Оценки колеблемости и блуждаемости решений линейных систем Бурлаков Даниил Сергеевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Связь между показателями колеблемости и блуждаемости 14

1.1 Введение 14

1.2 Свойства интегралов колеблемости решений систем дифференциальных уравнений 15

1.3 Альтернативное представление слабого показателя блуждаемости 18

2 Непрерывность скорости блуждания в нуле 21

2.1 Оценки на качество приближений полиномами решений дифференциального уравнения 21

2.2 Верхняя оценка на скорость блуждания решений дифференциальных уравнений 25

2.3 Нижняя оценка максимальной скорости блуждания решений дифференциальных уравнений 27

3 Совпадение показателей колеблемости 29

3.1 Некоторые свойства тригонометрических сумм 29

3.2 Нижняя оценка колеблемости суммы квазимногочленов 36

3.3 Точность и абсолютность показателя колеблемости автономной системы дифференциальных уравнений 40

4 Спектр показателя ориентированной вращаемости 42

4.1 Методика вычисления значений показателей ориентированной вращаемости 42

4.2 Типичное значение показателя для систем дифференциальных уравнений общего вида 44

4.3 Спектр показателя для автономных систем с простыми мнимыми собственными значениями 46

5 Спектр показателя скорости блуждания 54

5.1 Оценки скорости блуждания решений автономных систем с простыми мнимыми собственными значениями 54

5.2 Спектр скорости блуждания решений автономных систем 60

6 Заключение

• Свойства интегралов колеблемости решений систем дифференциальных уравнений
• Верхняя оценка на скорость блуждания решений дифференциальных уравнений
• Точность и абсолютность показателя колеблемости автономной системы дифференциальных уравнений
• Типичное значение показателя для систем дифференциальных уравнений общего вида

Введение к работе

Актуальность темы исследования

Представленная диссертация является исследовательской работой в области качественной теории дифференциальный уравнений.

Основополагающую роль в качественной теории дифференциальных уравнений играют линейные системы, которые служат основой для изучения нелинейных систем по их линейному приближению. Изучение качественных и асимптотических свойств решений линейных систем, в свою очередь, порождает множество задач теоретического характера.

Теория устойчивости и теория колебаний являются одними из основных направлений в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

За более чем вековую историю в теории устойчивости, созданной А.М. Ляпуновым (1892 г.), были предложены и успешно использованы множество показателей, отвечающих за разнообразные асимптотические свойства решений уравнений или систем. Их изучением занимались многие математики. Приведем далеко не полный список тех из них, кто внес значительный вклад в эту теорию: Р.Э. Виноград, Б.Ф. Былов, В.М. Миллионщиков, Н.А. Изобов, М.И. Рахимбердиев, И.Н. Сергеев, Е.К. Макаров, С.Н. Попова, Е.А. Барабанов, О.И. Морозов, А.С. Фурсов, А.Н. Ветохин, К.Е. Ширяев, В.В. Быков, Ю.И. Дементьев и другие. Приведенный перечень работ авторов не является полным. Подробную библиографию по этим вопросам можно найти в обзорах^1,2 и монографиях^3,4.

В теории колебаний важное место занимают вопросы связанные с колеблемостью решений, восходящие к фундаментальным исследованиям Ж. Штурма и А. Кнезера. Исследования по тематике колеблемости велись многими математиками, среди которых необходимо особо отметить В.А. Кондратьева, И.Т. Кигурадзе, Т.А. Чантурия, А.Н. Левина, Н.А. Изо-бова, И.В. Асташову, С.Д. Глызина, А.Ю. Колесова, Н.Х. Розова и других. Более полную библиографию по этим вопросам можно найти в обзоре⁵ и монографиях^6,7. Заметим, что в данных работах, главным образом, исследуются вопросы существования и свойства колеблющихся решений дифференциальных уравнений или, наоборот, изучаются методы поиска и свойства промежутков неосцилляции (отрезков, на которых у любого решения дифференциального уравнения количество нулей меньше порядка уравнения) и практически не обсуждаются характеристики, позволяющие сравнивать колеблющиеся решения между со-¹Изобов Н.А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1974. Т.12. С. 71–146.

²Изобов Н.А. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям // Дифференц. уравнения. 1993. 29. №12. С. 2034–2055.

³Былов Б.Ф. Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. // М.: Наука, 1966.

⁴Изобов Н.А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Минск: БГУ, 2006.

⁵Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения x⁽ⁿ⁾ + p₁(t)x^(n-1) + + p_n(t)x = 0 // Успехи матем. наук. 1969. Т. 24 № 2. С. 43–96.

⁶Асташова И.В. Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа // И.В. Асташова и др.; под ред. И.В. Асташовой — М.: ЮНИТИ-ДАНА. 2012.

⁷Кигурадзе И.Т., Чантурия Т.А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений // М.: Наука. 1990.

бой.

В связи с этим особенно интересной представляется задача о поиске аналогов показателей Ляпунова, которые позволили бы судить о колеблемости решений дифференциальных уравнений и систем. Первая попытка определить такой показатель была предпринята в 2004 г. И.Н. Сергеевым. В его докладе⁸ было определено понятие характеристической частоты скалярной функции, геометрический смысл которой — среднее (по всей полупрямой) количество нулей этой функции на отрезках длины 7Г (это можно наглядно продемонстрировать на функции sinwt, чья характеристическая частота равна как раз из). Позже в докладе⁹ были введены показатели полной и векторной частоты вектор-функции, являющиеся естественным обобщением понятия характеристической частоты на случай решений систем дифференциальных уравнений.

Особое место в исследовании каждого из показателей ляпуновского типа занимает изучение ее спектра — множества значений показателя на решениях заданной системы. В статье¹⁰ было показано, что спектр полной частоты для систем с постоянными коэффициентами совпадает с множеством модулей мнимых частей собственных значений матрицы, задающей данную систему. Однако оставался открытым аналогичный вопрос о спектре векторной частоты. В данной диссертации показано, что на решениях систем с постоянными коэффициентами векторная частота совпадает с полной частотой, откуда следует, что для таких систем они имеют одинаковые спектры.

Далее, в 2010 г. в докладе¹¹ были введены понятия скорости блуждания и показатели блуждания и блуждаемости. Скорость блуждания вектор-функции х имеет простой геометрический смысл — это средняя (по времени t) скорость, с которой движется центральная проекция вектора х(і) на единичную сферу. В свою очередь, показатели блуждания и блуждаемости представляют минимизацию (зависящую или соответственно независящую от времени) скорости блуждания функции х по всем системам координат. На докладе¹² была высказана гипотеза о том, что спектр скорости блуждания автономной системы дифференциальных уравнений инвариантен относительно линейных замен координат. В данной диссертации удалось выразить этот спектр через собственные значения матрицы, задающей данную систему, и следовательно подтвердить озвученную на докладе¹² гипотезу.

В 2012 г. И.Н. Сергеевым и автором настоящей работы, независимо друг от друга, была обнаружена, а затем опубликована в совместном докладе¹³ тесная связь между некоторы-

⁸Сергеев И.Н. Определение характеристических частот линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2004. 40. №11. С. 1573.

⁹Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2009.

45. №6. С. 908.

"Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Известия РАН. Серия математическая. 2012, 76:1, 149-172.

"Сергеев И.Н. Определение характеристик блуждаемости решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2010. 46. №6. С. 902.

¹²Сергеев И.Н. Сравнение полных частот и показателей блуждаемости решений линейной системы // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 11. С. 1667-1668.

¹³Бурлаков Д.С., Сергеев И.Н. Замечательные равенства, связывающие колеблемость и блуждаемость решений дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2012, 48, № 6 С. 899.

ми характеристиками колеблемости и блуждаемости. Как выяснилось, при незначительном изменении определения векторной частоты, она начинает совпадать с показателем блуж-даемости. Причем докладчиками были применены разные подходы к анализу данной связи и потому внесены несколько различающиеся изменения в определение векторной частоты: так, И.Н. Сергеев дополнительно ввел понятие гиперчастоты, а автор настоящей диссертации заменил в прежнем определении точную нижнюю грань на существенную.

Кроме того, известно¹⁰, что скорость блуждания решений линейной системы ограничена сверху равномерной (на полупрямой) нормой задающей ее оператор-функции (в фазовом пространстве фиксирована евклидова структура). Однако данный факт не позволяет для систем, отвечающих линейным однородным уравнениям произвольного порядка с малыми коэффициентами, установить близость к нулю скорости блуждания ее решений. В докла-де¹⁴ было показано, что такая близость имеет место для уравнений второго и третьего порядка, а в настоящей работе этот результат распространен уже на уравнения произвольного порядка. Причем в докладе¹⁴ рассматривались уравнения с равномерно малыми коэффициентами, тогда как результат, полученный автором, справедлив также и для малых в среднем (на полупрямой) коэффициентов линейного уравнения.

В 2013 г. в докладе¹⁵ И.Н. Сергеевым были определены и несколько более сложные показатели ориентированной вращаемости. Затем в докладе¹⁶ была указана система с постоянными коэффициентами, для которой спектр этого показателя не совпадает с множеством модулей мнимых частей ее собственных значений. Там же был поставлен вопрос о типичных значениях показателя ориентированной вращаемости и о структуре его возможного спектра. В представленной работе удалось показать, что для большинства (в некотором смысле) систем с постоянными коэффициентами ноль является типичным значением данного показателя, а в случае систем с простыми чисто мнимыми собственными значениями удалось полностью определить его спектр.

В 2016 г. в статье¹⁷ были систематизированы все введенные И.Н. Сергеевым к настоящему моменту показатели ляпуновского типа, что привело к изменению названий некоторых из них. В частности, показатели полной и векторной частоты переименованы в слабый и сильный показатели колеблемости, а показатели блуждания и блуждаемости — в слабый и сильный показатель блуждаемости соответственно.

Цель работы

Целью настоящей диссертационной работы является: изучение взаимосвязи между показателями колеблемости и блуждаемости решений линейных систем, уточнение верхних

¹⁴Лысак М.Д. Оценки скорости блуждания для уравнений второго и третьего порядка // Дифференц.

уравнения. 2015. 51. № 6. С. 821.

¹⁵Сергеев И.Н. Определение характеристик вращаемости решений дифференциальных систем и уравнений // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49, № 11. С. 1501–1503.

¹⁶Сергеев И.Н. Вопросы о спектрах показателей вращаемости и блуждаемости автономных систем //

Дифференциальные уравнения. 2014. Т. 50, № 6. С. 844–845.

¹⁷Сергеев И.Н. Показатели колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Матем. заметки. 2016. Т. 99, № 5. С. 732–751.

оценок скорости блуждания для решений линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка, проверка гипотезы о совпадении сильных и слабых показателей колеблемости на решениях линейных автономных систем, а также нахождение спектров скорости блуждания и показателя ориентированной вращаемости линейных автономных систем.

Научная новизна

В диссертации получены следующие основные результаты:

продемонстрирована тесная взаимосвязь между показателями колеблемости и блуж-даемости, а также получена явная формула, связывающая показатели блуждаемости и колеблемости решений линейных систем;

получены верхние оценки границ спектра скорости блуждаемости линейных неавтономных уравнений произвольного порядка в терминах средней на полупрямой нормы вектора, составленного из коэффициентов уравнения;

доказано совпадение всех показателей колеблемости для любого решения любой линейной автономной системы;

определен спектр показателей ориентированной вращаемости для линейных автономных систем с простыми мнимыми собственными значениями;

для решений широкого класса систем показано, что ноль является типичным значением показателя ориентированной вращаемости;

получено точное описание спектра скорости блуждания произвольной линейной автономной системы в терминах ее собственных значений.

Методы исследования

В работе применяются аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории динамических систем и математического анализа.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях специалистами по качественной теории дифференциальных уравнений.

Апробация работы

Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих научных семинарах:

Семинар по Качественной теории дифференциальных уравнений на Механико-ма
тематическом факультете МГУ имени М.В. Ломоносова под руководством проф.
И.В. Асташовой, проф. А.В. Боровских, члена-корреспондента РАО проф. Н.Х. Ро
зова, проф. И.Н. Сергеева (неоднократно: 2011–2013);

Семинар «Избранные задачи динамики» под руководством члена-корреспондента РАН проф. Д.В. Трещева (2014 г.).

Семинар «Математическое моделирование управляемых систем» под руководством члена-корреспондента РАЕН проф. В.В. Александрова (2016 г.).

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались автором на следующих конференциях:

Конференция Кафедры дифференциальных уравнений Механико-математического факультета МГУ по итогам года (г. Москва, декабрь 2015 г.).

Всероссийская конференция с международным участием «Теория управления и математическое моделирование», посвященной памяти проф. Н.В. Азбелева и проф. Е.Л. Тонкова (г. Ижевск, июнь 2015 г.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах автора, в том числе в 3 работах — в ведущих научных журналах из списка, рекомендованного ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Свойства интегралов колеблемости решений систем дифференциальных уравнений

В работе [58] внутри доказательства теоремы 2 в пунктах 1 и 3 были доказаны следующие утверждения УТВЕРЖДЕНИЕ 3 [58]. Для произвольной системы А є Л4п, ее решения х є S (A) и конечного момента времени Т величину и(х,гп,Т) можно представить в виде оо и(х,т,Т) = y ]iImAi(x,T), гп Є Sn 1\A00(x,T), г=0 где АІ(Х,Т) С Sn l - открытые множества, а А хД) С Sn l - множество меры ноль Жордана. Причем функция и обладает симметрией и(х,т,Т) = и(х,—т,Т), га Є Sn l. УТВЕРЖДЕНИЕ 4 [58]. Для произвольной системы А є Л4п, ее решения х є S (A) и конечного момента времени Т величина mes "—j(x,T) конечна и равна VI в - вариации площади заметаемой плоскостью Px(t), проходящей через ноль и ортогональной вектору x{t), на единичной сфере за время [0,Т).

Последнее утверждение можно переформулировать в несколько более удобном виде, воспользовавшись тем, что вариацию V можно представить как интеграл по сфере функции и(х, га, Т) - то есть количества раз сколько плоскость Рх пересекла данную точку га за время [0,Т).

СЛЕДСТВИЕ 8. Для произвольной системы А є М.п, ее решения х є 5 (А) и конечного момента времени Т верно тождество mes Sn l j(x,T) = / v(x,m,T) dm. (1.1) 7Г 1.2 Свойства интегралов колеблемости решений систем дифференциальных уравнений Теперь сформулируем и докажем несколько свойств интегралов вида / и(Ьх, га, Т) dm, L є Aut Rn. S n-1 ЛЕММА 1. ДЛЯ произвольной системы А є М.п, ее решения х є 5 (А) и конечного момента времени Т верно тождество / ТТ \ u(Lx,m,T) = v х,—т -,Т , meSn-l,Le AutEra. V lL Щ J ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ПО определению u(Lx,m,T) это количество нулей функции (Lx(t),m) на промежутке [0,Т). Пользуясь свойствами скалярного произведения, получим / LTm \ (Lx(t),m) = (x(t),L T m) = \L T m\ [x(t),.r„ , , гає S n l,L є AutEra. 1 \ \L1 m\J Откуда видно, что у функций (Lx(t),m) и [x{t), LTm/\bTm\) одинаковое число нулей на промежутке [0,Т). Следовательно, по определению, получаем, что u(Lx, га, Т) = v ( х, -—=—г, Т ] . V lL Н / Лемма 1 доказана. Для произвольного L є Aut Кга введем отображение FL: Sn-1 Sn \ определенное по формуле FL{m) = Lm/\Lm\. Обозначим, через T)FL\m дифференциал отображения FL в точке га Є Sn l. ЛЕММА 2. Дифференциал отображения FL в произвольной точке т є Sn l имеет вид Г її flu \ DFL U И = Щ " М { щ, FL(rn)j , v Є Т -1 . (1.2) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ДЛЯ произвольного касательного вектора v є TmSn 1 рассмотрим кривую те—1 ES sir) m + vr r Є га + vr\ Пользуясь тем, что s(0) = га, га = 1 и (v,m) = 0, получим, что v это касательный вектор данной кривой в точке га m (is dr r=0 га + wr (m + г т) (г», га + vr) Ira + wrh r=0 \m\ (v,m) ra v. Под действием отображения F касательный вектор к кривой s перейдет соответственно в касательный вектор к кривой FL(S(T)). Таким образом, получаем выражение для дифференциала ds dr dFL{s) = DFL \т [v] = dr r=0 (Lv,Lm + LVT) о \Lm + LVT\ r=0. DFLS(0) Откуда вытекает требуемая формула L(m + vr) т \Lm + LVT\ Lv Lm ( Lv Lm \ \Lm\ \Lm\ \Lra Lra/ r=0 Лемма 2 доказана. ЛЕММА 3. Якобиан отображения FL имеет вид detL те—1 J[m) \Lm\r т Є S і га—1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим набор линейно независимых векторов {УІ} с Ттй "--1 и параллелепипед Пі С TmSn l образованный векторами Vi. Под действием отображ;ения F вектора Vi перейдут в вектора Vi = DFL \т [vi] Є TF(m)& которые образуют параллелепипед П2 в плоскости TFL mySn 1. Якобиан отображения FL В точке га будет равен отношению объемов (п — 1 мерных) параллелепипедов П2 и Пі.

Так как вектор га перпендикулярен плоскости TmS ra_1 и длина вектора га равна единице, то объем (п — 1 мерного) параллелепипеда Пі равен объему {п мерного) параллелепипеда Пі, образованного векторами га и {vi}. Объем которого равен определителю матрицы V\, составленной из векторов гаи {vi}. Аналогично можно определить параллелепипед n2, образованный векторами F (ra) и {vi}, и матрицу

В последнем интеграле, пользуясь следствием 9, сделаем замену переменных m = F(LT)-i(s). В результате чего получим следующую цепочку равенств v (х, FLT{m),T) dm = I v (x,s,T) dF (s) = / v (x, s,T) \ J(s)\ ds, (1.4) где J(s) якобиан отображения F LT-1. Подставляя в (1.4) выражение для якобиана из леммы 3 для автоморфизма (LT) l, получим u(x,s,T)\J(s)\ds= / u(x,s,T) J ds. Откуда вытекает требуемый результат г det(LT) l ds. 7{Lx,T) = —— I u(x,s,T) mesSn-1 J (LT)_1s Лемма 4 доказана. 1.3 Альтернативное представление слабого показателя блуждаемости ЛЕММА 5. Для произвольной системы А є Л4п, ее решения х є S (A), конечного момента времени Т и L є Aut W1 верно неравенство j(Lx,T) 7ress inf v (х,т,Т). (1.5) meS"-1 7Г mes Sn S n-1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ИЗ следствия 8 и леммы 1 вытекает равенство -y{Lx,T) = TTiQ7gra_1 / u(x,FLT(m),T)dm. Откуда, пользуясь свойствами интеграла Лебега, получим 7(Ьж,Т) —- ess inf v(х, FLT(m),T) / 1 dm = 7г ess inf v(x, FLT(m),T). K mesS"1 meS»-1 V У J meS"-1 V У Из того, что FLT диффеоморфизм вытекает, что ess inf и(х, FLT(m),T) = ess inf u(x,m,T). Откуда получаем требуемое неравенство. Лемма 5 доказана. ЛЕММА 6. Для произвольной системы А є Л4п, ее решения х є 5 (А) и конечного момента времени Т верно неравенство inf f(Lx,T) 7ress inf v (х,т, Т). (1.6) LGAutR" meS"-1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ИЗ структуры функции v (утверждение 3) следует, что существенный инфимум достигается на некотором открытом множестве АІ С Sn l. Выберем произвольным образом вектор є Є АІ И его окрестность О вида 0= {meSn-1: (m,e)2 1 - а} так, чтобы она целиком принадлежала множеству АІ (ЭТО ВОЗМОЖНО поскольку АІ открыто и центрально симметрично). И рассмотрим отображение Ls Є AutRra заданное формулой Ь$т = -е (е,га) + " -/5 (га — е (е,га)), га Є S"7--1. о Из определения Ls вытекает, что Lj = Ls, а также, что detL = 1. Тогда из леммы 4 следует равенство mesS j(Lsx,T) = \п_г I v(x,m,T)\Ls1 m\ п dm. Разделим данный интеграл на интеграл по окрестности О и по всей оставшейся сфере. Оценим сверху получившиеся интегралы, пользуясь неотрицательностью функции v и определением окрестности О mesS "--1 [ и(х,т,Т) [ и(х,гп,Т) 7г ,/ \LS га 7 ьй га y(Lsx, Т)= dm + / dm га J -1 о 5"-!\0 z/(x,e,T) / Ьг :ra dra + sup [L m] / v{x,m,T) dm О S"-i\0 z/(x,e,T) / [L m] n dm+ sup [L m] "" / v{x,m,T) dm. J meSn-l\0 J Заметим, что если в интеграле J 1 dm сделать замену переменных га = FL-i(s), то Sn-l

Верхняя оценка на скорость блуждания решений дифференциальных уравнений

Заметим, что числитель представим в виде (3.10). Действительно, все возможные показатели экспонент будут иметь вид {s\ + $2 + S3 : s\, S2, S3 Є {#i}=i} и следовательно их число не превосходит С3+2 п3, а полиномы при них будут иметь степень меньше ЗР. Откуда по лемме 22 числитель имеет не более Зп3Р нулей, которые, совместно с точками ТГ0, образуют разбиение состоящее не более чем из Зп3Р + пР Ап3Р точек. На каждом из интервалов этого разбиения функция Tj будет непрерывно дифференцируемой и иметь фиксированный знак производной. Лемма 23 доказана. произвольного і є 1,2к рассмотрим функцию Tj. Из того, что Т є S2k l вытекает неравенство Tj 1. По лемме 23, для Tj существует разбиение на каждом интервале которого она монотонна. Следовательно, ее вариация на любом интервале данного разбиения не превосходит 2. Заметим, что функция Tj имеет не более пР точек разрыва. Откуда вытекает, что вариация функции Tj удовлетворяет неравенству Vl Ti 2пР + 2 (Ап3Р + 1) 12п3Р. Вариация функции Т не превосходит суммы вариаций всех ее координат Tj. Откуда получим требуемое 2fc Vl T J]vl Tt 24кп3Р. г=1 Лемма 24 доказана. ЛЕММА 25. Для произвольного вектора P є RlnkP и промежутка времени А С верно неравенство ІАІал 7Г (N + 2) 24JWP пр u(G,A), te -N где є = f 2W7r j , а число N задается равенством (3.6). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ИЗ леммы 24 вытекает, что существует подразбиение Тт разбиения То такое, чтобы вариация Т на каждом из интервалов не превосходила є/к, причем количество точек в разбиении Tf будет удовлетворять неравенству 24к2п3Р пР. #ТТ #Т0 + [fe-Vi T] Рассмотрим произвольный интервал / = (1а,1ь) разбиения Тт- По построению, вариация функции Т на нем не превосходит є/к. Рассмотрим точку т/ заданную уравнением ТІ 2fc Тогда, по определению вариации, для произвольной точки г Є (Іа,ті) получим (для случая г Є (т/, h) аналогично) T(rj) - T(r) T(/e) - T(r) + T(r) - Т(ТЇ) VI Откуда, пользуясь тождеством Ф = у/к, получим неравенство Т(г), Ф(г)) - (Т(ТЇ), Ф(г)) Т(г) - Т(ТЇ) Ф(г) Гк , є 2к тєі. (3.12) Заметим, что функция (Т(г/),Ф(-)) имеет вид (3.5) и следовательно, к ней применима лемма 21 для отрезка I. Из которой вытекает, что существует последовательность {ti} такая, что выполнены неравенства (Т(т/), Ф(Ъ)) є, (Т(т/), Ф( )) (Т(г/), Ф( н.х)) 0, Vi. (3.13) Из неравенств (3.12) и (3.13) вытекает, что (Tfe), &)) (Т(ТЇ), Ф(Ь)) - (Tft), Ф( 0) - (Т(ТЇ), Ф( І)) І є -є- , Vi. Таким образом, sgn (Т&), Ф( 0) = sgn (Т(т7), Щи)), Vi

Следовательно, последовательность {(T(tj), Ф( )) является знакочередующейся. Согласно лемме 21, в последовательности {ti} не менее _Д іДг] — N элементов. Откуда получим, что у функции (Т(-), Ф(-)) не менее / ші/п — N — 2 нулей на интервале I. Складывая количество нулей полученных на всех элементах разбиения получим

Точность и абсолютность показателя колеблемости автономной системы дифференциальных уравнений

Из утверждения 1 и линейной независимости векторов жорданового базиса вытекает

В обозначениях утверждения 1 для произвольного решения х є S (A) и комплексного числа А Є SpA(x) существует вектор т такой, что (x(t),m) = eReA cosImAt, teR. ЛЕММА 26. Для произвольной системы А є Сп и ее решения х є 5 (А) верно неравенство и (х) min ImSpA(x) . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Введем обозначение л def Т I А = argmm lma , а&рх(х) в случае, если минимум достигается сразу на нескольких собственных значениях, то в качестве Л выбираем любое из них. Пользуясь свойствами решений линейных автономных систем (следствие 13), получим, что существует вектор т Є Кга такой, что /(i) = (:r(t),m ) = eReA cosImAt. Нули функции / имеют вид ТІ = (ТГІ + 7г/2) / ImA при IiriA 0, следовательно, на промежутке [0,) у функции / будет [(t Im А + 7г/2) /VJ нулей. Откуда получим требуемое неравенство GRJ i-s-oo t 7Г и (х) = inf lim —u(x,m,t) lim —у(х,т Л) = lim — u((x(-),mA , \0Л)) = 4 m.f 1» Urn f Ч t no f Ч t no f \\ \ ) iv і )j i—s-oo t ImA. i—s-oo t IT M l lim i—S-oo t -ImA + Лемма 26 доказана.

Для произвольной системы А є Сп и ее решения х є 5 (А) верно неравенство . В случае, если ImSpA(x) = 0, то утверждение леммы напрямую следует из утверждения 2. Пусть теперь ImSpA(x) 0. Рассмотрим произвольный вектор т Є К. Заметим, что проекцию решения х на вектор т можно представить в виде (3.11). Действительно, из представления (3) вытекает, что функция (х(-),т) имеет вид #SPAW/2 {x{t),m)= 2 eSit (Pi(t) cosUit + Qi(t) sinUit), t Є E, i=\ где Pi,Qi некоторые многочлены, степень которых, можно грубо оценить размерностью системы А. Возможно, что в результате такой проекции функция (х(-), т) получится тождественно равной нулю (коэффициенты всех многочленов Pi, Qi равны нулю), в таком случае, для произвольного t Є К+ имеет место равенство и(х, т, t) = оо. В противном случае (не все многочлены Pi,Qi нулевые), к функции (х(-),т) применима лемма 25, из которой вытекает неравенство

Точность и абсолютность показателя колеблемости автономной системы дифференциальных уравнений

(4.5) с рассмотрения случая, когда gcd (f2) = О, а именно, когда выполнено одно из следующий Тогда из леммы 32 вытекает требуемое равенство 0 9 {х) lim - \Q{Lx,t)\ = \в(Ьх,Т)\ = 0. i-S-oo t 1 Лемма 33 доказана. В случае чисто мнимых и простых собственных значений матрицы А общее решение х Є S (А) имеет вид п x(t) = 2 (aiai + А&г) smuit + (Pidi - афі) cosuJit, i=\ где СІІ,ЬІ набор линейно независимых векторов в К2га, а с , /ЗІ произвольные константы. Тем самым, любому решению можно сопоставить набор частот Dj, которые участвуют в его записи, то есть для которых хотя бы одно из чисел ai,/3i будет отличным от нуля. В результате получим отношение эквивалентности на множестве решений: два решения назовем эквивалентными, если им соответствуют одинаковые наборы частот. Из следствия 14 вытекает, что показатели ориентированной враща-емости совпадают на эквивалентных решениях. Для произвольного непустого набора частот П обозначим через XQ Є 5 (А), произвольное решение из класса эквивалентности, заданного набором частот Q. Тогда для того, чтобы доказать утверждение теоремы VI достаточно проверить равенство 9(xn) = gcd (Q). (4.5) Начнем доказательство равенства условий в наборе П есть нулевая частота; в наборе П есть две рационально не соизмеримых частоты; в наборе П есть две частоты ол и ил,- такие, что ШІ/OJJ = p/q, где p/q - несократимая дробь, и при этом р четное. Из лемм 30, 31 и 33 вытекает, что в перечисленных выше случаях имеет место равенство 9(xn) = 0 = gcd (Q). Теперь перейдем к рассмотрению случая, когда gcd (f2) ф 0. ЛЕММА 34. Для произвольной вектор-функции ж є С1 (Е+,Е)7 числа а 0 и функции у заданной равенством y{t) = x(at) верно к(у) = ак{х)} где к - это один из показателей ориентированной вращаемости 9, 9, в , в . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ИЗ определения функционала в, следует, что он не зависит от параметризации функции, а только от ее траектории. Откуда для любого гомоморфизма L є Hom(Era,E2) имеем

e(Ly,t) = e(Lx,at), t 0. Осталось только подставить данное равенство в определение показателя ориентированной вращаемости. Сделаем это для 9 (для остальных показателей аналогично) 9(у) = lim inf - \e(Ly,t)\ = lim inf — \e(Lx,at)\ = і_,сюЬЄЯот(Ж«,Ж2) t і- сюЬЄПот(Ж«,Ж2) at ct = lim inf — \Q(LX,T)\ = a9(x). т 0оІЄНот(1»Д2) Г Лемма 34 доказана. t \ п ф{і) = XQ ( vr ( ) = 2 (aiCii + ;) sino; + (/3 а; - афі) cos ш4, t 0, Рассмотрим вектор функцию ф определенную равенством .gcd (fi). где ШІ = o;i/gcd (n) - нечетные натуральные числа такие, что наибольший общий делитель их равен единице. Из леммы 34 вытекает н{х) = gcd (Q)x(,0), к є Г,в,в ,в Следовательно, для доказательства равенства (4.5) достаточно показать, что 9(ф) = 1. Заметим, что так определенная функция ф является 27г периодической. ЛЕММА 35. Для произвольного гомоморфизма Ь є Hom(E2ra,E2) такого, что кривая Ьф не проходит через ноль, выполнено неравенство в( ,2тг) 2тг. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как ШІ нечетные целые числа, то ф(Ь + 7г) = —ф{ї). Откуда получаем, что кривая Ьф на отрезке [к, 2п] центрально симметрична кривой Ьф на отрезке [0,7г], то есть получается из нее поворотом на 180 градусов, тем самым выполнено равенство 0(Ьф,2п) = 20(Ьф,п). Заметим также, что угол между векторами Ьф(п) и Ьф(0) равен 7г. Тогда, по определению функционала G получим, что для некоторого целого С выполнено равенство 0(Ьф, ТГ) = ж + 2тгС и следовательно в(Ьф,2тт) = 27т + 4ттС, откуда вытекает утверждение леммы. Лемма 35 доказана. ЛЕММА 36. Существует гомоморфизм Ь є Hom(E2ra,E2) такой, что выполнено равенство ЩЬф,2ж)\ = 2ж. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим последовательность моментов времени t% = iti/wi и функцию Г определенную равенством П Г() = У aismujjt, г=2 где йі некоторые числа, которые мы определим позже. Заметим, что для функции Г имеет место равенство 2ші J](-irsgnr(t,) = 0. (4.6) г=1 Действительно, для произвольного момента времени ts и частоты ші верно тождество (-1) 2Ш1 8 sin шіі2ші-з = sin І шіі2ші-з + (2ші — s) 7г ) = sin І ші sir V J V ші sin( 2шіп — ші sn ] = —(—І) sino;jis. Из которого вытекает (-l)2wi(t2wi_,) = -(-i)T(ts). Заметим также, что для произвольного С Є Z верно равенство Г( Ш1с) = Г(тгС) = 0. (4.7) Откуда получим Ш1 —1Е(-г=1 лу 2ші-1sgnr(t,)+ Y, (-irsgnr(t,) = Ш1 — 1Е(- лу Ш1 — 1sgnr(t,)+ J](-І—і -l)2wi sgnr(t2wi Ш1 — 1Е(-г=1 лу sgn Г (ti) - Ші — 1-E(-г=1 -l) sgnr(t,) = 0. 2ші (-l sgnr ) г=1 Заметим, что для любого ts такого, что s не делится нацело на ш\, существует / Є 1, п такое, что выражение sinu s отлично от нуля. Действительно, предположим противное: найдется точка ts такая, что sinu s = 0, для любого /. Из того, что s не делится на ш\ следует, что существует простое число р такое, что шіір и s /р. Из равенства sin uits = 0 вытекает, что UJltg = vr— = 7гС, CGZ.

То есть uis делится нацело на ш\. Из того, что s /р вытекает, что ші \р для любого /. Откуда получаем противоречие с тем, что по определению частот иц их наибольший общий делитель равен единице. Следовательно, среди чисел sinu s будет хотя бы одно не равное нулю.

Тогда равенство T(ts) = 0, является нетривиальной линейной комбинацией щ, и следовательно задает гиперплоскость в пространстве параметров щ. То есть, чтобы функция Г была отлична от нуля в точках ts достаточно, чтобы набор параметров щ не лежал на конечном наборе гиперплоскостей. Выберем и зафиксируем параметры щ таким образом, чтобы функция Г была отлична от нуля в точках ts. Рассмотрим функцию t(t) = Г() + coso;it, где 8 = minr(ts). Заметим, что добавка cos uj\t мала и не изменит знак функции Г в точках І7 в которых она была отлична от нуля.

Типичное значение показателя для систем дифференциальных уравнений общего вида

Для произвольной системы А є Сп и ее решения х є 5 (А) существуют числа к,1 Є N, набор векторов {Li}i= С Ега, являющийся подмножеством векторов жорданового базиса матрицы А, набор частот {ШІ}І=1 С ImSpA(A)7 вектор р Є Rlk+l и числа 5 Є Ш, s Є N такие, что главную часть решения х можно представить в виде M[x](t) = esHs p(t), где вектор-функция гфр имеет вид (5.1). ЛЕММА 45. В обозначениях утверждения 17, имеет место включение [Wrnin, k\ С min I Im ЛІ , max I Im AI XeAs XeAs где Л е определяется, как множество всех собственных значений чья действительная часть равна 5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ПО построению чисел ujj, множество {8 + iujj} =1, а также комплексное число 5+iojmin содержатся в множестве А$, откуда и вытекает требуемое включение. Лемма 45 доказана. ЛЕММА 46. Для произвольной системы А є Сп и ее решения х є 5 (А) верны равенства р,(х) = р,(М[х]), fi(x) = jl(M[x\). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пользуясь утверждением 17 представим главную часть решения х в виде M[x](t) = esHs p(t). По определению главной части решения х M[x\{t)-x{t) = o{esHs), i- oo. Заметим, что в функцию М[х] — х, которая также представима в виде (3), будут входить только члены, либо с меньшим показателем экспоненты, чем 6, либо с тем же показателем, но меньшей степенью свободной переменной t. Откуда имеем M[x](t) - x(t) = j (M[x](t) - x(t)) = o{eStta), t - oo. \фр{і)\ + e6tt8 Mt) (1 + s + \5\) estfamax \p\ С другой стороны, из леммы 40 получим, что \M[x](t)\ = estts [фр(і)\ esttsamin \p\, і є E+. Из утверждений 15 и 16 вытекает, что d (e6t t8) МЫ dt t 1. Следовательно, для любого є 0 найдется такое t0 1, что для любого t t0 имеют место неравенства M[x](t) M[x](t) -x(t) 0"n \M[x](t) - x(t)\ є, є, (1 0"n \M[x](t)\ \M[x](t)\ \M[x](t)\ Применяя лемму 39 к функциям М[х] и х получим, что Д(ж) - Д(М[ж]) Се, \jl(x) - fi(M[x})\ Се, где С = 8 (1 + s + #) o-max/ 7min + 4. В силу произвольности выбора є получаем требуемое утверждение. Лемма 46 доказана. ЛЕММА 47. Для произвольной системы А є Сп верно включение Sp,(A),SPfl(A)c (J SReSpx(A) min I Im ЛІ , max I Im ЛI XeAs XeAs (5.4)

Рассмотрим произвольное решения х є S (A) и заметим, что скорость блуждания вектор-функции не изменяется при умножении ее на положительную скалярную функцию. Откуда, пользуясь леммой 46, получим fi{x) = р, (М[х\) = р, (фр) , р, (х) = р (М[х\) = р (фр) , где фр определяется в утверждении 17. Тогда из леммы 42 немедленно вытекает неравенство min Р {ЩА) = р{х) р{х) = р {М[х}) Шк. Откуда, пользуясь леммой 45, получим требуемое включение. Лемма 47 доказана. ЛЕММА 48. Для произвольной системы А є Сп верно включение Sp,(A),SPfl(A)D (J S ReSpx(A) min I Im ЛІ , max I Im ЛI XeAs XeAs (5.5) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим произвольное 8 є ReSpA(A) и обозначим, через max llmAI. ХЄА6 Ш5л Smin = min llmAI ХЄА6 Пользуясь следствием 17, построим множество решений такое, что множество значений показателя скорости блуждания на нем совпало с отрезком [ш д, u max]- Для этого рассмотрим следующие возможные случаи

Множество Л 5 состоит только из одного вещественного числа 8. Тогда рассмотрим произвольное решение вида x(t) = vest. Проекция вектора х на единичную сферу представляет собой постоянный вектор и следовательно, р(х) = р(х) = 0. Множество А$ состоит только из двух комплексно сопряженных чисел. x(t) = eSt (Vi COS UJs,mmt + «1 SHI UJs,rmnt) Из леммы 14 получим, что р,(х) = jl(x) = U min. Множество A$ содержит несколько пар комплексно сопряженных чисел. То гда из следствия 17 вытекает, что существуют линейно независимые вектора v\,u\,v2,u2 Є Ега такие, что для произвольных постоянных а\,а2, (3\, (32 выра жения x(t) =eSt( (aiVi + РіЩ) COS UJs,mmt + (аіЩ - (3iVi) SmU}s,miTLt ) + + est ( (a2v2 + /32u2) cos us maxt + (a2u2 - /32v2) smus maxt будут решениями системы А. Заметим, что так как скорость блуждания вектор-функции не изменяется при умножении ее на положительную скалярную функцию, то к набору вектор-функций х применима лемма 44, по которой {fl(x) : (аі,а2,/3і,/32) Є R } = [w«S,min, S,max], и аналогичное равенство для нижней скорости блуждания. И последний случай, когда А$ содержит, как действительное число 6, так и невещественные значения. Из следствия 17 вытекает, что существуют линейно независимые вектора v,u,e Є Кга такие, что для произвольных постоянных а, /3,7 выражения x(t) = est I 7е + (av + j3u) cos ujStmaxt + (au - j3v) sin u;«s)maxt J. будут решениями системы А. Применяя лемму 44, получим {fi(x) : (а,/3,7) Є Rl} = [0,u}S max\-и аналогичное равенство для нижней скорости блуждания. Лемма 48 доказана.

В работе проведено подробное исследование свойств спектров характеристик колеблемости, блуждаемости и ориентированной вращаемости для линейных систем дифференциальных уравнений (с ограниченными коэффициентами), а также изучена тесная связь между показателями колеблемости и блуждаемости.

В работе показано, что верхний (нижний) слабый показатель блуждаемости оценивает сверху верхний (нижний) слабый показатель колеблемости и совпадает с ним при незначительном изменении определения последнего (замене точной нижней грани на существенную). Для сильных показателей блуждаемости и колеблемости данное равенство, вообще говоря, не имеет места. Однако в статье [58] было показано, что нижний сильный показатель колеблемости меньше, чем нижний сильный показатель блуждаемости. Несколько позже, в докладе [62] была установлена неупорядоченность верхних сильных показателей блуждаемости и колеблемости. Дальнейшее развитие техники первой главы настоящей диссертации позволяет установить, что, тем не менее, для широкого класса систем (колеблемость решений которых ограничена) верхний слабый показатель блуждаемости меньше, чем упомянутый незначительно измененный верхний сильный показатель колеблемости.