Операторные оценки многомасштабного усреднения для эллиптических уравнений Тихомиров Роман Николаевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Операторные оценки локально-периодического усреднения 16

1. Постановка задачи и основной результат 16

2. О вспомогательных задачах на ячейке 17

3. Смещенное первое приближение 19

4. Доказательство проинтегрированной оценки 20

5. Построение корректора и 1-оценки 24

6. Уравнение с младшими членами 26

2 Операторные оценки повторного усреднения 32

1. Постановка задачи и основной результат 32

2. Смещенное первое приближение 34

3. Доказательство проинтегрированной оценки 39

4. О решениях вспомогательных задач 43

5. Построение корректора и 1-оценка 49

6. Уравнение с младшими членами 51

7. О матрице повторного усреднения 52

8. Примеры и замечания 57

3 Операторные оценки повторного усреднения в ограниченной области 62

1. Постановка задачи Неймана и основной результат 62

2. Первое приближение 63

3. Оценка невязки 66

4. Доказательство 1-оценки 68

5. Вывод 2-оценки 73

6. Оценки усреднения для задачи Дирихле 74

Об операторных оценках усреднения для эллиптических операторов с младшими членами 79

1. Постановка задачи и основной результат 79

2. Первое приближение и его невязка в уравнении 84

3. Проинтегрированная по параметру сдвига оценка 89

4. Следствия из "проинтегрированной" оценки 92

5. Доказательство вспомогательных утверждений 94

Заключение 96

Литература

• Смещенное первое приближение
• Смещенное первое приближение
• Первое приближение
• Первое приближение и его невязка в уравнении

Введение к работе

Актуальность работы. Диссертация посвящена операторным оценкам в различных задачах усреднения. Изучаются скалярные эллиптические уравнения второго порядка. Можно выделить три класса задач:

1. классические задачи усреднения;

2. задачи многомасштабного усреднения;

3. локально-периодические задачи.

Опишем постановку задачи в случае классического усреднения. Во всем пространстве IR рассмотрим эллиптическое уравнение

и Є H\WL^d), -div(a(x)Vu%x)) + и^є(х) = f(x), f Є C?(JR^d). (1)

Здесь а^є(х) = а(-), є - малый параметр, а(у) - измеримая симметрическая 1-периодическая матрица c ячейкой периодичности У = [-1/2, l/2)^d, подчиненная условию ограниченности и эллиптичности

АЄ² < а(у) Є < A^-1f² Ve Є IR^d, Л > 0. (2)

Матрица а^є(х) сильно осциллирует при є —> 0.

Решение уравнения (1) существует и в силу энергетической оценки ограничено в соболевском пространстве Я¹^). Само уравнение (1) понимается в смысле выполнения интегрального тождества. Можно доказать, что и^е сходится в L²(JR^d) при є -> 0 к некоторой функции и. Требуется найти уравнение, которому удовлетворяет предельная функция и и оценить разность \\и^є - u\\_L2mdy Для достижения этих целей часто применяется метод асимптотических разложений, широко представленный, например, в монографиях следующих авторов: Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G.W; Санчес-Паленсия Э.И; Жиков В.В., Козлов СМ., Олейник О.А.И; Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П.М; Пятницкий А.Л., Чечкин Г.А., Шамаев А.С.И Напомним

WA. Bensoussan, J.-L. Lions, G. Papanicolaou. Asymptotic Analysis for Periodic Structures. - Amsterdam: North Holland, 1978 - 699 p.

ИЭ. Санчес-Паленсия. Неоднородные среды и теория колебаний. - М.: Мир, 1984 - 472 с.

ИВ.В. Жиков, СМ. Козлов, О.А. Олейник. Усреднение дифференциальных операторов. - М.: Физмат-

лит, 1993 - 464 с.

МН.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко. Осреднение процессов в периодических средах. - М.: Наука, 1984 -352 с.

ИА.Л. Пятницкий, Г.А. Чечкин, А.С. Шамаев. Усреднение. Методы и приложения. - Новосибирск: Тамара Рожковская, 2007 - 264 с.

этот метод на примере классической задачи усреднения.

Выпишем формально асимптотическое разложение решения задачи (1),

и(х) = и(х) + єщ(х, у) + е²и₂(х, у) + ..., у = , (3)

є

где гхі(ж, у),и₂(х,у), ...- периодичны по г/. Нулевое приближение и(х) оказывается решением усредненной задачи, а для отыскания функций ui, u_2l ... имеется рекуррентная процедура. Усредненная матрица и усредненная задача определяются следующим образом.

Пусть H^l_per(Y) соболевское пространство периодических функций с нулевым средним,

ІМ|_Яі_ег(у) = ||VL2₍y).

Введем периодические задачи

N₃ Є H^l_per(Y), div_y[a(y)(e^J + VNj(y))] = 0, j = 1,..., d, (4)

где e¹, e²,..., e^d канонический базис в lR^d.

Усредненная матрица определяется равенством

а= (a(/ + V_yiV)), где ВД = {іВД, N₂(y), , iV_d(2/)}, / - единичная матрица,

() = (')y = ' dy — среднее по ячейке периодичности.

Матрица а⁰ является постоянной симметрической и положительно определенной.

Нулевое приближение и есть решение усредненной задачи

и Є H\lR^d), -div(aVu(x)) + и(я) = f(x). (5)

Эта задача того же вида, что и исходная, но значительно проще, благодаря постоянству матрицы а⁰.

Метод асимптотических разложений приводит к равенству

u₁(x,y) = N(y)-Vu(x).

В разложении (3) ограничимся первыми двумя слагаемыми, так что первым приближением будет

v(x) = и(х) + еиЛх, у) = и(х) + eNly) Vu(x), у = . (6)

є

Второе слагаемое в (6) принято называть корректором.

Теперь рассмотрим многомасштабное усреднение. Пусть для простоты и наглядности масштабов всего два. В этом случае матрица а^є{х) в уравнении (1) имеет структуру

а^є(х) = а(,^), 6 = 5(e), lim ^ = О, (7)

где а(г/, z) 1-периодична поуиг, ячейкой периодичности является единичный куб Z = У = [-1/2, l/2)^d. Для того чтобы а^є(х) была измеримой функцией, требуем каратеодориевость матрицы a(y,z). Предполагаем также, что матрица a(y,z) подчинена условию ограниченности и эллиптичности типа (2).

Усредненная матрица а⁰ определяется в два шага. На первом шаге вводится "промежуточная" усредненная матрица а(у) с помощью соотношений

а(у) = (а(у, -)(I + V_zM(y, -)))z, (8)

где M(y,z) = {M₁(y,z),M₂(y,z),...,M_d(y,z)}, функции Mj(y,z) по переменной z суть решения задач на ячейке периодичности

Щ(У, ) ^{є Hl}_Per(Z), &vz[a(y, z)(I + V_zMj(y, z))] = 0,

j = l,2,...,d, (9)

а у является здесь параметром.

"Окончательная" усредненная матрица получается на втором шаге в результате повторного усреднения, то есть

а= (a(.)(/ + V_yiV(.))>y,

где N(y) = {іВД, ЛГ₂(2/),..., N_d(y)}, а УВД - решение периодической задачи

N₃ є Я^_Г(У), div_y[a(2/)(^' + VyiV^y))] = 0, j = 1, 2,..., d. (10)

Усредненные матрицы a(i/), a будут, как и в чисто периодическом случае, симметрическими и положительно определенными. Соответствующие задачи на ячейке однозначно разрешимы.

Здесь сделаем замечание. Если поменять порядок усреднения, то есть сначала усреднять исходную матрицу (7) по ?/, а потом по z, то получим, вообще говоря, другую усредненную матрицу а⁰ (соответствующий пример построен

в гл.2 диссертации). Таким образом, можно сказать, что ситуация не симметрична по отношению к переменным у и z в матрице а^є{х). В частности, это относится и к условию Каратеодори: в нашем случае матрица а(у, z) должна быть непрерывна по у для почти всех z и измерима по z для всех у.

В случае локально-периодического усреднения матрица а^є{х) = а(х,-) зависит от быстрой переменной у = * и медленной переменной ж, по кото-рой нет периодичности. Процедура усреднения проводится только по быстрой переменной, что дает усредненную матрицу а⁰(ж), зависящую от медленной переменной X.

Вопросы многомасштабного и локально-периодического усреднения затрагивались во многих работах следующих авторов: A. Bensoussan, J.-L. Lions, G. Papanicolaou, M. Briane, G. Allaire, D. Lukkassen, L.E. Person, P. Wall, A. Braides, V. Chiado Piat, A. Defranceschi, А.М. Мейрманов, Д.И. Борисов, Р.Р. Гадыльшин и др., при этом использовались различные методы.

В литературе по классическому усреднению доказаны многочисленные оценки вида

Ы ~ ^и\\щ^) <^сє> (11)

\\и^є -и-єщЦщ^ <сє².

В этих оценках константы с зависят от гладкости нулевого приближения и, которая, в свою очередь, определяется гладкостью правой части /. Чтобы оценка (11) получила операторный смысл, она должна иметь вид

\\^иЄ -^и\\щп") <^с41\\щп^

где константа С уже не зависит от /. В этом случае из нее следует оценка для разности резольвент

II(А; + Л"¹ - (^о + Л^ІІ^^н^^) < Сє, (12)

где А_е = -diva(f)V, а А₀ = -divaV - действующие в L²(lR^d) неотрицательные самосопряженные операторы.

Впервые оценка вида (12) для широкого класса линейных эллиптических уравнений была установлена М.Ш. Бирманом и Т.А. Суслиной^. Спектраль-

^[6]М.Ш. Бирман, Т.А. Суслина. Периодические дифференциальные операторы второго порядка. Пороговые свойства усреднения // Алгебра и анализ. – 2003. – Т. 15, вып. 5. – С. 1-108.

ным, или блоховским методом ими были изучены помимо скалярного эллиптического уравнения различные векторные уравнения (например, система теории упругости). Анализ векторных задач оказался существенно более сложным из-за проблем, связанных с теорией возмущений. В.В. Жиков^[7] предложил другой подход для доказательства операторных оценок, основанный на специальном анализе первого приближения с привлечением дополнительного параметра интегрирования. Этот метод получил существенное развитие в работах В.В. Жикова и СЕ. Пастуховой'⁸"⁹!!¹⁰!. Универсальность метода Жикова - Пастуховой была продемонстрирована во многих работах, где рассматривались различные эллиптические и параболические уравнения, в том числе вырождающиеся и нелинейные, четвертого и более высокого порядка, а также система теории упругости. Там же изучались задачи в ограниченной области С IR^d с условиями Дирихле и Неймана на границе. Исходным пунктом метода В.В. Жикова является оценка

f(\u(x)-v(x)\²+\Vu(x)-Vv(x)\²)dx<

<се² /|6(^)|²(|Vu(x)|²+|W(x)|²)^, (13)

где b(y) - периодическая функция, полученная с помощью решений задачи на ячейке (4) и некоторых их преобразований. Важную роль в выводе этой оценки играет лемма о представлении соленоидального вектора в виде дивергенции от ко со симметрической матрицы. В общем случае Ь(у) не является ограниченной и ее нельзя исключить из данной оценки. Эта трудность преодолевается с помощью интегрирования по дополнительному параметру сдвига.

Наряду с исходным (1) рассматривается уравнение со смещенной матрицей

-div (а ( + gj) У<,(ж) ) + и^є_и(х) = f(x). (14)

^[7]В.В. Жиков. Об операторных оценках в теории усреднения // Доклады Академии Наук. – 2005. – Т.403, № 3. – С. 305-308.

^[8]В.В. Жиков. О некоторых оценках из теории усреднения // Доклады Академии Наук. – 2006. – Т.406, № 5. – С. 597-601.

^[9]С.Е. Пастухова. О некоторых оценках из усреднения задач теории упругости // Доклады Академии

Наук. – 2006. – Т. 406, № 5. – С. 604-608. ^[10]V.V. Zhikov, S.E. Pastukhova. On operator estimates for some problems in homogenization theory //

Russian Journal Math. Phys. – 2005. – V. 12, № 4. – P. 515-524.

Исходное уравнение (1) получается из (14), при ио = 0. Для задачи (14) первое приближение имеет "сдвинутый" вид

v^e_u(x) = и{х) + eN{y + ио) Vu(x), у = , (15)

то есть получается из приближения v(х) смещением по быстрой переменной у. Усредненная матрица для уравнения (14) не зависит от w и совпадает с а⁰, а значит усредненное уравнение для задачи (14) одно и то же для всех ио. Это следует из того, что решение соответствующих задач на ячейке имеет вид Nj(y,uj) = Nj(y + cj), то есть получаются сдвигом из решения задачи (4). Таким образом, верна оценка, аналогичная (13), но только с b (- + ио) вместо Ь(|) . Интегрируя эту оценку по параметру сдвига ио Є У, исключаем функцию \Ъ(- -\-ио)\², заменяя ее на среднее значение (|6|²), поскольку

^ I Ч є ' / I \1 I /

_{f\b(^ + u)2cLj= f \b(u)\}²_cLj.

І Є \ \ J \

Y Y

Цель диссертационной работы состоит в получении ТЛоценок операторного типа для разности решений исходной и усредненной задач в случае эллиптических уравнений с многомасштабными коэффициентами, а также аналогичных Я^оценок с корректором.

Для достижения поставленных целей используются энергетические оценки для эллиптических уравнений, принцип максимума и продвинутая эллиптическая теория, методы усреднения для эллиптических уравнений, техника сглаживания по Стеклову, метод возмущения сдвигом, лемма о представлении соленоидального вектора в виде дивергенции от кососимметрической матрицы.

Научная новизна. Полученные в диссертации результаты являются новыми.

Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы при изучении математических моделей физических процессов в микронеоднородных средах со многими масштабами.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения.

1) Для эллиптического уравнения во всём пространстве с двухмасштаб-ной матрицей доказана ²-оценка порядка тах{є, f} для разности точного решения и его нулевого приближения - решения усредненной задачи. Указанную оценку можно трактовать как оценку в операторной (L² —> Ь²)-норме

для разности резольвент исходного и усредненного операторов. Аналогичные оценки порядка є получены в локально-периодическом случае.

Є 6_

2. Для эллиптического уравнения во всём пространстве с двухмасштабной матрицей доказана і7¹-оценка порядка тах{є, -} для разности точного решения и его аппроксимации в виде суммы нулевого приближения и сглаженного корректора. Такую оценку можно трактовать как оценку в операторной (L² -> Я^-норме с корректирующим оператором. Аналогичные оценки порядка є получены в локально-периодическом случае.

3. В локально-периодическом случае для эллиптических уравнений во всём пространстве доказана Я^оценка порядка є для разности сглаженного по Стеклову точного решения и его нулевого приближения. Эта оценка не содержит корректора.

4. Изучено усреднение соответствующих краевых задач Дирихле и Неймана в ограниченной области. В двухмасштабном случае доказаны ²-оценка погрешности усреднения порядка тахіє, -} и аналогичная і7¹-оценка с кор-

ректором, имеющая порядок maxjy^, f }.

Апробация работы. Многие вопросы, затрагиваемые в работе, неоднократно обсуждались на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора В.В. Жикова, а также на семинаре по нелинейному анализу и его приложениям под руководством профессора А.А. Давыдова во Владимирском государственном университете имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых.

Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы" (Суздаль, 2008, 2012 и 2014, 2016), Воронежской зимней математической школе имени профессора С.Г. Крейна (Воронеж, 2014).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в семи печатных работах, из них четыре - статьи в рецензируемых журналах и три - тезисы докладов.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с научным руководителем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, приложения и библиографии. Общий объем диссертации 101 страница. Библиография включает 45 наименований на 5 страницах.

Смещенное первое приближение

Помимо Ь2-оценки (1.9) представляет интерес Я1 -оценка, в которой участвует более сложное, чем просто и, приближение, включающее подходящий "корректор". Эта Я оценка обеспечивает операторную оценку (1.8) с "корректирующим" оператором /Се. Выводим -оценку из (3.3).

В неравенстве (3.3) сделаем замену переменных х = х + EUJ и поменяем порядок интегрирования, то есть ( ( (\и%х) - veu(x - єш)\2 + \Vu(x) - Wl(x - єш)\2 ) dcudx Cs2\\f\\2L2{udy Используя неравенство Коши - Буняковского для оценки снизу внутреннего интеграла, получим [ \\и(х)- fvUJ{x-euj)duj\2 + \Vu(x)-V fvUJ(x-euj)duj\2\ dx Ce2\\f\\2L4ndy ud \ У У Из определения функции vl (см. (3.2)) будем иметь /\ш(х) = (и)(х)+єК(х), (5.1) У где (и)є сглаживание по Стеклову функции и, Ке(х) = f N(X-SUJ,Y VU{X - euj)duj. (5.2) Y Заметим, что первое слагаемое в (5.1) можно заменить на и с допустимой погрешностью. Действительно, по свойству сглаживания (см. лемма 0.3) \\U - (u)\\m{Rd) Ciwff2(Rd) C/La(Hd) в силу эллиптической оценки (0.25). Таким образом, будем использовать приближение v{x) = u{x) + eK{x). (5.3) Справедливо следующее утверждение. Teoрeма 5.1. Для разности и решения задачи (1.1) и приближения Vs, определенного в (5.3) и (5.2), имеет место оценка K- IIHHR II/II ), (5.4) где константа С того же типа, что и в (1.9). Отметим, что оценка (1.8) есть операторная форма неравенства (5.4). Выведем еще одно следствие из "проинтегрированной" оценки (3.3). Воспользуемся только переменой порядка интегрирования и оценкой снизу внутреннего интеграла по ячейке по неравенству Коши – Буняковского, что даёт I [u {x + єш) - veu(x)]du)\2 + [Vu%x + euj)-Vv x)}duj\2dx Ce2\\f\\2L2iudy ud \ У У Заметим, что v(x)duj = и(х), Vveu(x) = Vu(x). Y Y Тогда последнее неравенство перепишем в виде \\(us)-u\\m{]Rd) Ce\\f\\L4]Rd), (5.5) где константа С того же типа, что ив (1.9). Особо отметим, что -оценка (5.5) не содержит корректора.

Не представляет труда обобщить полученные результаты на уравнения с младшими членами. Остановимся здесь только на случае, когда коэффициенты при младших членах ограничены. Случай неограниченных коэффициентов рассмотрен подробно в приложении A в ситуации классического усреднения и может быть перенесён на локально-периодическое усреднение.

Рассмотрим во всем пространстве Ша скалярное эллиптическое уравнение с младшими членами ueeH\JRdl Aeue + iiue = f, /GL2(IRd), /І 0 Au = -div(aVw + au) + /3 Vu + 7w, (6.1) с малым параметром є. Здесь матрица а(х) удовлетворяет требованиям сформулированным в 1. Векторы (Iе, /3, функция 7, как и матрица а (см. (1.2)), имеют локально-периодическую структуру: а(х) = a (z, ) , Р{х) = /3 (х, ) , -f{x) = 7 (х, ) . Коэффициенты а(х,у), Р(х,у) и ф,у) каратеодориевы, то есть непрерывны по х для почти всех у и измеримы по у для всех х. Уточним и дополним требования на а(х,у), Р(х,у)иф,у): \а(х,у)-а(х ,у)\ cL\x-x \, \Р(х,у) - Р(х ,у)\ cL\x-x \, \-f(x,y)--f(x ,y)\ cL\x-x \ для всех х,х Є Md и почти всех у Є Y. Также считаем, что коэффициенты а, /3 и 7 ограничены, то есть Н,Н,Ы с0. Отметим, что существование и единственность решения задачи (6.1) при достаточно больших /І выводится из леммы Лакса - Мильграма. С исходной задачей (6.1) связана усредненная иеЯ1 ), A0u + iiu = f, /І 0 А0и = -div(a(x)Vu + а(х)и) + /30 (ж) Vu + 7(ж)«, (6.2) где а(х), /3(х) и 7(ж) зависят от медленной переменной х. Коэффициенты уравнения (6.2) определяются как а(х) = (ф, -)VyNo(x, ) + а(х, -) у, (ж) = ((/ + VyN(x, -)Щх, - у), 7(ж) = (/3(ж, ) Vy7V0( , ) + 7(ж, -) У Здесь N(x,y) - вектор из решений задачи (2.5), N0(x,y) - решение дополнительной периодической задачи #о(ж,-) Є Я ДУ), (ііуу[а(ж,у)Уу о(ж,у) + а(ж,у)] = О, {N0)Y = 0. (6.3) 2. Выясним, в какой степени близки решения задач (6.1) и (6.2). Попробуем применить для этого изложенный ранее подход. Из-за присутствия в уравнении младших членов первое приближение берем в виде v%x) = u(x) + eNj(x,y)? + eNo(x,y)u(x), у = . (6.4) OXj є

Поскольку записанное первое приближение отличается от классического, рассмотренного детально в приложении А (см. (A. 18)), наличием лишь дополнительной переменной х у функций Nj и iV0, то некоторые подробности будем опускать. Для первого приближения (6.4) выпишем градиент и поток: Структура оператора /Сє легко восстанавливается из формулы (6.19). Ещё одним следствием "проинтегрированной" оценки является так называемая Я1-оценка без корректора, в которой участвует сглаживание по Стеклову, а именно,

Смещенное первое приближение

1. Рассмотрим во всем пространстве IRd, d 2, дивергентное эллиптическое уравнение второго порядка общего вида ueH\]Rd), Au + fiu = f, feL2(lRd), Au = -div(aVu + au) + f3-Vu + -fu, ( .1) с малым параметром є Є (0,1). Коэффициенты уравнения е-периодические и, значит, быстро осциллируют при є — 0. Напомним, что матрица старших коэффициентов получается как а{х) = а(-), где а (у) - измеримая 1-периодическая матрица с вещественными элементами (необязательно симметричная), Y = [ -, \)d ячейка периодичности. Аналогично с помощью 1-периодических функций а(у), /%), ч{у) получаются коэффициенты в младших членах уравнения (A.1).

Предполагаем, что матрица а (у) подчинена условиям эллиптичности и ограниченности А2 а(у) , аШ"П А_1Ш V GlR , Л 0, (A.2) а 1-периодические векторы а(у), /%) и функция 7(2/) могут быть неограниченными, при этом выполнено условие интегрируемости: конечны нормы \\a\\L2P{Y)d, /3L2P(r)d, h\\Lp(Y), (A.3) где р = при d 2, р 1 при d = 2. (A.4) Решение уравнения (A.1) понимается в смысле интегрального тождества / (aVu + Л) Vipdx + / /3 Vw :r + / tfydx + ц u(pdx = и м R R (A.5) / ж у я1 ). Rd Чтобы обосновать корректность постановки задачи, изучим стоящую в левой части тождества (A.5) билинейную форму B(u,v) = [{aVu+au)-Vvdx+ [P-Vuvdx+ I\uvdx+fi f uvdx, u,veH\lRd). (A.6) Rd Rd Rd Rd Покажем, что все участвующие в (A.6) интегралы конечны. Для этого полезно следующее утверждение из [21, Лемма 5.1]. Лемма A.1 Пусть р{х) = р (f) , р О, р Є Ler(y) и показатель р такой же, как в (A.4). Тогда (реи,и) ci(M2 + 2VM2), СІ = const(d, \\p\\Lp(Y)). (A.7) Здесь и всюду далее используем упрощенное обозначение для скалярного произведения и нормы в (v) = (їЬ(Е-), II II = II IIL=(H") Часто не различаем в обозначениях пространства скалярных и векторных функций. Для полноты изложения в конце Приложения А приводится доказательство леммы A.1. Сейчас же укажем

Следствие из леммы A.1 Для составляющих формы (A.6) верны оценки: г) (%u,v) с2(\\и\\ + єV«)(H + єVv), c2 = const(d, \b\\Lp(Y)); ii) (au, Vv) c3(\\u\\ + eV«) Vv, c3 = const(d, \\а\\&Р(у)а); in) (pe Vu,v) c4(\\v\\ + eVv)V«, c4 = const(d, \\P\\L2P{Y)d). Действительно, поскольку (ju,v) (ри,и)Цру,у) р = 7Є, то утверждение г) непо средственно следует из (A.7) и числового неравенства для любых a, b 0. Утверждения И) и ш) доказываются однотипно. Например, в случае И) запишем неравенство (aeu,Vv) \\аєи\\ \\Vv\\ = (\ає\\и)ЦЧу\\ и к форме (\ає\2и,и) применим оценку (A.7), полагая р = \а\2. Утверждения г)-ш) вместе с условием (A.2) обеспечивают свойство ограниченности формы (A.6) при всех є и /І, а свойство коэрцитивности - для подходящих є и /І. Докажем только менее очевидное свойство коэрцитивности. Оно заключается в том, что ЗЛ0 0: Be{u,u) Xo\\u\\2H4nd) УиєН1{Ша) (A.8) при достаточно больших /І /І0 0 и достаточно малых є SQ. Значения /І0, ЄО и ЛО зависят от размерности d, константы эллиптичности Л и норм из (A.3), что видно из дальнейшего. В самом деле, исходим из неравенства В(щи) X\\Vu\\2 + fi\\u\\2 - \(%u,u)\ - \{au,Vu)\ - (/3 V«,v), где учли уже свойство эллиптичности (A.2), и далее применяем к трем формам из правой части оценки i)-iii). Отсюда, используя также числовое неравенство аЪ а2 + Ъ2 (V 0) последовательно выводим: B(u,u) \\\Vu\\2 + ii\\u\\2 Cl{\\u\\2 + є2\\Уи\\2) - сз(и + eV«)V« - а(\\и\\ + eV«)V« = (Л - Сіє2 - с3є - c3e)\\Vu\\2 + (/І - сі)м2 - (Сз + С4)«V« (А - сгє2 - с3є - СФ - )VM2 + (м - сі - і(с3 + с4)2)М2 ІЛІІУ + ІИ», если 5 = А, при этом є столь мало, что С\е2 + [с3 + с4)є , и /І столь велико, что /І - сі - (с3 + с4)2 1. Осталось положить Л0 = пштЦЛ, 1}. Располагая свойствами ограниченности и коэрцитивности для формы (A.6), по лемме Лакса - Мильграма выводим существование и единственность решения задачи (A.1). Записав тождество (A.5) при (р = и, получим энергетическое равенство B(u,u) = (f,u), из которого в силу (A.8) следует энергетическая оценка ll« ll .(R ) H/lbfR )- (A.9) 2. С исходной задачей (A.1) связана усредненная задача А0и = -div(aVM + а0 и) + /3 Vu + 7У ( ) где а0 - постоянная положительно определенная матрица и коэффициенты в младших членах также постоянны. Точные формулы для а0, а0, /3, 7 даны ниже (см. (A. 16) и (A.17)). Решение задачи (A. 10) понимается в смысле интегрального тождества B0(u,(p) = (f,(p), (peH\JRd), где имеем аналогичную (A.6) билинейную форму, но с постоянными коэффициентами, а именно, В0(щv) = f(aVu + а0 и) Vvdx + f fi0-Vuvdx + f juvdx + fi f uvdx. nd nd nd nd Решение задачи (A. 10) существует и единственно при достаточно больших /І, благодаря лемме Лакса - Мильграма. Ввиду постоянства коэффициентов в усредненном уравнении, помимо энергетической оценки типа (A.9) для решения и выполнена эллиптическая оценка IMIff2( ) co/L2( ). (A.11)

Далее задачи (A.1) и (A.10) рассматриваются при подходящих /і и є, /і /i0 и е0, где выбор /io и є о обеспечивает коэрцитивность операторов А, А и, как следствие, обе задачи поставлены корректно. Это уточнение часто будем опускать. Нашей целью будет следующая Теорема АЛ. Для разности решений задач (АЛ) и (АЛО) верна оценка h-u\\L2{ud) Cs\\f\\L2{ud), (A.12) если /І /io и є SQ. Константа С зависит от размерности d, постоянной эллиптичности А, параметра ц и норм \\a\\L2P{Y)d, Щ\Ь2Р{уу, \b\\Lp(Y). Из (A.12) следует оценка в операторной (L2 - Ь2)-норме для разности резольвент исходного и усредненного операторов (Л +/І)"1 - (Л +/i)"1L2(MdHL2(Rd) Се. (A.13) Резольвенту (ЛЄ+/І)_1 можно рассматривать как оператор, действующий из Ь2(Ша) в Я1 ), и в операторной (Ь Я)-норме её аппроксимацией будет сумма (А0 + /І)"1 + є)Сє резольвенты усредненного оператора и корректирующего оператора єК.є, структура которого указана в (A.58). Точное утверждение об аппроксимации решения задачи (A.1) в Я норме дано в теореме A.3.

Первое приближение

Утверждения г)-ш) вместе с условием (A.2) обеспечивают свойство ограниченности формы (A.6) при всех є и /І, а свойство коэрцитивности - для подходящих є и /І. Докажем только менее очевидное свойство коэрцитивности. Оно заключается в том, что ЗЛ0 0: Be{u,u) Xo\\u\\2H4nd) УиєН1{Ша) (A.8) при достаточно больших /І /І0 0 и достаточно малых є SQ. Значения /І0, ЄО и ЛО зависят от размерности d, константы эллиптичности Л и норм из (A.3), что видно из дальнейшего.

В самом деле, исходим из неравенства В(щи) X\\Vu\\2 + fi\\u\\2 - \(%u,u)\ - \{au,Vu)\ - (/3 V«,v), где учли уже свойство эллиптичности (A.2), и далее применяем к трем формам из правой части оценки i)-iii). Отсюда, используя также числовое неравенство аЪ а2 + Ъ2 (V 0) последовательно выводим: B(u,u) \\\Vu\\2 + ii\\u\\2 Cl{\\u\\2 + є2\\Уи\\2) - сз(и + eV«)V« - а(\\и\\ + eV«)V« = (Л - Сіє2 - с3є - c3e)\\Vu\\2 + (/І - сі)м2 - (Сз + С4)«V« (А - сгє2 - с3є - СФ - )VM2 + (м - сі - і(с3 + с4)2)М2 ІЛІІУ + ІИ», если 5 = А, при этом є столь мало, что С\е2 + [с3 + с4)є , и /І столь велико, что /І - сі - (с3 + с4)2 1. Осталось положить Л0 = пштЦЛ, 1}. Располагая свойствами ограниченности и коэрцитивности для формы (A.6), по лемме Лакса - Мильграма выводим существование и единственность решения задачи (A.1). Записав тождество (A.5) при (р = и, получим энергетическое равенство B(u,u) = (f,u), из которого в силу (A.8) следует энергетическая оценка ll« ll .(R ) H/lbfR )- (A.9) 2. С исходной задачей (A.1) связана усредненная задача А0и = -div(aVM + а0 и) + /3 Vu + 7У ( ) где а0 - постоянная положительно определенная матрица и коэффициенты в младших членах также постоянны. Точные формулы для а0, а0, /3, 7 даны ниже (см. (A. 16) и (A.17)). Решение задачи (A. 10) понимается в смысле интегрального тождества B0(u,(p) = (f,(p), (peH\JRd), где имеем аналогичную (A.6) билинейную форму, но с постоянными коэффициентами, а именно, В0(щv) = f(aVu + а0 и) Vvdx + f fi0-Vuvdx + f juvdx + fi f uvdx. nd nd nd nd

Решение задачи (A. 10) существует и единственно при достаточно больших /І, благодаря лемме Лакса - Мильграма. Ввиду постоянства коэффициентов в усредненном уравнении, помимо энергетической оценки типа (A.9) для решения и выполнена эллиптическая оценка IMIff2( ) co/L2( ). (A.11) Далее задачи (A.1) и (A.10) рассматриваются при подходящих /і и є, /і /i0 и е0, где выбор /io и є о обеспечивает коэрцитивность операторов А, А и, как следствие, обе задачи поставлены корректно. Это уточнение часто будем опускать. Нашей целью будет следующая Теорема АЛ. Для разности решений задач (АЛ) и (АЛО) верна оценка h-u\\L2{ud) Cs\\f\\L2{ud), (A.12) если /І /io и є SQ. Константа С зависит от размерности d, постоянной эллиптичности А, параметра ц и норм \\a\\L2P{Y)d, Щ\Ь2Р{уу, \b\\Lp(Y).

Из (A.12) следует оценка в операторной (L2 - Ь2)-норме для разности резольвент исходного и усредненного операторов (Л +/І)"1 - (Л +/i)"1L2(MdHL2(Rd) Се. (A.13) Резольвенту (ЛЄ+/І)_1 можно рассматривать как оператор, действующий из Ь2(Ша) в Я1 ), и в операторной (Ь Я)-норме её аппроксимацией будет сумма (А0 + /І)"1 + є)Сє резольвенты усредненного оператора и корректирующего оператора єК.є, структура которого указана в (A.58). Точное утверждение об аппроксимации решения задачи (A.1) в Я норме дано в теореме A.3. 3. Введем периодические задачи Nj Є Щег(У), divy[a(y)(e + VyNjiy))] = О, (N3) = 0, j = l,...,d, ( .14) где e1, e2,... ed - канонический базис в Ша; N0 є Hlper{Y), dwy[(a(y)VN0(y) + a(y))} = 0, (iV0 = 0. (A.15) Здесь использовано среднее по ячейке ()= Решения задач на ячейке понимаются в смысле выполнения интегрального тождества на гладких периодических функциях. Например, для задачи (A. 14) должно выполняться тождество [[а(у)(е + VyNjiy))] Vip(y) dy = 0 Vtp Є С.(У), которое означает, что a(y)(ej + VyNj(y)) есть соленоидальный вектор из L2per(Y)d. Далее этим фактом воспользуемся. в Задачи (A. 14) и (A. 15) имеют единственное решение, что легко доказывается по лемме Лакса - Мильграма. В этой связи для уравнения (A.15) стоит отметить, что а Є L2 (Y)d, силу условий (A.3) и (A.4), и уравнение записывается в виде divy[(a(y)VN0(y)} = -divy а(у) с правой частью, принадлежащей сопряженному пространству (Я ег(У)) . С периодическими задачами (A. 14) и (A.15) связано определение коэффициентов усредненного уравнения (A. 10). Усредненная матрица а0 определяется соотношениями aV = (а(е? + VyNj), j = l,...,d. (A.16) Остальные коэффициенты определяются равенствами: a0 = {aVyN0 + a), /3 = ((1 + VyiV)/3), 7 = Ф VyA 0 + 7), (A.17) где N={N1,N2,..., Nd} - вектор из решений задачи (A. 14), 1 - единичная матрица. 4. Некоторые замечания. Замечание 1. Операторные оценки усреднения для дивергентных несамосопряженных эллиптических уравнений любого четного порядка с младшими членами, но с ограниченными коэффициентами доказаны в [33] (см. также [26]).

Замечание 2. В работах [43], [44] изучались операторные оценки усреднения для самосопряженных уравнений с неограниченными коэффициентами, при этом предполагались несколько более сильные, чем в (A.3), (A.4), условия интегрируемости на коэффициенты в младших членах как нулевого, так и первого порядков.

Величина показателей интегрируемости в (A.3), (A.4) диктуется теоремами вложения. Эти показатели в нашем случае в точности совпадают с теми, что возникают в классической теории эллиптических уравнений с неограниченными коэффициентами (см. [39, гл. III]).

Замечание 3. Что касается эллиптических уравнений второго порядка с неограниченными коэффициентами в старшей части, то операторные оценки усреднения доказаны в случае разложения матрицы старших коэффициентов а(у) = as(y) + Ь{у) на симметрическую и кососимметрическую части, так что симметрическая матрица as{y) удовлетворяет условию типа (A.2), а кососимметрическая матрица Ь{у) имеет элементы из пространства В МО (пространства функций с ограниченным средним колебанием), см. [26] .

Первое приближение и его невязка в уравнении

Задачи (A. 14) и (A. 15) имеют единственное решение, что легко доказывается по лемме Лакса - Мильграма. В этой связи для уравнения (A.15) стоит отметить, что а Є L2 (Y)d, силу условий (A.3) и (A.4), и уравнение записывается в виде divy[(a(y)VN0(y)} = -divy а(у) с правой частью, принадлежащей сопряженному пространству (Я ег(У)) . С периодическими задачами (A. 14) и (A.15) связано определение коэффициентов усредненного уравнения (A. 10). Усредненная матрица а0 определяется соотношениями aV = (а(е? + VyNj), j = l,...,d. (A.16) Остальные коэффициенты определяются равенствами: a0 = {aVyN0 + a), /3 = ((1 + VyiV)/3), 7 = Ф VyA 0 + 7), (A.17) где N={N1,N2,..., Nd} - вектор из решений задачи (A. 14), 1 - единичная матрица. 4. Некоторые замечания.

Замечание 1. Операторные оценки усреднения для дивергентных несамосопряженных эллиптических уравнений любого четного порядка с младшими членами, но с ограниченными коэффициентами доказаны в [33] (см. также [26]).

Замечание 2. В работах [43], [44] изучались операторные оценки усреднения для самосопряженных уравнений с неограниченными коэффициентами, при этом предполагались несколько более сильные, чем в (A.3), (A.4), условия интегрируемости на коэффициенты в младших членах как нулевого, так и первого порядков.

Величина показателей интегрируемости в (A.3), (A.4) диктуется теоремами вложения. Эти показатели в нашем случае в точности совпадают с теми, что возникают в классической теории эллиптических уравнений с неограниченными коэффициентами (см. [39, гл. III]).

Замечание 3. Что касается эллиптических уравнений второго порядка с неограниченными коэффициентами в старшей части, то операторные оценки усреднения доказаны в случае разложения матрицы старших коэффициентов а(у) = as(y) + Ь{у) на симметрическую и кососимметрическую части, так что симметрическая матрица as{y) удовлетворяет условию типа (A.2), а кососимметрическая матрица Ь{у) имеет элементы из пространства В МО (пространства функций с ограниченным средним колебанием), см. [26] .

Попробуем построить приближение к решению задачи (A.1) в Я1-норме, или коротко первое приближение. Следуя классической теории усреднения (см. [1], [3], [4]), возьмём первое приближение в виде Vе (х) = и(х) + sNAy)3 + eN0(y)u(x), у=, (A.18) OXj є где Nj (j = 0,1,... , d) - решения задач на ячейке, и - решение усредненной задачи. Для первого приближения Vs вычислим градиент и поток: We(x) =Vu(x) + VyNjiy)9 + VyN0(y)u(x) + sN y) l ) + eN0(y)Vu(x) = (eJ + VyN y))9 + VyN0(y)u(x) + eV2u{x)N{y) + eN0(y)Vu(x), (A.19) a(y)Vve(x) + a(y)ve(x) = a(y)(e:i + VyN y))9 + [a(y)VN0(y) + a(y)]u(x)+ +ea(yW2u(x)N(y) + ea(y)N0(y)Vu(x) + ea(y)(N(y) Vu(x)) + ea(y)N0(y)u(x), y=. є Сравним вычисленный поток с потоком усредненного уравнения. Для разности этих потоков имеем представление R ЕЕ a{y)Vv{x) + a(y)ve(x) - aVu(x) - аРи(х) = = [a{y){eJ + VyN3(y)) - о е3]8 + [a(y)VN0(y) + a(y) - a]u(x) + ea{y)V2u{x)N{y) + ea{y)NQ{y)Vu{x) + ea(y)(N(y) Vu{x)) + ea(y)NQ(y)u(x) = = + " «( + (A.20) +ea{y)V2u{x)N{y) + ea{y)NQ{y)Vu{x) + ea(y)(N(y) Vu{x)) + T +ea(y)N0(y)u(x), y=, є где возникли векторы ді(у) = a{y){eJ + VyNjiy)) - aV, g(y) = a(y)VN0(y) + a(y) - a0. (A.21) Это - соленоидальные периодические векторы из L2{Y)d в силу уравнений (A. 14) и (A. 15), притом с нулевым средним (см. определение а0 и а0 в (A.16), (A.17)). Известно представление подобных векторов через матричный потенциал (см. лемму 0.1). Записывая вектора (A.21) через такой матричный потенциал, имеем 9 (у) = &уу&(у), GJ Є я;еД)гіхгі, j=0,l,...,rf, (A.22) и, как следствие, (без суммирования по повторяющимся индексам j) (A.23) g(y)u(x) = ediv(G(y)u(x)) - eG(y)Vu(x), y= є Заметим, что первое слагаемое в этих представлениях есть соленоидальный вектор. Действительно, для ер Є Со(Ша) имеем: /div (& () д \ V p(x)dx = - ( (f) V2 (x)dx = 0, dxj nd nd div G u(xj Vip(x)dx = - u(x)G V2 p(x)dx = 0, nd nd так как матрицы GJ и G кососимметрические, а матрица V2Lp - симметрическая. Представления (A.23) позволяют для divR получить содержащие множитель є выражение divR {А=] = ediv[a(y)V2u(x)N(y) + a(y)N0(y)Vu(x) + a(y)(N(y) Vu(x)) + a(y)N0(y)u(x)- (A.24) -G\yWu(x)-GUyw(d )}, y = . дхз є Теперь выпишем для первого приближения Vе так называемый скалярный поток P{y)-Vv{x)+1{y)v{x) = = /%) (eJ + VyN y))3 + [/%) ViVo(y) + l(y)]u(x) + єР(у) {V2u{x)N{y)) + т +є(3(у) Vu(x)N0(y) + eMy)N(y) Vu(x) + e-f(y)N0(y)u(x), y=, є и сравним его со скалярным потоком /3 Vu{x) + и(х) усредненного уравнения. Для разности этих потоков имеем представление г ЕЕ /%) Vv{x) + j(y)ve(x) - /3 Vu{x) - ju(x) = = [/%) (eJ + VyNAy)) - /3?0 ] + [/%) VN0(y) + 7(2/) - 7 (ж) + +є/3(2/) (V2«(a;)iV(y)) + є/%) Vu(x)N0(y) + ej(y)N(y)Vu(x) + e7(y)iVo(y)«(a;), 2/ == Стоящие здесь в квадратных скобках функции sj(y) = P(y)-(e + VyNj(y))-$, j = l,...,d, So(y) = р(у) VN0(y) + 7(2/) - 7 имеют нулевое среднее, в силу определения констант /3 и 7 (см. (A.17)). Кроме того, для всех і 2р Sj eLjff(Y). (A.26) Действительно, поскольку /З Є L2pPr(Y)d и VyN3 Є L2per(Y)d, то p 1 p+1 / \ p+1 \VyN3{y)\2dy\ J \P(y)\2 dy\ 2p 0 \ VyA (t/)-/3(t/)+1 / p+1dy \VvNAy)rdy I \/3{y)\zpdy I 00 2p 2p по неравенству Гельдера и, значит, Vy%/3 Є Щї (У).