Ограниченные решения одного класса линейных динамических уравнений в квазисоболевых пространствах Хасан Фаза Лафта Хасан

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Хасан Фаза Лафта Хасан . Ограниченные решения одного класса линейных динамических уравнений в квазисоболевых пространствах: диссертация ... кандидата Физико-математических наук: 01.01.02 / Хасан Фаза Лафта Хасан ;[Место защиты: Воронежский государственный университет].- Воронеж, 2016

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Разрешимость одного класса динамических уравнений в квазисоболевых пространствах 29

1.1. Пространство линейных ограниченных операторов в комплексных квазисоболевых пространствах 29

1.2. Аналитические функции в пространстве линейных ограниченных операторов 35

1.3. Относительные резольвенты и относительно спектральная теорема 40

1.4. Существование решений для одного класса линейных динамических уравнений 45

Глава 2. Ограниченные на полуоси решения однородных уравнений 52

2.1. Инвариантные подпространства решений и решение начально-конечной задачи 52

2.2. Ограниченность на полуоси решений однородных уравнений

2.3. Аналог линеаризованного уравнения Хоффа в квазисоболевых пространствах 60

2.4. Ограниченность на полуоси решений

аналога уравнения Баренблатта–Желтова–Кочиной 65

Глава 3. Существование экспоненциальных дихотомий и ограниченных решений неоднородных уравнений 69

3.1. Экспоненциальные дихотомии решений 69

3.2. Оператор-функция Грина неоднородного уравнения 73

3.3. Ограниченные решения неоднородных уравнений 77

3.4. Экспоненциальные дихотомии и ограниченные решения аналога уравнения Баренблатта–Желтова–Кочиной 84

Заключение 88

Список литеpатуpы

Аналитические функции в пространстве линейных ограниченных операторов
Ограниченность на полуоси решений однородных уравнений
Аналог линеаризованного уравнения Хоффа в квазисоболевых пространствах
Ограниченные решения неоднородных уравнений

Введение к работе

Актуальность темы. Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной по выделенной переменной, возникают при моделировании различных реальных процессов. К настоящему времени методы исследования таких уравнений в банаховых пространствах можно условно разделить на две группы. К первой группе следует отнести работы С.Л. Соболева, С.А. Гальпер-на, А.Г. Костюченко, R.E. Showalter, В.Н. Врагова, А.И. Кожанова, Г.В. Де-миденко, СВ. Успенского и многих других авторов, в работах которых проводится непосредственное исследование начально-краевых задач для уравнений или систем уравнений в частных производных. Другой подход, у истоков которого стояли работы М.И. Вишика, С.Г. Крейна, подразумевает изучение дифференциально-операторных уравнений в линейных топологических пространствах с дальнейшими приложениями к конкретным начально-краевым задачам. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают НА. Сидоров, A. Favini, A. Yagi, С.Г.Пятков, И.В. Мельникова, ГА. Свиридюк, В.Е. Федоров и многие другие.

Пусть последовательность {Хк} С Ш₊ такова, что lim Хк = +00. Степени

к—т>оо

квазиоператора Лапласа А^пи = {X^Uk}_} п Є N являются линейными непрерывными операторами из квазисоболева пространства ^т+2п в квазисоболево

пространство f_q = < {щ} С С : V^ (Х1\щ\) < +оо > , где г Є К, q Є М₊ (ра-

_I _к=\ ₎

нее¹ были рассмотрены пространства последовательностей действительных чисел). Квазисоболевы пространства — это полные квазинормируемые пространства, причем квазинорма я|| || : it —> К+ отличается от нормы <нсравсн-ством треугольника:», которое для квазинормы имеет вид: ЗС > 1 Уи, -и Є it u\\u + г>|| < С(я||гіЦ +я|Н|). Пополнение таких пространств возможно в силу того, что квазинормированные пространства метризуемы². Рассмотрим класс динамических уравнений вида

Р_п(А)й = ЯтЩи, (1)

п т

ГДЄ Р_п(х) = ^2^Сг^Х\ ^Сг Є С, С_п ф О И Q_m(x) = ^ &jX\ dj Є С, <І_т ф О,
г=0 j=0

¹ Аль-Делфи, Дж.К. Квазисоболевы пространства / Дж.К. Аль-Делфи // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2013. - Т. 5, № 1. - С. 107-109.

²Верг, И. Интерполяционные пространства. Введение / И. Берг, И. Лефстрем. — М., 1980.

— многочлены, такие, что т < п. Операторно-дифференциальные уравнения называются динамическими, если их решения могут быть продолжены на всю числовую ось Ш.

Вектор-функция и Є С(R; ^r_q⁺²ⁿ) называется решением уравнения (1), если при подстановке она обращает его в тождество. Такая функция и = u{t) назовается решением задачи Коши

и(0) = щ, (2)

для уравнения (1), если оно вдобавок удовлетворяет условию Коши (2) при некотором щ Є ^Т+2п. Известно, что при произвольных начальных данных задача Коши (2) неразрешима для уравнения (1). Поэтому для уравнений, неразрешенных относительно производной, больший интерес вызывает разрешимость задачи Шоуолтера-Сидорова

Р(и(0)-щ) = 0, (3)

где Р — проектор на образ разрешающей группы операторов уравнения (1).

В работе исследована разрешимость начальных задач (2) и (3) как для уравнения (1), так и для неоднородного уравнения вида

P_n(A)u = Q_m(A)u + g, (4)

где g : К. —> t. Также исследована разрешимость начально-конечной задачи

Pi КО) - щ) = О, Р2«т) -Ur) = 0 (5)

с некоторыми элементами щ,и_т Є ^т+2п для уравнения (4), здесь Р\ и Р2 — проекторы при некоторых условиях на относительный спектр порождающих операторов группы.

В теории устойчивости динамических и эволюционных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах важную роль играет понятие экспоненциальной дихотомии уравнения как одной из моделей асимптотического поведения его решений. С этим понятием тесно связан вопрос существования ограниченных решений соответствующего неоднородного дифференциального уравнения³. С точки зрения приложений именно такое поведение решения считается наиболее "физичным".

³Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. - М.: Наука, 1970.

Массера, Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Массера, Х.Х. Шеффер. - М.: Мир, 1970.

В работе исследуются вопросы существования инвариантных пространств и экспоненциальных дихотомий решений однородного уравнения (1), а также связанный с ним вопрос существования ограниченных решений для неоднородного уравнения (4) в квазисоболевых пространствах.

Понятие квазибанаховых пространств неразрывно связано с понятием банаховых пространств. Однако самостоятельный интерес к таким пространствам, как к объекту исследования, появился сравнительно недавно, примером этого могут служить работы Н. Кэлтона⁴, кроме того, такие пространства возникают при исследовании абелевых групп в работе И. Берга, И. Лефстрема², и прикладных задач, как например, в работах С.Я. Новикова⁵ и Дж.Д. Хардке⁶. Отметим, что квазинормируемые пространства являются как самостоятельным объектом теоретических исследований например в работах А.Б. Александрова⁷, В.Л. Крепкогорского⁸, так и используются в решении прикладных задач, например работа СМ. Вовка и В.Ф. Борулько⁹.

Что касается разрешимости уравнений в квазибанаховых пространствах, то в силу того, что, как уже отмечалось выше, в таких пространствах даже линейные отображения существуют не всегда, результатов по исследованию уравнений в квазибанаховых пространствах не много. Можно отметить монографию¹⁰, в первой части которой В.Г. Фетисов рассматривает уравнения в пространствах Орлича. Операторный подход к таким уравнениям в квазибанаховых пространствах был впервые применен в работах Дж.К. Аль-Дслфи¹¹. Настоящее иссле-

⁴Kalton, N. Quasi-Banach Spaces / N. Kalton // Handbook of the Geometry of Banach Spaces,

Vol. 2, Edit, by W. Johnson and J. Lindenstrauss. - Amsterdam: Elsevier, 2003. — P. 1099-1130. ⁵Новиков, С.Я. Об особенностях оператора вложения симметричных функциональных пр-

ространств на [0,1] / С.Я. Новиков // Математические заметки. — 1997. — Т. 62, вып. 4. —

С. 549-563.

⁶Hardtke, J.D. A Remark on Condensation of Singularities / J.D. Hardtke // Journal of

mathematical physics, analysis, Geometry. — 2013. — V. 9, № 4. — P. 448-454.

⁷Александров, А.Б. Квазиномированные пространства в комплексном анализе: дис. ... док.

физ-мат. наук / А.Б. Александров. - Ленинград, 1983.

⁸Крепкогорский, В.Л. Квазиномированные пространства функций, рационально аппроксимируемых в норме ВМО / В.Л. Крепкогорский // Известия высших учебных заведений.

Математика. - 1990. - № 3.- С. 38-44.

⁹ Вовк, СМ. Постановка задач определения линейных параметров сигналов в квазиномиро-

ванных пространствах / СМ. Вовк, В.Ф. Борулько // Известия высших учебных заведений.

Радиоэлектроника. - 2010. - Т. 53, №- 7. - С. 31-42.

¹⁰ Фетисов, В.Г. Операторы и уравнения в линейных топологических пространствах /

В.Г. Фетисов, В.И. Филиппенко, В.И. Козоброд. - Владикавказ: ВНЦ РАН, 2006.

¹¹ Аль-Делфи, Дж.К. Исследование вырожденных голоморфных групп в квазибанаховых

дование является логическим продолжением тематики последней работы.

Целью работы является изучение одного класса линейных динамических уравнений в комплексных квазисоболевых пространствах с получением условий существования ограниченных решений этого класса уравнений. Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

Исследовать разрешимость различных начальных задач и начально-конечной задачи для указанного класса линейных динамических уравнений;
Получить условия существования инвариантных пространств решений изучаемых уравнений;
Исследовать существование дихотомий решений для однородных уравнений в квазисоболевых пространствах;
Исследовать вопросы существования ограниченных решений для однородных и неоднородных уравнений изучаемого класса;
Применить полученные результаты при изучении свойств решений для аналога уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной и аналога линеаризованного уравнения Хоффа в квазисоболевых пространствах.

Методы исследования. Основные методы исследования, применяемые в данной работе, - методы функционального и комплексного анализа и теории динамических операторно-дифференциальных уравнений Специфика рассматриваемых задач учитывается лежащим в основе теории разрешающих вырожденных групп операторов метода фазового пространства. Суть метода заключается в редукции сингулярного уравнения (1) к эквивалентной ему системе двух уравнений, определенных на взаимно дополнительных подпространствах. Одно из полученных уравнений разрешено относительно производной и исследуется классическими методами, другое - имеет нильпотентный оператор при производной, что существенно используется при построении решения.

Научная новизна заключается в полученных результатах:

1. Введен в рассмотрение класс динамических уравнений в комплексных ква
зисоболевых пространствах.

2. Показана относительная ограниченность оператора правой части и ис
следована разрешимость указанного класса уравнений с обобщением таких ре
зультатов на случай комплексных квазибанаховых пространств последователь-
пространствах : дисс. ...канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 / Дж.К. Аль-Дельфи; ЮУрГУ. -
Челябинск, 2015.

ностей.

Получены условия существования инвариантных пространств. Исследованы необходимые и достаточные условия существования ограниченных на полуоси решений для однородных уравнений.
Получены условия существования экспоненциальных дихотомий решений. Определены условия существования ограниченных решений для неоднородных уравнений с построением и исследованием свойств оператор-функции Грина.
В работе рассматриваются свойства решений аналогов известных неклассических уравнений математической физики — линеаризованного уравнения Хоффа и уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной — в комплексных квази-соболевых пространствах.

Теоретическая и практическая значимость. В работе обобщены результаты о разрешимости уравнений Соболевского типа на случай комплексных квазисоболевых пространств и получены условия существования экспоненциальных дихотомий и ограниченных решений одного класса уравнений в таких пространствах, что развивает теорию динамических уравнений Соболевского типа. Отметим, что именно ограниченные решения представляют наибольший интерес в практических приложениях, так как именно такое поведение решений системы считается наиболее <физичным>. Кроме того, информация об инвариантных подпространствах решений и экспоненциальных дихотомиях позволяет исследователям, выбирая начальные данные, получать результаты с некоторыми свойствами. Точнее, выбрав начальное значение из одного инвариантного пространства, получим возрастающие решения, а из другого — убывающие. Полученные результаты могут стать основанием для дальнейшего исследования свойств решений неклассических уравнений в квазибанаховых пространствах последовательностей и различных задач для такого рода и использоваться при рассмотрении возможность более эффективных методов решения технических задач.

Апробация работы. Результаты работы апробированы на конференциях: Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2014), Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2015), Международной научной конференции "Спектральные задачи, нелинейный и комплексный анализ" (Уфа, 2015), Зимних воронежских математических школах (Воронеж, 2014, 2016), Ежегод-

ных конференциях аспирантов и докторантов ЮУрГУ (Челябинск, 2014, 2015). Результаты неоднократно докладывались на областном семинаре по уравнениям Соболевского типа профессора Г.А. Свиридюка.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [7]. Работы [4], [5] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. В совместных с научным руководителем работах [4], [5] научному руководителю принадлежит постановка задачи. Из этих работ в диссертацию вошли только результаты, полученные ее автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 105 страниц. Список литературы содержит 116 наименований.

Аналитические функции в пространстве линейных ограниченных операторов

Определив экспоненциально ограниченную С-полугруппу [41, 80, 84, 93] {Vі : t 0}, удалось получить решение v(t) = C 1Vtvo задачи Коши для уравнения (0.7) в случае, когда оператор А является генератором С-полугруппы. Это решение получено для г о Є OfdomA]

и устойчиво относительно нормы Н оНс"1 = й)н + И)н- Отметим, что для С-полугрупп также доказан аналог теоремы ХИФФМ. В 60-е годы в работах [39, 41, 95] появилось понятие регулярной полугруппы распределений, и было доказано, что существование ее является необходимым и достаточным условием обобщенной корректности. Более подробно эти семейства операторов рассмотрены в монографии И.В. Мельниковой и А.И. Филинкова [96], в частности, в ней показана схема связей между генераторами различных классов полугрупп уравнения (0.7).

Отметим также распространение теории C0-полугрупп на пространства Степанова [25, 28], которые позволяют рассматривать более широкое множество операторов в уравнениях вида (0.7). В настоящее время в г. Воронеже усилиями В.А. Костина создана математическая школа, представители которой изучают пространства Степанова и C0-полугруппы с особенностями в различных аспектах.

Далее, теория групп операторов в банаховых пространствах [5, 10, 23, 31, 74, 99] была распространена на локально выпуклые пространства. При этом теория равностепенно полугрупп операторов в локально выпуклых пространствах (Л. Шварц [104], H. Komatsu [94], K. Yosida [109]) оказалась очень близка к теории полугрупп в банаховых пространствах: в обоих случаях основным языком и методом исследования служит резольвента производящего оператора полугруппы.

Многие понятия теории полу(групп) изучены в локально выпуклых пространствах [23, 73]. Разрешимость уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах была исследована в работе [109] при различных условиях на пару операторов в уравнениях. В работах [69, 70] были рассмотрены вопросы разрешимости таких уравнений в максимальной степени общности для локально выпуклых пространствах и пространств Фреше, которые являются проективными пределами пространств Соболева.

Что касается разрешимости уравнений в квазибанаховых пространствах, то в силу того, что, как уже отмечалось выше, в таких пространствах даже линейные отображения существуют не всегда, результатов по исследованию уравнений (0.2) в квазибанаховых пространствах не много. Можно отметить монографию [72] в первой части которой В.Г. Фетисов рассматривает уравнения в пространствах Орлича. Операторный подход к таким уравнениям в квазибанаховых пространствах был впервые применен в работах Дж.К. Аль-Делфи [4, 22]. Настоящее исследование лежит в русле этих работ.

Одними из основных объектов исследования данной работы являются вопросы существования экспоненциальных дихотомий и ограниченных решений уравнений соболевского типа первого порядка в квазибанаховых пространствах последовательностей. Наиболее широко ограниченные решения исследованы в области обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производной. Интенсивность развития этой теории подтверждается тем, что в известном обзоре Л. Чезари 1959 года [75] список литературы занял 140 страниц. Базовыми работами в этой области являются работы А.М. Ляпунова [35]. Результаты об устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений наиболее полно представлены в работах Ф. Гантмахера [12], Б. Демидовича [14], Э. Код-дингтона и Н. Левинсона [24]. В настоящее время вопросы устойчивости, а также существования ограниченных решений для систем обыкновенных дифференциальных уравнений остаются актуальными, но по большей части для нелинейных систем (см. например, работы [43]–[45]).

Условие экспоненциальной дихотомии для систем уравнений с переменными коэффициентами рассматривалось, по-видимому, уже в работе О. Перрона [100], изучавшего нелинейные возмущения таких уравнений. Ранее подобная задача для нелинейного уравнения со стационарной линейной частью исследовалась П. Болем [83]. O. Перрон обобщил результаты Ж. Адамара [89], относящиеся к двумерному дискретному случаю. Причем при данном обобщении условие экспоненциальной дихотомичности решений не была сформулирована явно. Условие существования дихотомий было заменено на условие существования ограниченных решений неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка с ограниченной неоднородностью. Эквивалентность этих условий для систем обыкновенных дифференциальных уравнений была установлена А.Д. Май-зелем [36].

Ограниченность на полуоси решений однородных уравнений

Замечание 3.1.2. Если при выполнении (3.1.4) окажется, что если одна из компонент а\{М) = 0, то Zl = imt/" , где imU — фазовое пространство уравнения (3.1.1). В этом случае решения уравнения (3.1.1) уместно назвать экспоненциально асимптотически устойчивыми. Замечание /с Є Іч и Re — = 0 , следует, что относительный спектр (7 м ) не пересекается с мнимой осью, то есть выполнено условие (3.1.4). Следствие 3.1.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.1.1 и до-полнительно Re — 0. Іогоа устойчивое подпространство Сп уравнения (3.1.3) бесконечномерно, а неустойчивое З2 — конечномерно.

Доказательство. В силу теоремы 3.1.1 решения уравнения (3.1.3) имеют экспоненциальную дихотомию. Используя терминологию из замечания 3.1.1 исследуем инвариантные подпространства.

В силу условия Re ( — ) 0 компонента относительного спектра Cn сг(М), если не пуста, может содержать только конечное число точек относительного спектра. И соответственно, утверждение имеет место в силу следствия 2.1.2. Замечание 3.1.4. Если в формулировке следствия 3.1.1 вместо усло / чт \ / чт \ вия Re — 0 взять условие Re — 0, то наоборот устой Сп Сп чивое подпространство Z1 будет конечномерным, а неустойчивое З2 — бесконечномерным. 3.2. Оператор-функция Грина неоднородного уравнения Пусть it = т+2п и $ = т — квазиcоболевы пространства, где г Є Ж. и q Є (0,1), а последовательность {Хк} С Ш+, такова что lim Xk = +00. Рассмотрим неоднородное уравнение вида - многочлены, такие, что m = п. И пусть числа Л , являющиеся корнями многочлена Рп(х), не являются корнями Qm(x). При таких условиях в силу теоремы 1.4.2 оператор М = Qm(A) является (L, 0)-ограниченным при L = Рп(А). В предыдущем пункте было показано, что для того, чтобы решения однородного уравнения (3.1.3) с (L, 0)-ограниченным оператором М были э-дихотомичны достаточно, чтобы L-спектр оператора М не пересекался с мнимой осью. Это же условие достаточно для существования ограниченных решений неоднородного уравнения (3.2.1) в банаховых пространствах (см. напр. [21, 55, 63]). Покажем аналогичный результат для квазибанаховых пространств последовательностей.

Итак, пусть выполнено условие (3.1.4). Согласно предыдущему пункту обозначим crf(M) = {/І Є aL(M) : Re/i 0}, a\{M) = {/j, Є aL(M) : Re/i 0} и существуют контуры [ и 2 лежащие соответственно в левой и правой полуплоскостях и ограничивающие области, содержащие о\(М) и о\{М) соответственно.

Доказательство. (i) Действие оператор-функции G1 из it в it1 следует из вида функции G1. Получим оценку. Аналогично, доказательству теоремы 3.1.1 при условии (3.1.4) выполнено aL(M) = а\(М) U а\{М\ где а\(М) = {/І Є aL(M) : Re/i < 0}, сг^М) = 74 {/І Є (TL(M) : Re/i > 0}. Кроме того, существуют контуры 7і и 72 лежащие в левой и правой полуплоскостях и ограничивающие области, содержащие а\(М) и crl'(M) соответственно. А значит, существуют положительные константы а\ = —max Re/i и Й2 = minRe/i. При отрицательных t в силу леммы 1.1.1, а также замечания 1.1.1, получимСогласно лемме 2.1.2 пространства it1 и fi1 расщепляются: it1 = it11 0 it21, $l = $и Ф $21. И соответствующие проекторы имеют вид

Аналог линеаризованного уравнения Хоффа в квазисоболевых пространствах

Пусть it и $ — квазибанаховы пространства последовательностей, операторы L, М Є (il;#). Рассмотрим уравнения вида Ьй = Ми, (3.1.1) при условии (L, -ограниченности оператора М, р Є {0} U N. Определение 3.1.1. Будем говорить, что решения уравнения (3.1.1) имеют экспоненциальную дихотомию (или, коротко, э-дихотомичны), если (i) фазовое пространство уравнения (3.1.1) представимо в виде ф = -З1 Ф -З2, где 0 – инвариантное подпространство уравнения (3.1.1), к = 1, 2. (ii) для любого Мо Є 3і (щ Є З2) решение it = u(t) задачи Коши it(0) = Mo (3.1.2) для (3.1.1) таково, что при некотором а Є Ш+ и всех ІЄ t iiw() Сіе аідгіо (дгі() С2Єаідмо)

Замечание 3.1.1. В силу определения 3.1.1 наличие экспоненциальных дихотомий решений означает, что решения, начинающиеся в подпространстве З1 экспоненциально убывают, а в подпространстве З2 - экспоненциально возрастают. Соответственно, уместно называть подпространство З1 экспоненциально устойчивым, а З2 - экспоненциально неустойчивым. Рассмотрим экспоненциальные дихотомии решений класса уравнений вида

В силу компактности L-спектра aL(M) оператора М и условия (3.1.4) имеем aL(M) = а\(М) U af M), где erf (М) = {/І Є aL(M) : Re/i 0}, a (M) = {/І Є aL(M) : Re/i 0}. Кроме того, существуют контуры 7І и 72 лежащие соответственно в левой и правой полуплоскостях и ограничивающие области, содержащие а\(М) и сг М). Построим группы [I и Щ, используя формулу (2.1.3), где контур 7i заменим сначала на 7І, а потом на 2- В силу теоремы 2.1.1 imll = З1 и imU = З2 — инвариантные пространства уравнения (3.1.3), причем поскольку U\ + U\ = IIі, то З1 Ф З2 = И1 = imt/" .

Получим оценки из (И) определения 3.1.1. В силу леммы 1.1.1, замечания 1.1.2, а также [7, леммы 3.10.2], для любых и Є З1 и t Є Ж. справедлива оценка

Положим а = min{—аі, а }, тогда следует выполнение требования (іі) определения 3.1.1. Замечание 3.1.2. Если при выполнении (3.1.4) окажется, что если одна из компонент а\{М) = 0, то Zl = imt/" , где imU — фазовое пространство уравнения (3.1.1). В этом случае решения уравнения (3.1.1) уместно назвать экспоненциально асимптотически устойчивыми. Замечание /с Є Іч и Re — = 0 , следует, что относительный спектр (7 м ) не пересекается с мнимой осью, то есть выполнено условие (3.1.4).

Следствие 3.1.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.1.1 и до-полнительно Re — 0. Іогоа устойчивое подпространство Сп уравнения (3.1.3) бесконечномерно, а неустойчивое З2 — конечномерно.

Пусть it = т+2п и $ = т — квазиcоболевы пространства, где г Є Ж. и q Є (0,1), а последовательность {Хк} С Ш+, такова что lim Xk = +00. Рассмотрим неоднородное уравнение вида - многочлены, такие, что m = п. И пусть числа Л , являющиеся корнями многочлена Рп(х), не являются корнями Qm(x).

При таких условиях в силу теоремы 1.4.2 оператор М = Qm(A) является (L, 0)-ограниченным при L = Рп(А). В предыдущем пункте было показано, что для того, чтобы решения однородного уравнения (3.1.3) с (L, 0)-ограниченным оператором М были э-дихотомичны достаточно, чтобы L-спектр оператора М не пересекался с мнимой осью. Это же условие достаточно для существования ограниченных решений неоднородного уравнения (3.2.1) в банаховых пространствах (см. напр. [21, 55, 63]). Покажем аналогичный результат для квазибанаховых пространств последовательностей.

Согласно лемме 2.1.2 пространства it1 и fi1 расщепляются: it1 = it11 0 it21, $l = $и Ф $21. И соответствующие проекторы имеют вид Доказательство. (i) Действие оператор-функции G1 из it в it1 следует из вида функции G1. Получим оценку. Аналогично, доказательству теоремы 3.1.1 при условии (3.1.4) выполнено aL(M) = а\(М) U а\{М\ где а\(М) = {/І Є aL(M) : Re/i 0}, сг М) = {/І Є (TL(M) : Re/i 0}. Кроме того, существуют контуры 7і и 72 лежащие в левой и правой полуплоскостях и ограничивающие области, содержащие а\(М) и crl (M) соответственно. А значит, существуют положительные константы а\ = —max Re/i и Й2 = minRe/i.

Ограниченные решения неоднородных уравнений

Положим а = min{—аі, а }, тогда следует выполнение требования (іі) определения 3.1.1. Замечание 3.1.2. Если при выполнении (3.1.4) окажется, что если одна из компонент а\{М) = 0, то Zl = imt/" , где imU — фазовое пространство уравнения (3.1.1). В этом случае решения уравнения (3.1.1) уместно назвать экспоненциально асимптотически устойчивыми. Замечание В теореме 3.1.1 условие (3.1.4) будет выполнено, если /с Є Іч и Re — = 0 , следует, что относительный спектр (7 м ) не пересекается с мнимой осью, то есть выполнено условие (3.1.4).

Согласно лемме 2.1.2 пространства it1 и fi1 расщепляются: it1 = it11 0 it21, $l = $и Ф $21. И соответствующие проекторы имеют вид

Доказательство. (i) Действие оператор-функции G1 из it в it1 следует из вида функции G1. Получим оценку. Аналогично, доказательству теоремы 3.1.1 при условии (3.1.4) выполнено aL(M) = а\(М) U а\{М\ где а\(М) = {/І Є aL(M) : Re/i 0}, сг М) = {/І Є (TL(M) : Re/i 0}. Кроме того, существуют контуры 7і и 72 лежащие в левой и правой полуплоскостях и ограничивающие области, содержащие а\(М) и crl (M) соответственно. А значит, существуют положительные константы а\ = —max Re/i и Й2 = minRe/i. При отрицательных t в силу леммы 1.1.1, а также замечания 1.1.1,

Мы использовали лемму 3.2.1, непрерывность операторов Lj и М. 3.3. Ограниченные решения неоднородных уравнений Напомним, что it = т+2п и $ = t — квазиcоболевы пространства, где г єКидЄ (0,1), а последовательность {Хк} С К+, такова что lim Xk = +00. Операторы Pn(A)}Qm(A) є С(т+2п;г) и числа А&, являющиеся корнями многочлена Рп(х), не являются корнями Qm(x). Рассмотрим существование ограниченных на всей числовой оси решений для уравнений вида (3.2.1). В дальнейшем будем использовать обозначения д = (I — Q)g, д1 = Qg. Теорема 3.3.1. Пусть п = т, числа Xk, являющиеся корнями многочлена Рп(х), не являются корнями Qm{x), выполнено условие (3.1.4) и пусть аналитическая вектор-функция д : К. — такова, что существует д Є $, что sup \gk{t)\ = g k для всех к Є N. Тогда teR уравнение (3.2.1) имеет единственное ограниченное на К. решение и Є С1 (К, it), причем это решение и = u(t) имеет вид