойством отслеживания, если для любого є > 0 найдется такое d > 0, что для всякой d-псевдотраектории {„} найдется такая траектория {х_п} диффеоморфизма /, что расстояние по Хаусдорфу между замыканиями множеств {х_п, п Є Z} и {п> пЄ2} меньше є.

Нетрудно понять, что если диффеоморфизм обладает лип-шицевым свойством отслеживания, то он обладает и стандартным свойством отслеживания. Если он обладает стандартным свойством отслеживания, то он обладает и орбитальным. При этом, как и в случае векторных полей, все три свойства отслеживания определяют разные понятия, т.е. никакие два из них не равносильны [15].

Одним из наиболее важных результатов в теории отслеживания был получен Аносовым в [1], где показано, что диффеоморфизм обладает липшицевым свойством отслеживания в некоторой малой окрестности гиперболического множества.

Ниже мы приводим теоремы, которые позволяют полностью описать структуру С -внутренности множеств диффеоморфизмов, обладающих тем или иным свойством отслеживания.

В [21], [23] доказана следующая теорема (см. также [16], Appendix А).

Теорема 1. Любой структурно устойчивый диффеоморфизм обладает липшицевым свойством отслеживания.

При этом существуют примеры не структурно устойчивых диффеоморфизмов, обладающих стандартным свойством отслеживания [15].

Сакай в [22] доказал следующую теорему. Теорема 2. С¹-внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих стандартным свойством отслеживания, совпадает с

множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов.

Позднее Пилюгин, Родионова, Сакай [18] обобщили данную теорему.

Теорема 3. С -внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих орбитальным свойством отслеживания, совпадает с множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов.

Таким образом, для диффеоморфизмов поставленная задача, в некотором смысле, решена полностью.

Отметим, что при доказательстве теоремы 3 существенно используется теорема Аоки-Хаяши [6, 10], сформулированная ниже. Теорема 4. Пусть Td ~ множество диффеоморфизмов, у которых все периодические точки гиперболичны. Мноэюество 1пЬ¹{^Го) совпадает с множеством 0,-устойчивых диффеоморфизмов.

Приступим к формулировке основных результатов диссертации. Свойство отслеживания для векторных полей имеет несколько более сложное определение, чем в случае диффеоморфизмов, что требует иных методов решения поставленной задачи.

Введем ряд обозначений, которые понадобятся нам в дальнейшем. Обозначим через S множество структурно устойчивых векторных полей. Обозначим через Т множество векторных полей, у которых все точки покоя и замкнутые траектории гиперболичны. Обозначим через N множество векторных полей без точек покоя. Обозначим через KS множество полей Купки-Смейла (т.е. множе-

ство векторных полей X Є 7", для которых устойчивые и неустойчивые многообразия точек покоя и замкнутых траекторий транс-версальны) [3].

Пилюгин доказал, что верна следующая теорема [17]. Теорема 5.5 с LipSh.

Так как множество S является С -открытым, то S С Int¹ (LipSh). Наша цель - доказать обратное включение, т.е. доказать следующее утверждение (см. главу 2). Теорема 6. S = Int¹ (LipSh).

Мы также охарактеризуем множества

Int^OrbitSh) и Int¹ (OrientSh).

Обзор основных результатов диссертации опубликован в работе автора [1].

В первой главе изучается свойство OrientSh. При описании множества Int¹ (OrientSh) важную роль играют системы, обладающие описанной ниже структурой. Будем говорить что матрица А принадлежит классу JC, если все ее собственные числа имеют ненулевые вещественные части. Отметим, что точка покоя р является гиперболической, если DX(p) є /С. Обозначим через /С^ множество матриц А Є /С, у которых есть такое вещественное собственное число а\ > 0, что если с\ + d\i - собственное число матрицы А с с\ > 0 и d\ ф 0, то с\ > а\. Обозначим через К^ множество матриц А Є /С, для которых найдется такая пара комплексно сопряженных

собственных чисел ai ± Ь\і с а\ > 0, что если с\ > 0 - собственное число матрицы Л, то с\ > а,\. Отметим, что К\ П /Cj = 0, но КфК\и /CJ.

Обозначим через /С]" множество таких матриц Л є /С, что — А Є /Сі". Аналогично, обозначим через К^ множество таких матриц А Є /С, что —А є К,%.

Определение 7. Мы будем говорить, что векторное поле X принадлежит классу В, если у него есть две гиперболические точки покоя pi и р2 (не обязательно различные), обладающие следующими свойствами:

1. матрица D Х(р{) Є /Cj,

2. матрица DX{p2) Є /С^~,

3. существует траектория нетрансверсального пересечения многообразий W^u{p2) и W^s(pi).

Рисунок 1 иллюстрирует данное определение.

В первой главе доказаны следующие теоремы. Теорема 7. Int^OrientShVB) С S. Теорема 8. Если dim М < 3, то выполнено равенство

S^Int^OrientSh).

Во второй главе приведено доказательство теоремы 6. В доказательстве основным является случай, когда у векторного поля есть гиперболические неподвижные точки покоя р и q и при этом W^s(p) и W^u(q) пересекаются нетрансверсально. Ключевым

Pi

Рис. 1. Пример векторного поля класса Б

моментом в доказательстве является построение псевдотраектории в окрестности W^s(p) Г) W^u(q), которая не может быть отслежена. Следует отметить, что построенная псевдотраектория не имеет аналога для случая дискретных динамических систем, порожденных диффеоморфизмами. Теорему 6 следует считать основным результатом диссертации. Результаты данной главы опубликованы в работе автора [2].

В третьей главе доказана следующая теорема. Теорема 9. Int^OrbitShniV) с S.

Эта теорема является обобщением недавно доказанной теоремы Ли-Сакая [11], в которой аналогичное включение получено не для орбитального, а для стандартного свойства отслеживания: Int^StShfW) С 5. Кроме того, теорема 9 является обобщением соответствующего утверждения для диффеоморфизмов (теорема 3).

При доказательстве теоремы 3, как упоминалось ранее, используется теорема Аоки-Хаяши. В доказательстве теоремы 9 важную роль играет аналогичное утверждение для векторных нолей без точек покоя [9], сформулированное ниже.

Теорема 10. (Ган, Вен) Множество Int^x(T Г) N) состоит из Q-устойчивых векторных полей.

В то же время, существуют векторные поля, лежащие в Int¹(T), и не являющиеся П-устойчивыми [12].

Основными результатами диссертации являются теоремы 6-9. Эти результаты опубликованы в работах автора [1], [2].

2 Ориентированное свойство отслеживания

Введем ряд обозначений. Пусть г Є М. Обозначим через Т_ГМ касательное пространство к многообразию М в точке г. Пусть N С М -такое подмногообразие М, что г Є N. Обозначим через T_rN С Т_ГМ касательное пространство к подмногообразию N в точке г. Если в некоторой окрестности точки г многообразие М отождествлено с евклидовым пространством, то мы будем отождествлять Т_ТМ и М. Обозначим n-мерную единичную сферу через Sⁿ.

Для любого є > 0 будем обозначать через W_l^s_oc(p),Wi^_C{p) локальные устойчивое и неустойчивое многообразия, соответствующие окрестности В (є, г). Для любой траектории 7 Рег(Х), точки г Є W^u{^f) и 6 > 0 будем обозначать через С^и(5,г) связную компоненту W^u(j) П В(5_:г), содержащую г.

Назовем матрицу Р гиперболической, если все ее собственные числа по модулю отличны от 1.

Будем обозначать через dist^i расстояние между векторными полями в С^-метрике.

Схема доказательства теоремы

Задача об отслеживании псевдотраекторий в самом общем виде связана со следующим вопросом: при каких условиях для любой псевдотраектории динамической системы можно найти близкую к ней траекторию? Изучение данной задачи было начато Д. В. Ано-совым [1] и Р. Боуэном [7]. Современное состояние теории отслеживания в значительной степени отражено в монографиях [14, 15].

В данной диссертации изучается связь между свойством отслеживания для потоков и структурной устойчивостью. Отметим, что основное отличие задачи об отслеживании для потоков от аналогичной задачи для дискретных динамических систем, порождаемых диффеоморфизмами, состоит в необходимости репараметриза-ции отслеживающих траекторий. Основным вопросом для нас будет вопрос о структуре множества векторных полей, обладающих различными видами свойства отслеживания. Мы будем рассматривать не само множество векторных полей, обладающих тем или иным свойством отслеживания, а его С -внутренность, т.е. множество таких векторных полей, которые сами обладают свойством отслеживания и любое их малое (в С -метрике) возмущение также обладает свойством отслеживания.

Пусть М - гладкое n-мерное замкнутое многообразие класса С00 с римановой метрикой dist. Обозначим через Т{М) пространство гладких векторных полей на М с топологией, порож денной С1-метрикой. Для векторного поля X Є Т{М) и точки х Є М будем обозначать через ф{р,х) такую траекторию поля X, что ф{0, х) = х. Пусть 0(х,ф) = {ф(Ь,х) :feR}, 0+(х,ф) = {ф(г,х) :t 0}, 0 (х,ф) = {ф$,х) : 0}. Прежде чем определять свойства отслеживания, введем ряд обозначений. Будем обозначать через В (а, ж), где а 0 и х - точка некоторого метрического пространства, шар радиуса а с центром в точке х. Если А - некоторое подмножество метрического пространства, то будем обозначать через В(а,А) объединение всех шаров радиуса а с центрами в точках множества А. Через С1А будем обозначать замыкание множества А.

Для любого множества А С Т{М) будем через Int1(yl) обозначать внутренность множества А в топологии, порожденной С1-метрикой. Для векторного поля X обозначим через Рег(Х) множество точек покоя и замкнутых траекторий поля X. Для гиперболической траектории р Є Рег(Х) будем обозначать через Ws(p) и Wu(p) ее устойчивое и неустойчивое многообразие, соответственно.

Перейдем к определению свойств отслеживания для потоков. Определение 1. Рассмотрим произвольное d 0. Отображение g(t) : R - М будем называть d-псевдотраекторией векторного поля X и потока ф, если для любых Q Є R и t Є [— 1,1] выполнено неравенство d\st{g(t0 + t) (t,g(to))) d. (1.1) Отметим, что мы не требуем непрерывности отображения д. Псевдотраектории возникают естественным образом при компьютерном моделировании потоков. Для определения свойства отслеживания для случая векторных полей нам понадобится понятие репараметризаций. Определение 2. Назовем репараметризацией такой возрастающий гомеоморфизм h : R — R, что h(0) = 0. Для а 0 обозначим через Rep (а) множество репараметризаций, удовлетворяющих неравенству а для ti:t2 Є R, і\ф І2 Определение 3. Будем говорить, что векторное ноле X и поток ф обладают (стандартным) свойством от,слегживания, если для всякого є 0 найдется такое d 0, что для любой d- псевдотраектории g(t) найдутся такие ре параметризация h Є Rep (є) и точка р Є М, что выполнены неравенства dist(0(h(i),p),0(t)) є, і E R. (1.2)

Множество векторных полей, обладающих стандартным свойством отслеживания, будем обозначать через StSh. Отметим, что понятие репараметризаций необходимо в определении свойства отслеживания. Действительно, если неравен ства (1.2) в определении 3 заменить на неравенства dist((j)(t,p),g(t)) є, teR, то многие "хорошие" векторные поля перестанут обладать свойством отслеживания. В качестве примера подобного векторного поля можно рассмотреть векторное поле на многообразии М, у которого есть гиперболическая притягивающая замкнутая траектория [15].

Конструкции псевдотраекторий

Свойство отслеживания играет большую роль при компьютерном моделировании векторных полей. Действительно, если векторное поле X обладает свойством отслеживания, то приближенные решения, полученные при компьютерном моделировании (а следовательно, являющиеся псевдотраекториями) этого поля отражают (с точностью до репараметризаций) поведение точных траекторий векторного поля на неограниченном промежутке времени.

Кроме того, свойство отслеживания" играет важную роль в теории динамических систем: ясно, что если векторные поля Х\ и Х2 близки в С -метрике, то точные траектории векторного поля Х2 будут псевдотраекториями векторного поля Xi, следовательно, свойство отслеживания является слабым аналогом устойчивости [15]. Также ясно, что если векторное поле X обладает свойством отслеживания, то множество неблуждающих точек [3] и множество цепно-рекуррентных точек [16] векторного поля X совпадают.

Введем несколько других видов свойства отслеживания. Определение 4. Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают липшицевым свойством отслеживания, если существуют константы Lo, -Do 0, обладающие следующим свойством: для любых d Da и d-псевдотраектории д можно указать такие точку р и репарамстризацию h Є Rep(Lod), что выполнены неравенства dist (h(t),p),g{t)) L0d, t Є R. Множество векторных полей, обладающих липшицевым свойством отслеживания, будем обозначать через LipSh. Определение 5. Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают ориентированным свойством отслеживания, если по любому є 0 найдется такое d 0, что для любой с-псевдотраекто-рии д можно указать такие точку р и репараметризацию h, что выполнено неравенство (1.2).

Таким образом, в определении 5 мы не требуем близости отоб-ражения h к тождественному. Множество векторных полей, обладающих ориентированным свойством отслеживания, будем обозначать через OrientSh.

Определение 6. Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают орбитальным свойством отслеживания, если по любому є 0 найдется такое d 0, что для любой d-псевдотраектории д можно указать такую точку р, что выполнено неравенство dist#(C10(:E,;p),Cl{p(f) : t Є Щ) є, где dist# - расстояние по Хаусдорфу. Множество векторных полей, обладающих орбитальным свойством отслеживания, будем обозначать через OrbitSh. Ясно, что LipSh С StSh С OrientSh С OrbitSh. Отметим, что все четыре свойства отслеживания определяют разные понятия. Примеры векторных полей, лежащих в множествах StSh \ LipSh и OrbitSh \ OrientSh достаточно просты, мы приводим их в приложении А. В ходе данного исследования был построен пример векторного поля лежащего в OrientSh \ StSh, однако, ввиду громоздкости данный пример не включен в текст диссертации. Нас будут интересовать ( -внутренности множеств векторных полей, обладающих стандартным, липшицевым, ориентированным и орбитальным свойствами отслеживания.

Ранее аналогичная задача изучалась для дискретных динамических систем, порожденных диффеоморфизмами. Основные результаты были получены в работах [18], [21], [22], [23]. Приведем их краткий обзор.

Пусть, как и ранее, М - гладкое замкнутое многообразие класса С00 с римановой метрикой dist. Рассмотрим пространство диффеоморфизмов многообразия М класса С1 с топологией, порожденной С -метрикой. Пусть / Є С - некоторый диффеоморфизм многообразия М. Для всякого d 0 последовательность {n Є M}, для которой выполнены соотношения dist(fn+i, /(&»)) d для neZ, будем называть d-псевдотраекторией. Будем говорить, что диффеоморфизм / обладает стандартным свойством отслеживания, если для любого є 0 найдется такое d О, что для всякой cf-псевдотраектории {п} найдется траектория {хп} диффеоморфизма /, удовлетворяющая неравенствам dist(:rn,n) є для п Є Z. По аналогии со случаем векторных полей рассматриваются также следующие два свойства отслеживания, играющие важную роль в рассматриваемой задаче.

Доказательство основной леммы

Мы будем говорить, что диффеоморфизм / обладает липши-цевым свойством отслеживания, если найдутся такие L, DQ О, что для любого d DQ И ВСЯКОЙ d-псевдотраектории {п} найдется траектория {хп} диффеоморфизма /, удовлетворяющая неравенствам dist(a;n, п) Ld для п Є Z. Мы будем говорить, что диффеоморфизм / обладает орбитальным свойством отслеживания, если для любого є 0 найдется такое d 0, что для всякой d-псевдотраектории {„} найдется такая траектория {хп} диффеоморфизма /, что расстояние по Хаусдорфу между замыканиями множеств {хп, п Є Z} и {п пЄ2} меньше є. Нетрудно понять, что если диффеоморфизм обладает лип-шицевым свойством отслеживания, то он обладает и стандартным свойством отслеживания. Если он обладает стандартным свойством отслеживания, то он обладает и орбитальным. При этом, как и в случае векторных полей, все три свойства отслеживания определяют разные понятия, т.е. никакие два из них не равносильны [15].

Одним из наиболее важных результатов в теории отслеживания был получен Аносовым в [1], где показано, что диффеоморфизм обладает липшицевым свойством отслеживания в некоторой малой окрестности гиперболического множества. Ниже мы приводим теоремы, которые позволяют полностью описать структуру С -внутренности множеств диффеоморфизмов, обладающих тем или иным свойством отслеживания. В [21], [23] доказана следующая теорема (см. также [16], Appendix А). Теорема 1. Любой структурно устойчивый диффеоморфизм обладает липшицевым свойством отслеживания. При этом существуют примеры не структурно устойчивых диффеоморфизмов, обладающих стандартным свойством отслеживания [15]. Сакай в [22] доказал следующую теорему. Теорема 2. С1-внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих стандартным свойством отслеживания, совпадает с множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов. Позднее Пилюгин, Родионова, Сакай [18] обобщили данную теорему. Теорема 3. С -внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих орбитальным свойством отслеживания, совпадает с множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов. Таким образом, для диффеоморфизмов поставленная задача, в некотором смысле, решена полностью.

Отметим, что при доказательстве теоремы 3 существенно используется теорема Аоки-Хаяши [6, 10], сформулированная ниже. Теорема 4. Пусть TD множество диффеоморфизмов, у которых все периодические точки гиперболичны. Мноэюество 1пЬ1{ Го) совпадает с множеством 0,-устойчивых диффеоморфизмов.

Приступим к формулировке основных результатов диссертации. Свойство отслеживания для векторных полей имеет несколько более сложное определение, чем в случае диффеоморфизмов, что требует иных методов решения поставленной задачи.

Введем ряд обозначений, которые понадобятся нам в дальнейшем. Обозначим через S множество структурно устойчивых векторных полей. Обозначим через Т множество векторных полей, у которых все точки покоя и замкнутые траектории гиперболичны. Обозначим через N множество векторных полей без точек покоя. Обозначим через KS множество полей Купки-Смейла (т.е. множе ство векторных полей X Є 7", для которых устойчивые и неустойчивые многообразия точек покоя и замкнутых траекторий транс-версальны) [3].

Пилюгин доказал, что верна следующая теорема [17]. Теорема 5.5 с LipSh. Так как множество S является С -открытым, то S С Int1 (LipSh). Наша цель - доказать обратное включение, т.е. доказать следующее утверждение (см. главу 2). Теорема 6. S = Int1 (LipSh). Мы также охарактеризуем множества Int OrbitSh) и Int1 (OrientSh). Обзор основных результатов диссертации опубликован в работе автора [1]. В первой главе изучается свойство OrientSh. При описании множества Int1 (OrientSh) важную роль играют системы, обладающие описанной ниже структурой. Будем говорить что матрица А принадлежит классу JC, если все ее собственные числа имеют ненулевые вещественные части. Отметим, что точка покоя р является гиперболической, если DX(p) є /С. Обозначим через /С множество матриц А Є /С, у которых есть такое вещественное собственное число а\ 0, что если с\ + d\i - собственное число матрицы А с с\ 0 и d\ ф 0, то с\ а\. Обозначим через К множество матриц А Є /С, для которых найдется такая пара комплексно сопряженных собственных чисел ai ± Ь\і с а\ 0, что если с\ 0 - собственное число матрицы Л, то с\ а,\. Отметим, что К\ П /Cj = 0, но КфК\и /CJ.

Завершение доказательства теоремы 9

Обозначим через /С]" множество таких матриц Л є /С, что — А Є /Сі". Аналогично, обозначим через К множество таких матриц А Є /С, что —А є К,%. Определение 7. Мы будем говорить, что векторное поле X принадлежит классу В, если у него есть две гиперболические точки покоя pi и р2 (не обязательно различные), обладающие следующими свойствами: (1) матрица D Х(р{) Є /Cj, (2) матрица DX{p2) Є /С , (3) существует траектория нетрансверсального пересечения многообразий Wu{p2) и Ws(pi). Рисунок 1 иллюстрирует данное определение. В первой главе доказаны следующие теоремы. Теорема 7. Int OrientShVB) С S. Теорема 8. Если dim М 3, то выполнено равенство S Int OrientSh). Во второй главе приведено доказательство теоремы 6. В доказательстве основным является случай, когда у векторного поля есть гиперболические неподвижные точки покоя р и q и при этом Ws(p) и Wu(q) пересекаются нетрансверсально. Ключевым ю Pi Рис. 1. Пример векторного поля класса Б моментом в доказательстве является построение псевдотраектории в окрестности Ws(p) Г) Wu(q), которая не может быть отслежена. Следует отметить, что построенная псевдотраектория не имеет аналога для случая дискретных динамических систем, порожденных диффеоморфизмами. Теорему 6 следует считать основным результатом диссертации. Результаты данной главы опубликованы в работе автора [2]. В третьей главе доказана следующая теорема. Теорема 9. Int OrbitShniV) с S. Эта теорема является обобщением недавно доказанной теоремы Ли-Сакая [11], в которой аналогичное включение получено не для орбитального, а для стандартного свойства отслеживания: Int StShfW) С 5. Кроме того, теорема 9 является обобщением соответствующего утверждения для диффеоморфизмов (теорема 3). При доказательстве теоремы 3, как упоминалось ранее, используется теорема Аоки-Хаяши. В доказательстве теоремы 9 важную роль играет аналогичное утверждение для векторных нолей без точек покоя [9], сформулированное ниже. Теорема 10. (Ган, Вен) Множество Intx(T Г) N) состоит из Q-устойчивых векторных полей. В то же время, существуют векторные поля, лежащие в Int1(T), и не являющиеся П-устойчивыми [12]. Основными результатами диссертации являются теоремы 6-9. Эти результаты опубликованы в работах автора [1], [2]. 2 Ориентированное свойство отслеживания Введем ряд обозначений. Пусть г Є М. Обозначим через ТГМ касательное пространство к многообразию М в точке г. Пусть N С М -такое подмногообразие М, что г Є N. Обозначим через TrN С ТГМ касательное пространство к подмногообразию N в точке г. Если в некоторой окрестности точки г многообразие М отождествлено с евклидовым пространством, то мы будем отождествлять ТТМ и М. Обозначим n-мерную единичную сферу через Sn. Для любого є 0 будем обозначать через Wlsoc(p),Wi C{p) локальные устойчивое и неустойчивое многообразия, соответствующие окрестности В (є, г). Для любой траектории 7 Рег(Х), точки г Є Wu{ f) и 6 0 будем обозначать через Си(5,г) связную компоненту Wu(j) П В(5:г), содержащую г. Назовем матрицу Р гиперболической, если все ее собственные числа по модулю отличны от 1. Будем обозначать через dist i расстояние между векторными полями в С -метрике. 2.1 Гиперболичность замкнутых траекторий и точек покоя Прежде чем приступить к доказательству теоремы 7, докажем лемму, которая используется при доказательстве всех основных теорем. Лемма 1. Int OrbitSh) С Т. (2.1) Доказательство. Предположим, что включение (2.1) не выполнено. Тогда найдется векторное поле X є Int1 (Orbit Sh), у которого есть негиперболическая точка покоя или замкнутая траектория. Обозначим ее через р. Возможны два случая: А1: р - точка покоя, А2: р - замкнутая траектория. Рассмотрим случай А1. Отождествим многообразие М в некоторой окрестности точки р с евклидовым пространством. Выберем систему координат, в которой точка р будет началом координат. Найдется такая окрестность Fx векторного ноля X, что Fx С OrbitSh. Легко показать, что найдется такое векторное поле X Є Fx-, что точка р является негиперболической точкой покоя векторного поля X и существует такая окрестность V С М точки р: что векторное поле Xі линейно в локальных координатах в окрестности V, и при этом точка р является началом координат. Покажем, что тогда векторное поле X не обладает свойством OrbitSh. Для простоты изложения переобозначим X через X и будем обозначать поток, порожденный Х\ через ф. В дальнейшем мы неоднократно будем возмущать векторное поле X, оставляя его в С окрестности множества потоков, обладающих тем или иным свойством отслеживания, и обозначая новое векторное иоле через X, а поток через ф. Таким образом, после возмущения векторное поле в окрестности V точки р может быть представлено в виде Х(х) = Рх, где матрица Р не принадлежит классу /С. Еще одним возмущением поля X можно добиться того, чтобы все собственные числа матрицы Р стали различными. Возможны два подслучая: А1.1: у матрицы Р есть собственное число О, А1.2: у матрицы Р есть пара комплексно сопряженных собственных чисел с вещественной частью, равной 0. Эти случаи рассматриваются аналогично. Приведем доказательство в более сложном из них - случае А 1.2.

Пусть матрица Р имеет пару комплексно сопряженных собственных чисел ±г6, где Ъ ф 0. Поскольку все собственные числа матрицы Р различны, мы можем выбрать систему координат, в которой матрица Р имеет вид МЫ Р= \b 0 J К Q ) где Q - некоторая матрица. Рассмотрим представление координат х в виде х = {y,z), где координата у соответствует паре собственных чисел ±гЬ, а координата z - матрице Q. Рассмотрим полярные координаты (г, ф) в плоскости z = 0. В этих координатах в окрестности V траектории поля X задаются уравнениями dr/dt = 0, dtp/dt = b, (2.2) dz/d = Qz. Выберем такое є 0, что Б(4є,0) С V. Рассмотрим произвольное d 0 и d-псевдотраекторию g(t), задаваемую соотношени ями 9(t) = г = є, (р — bt, z = О, г = є + f , р = Ь, z = О, 0, f t 0, г = Зє,ір = bt,z = О, Отметим, что псевдотраектория g(t) лежит в V. Предположим, что найдется такая точка х Є М, что distH(Cl{s(t) : teR}, СЮ(ж, 0)) є. (2.3) Если 0(ж, ф) не лежит целиком в V, то неравенство (2.3) не выполнено. Если же 0(х, ф) С V, то из уравнений (2.2) сле/гует, что координата г у всех точек 0(х, ф) одинаковая, и неравенство (2.3) не выполнено. Мы пришли к противоречию. Таким образом, векторное поле X не обладает свойством OrbitSh.