Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Разработка идей и методов решения многих уравнений в частных производных тесно связаны с исследованиями осциллирующих интегралов. Различные задачи теории чисел, теории уравнений в частных производных, теории вероятностей, квантовой механики,, акустики и оптики приводят к необходимости исследовать осциллирующие интегралы при больших значениях параметра.
Методы, основанные на преобразовании Фурье, применяются к изучению многих уравнений в частных производных. Введение интегральных операторов Фурье позволяет распространить эти методы на уравнения в частных производных с переменными коэффициентами. Применение интегральных операторов Фурье в качестве преобразований подобия позволяет приводить псевдодифференциальные операторы к более простому виду. Идеи и методы, основанные на использовании псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье и изучении волновых фронтов распределений, получили в последнее время в математической литературе название "микролокальный анализ". Он был создан в 60-х -70-х годах в фундаментальных работах В.П.Маслова, Дк.Кона, Л.Ниренберга, Ю.В.Егорова, Л.Хермандера и других.
Осциллирующие интегралы имеют многочисленные приложения в различных областях математики и физики. В последнее десятилетие теория особенностей исключительно тесно связана с исследованиями осциллирующих интегралов.
Исследованиями свойств одного класса осциллирующих интегралов и приложений этих интегралов для построения решений задачи Коши для уравнений типа ІІІредингера занимались Оскол-
-4-KOB К.И., Архипов Г.И., Stein Е.М. И Tainger S.
Цель работы - представление обобщенного решения задачи Коши для уравнений типа Шредингера с периодическими и непериоди- . ческими начальными данными в виде суммы главного члена-осцилля-ционного интеграла для непериодического случая и его дискретного аналога - тригонометрического ряда - в периодическом случае, и остаточного слагаемого, обладающего лучшими функциональными свойствами, нежели главный член. А также, доказательство ограниченности осцилляционного интеграла с кубическим многочленом в показателе экспоненты, представляющего собой обобщенное решение задачи Коши для уравнения Шредингера с дифференциальным оператором третьего порядка.
Научная новизна. Для обобщенного решения задачи Коши для уравнений типа Шредингера с непериодическими начальными данными получено представление в виде суммы главного члена, предетавлящего собой осцилляционный интеграл, и остаточного слагаемого, обладакщего лучшими функциональными свойствами, нежели главный член. В случае с периодическими начальными данными представление обобщенного решения задачи Коши для уравнения Шредингера с дифференциальными операторами 2-го и 3-го порядков в виде суммы главного члена-тригонометрического интеграла, - и остаточного слагаемого уточнено в том смысле,что уточнен класс функций, к которому принадлежит остаточное слагаемое. В целом, речь идет о выделении характерных особенностей решения задачи Коши для уравнений типа Шредингера. В основе предлагаемого алгоритма лежит аппроксимация исходной задачи Коши такой, у которой коэффициенты дифференциального оператора зависят только от времени и действительнозначны (коэффициент при старшем члене может быть и комплекснозначным).
При построении решений задачи Копш для уравнений типа Шредингера используется один класс осцилляционных интегралов (интегралов И.М.Виноградова) и их дискретный аналог -ряды И.М.Виноградова.
Понятие ряда и интеграла И.И.Виноградова было введено Осколковим К.И.
Ограниченность осцилляционного интеграла-с .кубическим многочленом в показателе экспоненты доказана с помощью представления ядра интегрального оператора в терминах функции Эйри.
Общая методика исследования. При обосновании содержащихся в диссертации утверждений использовались факты теории обыкновенных дифференциальных уравнений, линейной алгебры, теории чисел, теории возмущений, тригонометрических рядов,' асимптотических методов, теории почти-периодических функций.
Практическая и теоретическая ценность. Предлагаемый способ можно рассматривать как расширение методов теории возмущений для изучения многих уравнений в частных производных, а также глобальных и локальных свойств решений этих уравнений. Доказанная ограниченность осцилляционного интеграла с кубическим многочленом в показателе экспоненты может быть использована для исследования осцилляционных интегралов с многочленом произвольного порядка в показателе экспоненты.
Апробация работы. По результатам диссертации делались сообщения на Всесоюзной конференции молодых ученых на механико-математическом факультете в Д99І г., на научно-исследовательском семинаре в Математическом институте им.В.А.Стеклова РАН, на научно-исследовательских семинарах кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ под руководством докторов
ф.-.м. наук Б.С.Кашина, К.И.Осколкова,'М.С.Никольского, З.И.Благодагских, Н.І.Іригоренко, в Лундском Университете (Швеция, 1992 г.).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах
[і] , И .
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Объем работы составляет 95 страниц машинописного текста. В библиографии приведено 31 название научных работ.