Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Групповая природа преобразования Степанова–Манглера 14
1.1. Групповая классификация уравнения стационарного плоского пограничного слоя 14
1.2. Групповая классификация уравнения стационарного осесимметричного пограничного слоя 17
1.3. Построение преобразования Степанова–Манглера 22
1.4. Групповая классификация уравнения нестационарного осесимметричного пограничного слоя 27
1.5. Невозможность построения преобразования Степанова–Манглера в нестационарном случае 50
1.6. Основные результаты главы 51
ГЛАВА 2. Метод построения редукций 53
2.1. Метод Кларксона–Крускала 53
2.2. Метод, основанный на идее инвариантности 57
2.3. Пример 1. Уравнение Бюргерса 60
2.4. Пример 2. Уравнение Кортевега–де Фриза 61
2.5. Основные результаты главы 62
ГЛАВА 3. Построение редукций уравнения стационарного плоского пограничного слоя 63
3.1. Основные уравнения для получения редукций 63
3.2. Одномерные редукции 66
3.3. Сравнение с симметрийными редукциями 74
3.4. Основные результаты главы
ГЛАВА 4. Построение редукций уравнения нестационарного осесимметричного пограничного слоя 77
4.1. Основные уравнения для получения двумерных редукций 77
4.2. Двумерные редукции 82
4.3. Сравнение двумерных редукций с симметрийными двумерными редукциями 98
4.4. Основные уравнения для получения одномерных редукций 100
4.5. Одномерные редукции 103
4.6. Сравнение одномерных редукций с симметрийными одномерными редукциями 133
4.7. Основные результаты главы 137
Заключение 138
Литература
- Групповая классификация уравнения стационарного осесимметричного пограничного слоя
- Пример 1. Уравнение Бюргерса
- Сравнение с симметрийными редукциями
- Сравнение двумерных редукций с симметрийными двумерными редукциями
Введение к работе
Актуальность темы. Исследование свойств и методы построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений необходимы для разработки и анализа различных математических моделей физических явлений. Существует несколько основных методов построения редукций и поиска точных решений нелинейных уравнений в частных производных: методы группового анализа дифференциальных уравнений (Овсянников (1978)), метод неклассических симметрий (Bluman, Cole (1969)), прямой метод Кларксона-Крускала (Clarkson, Kruskal (1989)), методы функционального (Полянин, Зайцев (2005, 2012)) и обобщенного разделения переменных (Galaktionov, Svirshchevskii (2006)), Пен-леве-анализ (Кудряшов (2004, 2010); Конт, Мюзетт (2011)), метод дифференциальных связей (Сидоров, Шапеев, Яненко (1984)) и др. В частности, хорошо известны так называемые обобщенные автомодельные решения
u = f(x)(p((), ( = д(х)у.
Также широко встречаются решения типа бегущих волн
и = р(С) + /(ж), С,=у + д(х).
Нахождение таких и более сложных решений сводится к решению уравнений с меньшим числом независимых переменных. Конструктивный поиск подобного рода решений позволяют сделать методы группового анализа дифференциальных уравнений.
При всей своей содержательности, методы группового анализа имеют ограниченную область применимости. Они не всегда позволяют найти более общие классы редукций - такие специальные виды решений, которые находятся из уравнений с меньшим числом независимых переменных.
Методы построения редукцией нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и их приложения имеют принципиальное значение для поиска точных решений и формулировки тестовых задач, необходимых для верификации и оценки точности численных и асимптотических методов математической физики.
Представляют интерес методы, позволяющие находить широкие классы редукций исследуемого уравнения. В работе Clarkson, Kruskal (1989) был предложен прямой метод поиска редукций, не использующий групповой анализ. В ней было дано применение прямого метода к уравнениям Буссинеска, Бюргерса и
Кортевега–де Фриза. Для уравнения Буссинеска было показано существование редукций, которые нельзя получить с помощью группового анализа. Применение прямого метода к уравнению плоского нестационарного пограничного слоя было реализовано в работе Clarkson, Ludlow, Bassom (2000).
В настоящей работе предложен метод построения редукций уравнений в частных производных (УрЧП) с двумя независимыми переменными к обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ). Также метод был развит для построения редукций УрЧП с тремя независимыми переменными к УрЧП с двумя независимыми переменными и к ОДУ. Изложенный метод является дальнейшим развитием прямого метода Кларксона–Крускала. Он является более простым в применении, не использует технику группового анализа и основан на переходе к инвариантных переменным.
Актуальными являются следующие задачи:
нахождение редукций уравнения стационарного плоского пограничного слоя к ОДУ (одномерные редукции);
нахождение редукций уравнения нестационарного осесимметричного пограничного слоя к УрЧП с двумя независимыми переменными (двумерные редукции) и к ОДУ (одномерные редукции);
групповая классификация уравнения нестационарного осесимметричного пограничного слоя;
вопрос о существовании нестационарного аналога преобразования Степанова– Манглера.
Цель работы. Основной целью данной работы является разработка и развитие метода построения редукций, являющегося дальнейшим развитием прямого метода Кларксона–Крускала, демонстрация возможностей метода на примере уравнений плоского стационарного и осесимметричного нестационарного пограничных слоев и сравнение результатов с результатами, полученными с помощью методов группового анализа. Для достижения цели работы были поставлены следующие задачи:
На основе идеи инвариантности обобщить прямой метод Кларксона–Крускала для уравнения с двумя независимыми переменными.
Обобщить предложенный метод на случай уравнения с тремя независимыми переменными для получения двумерных и одномерных редукций.
Найти редукции уравнения плоского стационарного пограничного слоя.
Найти редукции уравнения нестационарного осесимметричного пограничного слоя.
Исследовать вопрос о существовании нестационарного аналога преобразова
ния Степанова–Манглера, связывающего уравнения нестационарного плоского
и осесимметричного пограничных слоев.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Предложен метод нахождения редукций УрЧП, являющийся развитием прямого метода Кларксона–Крускала, который не использует групповой анализ. Этот метод более прост в использовании, и позволяет эффективно искать редукции к УрЧП с меньшим числом независимых переменных и к ОДУ.
-
Проведена групповая классификация уравнения нестационарного осесиммет-ричного пограничного слоя. На основе результатов групповой классификации сделан вывод об отсутствии нестационарного аналога преобразования Степано-ва–Манглера.
-
Для уравнения стационарного плоского пограничного слоя найдены все редукции к ОДУ (одномерные редукции).
-
Для уравнения нестационарного осесимметричного пограничного слоя найдены все редукции к УрЧП с двумя независимыми переменными (двумерные редукции) и к ОДУ (одномерные редукции).
-
Показано, что исследуемые уравнения имеют редукции, не получаемые с помощью группового анализа.
-
Для уравнений стационарного плоского и осесимметричного пограничных слоев показана единственность, с точностью до преобразований эквивалентности, преобразования Степанова–Манглера.
Научная новизна.
Разработан метод построения редукций УрЧП, который является развитием прямого метода Кларксона–Крускала. В основе метода лежит идея введения инвариантных переменных. Он более прост в применении и не использует технику группового анализа.
Впервые проведена полная групповая классификация уравнения нестационарного осесимметричного пограничного слоя по двум произвольным элементам – по градиенту давления и форме обтекаемой поверхности. Показано, что ядро операторов симметрии может быть расширено не более чем четырехмерной подалгеброй. Также показано, что ядро операторов симметрии уравнения плоского стационарного пограничного слоя может быть расширено пятимерной подалгеброй. На основе полученных результатов сделан вывод о несуществовании нестационарного аналога преобразования Степанова–Манглера.
С помощью описанного в работе метода построения редукций решены задачи о нахождении редукций уравнений стационарного плоского и нестационарного осесимметричного пограничных слоев.
Впервые с групповой точки зрения изучен вопрос о единственности преобразования Степанова–Манглера, связывающего уравнения стационарных плоского и осесимметричного пограничных слоев. Построение такого преобразования как изоморфизма между допускаемыми указанными уравнениями алгебрами Ли операторов симметрии позволяет сказать, что такое преобразование единственно с точностью до преобразований эквивалентности.
Научная и практическая значимость работы. Метод, описанный в работе, может быть применен к другим нелинейным уравнениям математической физики с целью получения новых точных решений и анализа соответствующих математических моделей. Результаты групповой классификации уравнения нестационарного осесимметричного пограничного слоя могут быть применены для решения задач гидродинамики. Найденные редукции рассматриваемых уравнений могут быть использованы для получения новых точных решений и для верификации численных и асимптотических методов.
Достоверность результатов. Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечена
Использованием общепринятых математических моделей.
Использованием строгих аналитических методов исследования.
Сравнением полученных результатов с известными ранее частными результатами.
Апробация работы. Основные результаты работы представлены автором на 5 международных конференциях: 15–я, 16–я и 17–я Международная конференция «MOGRAN» (Кемер, Турция, 1–6 октября 2012, Уфа, Россия, 28 октября–2 ноября 2013, Кадис, Испания, 8–12 сентября 2014); Международная конференция «Geometrical Structures in Integrable Systems» (Москва, Россия, 30 октября–2 ноября 2012); Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» – VIII Международная конференция, посвященная 115-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева. (Новосибирск, Россия, 7–11 сентября 2015); и на 7 российских конференциях: VI Всероссийская конференция, посвященная памяти академика А.Ф. Сидорова «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау-Дюрсо, 10–16 сентября 2012), Научная сессия НИЯУ МИФИ–2013 и Научная сессия НИЯУ МИФИ–2015; Конференция «Методы математической физики и мате-
матическое моделирование физических процессов» (Москва, Россия, 2013 и 2015); Научная конференция «Ломоносовские чтения», секция «Механика», подсекция «Газовая и волновая динамика» (Москва, Россия, 2014); Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, Россия, 2014); ХI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, Россия, 20–24 августа 2015); Научный семинар кафедры прикладной математики НИЯУ МИФИ «Проблемы современной математики» под руководством Н.А. Кудряшова.
Личный вклад. Автором работы разработан новый метод построения редукций УрЧП к УрЧП с меньшим числом независимых переменных и к ОДУ. Применение описанного метода к уравнениям плоского стационарного и осесим-метричного нестационарного пограничных слоев с соответствующим анализом всех полученных систем уравнений проведено лично автором. Полная групповая классификация уравнения нестационарного осесимметричного пограничного слоя выполнена лично автором. Научному руководителю принадлежат постановки задач и обсуждение результатов.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 18 печатных изданиях, 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 14 – в тезисах докладов.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Список литературы содержит 94 наименования. Полный объем диссертации составляет 148 страниц.
Групповая классификация уравнения стационарного осесимметричного пограничного слоя
Отметим, что для каждого из обоих рассматриваемых уравнений (1.1) и (1.6) есть четыре случая расширения ядра алгебры операторов симметрии. Для существования преобразования переводящего исходное уравнение (1.6) осесимметричного пограничного слоя в целевое уравнение (1.1) плоского пограничного слоя, необходимо существование изоморфизма, переводящего алгебру операторов симметрии в каждом случае расширения ядра симметрий уравнения (1.6) в соответствующую алгебру операторов в каждом из случаев расширения ядра симметрий уравнения (1.1). Таким образом, преобразованием (1.16) должен осуществляться изоморфизм алгебр симметрий, допускаемых в каждой из четырех возможностей расширения ядра в уравнениях (1.6) и (1.1).
Далее проведем построение изоморфизма между двумя алгебрами (1.5) и (1.15), допускаемыми соответственно уравнениями (1.1) и (1.6) при р(х) = 0, поскольку в этом случае допускается наибольшее расширение ядра операторов симметрий, а именно, ядро операторов симметрии обоих уравнений при р(х) = 0 расширяется четырехмерной подалгеброй. Рассмотрим четырехмерную подалгебру L4 алгебры (1.15), с базисными операторами Хі, і = 1... 4, и для удобства дальнейших вычислений перейдем в ней к другому базису Yi, і = 1... 4 по формулам
Под действием изоморфизма четырехмерная подалгебра LA с базисом (1.17) должна отображаться на некоторую четырехмерную подалгебру U алгебры с базисом (1.5). Пусть при этом базисные операторы (1.17) отображаются соответственно в базисные операторы Zi, і = 1... 4 подалгебры L4, то есть Yi Zi,i = l..A. Тогда подалгебры L4 и L4 должны иметь одинаковые структурные константы в базисах Yt и Zi, і = 1... 4 соответственно. Итак, пусть базис образа подалгебры (1.17) при искомом изоморфизме имеет вид
Полученная система (1.18) имеет два решения. Соответственно, существует два различных изоморфизма между L4 и L4. Покажем, что только один из них дает искомое преобразование (1.16), связывающее уравнения (1.6) и (1.1). Первое решение системы (1.18) имеет вид
Итак, показано, что преобразование (1.23) является единственным преобразованием, связывающим уравнения (1.6) и (1.1). Наличие в (1.23) двух произвольных постоянных с4, rf3, произвольной функции с5(х) и двух отличных от нуля констант бЦ, ki не является принципиальным отличием от преобразования, известного в литературе по теории пограничного слоя, а указывает лишь на то, что такое преобразование определено с точностью до преобразований эквивалентности целевого уравнения (1.1). где р = p(x,t) задает градиент давления, определяемый через скорость на внешней границе пограничного слоя. Функция и = u{x,y,t) - гидродинамическая функция тока, а функция г(х) задает форму обтекаемой поверхности. Для удобства дальнейших вычислений перепишем исходное уравнение в переменных Степанова-Манглера, а именно, перейдем к переменным
Заметим, что в рассматриваемом случае может существовать не более четырех дополнительных операторов симметрии. Действительно, уравнение (1.40) - это уравнение, из которого следует определить функцию C\(t) и константу а. Наиболее широкая группа допускается, если константа а будет произвольной, а a{t) определяется из одного ОДУ третьего порядка. Такой вариант реализуется только в том случае, если коэффициенты при различных производных от C\(t) зависят только от переменной t. Легко показать, что такой случай реализуется только если q = q(t). Тогда получим следующее линейное ОДУ третьего порядка на сій Это несложно получить, последовательного исключая Ci(t), (t), c [ {t) из уравнения (1.40) дифференцированием по х. Действительно, дифференцируя уравнение (1.40) по ж и предполагая, что qx(x,t) 0, поделим уравнение на qx(x,t) и продифференцируем еще раз по х, тогда получим (ЗСІЙ + 2а) {{х + P)(\aqx(x,t))x)x - 2cx(t) ((lnqx(x,t))t)x = 0. Предположим далее, что ((lnqx(x,t))t)x ф 0, иначе q(x,t) = fi(x)f2(t) + f:i(t), и эту возможность следует рассмотреть отдельно
Пример 1. Уравнение Бюргерса
Используя полученные соотношения (2.6), (2.7), (2.8), можно упростить остальные из уравнений (2.4). После этого можно найти неизвестные функции 9(t), a{t). Окончательные результаты изложены в работе [71]. Таким образом, метод Кларксона-Крускала поиска редукций состоит в непосредственном решении системы (2.4). Сначала анализируются наиболее простые уравнения с целью определения наиболее простого вида функций a(x,t), P(x,t), z(x,t). После этого оставшиеся уравнения корректируются с учетом полученных упрощений. Отметим, что в методе Кларксона-Крускала анализу подлежат уравнения (2.4), в которые входят заранее неизвестные функции Г (г), і = 1... 8. Работать с такими уравнениями не всегда удобно. В общем случае, уравнения с неизвестными функциями Ti(z) могут иметь достаточно сложный вид, и определение вида функций a(x,t), P(x,t), z(x,t) может вызвать существенные трудности. В следующем пункте изложим метод приведения системы (2.4) к более простому виду. В основе предлагаемого метода лежит идея перехода в системе (2.4) к инвариантам преобразований (2.5).
Метод нахождения редукций, предлагаемый в данной работе, основан на переходе в системе (2.3) к инвариантам преобразований (2.5). Введем в рассмотрение функции tn(x,t), /І2(М), М3(М), определяемые из следующих соотношений Таким образом, функции /л(ж,), /і2(М), /І3ОМ), определяемые из соотношений (2.9), действительно являются инвариантами преобразований (2.5). Каждое из уравнений системы (2.4) можно а равносильное ему равенство нулю якобиана (по ж, t) левой части этого уравнения и функции z(x, і). В результате можно получить Д–систему, не содержащую неопределенных функций Vi(z).
Предложение 2.2. Л-система инвариантна относительно преобразований (2.5). Л-систему можно переписать в терминах инвариантов fn(x,t), fM2(x,t), fl3(x,t). Далее, подставляя zt{x,t) = tn(x,t)zx(x,t), Pt(x,t) = fn(x,t)Px(x,t) + /j,2(x,t)P(x,t) и (2.12) в (2.11), получим окончательно следующее уравнение fi2(x,t) = 2fi1x(x,t). Рассмотрим теперь второе из уравнений (2.4). Заменив его на равенство нулю якобиана его левой части и z{x,t), получим
В последнем уравнении все производные, содержащие дифференцирование по t, выразим с помощью соотношений (2.9) через производные по х, а именно zt = [i1zx , ztx = fi1xzx + \i1zxx , ztxx = \i1xxzx + 2fi1xzxx + \i1zxxx , Pt = /3/i2 + /Зж/і1 , Ptx = Pxfl2 + Pfl2x + Pxfl1x + ІЦРХХ . После подстановки в последнее уравнение и несложных упрощений, получим 6(лхх + 4/І2Х = 0 . -60 Проводя подобную процедуру для остальных уравнений системы (2.4), получим окончательно следующую систему уравнений на fi1(x,t), ti2fat), fi3(x,t) 2/І2Х + Sfi1xx = 0 , /І3 = 6/І2ЖЖ + 4/І1ЖЖЖ + 2М1М1, - 4fi21fi1x , /і2 = 2/і1ж , (Цхх + 4/і2х = 0 , fl2xx = 0 , 8/І1/І2М1Х - 4/І2ххх + 2/І3х - 2/І1/І2І + 2/i1t/i1x + 4/і1/і12 - 2/i1t/i2 - Ц1хххх - IHtt = 0 , 4/i1/i1xM2x + М3ххх - M2tt + 4/i1x/i2t - 2/i2/i2t + 4/Лх/ - 2(Лф2х - Ц2хххх = 0 , №хххх + M3tt - 4/і1/і1ж/І3х - 4/і1ж/і2/І3 + 2/i2tM3 - 4/i1x/i3t + 2/i1t/i3x = 0.
Сформулируем основные результаты главы:
1. Предложен метод построения редукций, являющийся дальнейшим развитием метода Кларксона–Крускала. Предложенный метод не использует методику группового анализа и является более простым в использовании.
2. Показано применение изложенного метода к уравнениям Буссинеска, Бюргерса и Кортевега–де Вриза. Использование данного метода позволяет избежать анализа систем нелинейных уравнений в частных производных с неопределенными функциями и перейти к анализу системы уравнений, содержащей только инварианты преобразований, допускаемых исходной системой.
Основные уравнения для получения редукций Рассматривается уравнение плоского стационарного пограничного слоя uyuxy -uxuyy -uyyy -p(x)=0. (3.1) В уравнении (3.1) u = u(x, y) – функция тока, а функция p(x) задает градиент давления, вычисляемый через скорость на внешней границе слоя. В данной главе найдем все решения уравнения (3.1), сводящиеся к решению обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ). В данном разделе проведем также и сравнение редукций, полученных прямым методом, с редукциями, получаемыми с помощью группового анализа. Редукции ищутся в виде u = U(x,y,w(z(x, y))), при этом на w(z) должно получиться ОДУ. Подстановка в исходное уравнение (3.1) дает + Uww"z2 + Uww zyy - Uyyy - Uyyvw zy - [Uyyw + Uywww zy] w zy Разделим обе части уравнения (3.2) на коэффициент при старшей производной w, равный Uwzy3 (процедура нормировки коэффициентов). Условием того, что полученное уравнение является ОДУ на w(z), является зависимость каждого из нормированных коэффициентов при производных от w(z) только от переменных wиz. Нормированный коэффициент при w"w будет иметь вид
Что бы уравнение (3.4) являлось ОДУ на w{z), необходимо, что бы нормированные коэффициенты при w(z), w (z), w"(z), w "(z), их степенях и произведениях, были функциями только от переменной z. Выбирая в качестве нормировочного множителя коэффициент при w ", равный PZy, получается следующая система из восьми уравнений
Сравнение с симметрийными редукциями
Рассматривается уравнение нестационарного осесимметричного пограничного слоя, записанное в переменных Степанова-Манглера r(x)uty +uyuxy -uxuyy -uyyy -p(x, t)=0. (4.1)
В данном разделе будет показано применение метода, изложенного в главе 2, для нахождения редукций уравнения (4.1) к уравнениям в частных производных (третьего порядка) с двумя независимыми переменными. Поскольку поиск всех редукций фактически включает в себя задачу о групповой классификации рассматриваемого уравнения (4.1), то интерес будут представлять редукции, которые получить с помощью симметрий нельзя. Редукции будем искать в следующем виде u = U(x, y, t, w(s(x, y, t),q(x, y, t))), (4.2) причем будем предполагать, что sy и qy не обращаются в нуль одновременно. В противном случае получим редукцию к уравнению первого порядка, такие редукции для нас интереса не представляют. Подставляя выражение (4.2) в уравнение (4.1), получаем соотношение -Uws3ywsss - Uwqy3wqqq - 3Uwws3ywswss - 3Uwwqy3wqwqq + = 0. (4.3) Поделим обе части соотношения (4.3) на коэффициент при производной wsss, равный -Uws3y (процедура нормировки коэффициентов). Условием того, что получающееся при этом соотношение является уравнением с частными производными на функцию w(s, q), является зависимость -каждого из нормированных коэффициентов при производных функции w{s,q) только от переменных s, q и w. Рассмотрим нормированный коэффициент при слагаемом, содержащем wswss. Он имеет вид 3l = r(s,q,w). (4.4)
Проинтегрировав соотношение (4.4) дважды по w, получим U(x, у, w) = Р(х, у, t)f(s, q,w) + a(x, у, t). Поскольку в качестве функции w{s, q) можно взять произвольную функцию от переменных s, q и w, то двумерные редукции уравнения (4.1) можно искать в виде линейном по функции w{s,q) и = /3(ж, у, t)w(s(x, у, t), q(x, y,t)) + а(х, у, t). (4.5)
Предложение 4.1. В (4.5) функцию /3{x,y,t) и одну из двух новых независимых переменных s(x,y,t), q(x,y,t) можно, не ограничивая общности, положить не зависящими от у. Действительно, подстановка (4.5) в исходное уравнение (4.1) приводит к соотношению (выписаны только нужные слагаемые) - /3(х, у, t)qy(x, у, tfwqqq - /3(х, у, t)sy(x, у, tfwsss - ... = 0 . Если нормировать его на коэффициент при wqqq и рассмотреть нормированный коэффициент при wsss, получим, что qy/sy = G{s, q). Представим функцию G(s,q) в виде G(s,q) = 8(s,q)/Tq(s,q). Откуда следует, что Tssy + Tqqy = 0 . (4.6)
Из соотношения (4.6) следует, что T{s,q) = h{x,t). Возьмем вместо независимой переменной s новую независимую переменную s = T(s,q), т.е. перейдем к новым независимым переменным s, q. Тогда в выражении (4.5) будем полагать s = s(x, t). Итак, показано, что редукции можно -79 искать в виде и = р(х, у, t)w(s(x, t), q(x, y,t))+a(x,y,t). (4.7) Покажем теперь, что можно, без ограничения общности, положить (3 = /3{x,t). Подставляя выражение (4.7) в исходное уравнение (4.1), получаем соотношение -Pqfaqqq + P2sxq2y{wqwsq - wswqq) + PPysxqywwsq Здесь для простоты записи выписаны только нужные слагаемые. Рассматривая отношение коэффициентов при wqwsq и при wwsq, получаем, что РУ/Р = qyV(s,q). Откуда следует, что ln/3 = V(s,q) + g(x,t). Так как функция /3(x,y,t) определена с точностью до произвольного функционального множителя, зависящего от переменных s и q, то получаем, что можно положить /3 = /3(x,t). Здесь, однако, следует разобрать еще одну возможность, а именно sx = 0, поскольку предыдущее утверждение в таком случае не будет иметь места (будет деление 0 на 0). Если sx = 0, то можно считать, что s = t, тогда подстановка и = а(х, у, t)+P(x, у, t)w(t, q(x, у, t)) в исходное уравнение (4.1) приводит к уравнению (здесь также выписаны только нужные слагаемые)
Чтобы соотношение (4.9) являлось дифференциальным уравнением с частными производными с двумя независимыми переменными s и q, необходимо, чтобы нормированные коэффициенты при различных производных от w(s, q), их степенях и произведениях были функциями только переменных s, q. Так получаем следующую переопределенную систему дифференциальных уравнений
Сравнение двумерных редукций с симметрийными двумерными редукциями
В этом случае можно показать, что Ці будет линейной функцией по у. Доказательство проводится по той же схеме, что и в задаче о нахождение редукций уравнения стационарного плоского пограничного слоя. Действительно, учитывая (4.40), можно из девятого и десятого уравнений системы (4.35) заключить, что /is должна иметь вид М5 = к - 3 + r(x)fi2 , к = const, Мі /% и, исключая из одиннадцатого уравнения все производные /ІІЖ, (і\ху,... в силу (4.40), получим уравнение следующего вида t4 (Fi - xf [ r (x) (-3xfi4(t) + 2/i1/i4(0/i4F11 + 3/i4()F! - 2F12) - 4r(x)fiA(t) ] - 2kfnFn (Fi - ж) - 2ife(Fi - xf - 24/i + + 10/4 ( i - ж) Fin = где Fi, F\2 ,... обозначают производные от F(/ii,t) по своим аргументам. Разделив полученное уравнение на fif {Fx - xf и дифференцируя по /ii, можно исключить г{х). Аналогичным образом можно далее исключить г (х), и тогда в полученном уравнении следует провести расщепление по степеням ж, что в итоге приводит в тому, что Fn = 0, то есть F линейна по своему первому аргументу, а значит и \±\ зависит от у линейно. Поэтому /ii должна иметь вид
Аналогично предыдущему изложению, рассматривая последнюю систему как систему линейных однородных уравнений на г{х), г {х), г"{х), и приравнивая ее определитель нулю, получим необходимое условие на
Далее окончательно рассмотрим каждую из перечисленных выше возможностей. При произвольной г(х) оставшиеся в системе (4.35) уравнения на p(x,t) примут вид (х + а)рх(х, t) + Зр(ж, ) = 0, pt(x,t) = 0, откуда окончательно имеем следующую возможность. При произвольной г(х) и р(х, t) = а(ж+/3)"3 функции (ж, у, ) будут иметь вид Ml = , Д2 = Дз = Д4 = Д5 = Мб = 0 . ж +д Далее, при г(ж) = а(ж + /З)"4/3 + 7(ж + /З)"2 оставшиеся в системе уравнения наp(x,t) примут вид 4(ж + /3)5/3( + с2)2 ((ж + /3)рх(ж, t) + Зр(ж, )) - 2а7(ж + /3)"2/3 - За2 = 0 , pt(x,t)(t + c2) + 2p(x,t) = 0, откуда имеем следующую возможность.
Дальнейший разбор последней системы не представляет особого труда, и окончательно приводит к следующим результатам. При г(х) = а(х + р), р(х, t) = 4(x + P) + 5(t + e) функции щ, І = 1... б будут иметь вид М1 = /І2 = М3 = М4 = 0 , М5 = М5 (у) і М6 = М6 (у) і где М5 (?/), М6 (у) определяются из системы уравнений К (У) М52Ы + М5Ым 5Ы - "М6Ы +7 = 0, Л (У) + м 6 ЫМ5Ы - М6ЫМ5Ы + S = 0 . При произвольной г(х) и p(x,t) = ф + (5) функции /І„ і = 1.. .6 будут иметь вид М1 = М2 = М3 = М4 = М6 = о, а М5 = М5 (у) должна быть решением уравнения M5"(?/) - М52(?/) + М5(2/)М5(2/) +7 = 0 - 128 При произвольной г(х) и р(х, t) = m (t)r(x) + у2(х + /3) + 7т( ), где функция m(t) const, функции /І„ І = 1... 6 будут следующими M1 = М2 = М3 = /і4 = 0 , /І5(2/) = 72/, М6(у, ) = 2/ (0 Случай 2.2.2. /л = /І3 = 0, /І4 0. Рассмотрим теперь возможность, когда fi t) 0. В этом случае, как уже было показано, [i5(x,y,t) должна иметь вид /i5 = _/(ж) ) + # ехр ( [ {t)dt/2\\ ехр Г- f (i4(t)dt/2 ) , а функцию /j,6(x,y,t) можно тогда представить в виде У I 2 М - /i4(t)dt/2exp- (i4(t)dt/2 д24( ) - 2/4( ) г(ж) ж Sxfl4 K (у ехр - fi4(t)dt/2 ехр - fi4(t)dt/2 + М(у, ), где M(y,t) - еще одна неизвестная функция. Тогда в системе останутся только два уравнения нар(ж, t), и в данном случае первое их них примет вид ( 2/4W -М24М) (Г2(Ж) +/(Ж) fr(x)dx ) + + 2іГ(s) ехр Г- / /х4( ) й) М4W (4г(ж) + Зг (ж)ж) - 4г (ж)М„(у, ) + -2 / М4( ) й ) {K "(s) + #"( №) - K\sf) + 4рж(ж, ) = 0 . Дифференцируя последнее уравнение последовательно по х и у, получим ехр Ґ-3/2 f iM{t)dt\ iM{t)K"{s){7r {x)+? xr"{x) ) 2r"(x)Myy(y,t) = 0, откуда следует, что если функции 7г (х) + 3ат"(ж) и г"{х) линейно независимы, то K(s) и М(у, ) должны удовлетворять соотношениям K \s) = МУУ = 0. - 129 Если же функции 7г (х) + Зат"(ж) и г"(х) линейно зависимы, то г(ж) должна иметь вид г(ж) = а(ж + /3)-4/3+7, и тогда M(y,t) будет иметь вид M(y,t) = -fi4(t)exp ( - f fi4(t)dt/2) ) K(s)+yh(t), где h(t) - новая неизвестная функция. Итак, рассмотрим сначала г{х) = а(х + /З)"4/3 + 7. Случай 2.2.2.1. г(х) = а(х + /З)"4/3 + 7. Тогда уравнения на p(x,t) примут вид ЗХ8/3 Lexp ( -2 I(i4(t)dt) ( K"\s) + K"{s)K{s) - K 2{s) ) + + 87/i4()exp ( - f fM(t)dt) K\s) + 72(2/i4() -fil(t)) +4px(x,t) ] + + 2a7 ( 2/4ВД - дій) X4/3 + 15a2 ( 2/ii( ) - /i2() ) + + 16ah(t)X1/3 = 0 , 3/i4(0X8/3 [ K"\s) + K"{s)K{s) - K 2{s)} exp (-2 f\iA{t)dt\ + + 2X5 K (s) [ h(t) + 7X(/i2( ) - 2/4( )) ] exp Ґ- f fM(t)dt ) - X5/3 (р(ж, t)/x4W + 2р,(ж, 0) + 1/3 (a + 7 4/3 ) (2Л ( ) + /x4 МВД) + + (/4( )/4 + fi 4(t)fiA(t)/2 - fi i(t) ) (72X8/3 - 3a2 - 2a7X4/3) = 0 , где X = x + /3. Здесь будем предполагать, что K"(s) ф 0, так как в противном случае г{х) может быть произвольной, и эта возможность будет рассмотрена далее. Дифференцирование по у второго из выписанных выше уравнений дает соотношение 3fiA(t)(x + /3) exp ( - І fiA(t)dt\ [K\s)K"{s) - K""{s) - K"\s)K{s)] + + 27(ж + {3)K"{s){2n A{t) - nl{t)) - 2h{t)K"{s) = 0 , - 130 откуда, с учетом предположения, следует, что h{t) = 0. Кроме того, поскольку также предполагается, что fi t) 7 0, то из последнего уравнения также следует, что при 7 + 0 функции д4( ) ехр ( - J (t)dt ) и 2fi 4(t) - nl(t) должны быть линейно зависимы. Однако те же соображения, примененные к первому из уравнений, дают линейную зависимость функций д4(г) и exp ( -ftiA(t)dt ) . Это окончательно приводит к тому, что при 7 7 0 функция fi it) должна иметь
Сравнение полученных редукций уравнения (4.1) с редукциями, которые можно получить с помощью симметрий, проводится по схеме, аналогичной той, что изложена в разделе 3.3. для редукций уравнения стационарного плоского пограничного слоя. Следует отметить, что уравнение (4.1) имеет одномерные редукции, которые нельзя получить ни с помощью симметрий, ни из двумерных редукций уравнения (4.1), перечисленных в разделе 4.3. Таким образом, данный вывод можно сформулировать в виде следующей теоремы.