Введение к работе
Актуальность темы.
Л.Карлесоном [8] исследовалась задача Коши для простейшего уравнения Шредингера
-^--'ш-~-т (a = const,]ma = 0); цг{х,0) = f{x),xe R (1)
at ox
Для функций f{x) имеющих компактный носитель в [8] установлены следующие факты относительно решений задачи (1): (а) Если f{x) финитна и \Дх)-Ду)\ = о(\х-у\^Ч равномерно, то
выполнено свойство Фату, т.е. Hx,t) стремится к Дх) равномерно по х при t-+ 0.
(б) Если fix) финитна и удовлетворяет условию Гельдера
(Липшица)с показателем'А , т.е. \fix)-fiy)\ = o(\x-yf2], то pit,x)
ограничена, но свойство Фату может не выполняться.
(с) Если функция Дх) удовлетворяет условию Гельдера с показателем \іь+є,є>о или, более общо, fix)npuнaдлeжum классу Соболева н'2'\ т.е.
7l/tf)|Vi,,2*f<~,
то для почти всех xeR решение у/Ц,х) задачи (1) стремится к fix) при /->0.
Пусть Pr(z) = Pr(a,z) = — + ar_xzr~x + ... + axz- многочлен степени
г с вещественными коэффициентами и пусть Dx и D, следующие дифференциальные операторы:
I ох /от
Поставим задачу Коши: найти функцию *F = Т(х,ґ) удовлетворяющую соотношениям:
ДЧ» = Pr{Dx)V, V(x,0) = f(x),xeR. (2)
В работе [7] утверждения (а) и (б) Л.Карлесона доказаны для многочлена третьей степени P3(z) = z\ т.е. для вырожденного уравнения Кортевега-де Фриза:
^ = ^ (Im« = 0); yf{x,t) = f(x).
Формально, в смысле дифференцирования под знаком интеграла и подстановки значения / = о обобщенное решение задачи (2) можно представить в виде:
v(x,t) = *]f{{)exP{ix{+itP({)}d{ где
f(^ = ^t]f(x)cxp{-^x}dx
преобразование Фурье функции Дх) или
V(x,t) = -^]f{tj)G(t,ti-xyiij
G(t,r,) = +]exp{itP(t)-iT!te
—оо
Для исследования решений задачи (2) необходимо изучение функций G(t,rj). При малых значениях степени г многочлена P,(z) функция G(t,rj) может быть выражена в терминах известных специальных функций: при г=2 это интеграл Френеля, при г=3 интеграл Эйри, асимптотика которого хорошо изучена, при г=4 интеграл Пирси, где еще оставались вопросы. При г>4 функции G(t,r}) изучены мало, в связи, с чем
в диссертации изучаются методы оценки осциллирующих интегралов.
Осциллирующие интегралы встречаются в различных
областях математики: математическом анализе,
математической статистике и теории вероятностей, математической физике и теории чисел. Постоянно появляющиеся новые приложения осциллирующих интегралов приводят к новым постановкам задач об их оценке и к необходимости обобщения уже известных результатов. Осциллирующим интегралом в соответствии с принятой терминологией, называется интеграл вида
Is = ju(x)exp(iAf(x))dx,
где х = {х„...,х,)еЯ', McR', функция и = u(x) называется амплитудой, вещественная функция f(x) называется фазой, Л > 1 - большим параметром. Амплитуда и фаза могут зависеть от т-мерного параметра t.
Различают две общие задачи об оценке осциллирующего интеграла:
Задача об асимптотической оценке осциллирующего интеграла при Л —> и фиксированном значении параметра t (индивидуальные оценки).
Задача о равномерной оценке при teTcR'".
В диссертации исследуется задача 2). Первые равномерные оценки осциллирующих интегралов были получены в работах И.М. Виноградова и Ван дер Корпута в связи с задачей о числе целых точек в плоских областях [14,15]. Эти методы были развиты в работах Г.И. Архипова, А.А. Карацубы и В.Н. Чубарикова [1-3], что в частности позволило им получить полное решение проблемы Хуа Ло-гена о показателе сходимости особого интеграла проблемы Терри в одномерном случае [1]. Используя методы разработанные этими авторами в теории чисел для оценки одномерных осциллирующих интегралов и некоторые модификации метода стационарной фазы Д.А. Поповым [5,6] исследована задача о поточечной сходимости алгоритмов восстановления в двумерной Радоновской томографии и задача о поточечной сходимости сферических методов суммирования интегралов и рядов Фурье характеристических функций областей в R" .
Перечисленные выше методы оценки осциллирующих интегралов (см. также [16-19]) предполагают наличие у фазы f(x) достаточного числа производных, и неприменимы для не дифференцируемых функций f(x). Однако для учета эффекта интерференции положительных и отрицательных значений
осциллирующего интеграла достаточно только выпуклости функции f{x). В диссертации получены оценки одномерных осциллирующих интегралов с фазами имеющими конечное число интервалов выпуклости и вогнутости. Получены также оценки кратных осциллирующих интегралов, с фазой имеющей вырожденные и неизолированные особые точки.
Полученные оценки осциллирующих интегралов применяются для исследования свойств решения задачи Коши для уравнения Шредингера.
В главе 4 получены оценки показателя сходимости особого интеграла многомерного аналога проблемы Терри.
Цель работы.
Получить методы оценок осциллирующих интегралов при минимально возможных ограничениях на амплитуду и фазу.
Применить полученные результаты к решению двух задач: задачи о равномерной сходимости решения задачи Коши для уравнения Шредингера к начальному значению, и задачи об оценке показателя сходимости особого интеграла многомерного аналога проблемы Терри.
Общая методика исследований
Оценки осциллирующих интегралов получены в диссертации путем введения характеристики фазы, названной модулем осцилляции и сведения задачи об оценке осциллирующего интеграла к решению некоторой экстремальной задачи теории приближения. В приложениях используется редукция рассматриваемой задачи к задаче об оценке соответствующего осциллирующего интеграла.
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая ценность
Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы в дифференциальных уравнениях, математической физике, аналитической теории чисел, теории вероятностей, численных методах.
Апробация.
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях научных семинаров кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ, на заседаниях научных семинаров под руководством профессора А.А.Карацубы(МГУ, 2002), профессора СА.Теляковского (МИАН, 2004), на семинарах кафедры общей математики факультета ВМиК МГУ ( руководители академик Е.И.Моисеев и профессор И.С.Ломов), на семинаре под руководством профессора Г.И.Архипова и профессора В.Н.Чубарикова (МГУ,2004), на семинаре факультета ВМиК МГУ (руководитель член-корр. РАН И.А.Шишмарев), Всесоюзной конференции по теории функций (Ереван 1987), Международной конференции посвященной девяностолетию со дня рождения Л.С. Понтрягина(Москва 1998), на девятых (2001г.), десятых (2002), одиннадцатых (2003), тринадцатых (2004), четырнадцатых (2005) математических чтениях РГСУ.
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в девяти работах, список которых приведен в конце автореферата. Все работы выполнены без соавторов.
Структура и объем работы.
