Однопараметрические канонические полугруппы и корректные задачи без начальных условий для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве Гим Метак Хамза Гим

Содержание к диссертации

Введение

1 Однопараметрические канонические полугруппы 13

1.1 Вектор-функции со значениями в банаховом пространстве. 13

1.2 Оператор-функции 19

1.3 Канонические полугруппы 27

1.4 Элементарные полугруппы и их производящие уравнения 28

1.5 Арифметические полугруппы и из производящие операторы 32

1.6 Позитивные операторы и их дробные степени 35

1.7 Задачи корректные по Ж. Адам ару 36

1.8 Задачи для дифференциальных уравнений, равномерно корректные по С.Г. Крейну 38

2 Задачи без начальных условий и их корректная разреши мость 46

2.1 Постановка задачи 46

2.2 Необходимые факты из общей теории 47

2.3 Полугруппы переносов с деформациями 49

2.4 Производящие операторы полугрупп с деформациями 52

2.5 Примеры полугрупп с деформациями 53

2.6 Нестационарные задачи без начальных условий 55

3 Со— операторные многочлены и их коэрцитивность 65

3.1 Проблемы коэрцитивности. История вопроса 65

3.2 Со- операторные многочлены 66

3.3 x(t) функция Хевисайда и q(t)- функция Грина 67

3.4 Теорема коэрцитивности 70

3.5 Представление решений некоторых задач без начальных условий для уравнений высокого порядка 71

Список литературы 80

• Канонические полугруппы
• Арифметические полугруппы и из производящие операторы
• Необходимые факты из общей теории
• Со- операторные многочлены

Введение к работе

Актуальность темы. Как известно, активное применение теории полугрупп и групп к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными началось с работ Ж.Адамара, заметившего, что задача Копій для волнового уравнения приводит к некоторым группам преобразований. При этом, из групповых свойств вытекают определенные теоремы сложения. В случае же преобразований параболического типа, когда соответствующие явления необратимы, вместо групп появляются полугруппы.

В работах Хилле, Иосиды, Филлипса и Като были заложены основы теории дифференциальных уравнений вида u'{t) = Au{t) с неограниченным оператором А, которая, после этого, становится самостоятельной областью исследования, привлекающая внимание многих авторов, в числе которых важное место занимают и воронежские математики: С.Г. Крейн, М.А. Красносельский, П.Е. Соболевский, А.Г. Баскаков и др. Этой тематике посвящены также работы и других российских математиков: СИ. Пискарева, Г.А. Свиридюка, В.Е. Федорова и др.

В теории уравнений параболического типа важное место занимают одно-параметрические полугруппы линейных преобразований T(t), t > 0, называемые каноническими и определяемые соотношением Т{а 0/3) = Т(а)Т(/3), где а, /3 — действительные или комплексные числа. При этом в системе рассматриваемых чисел можно выделить множество полугрупп, соответствующих разнообразным операциям сложения.

Так известно, что если F(x,y) функция х,у Є R, такая, что F(x,y) Є Ш⁺ и

F(x,(F(y,z)) = F(F(x,y),z), (1)

то формула а 0 /3 = F{a, /3) может служить определением полугрупповой операции в Ш⁺. При этом введение таких операций связывается с теоремами сложения для некоторых элементарных функций. К таким сложениям, например, относятся:

1)а + /3, 2)«-/3, 3)_г^, 4)«(1 + /3²)^+/3(1 + «²)^, (2)

соответствующие функциям: 1) ж, 2) In ж, 3) thrr, 4) shx.

В настоящей диссертации используется подход В.А. Костина введения широкого класса канонических полугрупп вида

Т_Рін(і)ф) = ip[h-\h(x) + p(t))], (3)

со сложением

х t = p~^l[p{x) + p{t)]. (4)

Здесь х Є (a, b) С R, Є R⁺, функции /г(ж) и р() положительные и строго монотонно возрастающие, функция (р(х) из соответствующего функционального пространства. В случае p(t) = t сложение (4) обычное, т.е. х 01 = х +1.

Такие полугруппы называются арифметическими. Для них также справедливо соотношение

T_p,_h(0)ip = ip. (5)

Все полугруппы со сложением (2) являются арифметическими. Для арифметических полугрупп существуют константы Миш такие, что выполняется оценка

\\T(t)ip\\_E < Мє-^Ме, (6)

где Е— соответствующее пространство. Определен производящий оператор (генератор) А, заданный дифференциальным выражением Тії^іріх) = ^fl с плотной в Е областью определения.

То есть, арифметические полугруппы являются сильно непрерывными в нуле.

В диссертации методами теории сильно непрерывных полугрупп устанавливается корректная разрешимость по Адамару нестационарных задач для уравнения теплопроводности, называемых задачами без начальных условий, которые характерны для уравнений с особенностями, то есть рассматриваемых в неограниченных областях, либо с коэффициентами имеющими особенность, в частности, вырождающихся.

Например, многие процессы тепло- и массопереноса описываются нестационарной задачей

du(t,x) d²u(t,x) _ґ л /^ л /„ч

—LJ-^ = -JLl^, *є(-оо,оо),яє(0,оо). (7)

u(t,0)=uo(t), u(t, оо) = 0. (8)

t— время, x— пространственная координата, u(t, х)— температура.

Требуется определить выражение для теплового потока, т.е. производную от температуры по координате х на границе области

du(t,x)

О)

дх

q(t)

х=0

Частный случай такой задачи (когда Uo(t)— периодическая функция или заданная рядом Фурье) рассмотрен в монографии Ю.И. Бабенко. Здесь она называется задачей без начальных условий.

В настоящей диссертации, методами теории сильно непрерывных полугрупп линейных операторов, рассматривается более общая задача отыскания решения уравнения

du(t,x) , _xd²u(t,x) , _ч , , _ч

—^ = а(і) ^ ^;+7(*M*,s), (10)

x Є (0, оо), fG (a,6)cl= (-со, )j удовлетворяющая условиям

_м(,0) =uo(t), u(t, оо) = 0, (11)

где ск(), ^{t)— произвольные непрерывные на ((2,6)- функции, Uo(t)— элементы некоторого банахова пространства.

Эти исследования приводят к необходимости изучения дробных степеней операторов.

Понятие корректной разрешимости задач для эволюционных уравнений тесно связано с неравенствами коэрцитивности, дающим оценку сверху нормы решения некоторого эллиптического уравнения через норму известной функции и нормы граничных условий.

Работы по проблемам коэрцитивности для систем дифференциальных операторов с частными производными были начаты Н. Ароншайном в пятидесятых годах прошлого века, развиты Л. Хермандером, М. Шехтером, Д.Ж.Фигуэрдо и другими зарубежными математиками. Дальнейшему изучению этой проблемы для дифференциальных операторов в пространствах С.Л. Соболева изотропных и анизотропных посвящены фундаментальные работы О.В. Бесова, СМ. Никольского. Проблема коэрцитивности для эволюционных уравнений с оператором в банаховом пространстве исследовалась в работах П.Е. Соболевского.

В диссертации, по аналогии с системами дифференциальных операторов Бесова-Никольского вводятся системы Cq- операторных многочленов, то есть многочленов над полем комплексных чисел от производящего оператора сильно непрерывной полугруппы линейных операторов в банаховом пространстве, для которых устанавливаются неравенства коэрцитивности.

Результаты используются для исследования корректной разрешимости полигармонического уравнения С.Л. Соболева, в пространствах Wf(W^l)_: а также для обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями.

Цели и задачи исследования. 1. Установление корректной разрешимости, в смысле С.Г. Крсйна, задач без начальных условий для дифференциального уравнения теплопроводности.

1. Установление коэрцитивных оценок для систем Со- операторных полиномов.

2. Установление корректной разрешимости для задач без начальных данных для полигармонического уравнения.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории сильнонепрерывных полугрупп и групп преобразований и их приложений к конкретным задачам.

Научная новизна. 1. Изучены новые классы нестационарных задач без начальных данных для одномерного уравнения теплопроводности, коэффициенты которого имеют особенности.

3. Введены и изучены новые классы канонических полугрупп линейных преобразований в функциональных пространствах, введенных в диссертации.

4. Впервые установлены неравенства коэрцитивности для Со- операторных многочленов.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретические обоснования корректной разрешимости задач для дифференциальных уравнений, используемых в механике, гидродинамике, тепломассопереносе и т.д. Они актуальны при численной реализации задач с применением высокоскоростных компьютерных технологий.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе в 2014 г., на Воронежской математической школе "Понтрягинские чтения" в 2013, 2014 гг., на Международной молодежной научной школе "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач "в 2012 г., а также на семинарах ВГУ по математическому моделированию (рук.— проф. В.А. Костин) и нелинейному анализу (рук.— проф. Ю.И. Сапронов, проф. Б.М. Даринский).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[8]. В совместных публикациях [1]—[8] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работы [1]—[3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 19 параграфов, литературы из 58 наименований. Общий объем диссертации— 88 стр.

Канонические полугруппы

Содержание этого параграфа соответствует монографиям [26],[28],[29]. Здесь мы будем рассматривать векторнозначные функции f(t) вещественного аргумента t: то есть функции, значения которых при каждом t Є [a, b] С Rl являются элементами некоторого линейного банахова пространства Е.

Определение 1.1.1. Функция f(t) называется непрерывной в точке to , если \\f(t) — f(to) Е - 0 при t —to, и непрерывной на отрезке [а, Ь], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка. При этом норма /( ) - есть скалярная непрерывная функция. Замечание 1.1.1. Множество всех непрерывных на отрезке [а, Ь] функций со значениями в Е образуют линейную систему С(Е; [а, &]), в которой можно ввести норму После чего С(Е] [а, Ь]) становится линейным нормированным пространством.

При этом, если Е- банахово пространство, то С(Е; [а, Ь]) также банахово пространство (см. [29], стр. 96).

Кроме введенного понятия (сильной) непрерывности функции /(), можно ввести понятие слабой непрерывности.

Определение 1.1.2. Функция f(t) называется слабо непрерывной (в точке, на отрезке, если для любого непрерывного линейного функционала / Є Е скалярная функция l(f(t)) непрерывна в точке (на отрезке).

Из сильной непрерывности вытекает слабая. Обратное неверно. Справедливо следующее утверждение (см. [29], стр. 96): слабо непрерывная на отрезке [а, Ь] функция f(t) ограничена на нем; то есть

f(t) называется дифференцируемой в точке to, если существует такой элемент / Є і?, что f(t0 + h)-f(t0) II -h /b- o при h — 0. Элемент / называется производной функции f(t) в точке to и обозначается / = f(to). Функция f(t) дифференцируема на отрезке [а, Ь], если она дифференцируема в каждой точке этого отрезка. Если при этом производная f (t) непрерывна, то функция f(t) называется непрерывно дифференцируемой. Для непрерывно дифференцируемых функций справедливо утверждение (см. [29], стр. 96): Если функция f(t) непрерывно дифференцируема на [а, Ь], то справедливо неравенство /(6) - f(a)\\E {Ъ-а) sup \\f(t)\\E. (1.1.2) a t 6 Это неравенство остается справедливым, если производная существует на отрезке [a, Ь] всюду, за исключением счетного множества точек. Определение 1.1.4. Говорят, что функция f(t) имеет в точке to слабую производную f (to), если при h — О f(tp + h)- f(tp) слабо сходится при всяком / Є Е к f (to) Другими словами это означает, что при всяком / Є Е скалярная функция l(f(t)) дифференцируема в точке to и

Если функция f(t) имеет в каждой точке отрезка [a, Ь] слабую производную, то сохраняется оценка (1.1.2).

В частности, если слабая производная равна нулю во всех точках отрезка [а, Ь], то функция f(x) постоянна. Аналогично определяются производные любого порядка от вектор-нозначных функций. Если функция f(t) со значениями в банаховом пространстве Е непрерывна на отрезке [а, &], то предел интегральных сумм:

Здесь предел понимается в смысле сходимости по норме пространства Е, когда диаметр разбиения a = to b стремится к нулю. Предел существует и не зависит от способа разбиения ва оценка

Из абсолютной сходимости интеграла следует обычная сходимость. Можно рассматривать интегралы, зависящие от параметра. На них переносятся классические теоремы о непрерывной зависимости от параметра, об интегрировании и дифференцировании по параметру.

Наиболее употребительным обобщением интеграла Римана для функций со значениями в банаховом пространстве является интеграл Бохнера

Определение 1.1.5. Функция /(), заданная на отрезке [а, Ь], со значениями в банаховом пространстве Е: называется простой, если она принимает лишь конечное заданное число значений fj на измеримых множествах Aj. (При определении простой функции на множестве бесконечной меры требуется, чтобы mes(Aj) оо и чтобы f(t) = 0 на дополнении к (J Aj). Определение 1.1.6. Функция f(t) называется сильно измеримой, если существует последовательность простых функций fn(t): сильно сходящаяся почти всюду к функции /(), то есть при п — оо для всех t Є [а, &], за исключением множества меры нуль. Определение 1.1.7. Функция f(t) называется слабо измеримой, если для всякого / Є Е скалярная функция l(f(t)) измерима на [а, Ь]. Для всякого пространства Е: содержащего счетное всюду плотное множество, понятия слабой и сильной измеримости совпадают ([29], стр. 100). Справедливо утверждение, что если f(t) сильно измерима, то ее норма /().Е является измеримой скалярной функцией.

Арифметические полугруппы и из производящие операторы

Теорема 1.5.1. Производящий оператор полугруппы Uh (t) задается дифференциальным выражением Ьср(х) = ттЬудж" и областью определения D(Af) = {(р: (ре /,-1, L(p Є h-i}.

В заключение отметим, что термин "элементарные полугруппы" введен здесь в связи с возможностью использования таких полугрупп при конструировании более сложных аналогичных объектов— полугрупп, групп, косинус-функций, например, по следующей схеме: а) если А генератор Со- полугруппы U(t,A), t 0, а (—А)— гене ратор Со- полугруппы U(—t,A): t 0, действующий в Е1, то семейство S(t) = U(t, А) при t 0 и () = U(—t, А), при , 0 является группой с генератором А, и S(t)S(s) = S(t + s), — оо , s оо (см. [13], с. 347). б) далее, в соответствии с ([7], с. 179 оператор Аа = А2 + а1 порождает операторную косинус-функцию Ca(t)f = Co{t) f+at {){t2 — s2) I\[a{t2 — s2)] Co(s)ds, где Co(t) = [S(t) + S(—t)]: I\— функция Бесселя, a— const. в) тогда, в силу результатов [15], операторы A2n+l (n = 0,1,...) также являются генераторами косинус-функций С\t, A2aa+l), а, следовательно и генераторами Со- полугрупп вида

Следует также указать и на возможности конструирования Со- полугрупп в рамках теории дробных степеней операторов развитой в работах [13],[26], [27].

Позитивные операторы и их дробные степени В исследовании корректной разрешимости начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторами важное место занимают дробные степени этих операторов. В частности, это относится к так называемы позитивным операторам см. [28], с. 135.

Определение 1.6.1. Оператор А с плотной областью определения будем называть позитивным, если при всех t 0 существуют операторы (A + tl) l и если

Целью исследований настоящей диссертации является применение теории однопараметрических полугрупп и установление корректной разрешимости некоторых краевых задач для эволюционных уравнений с переменными коэффициентами, и, в частности, для уравнений с дробными производными. Как известно, согласно Ж.Адамару, задача определения решения и Є U уравнения Аи = /, (/ Є F) корректно поставлена на паре (U, F) метрических пространств U и F с метриками ри и рр соответственно, если выполнены условия: а) для всякого / Є F существует и Є U— решение уравнения, б) решение определяется однозначно, в) задача устойчива на пространствах (F,U): то есть для любого є 0 можно указать 6 0, такое что из неравенства / (/15/2) , следует риіщ щ)

Однако устойчивость задачи зависит от выбранных топологий в F и U и, вообще говоря, подходящим выбором топологий формально можно добиться непрерывности оператора А 1, существование которого обеспечивают условия а) и б). Так, в случае линейного взаимооднозначного соответствия оператора А и нормированных пространств U и F, устойчивость будет иметь место, если пространство F наделить нормой

В связи с этим возникает следующая проблема выбора топологий в U nF.

1. С одной стороны важно, чтобы эти топологии не зависели от оператора А. Например, в случае когда А = А(Х)— оператор зависящий от некоторого параметра Л, важно чтобы область определения обратного оператора А 1(Х) (например резольвенты R(X,A) = (XI — A) l была не зависящей от Л).

2. С другой стороны желательно иметь наиболее широкий класс начальных данных F при которых решение задачи и Є U сохраняло хорошие свойства.

Таким образом, установление устойчивости существенно зависит от выбора функциональных пространств, в которых ищется решение и в которых соответствующие обратные операторы ограничены.

В связи с этим, в классе корректных по Адам ару задач важное место занимают задачи в которых U и F плотно вложены в некоторое банахово пространство Е и сходимость понимается в смысле \\Е- Такие задачи мы называем равномерно корректными.

Задачи для дифференциальных уравнений, равномерно корректные по С.Г. Крейну Следующие факты связывают понятия (Со)- полугруппы и (Со)- косинус функции с корректной разрешимостью задачи Коши для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве первого и второго порядков.

Определение 1.8.1 ([28], с. 38). Решением уравнения (1.8.1) на отрезке [O.to] называется функция u(t), удовлетворяющая условиям: 1) u(t) Є D{A) при всех t Є [0,to], 2) в каждой точке t Є [0,to] существует сильная производная u (t): 3) уравнение (1.8.1) удовлетворяется при всех te [0, о]. Под задачей Коши на [0, to] понимают задачу о нахождении решения уравнения (1.8.1), удовлетворяющее условию Определение 1.8.2. Задача Коши поставлена корректно на отрезке [О, to] если: 1) при любом щ Є D(A) существует ее единственное решение и это решение непрерывно зависит от начальных данных в том смысле, что из Жо(0) — 0 следует, что xn(t) — 0 равномерно по t на каждом компакте из [0,].

Необходимые факты из общей теории

В заключении заметим, что результаты, полученные в настоящей диссертации, являются новыми даже в простейшем случае h{x) = ж, р(х) = О, когда T±(t)ip(x) = ip(x±t)— полугруппы сдвигов, а операторы (—А±)2 определяются дробными производными Римана-Лиувилля.

Дифференциальное уравнение, описывающее движение жидкости в пористой среде В практических исследованиях, при описании переходных процессов, начавшихся так давно, что начальные данные не сказываются на поведении решения, рассматриваются так называемые задачи без начальных данных. К ним, в частности, относятся рассматриваемые здесь задачи.

Здесь С оо -банахово пространство равномерно непрерывных и ограниченных на (—оо, +оо) функций с нормой \\q\\c = sllPte(-oo,+oo) \я(ї)\-Здесь zz-доля объема проточных зон, 7-константа массообмена между проточными и застойными зонами, а- коэффициент пьезопроводимости. Требуется найти градиент давления у границы области.

Ниже доказывается следующая Теорема 2.6.2. Задача (2.6.13)-(2.6.14) имеет единственное решение, которое представимо в виде X f 3 х2 p(t,x) = —1= s e U(s,—A)q(t)ds. 2\Лг Jo где 00 l-l . \ — V ч „,„ , V U(x, -A)q(t) = е —х / /i(27\/ xs)e rsq(t - -ж - s)rfs, Jo V а а где /і( )-функция Бесселя первого рода. При этом справедливы оценки sup \p(t,x)\ е[ J ІІ Цс іє(—оо,оо) Доказательство. Здесь мы используем довольно общий метод С.Г.Крейна решения краевых задач для уравнений эллиптического типа в банаховом пространстве ([28], с.322). Аналогичные исследования с применением теории полугрупп проводились в [17], [18], [19]. При таком подходе систему (2.6.13)-(2.6.14) запишем в операторной форме равномерно непрерывных и ограниченных на [—оо, оо] функций с нормой м = sup wo oo) w(). Тогда, если для оператора А определен оператор л/Д то решение задачи (2.6.16)-(2.6.17) по теореме С.Г.Крейна ([28], с.323) имеет вид

Оператор А представим в виде суммы А = А\ + Д, где оператор А\ задается дифференциальным выражением и областью определения D(A{) = {и Є С о оф 1\и Є С[_ж }. Оператор А і зададим интегральным оператором

Работы по проблемам коэрцитивности для систем дифференциальных операторов с частными производными были начаты Н. Ароншайном в пятидесятых годах прошлого века развиты Л. Хермандером, М. Шехте-ром, Д.Ж.Фигуэрдо и другими зарубежными математиками. Дальнейшему изучению этой проблемы для дифференциальных операторов в пространствах С.Л. Соболева изотропных и анизотропных посвящены фундаментальные работы О.В. Бесова, СМ. Никольского. Проблема коэрцитивности для эволюционных уравнений с оператором в банаховом пространстве исследовалась в работах П.Е. Соболевского.

В диссертации, по аналогии с системами дифференциальных операторов Бесова-Никольского вводятся системы CQ- операторных многочленов, то есть многочленов над полем комплексных чисел от производящего оператора сильно непрерывной полугруппы линейных операторов в банаховом пространстве. Здесь указываются условия, при которых рассматриваемые системы коэрцитивны. Доказываются необходимые и достаточные условия на весовые пространства непрерывных на действительной оси функций, в которой производящие операторы полугрупп левых и правых переносов являются сильно непрерывными, и, следовательно, системы многочленов с генераторами таких полугрупп являются коэрцитивными.

Пусть Е— банахово пространство и оператор А: с областью определения D(A): является генератором сильно непрерывной полугруппы операторов U(t,A),t 0. То есть, для / Є Е выполняются соотношения: l)U(0,A)f = f, Для полугруппы U(t,A): которую мы здесь называем Со-полугруппой, выполняется неравенство которые, используя терминологию из [23], мы называем Со - операторны ми многочленами. В [21] показывается, что если А& — корни скалярного многочлена РП(А), А Є С— комплексная плоскость, удовлетворяют условию

Re\k = Х0 ш. (3.2.3) то оператор А определен на всем Е и ограничен. Настоящая диссертация посвящена установлению коэрцитивности системы Со- операторных многочленов {А&}д=1, N Є N - натуральные числа Аки = J2 аткАтки. (3.2.4) тк=і Отметим, что начало работ по проблемам коэрцитивности было положено Ароншайном, Агмоном, Инхтером, Хермандером и другими.

Дальнейшее изучение проблем в пространствах С. Л. Соболева было продолжено О. В. Бесовым С. М Никольским в русле этой проблемы местами работали П. Е. Соболевский, В. П. Орлов.

В предлагаемой работе приводятся новые примеры систем дифференциальных операторов для которых имеет место коэрцитивность.

Вопрос о значении x{t) ПРИ t = 0 остается открытым. В разных случаях принимаются %(0) = 1,х(0) = ,х(0) = 0. Последнему свойству придерживается А.Н. Колмогоров и С.Г. Фомин [24], с. 197. Корректность этого выбора, с нашей точки зрения, объясняется тем, что интегрирование в (3.3.1) осуществляется в положительном направлении (слева направо), поэтому естественно считать х(0) левым пределом, то есть х(0) = lim x(t) = 0- Также функцию Хевисайда будем обозначать Xo(t).

Со- операторные многочлены

Работы по проблемам коэрцитивности для систем дифференциальных операторов с частными производными были начаты Н. Ароншайном в пятидесятых годах прошлого века развиты Л. Хермандером, М. Шехте-ром, Д.Ж.Фигуэрдо и другими зарубежными математиками. Дальнейшему изучению этой проблемы для дифференциальных операторов в пространствах С.Л. Соболева изотропных и анизотропных посвящены фундаментальные работы О.В. Бесова, СМ. Никольского. Проблема коэрцитивности для эволюционных уравнений с оператором в банаховом пространстве исследовалась в работах П.Е. Соболевского.

В диссертации, по аналогии с системами дифференциальных операторов Бесова-Никольского вводятся системы CQ- операторных многочленов, то есть многочленов над полем комплексных чисел от производящего оператора сильно непрерывной полугруппы линейных операторов в банаховом пространстве. Здесь указываются условия, при которых рассматриваемые системы коэрцитивны. Доказываются необходимые и достаточные условия на весовые пространства непрерывных на действительной оси функций, в которой производящие операторы полугрупп левых и правых переносов являются сильно непрерывными, и, следовательно, системы многочленов с генераторами таких полугрупп являются коэрцитивными.

Пусть Е— банахово пространство и оператор А: с областью определения D(A): является генератором сильно непрерывной полугруппы операторов U(t,A),t 0. То есть, для / Є Е выполняются соотношения: l)U(0,A)f = f, которые, используя терминологию из [23], мы называем Со - операторны ми многочленами. В [21] показывается, что если А& — корни скалярного многочлена РП(А), А Є С— комплексная плоскость, удовлетворяют условию то оператор А определен на всем Е и ограничен. Настоящая диссертация посвящена установлению коэрцитивности системы Со- операторных многочленов {А&}д=1, N Є N - натуральные числа

Отметим, что начало работ по проблемам коэрцитивности было положено Ароншайном, Агмоном, Инхтером, Хермандером и другими.

Дальнейшее изучение проблем в пространствах С. Л. Соболева было продолжено О. В. Бесовым С. М Никольским в русле этой проблемы местами работали П. Е. Соболевский, В. П. Орлов.

В предлагаемой работе приводятся новые примеры систем дифференциальных операторов для которых имеет место коэрцитивность. Рассмотрим некоторые вспомогательные факты, необходимые в дальнейшем. Пусть S(t)— дельта функция Дирака, действующая на непрерывную функцию (p(t) по правилу оо

Тесно связанную с ней единичную функцию Хевисайда (функцию скачка), определяют соотношением см. [12], с. 193. Отсюда следует, что x(t) = О, ПРИ t 0 и x(t) = 1? ПРИ t 0. Вопрос о значении x{t) ПРИ t = 0 остается открытым. В разных случаях принимаются %(0) = 1,х(0) = ,х(0) = 0. Последнему свойству придерживается А.Н. Колмогоров и С.Г. Фомин [24], с. 197. Корректность этого выбора, с нашей точки зрения, объясняется тем, что интегрирование в (3.3.1) осуществляется в положительном направлении (слева направо), поэтому естественно считать х(0) левым пределом, то есть х(0) = lim x(t) = 0- Также функцию Хевисайда будем обозначать Xo(t).

Для того, в соответствии с [52], введем банаховы пространства С „ непрерывных на К. функций определенных нормами и, переходя, к sup ш при же! в левой части (3.5.4), получаем (3.5.3). Для норм С доказательство аналогичное. Генераторами этих полугрупп являются операторы А± заданные, соответственно дифференциальными выражениями dUHt) (

То есть, для р{х) справедливо представление р{х) = М2Ємі д(х), где д (х) = М2в шї (р (х) - -) 0. Что и доказывает наше утверждение. Для интеграла J_ оно доказывается аналогично. Пример с оператором Адамара Di = х- Следующие примеры показывают корректную разрешимость задач без начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка

Пример 3.5.1. Пусть оператор А задается дифференциальными выражением Ш)і(/?(ж) = х-

Таким образом, записывая уравнение (3.5.31) в виде (3.3.4), где / Є СРід, приходим к следующей задаче: найти непрерывно-дифференцируемую функцию и{х)) такую, что и Є CW;5, Є CW;5, удовлетворяющую (3.5.31) при всяком / Є Си,д Из теоремы 3.5.1 и соотношения (3.4.5) следует, что эта задача имеет единственное решение, которое представимо в виде Таким образом, приведенные примеры демонстрируют методы теории сильно непрерывных полугрупп преобразований, при исследовании вопроса о корректной разрешимости задач без начальных условий, характерных для уравнений с особенностями.