Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Обратные задачи для параболических систем с данными переопределения на пространственных многообразиях 30
1.1 Необходимые определения. Разрешимость прямых задач для параболических систем 31
1.2 Линейная обратная задача об определении правой части для параболических систем 33
1.3 Коэффициентные обратные задачи для параболических систем 45
1.3.1 Формулировки основных результатов. Теоремы о разрешимости. Оценки устойчивости 45
1.3.2 Вспомогательные утверждения 51
1.3.3 Доказательство основных результатов 57
1.4 Системы конвекции-диффузии и тепломассопереноса 68
1.4.1 Линейная обратная задача об определении правой части для систем конвекции-диффузии и тепломассопереноса 68
1.4.2 Коэффициентные обратные задачи для систем конвекции-диффузии и тепломассопереноса 72
1.5 Примеры 76
ГЛАВА 2 Обратные задачи для моделей тепломассопереноса 82
2.1 Вспомогательные утверждения и определения 83
2.2 Линеаризованная система тепломассопереноса 88
2.3 Определение функции источников для систем тепломассопе-реноса 97
Заключение 110
Список литературы 111
- Коэффициентные обратные задачи для параболических систем
- Линейная обратная задача об определении правой части для систем конвекции-диффузии и тепломассопереноса
- Линеаризованная система тепломассопереноса
- Определение функции источников для систем тепломассопе-реноса
Коэффициентные обратные задачи для параболических систем
В частности, в класс систем (4)—(6) входит классическая модель Обербека - Буссинеска (см. [5], [6], [7], [8]), описывающая распространение примеси в жидкости. Однако, в реальных моделях, используемых в региональных системах поддержки принятия решений, иногда возникает и большее количество уравнений относительно, различных примесей в жидкости. В них учитывается до 90 различных параметров качества воды, включая фитопланктон, эпифитон и различные химические составляющие (различные подходы к построению таких моделей и библиография описаны в [9]).
Матрицы di характеризуют скорость осаждения примесей, матрица 2о характеризует разложение примесей в результате химических реакций. Функции fo и / есть плотности источников тепла и внешних сил соответственно. Коэффициент Ля есть коэффициент теплопроводности. В модели Обербека - Буссинеска (Зс и (Зо есть коэффициенты переноса массы и тепла, умноженные на ускоре ние свободного падения. Для общности принимаем, что есть произвольная матрица-функция размерности и есть вектор-функция длины . Актуальность и степень разработанности темы исследования
Процессы переноса тепла (энергии) и массы вещества рассматривались многими авторами. В частности, система (4)—(6) и даже более общие системы имеются в монографии Лыкова А.В. и Михайлова Ю.А. [10], где на основе термодинамики необратимых процессов выведена система дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса в самом общем виде. Там рассматриваются и системы, где система Навье-Стокса заменена более общей системой. Данная монография посвящена аналитической теории тепло- и массопереноса. Рассмотрены методы решения нестационарных задач тепло- и массопереноса, подробно рассматривается тепло- и массоперенос в бинарных газовых смесях, жидких растворах, дисперсных средах и в ряде других случаев. Методами конечных интегральных преобразований получены аналитические решения для простейших тел таких как пластина, цилиндр, шар при граничных условиях второго и третьего рода. Очень часто в приложениях, особенно в одномерных моделях, для упрощения системы скорость течения считается известной и тогда рассматривается лишь параболическая система уравнений.
Обратные задачи возникают при исследовании многих прикладных задач и имеют постоянно расширяющиеся области приложения, среди которых можно выделить задачи сейсморазведки (например, определение расположения и мощности залежей полезных ископаемых), определения свойств материалов (механических, теплофизических), идентификации полимерных и композитных материалов, задачи рентгеновской и акустической томографии и ряд других задач. В настоящее время существует множество различных постановок обратных задач и для некоторых классов обратных задач уже имеются теоремы единственности, разрешимости или, по крайней мере, оценки устойчивости. Выделим основные направления исследований. Среди работ, посвящённых параболическим уравнениям и системам можно выделить работы Прилепко А.И., Орловсокго Д.Г., Денисова А.М., Камынина В.Л., Исакова В., М. Yamomoto, Кожанова А.И., Lorenzi A., Белова Ю.Я., Аниконова Ю.Е. и многих других авторов. Имеются также работы Орловского Д.Г., Фавини А., Горбачук М.Л., Бухгейма А.Л., Федорова В.Е. и других (см. [11], [12], [13], [14], [15]), посвящённые абстрактным эволюци онным уравнениям в банаховом пространстве. Основные классы исследуемых задач отличаются по виду условий переопределения: интегральные условия с данными зависящими от времени и (или) пространственных переменных, условие финального переопределения (в этом случае решение задаётся в финальный момент времени), оператор Дирихле-Неймана или Неймана-Дирихле, эволюционные данные переопределения (в этом случае данные зависят от времени, как правило решение или его производные задаются на некоторых пространственных многообразиях или в отдельных точках). Как раз к этому классу задач относятся рассматриваемые в диссертации задачи. Стоит отметить большое количество работ Новосибирской школы по обратным задачам (это в основном работы, посвящённые гиперболическим уравнениям и системам): Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Яхно В., Аниконов Ю.Е., Бухгейм А.Л., Кабанихин С.И., а также работы Белишева М.И., Клибанова М.И., Uhlman G., Пестова Л.Н. Отметим ряд недавних монографий, где можно найти постановки и подробную библиографию: [16], [17], [18]. Среди последних монографий, посвящённых численным методам решения обратных задач, можно выделить, например, монографии [19], [20], [21]. Сошлемся также на монографии [22], [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29], где имеется значительное количество постановок обратных задач и ряд результатов, связанных в основном с численным решением обратных задач. Очень часто численные методы основаны на сведении обратной задачи к некоторой задаче оптимального управления и в конечном счёте решение строится при помощи регуляризации и минимизации некоторого функционала. Отметим однако, что функционал в нелинейном случае не является выпуклым, и фактически не очень понятно даёт ли его минимизация решение искомой задачи. Это относится, например, и к простейшей модельной задаче об определении точечного источника, например, источника загрязнения в водоеме или атмосфере. Поэтому теоретическое исследование задачи и построение на основе новых теоретических результатов надежных численных методов имеет большое значение.
Обратным задачам с финальным переопределением посвящены, в частности, работы Прилепко А.И., Орловского Д.Г., Васина И.А., Гольдман Н.А., Камынина В.Л. и ряда других авторов. Подобные задачи были рассмотрены и для некоторых систем уравнений, включая систему уравнений Навье-Стокса. Большое количество результатов и библиография могут быть найдены в известной монографии [30]. Второй класс задач, возникающих прежде всего в геофизике – это задачи восстановления параметров среды (коэффициентов уравнения) по данным Коши на боковой поверхности цилиндра или по оператору Неймана-Дирихле (Дирихле-Неймана) (см. недавние обзорную работу [31] или работу [32]). Теорем существования в случае, если условия переопределения типа данных Коши задаются на боковой поверхности или ее части в литературе не имеется (прямым задачам с данными Коши на боковой поверхности цилиндра посвящена, например, монография [33]), за исключением некоторых самых простых модельных ситуаций. В этом случае основные результаты – теоремы единственности и оценки устойчивости задачи. Ряд результатов по обратным задачам с данными Коши на боковой поверхности цилиндра и по задачам с заданным оператором Дирихле-Неймана, (Неймана-Дирихле) изложен в монографиях Исакова В. и Рамма А.Г. ([18], [34]). В этих монографиях, кроме ряда результатов, имеется также и подробная библиография, касающаяся оценок устойчивости в случае, когда неизвестный коэффициент уравнения или правая часть зависят от пространственных переменных и не зависят от времени.
Линейная обратная задача об определении правой части для систем конвекции-диффузии и тепломассопереноса
Условие (А2) используется во всех статьях, посвящённых данным задачам. Как легко увидеть, оно гарантирует единственность решений. Условие (А2) выполнено, если Go = G = Q х Шп к, где Q — ограниченная или неограниченная область класса С2. 2,1 константа 0, независящая от , такая, что Лемма 2.1. Пусть и Є W2,1(QT), q Є (1,оо) и и(х,0) = 0. Тогда существует WUlljj (QT) _ C7" It \\ytf2,1/ iT\ 5 vtt\\jj (QT) _ C7" \\U тд/2,1/ лт\. Утверждение является следствием формулы Ньютона -Лейбница и интерпо IIV7 II /- II 111/2 і, ,,1/2 ляционного неравенства \7U\\L (G) с\\Щ]у2(с)\\и\\ь (GY
Следующая лемма вытекает из вышеприведенной леммы 2.1 и леммы 3.3 главы 2 в [92], где 5 = л/т. Лемма 2.2. Пусть и Є W \QT). Тогда и Є LP(QT), где 2 — ( )(п + 2) 0 и р q, q р Vit Є LP(QT), где 1 — ( )(n + 2) 0 w p q. q p Более того, и Є Сх,х,2(Ср) для q (п + 2)/2, Vu Є Сх х,2{Ср) для q n + 2, где А Є [0, 2 — (п + 2)/д) в первом случае и X Є [0,1 — (n + 2)/g) в последнем. Справедливы следующие оценки для соответствующих значений параметров: , , , , О /О 1 /9 I I и ЦІЇ\\]j (ОТ) — СТ \\1L\\W (GT}i і (Ст) — Г W CO1" ! І 11 11 о 11 11 о 1 /9 11 /Э ("-+2) /1 1 \ /э ("-+2) А ги 2 / где pi = 1 — v м- — - К р9 = 1 — v — и константа с не зависит от г 1 U U Є Wy (Q ІЛТ Лемма 2.3. Дус/иь функция Ъ Є LP(Q). Тогда для любого г Є (0, Т] шиеют тиесто следующие неравенства: если q (п + 2)/2 и p q, то \\Ьи\\і (дт) сг мІІ 2Д( С,т) і/о ("+2) J если g (п + 2)/2 и р q} то \\O\/U\\L (дт) ст 2Р \\U\\W2 1(OT) Константа с 0 не зависит от т Т и и Є VK2 1 1-). Доказательство данной леммы можно найти в доказательстве теоремы 9.1 гл. 4 в [92]. Теорема 2.1. Для каждой f Є LS(Q), s Є (l,oo), существует единственная вектор-функция и Є W {Q) П Ls(0,T; Й (С)) и функция р Є Ls(0,r; Й (С)) такие, что щ — vAu + Vp = /, divM = 0, it 15 = 0, u\t=o = О, и справедливо неравенство \\U\\w (Q) + lVpUs(Q) C/LS(Q) где постоянная с не зависит от /. Следствие 2.1. Для каждой f Є LS(QT) (г Є (0,Т]), существует единственная вектор-функция и Є WS%1(QT) п Ь (0,т; Wls(G)) и функция р Є Ls(0,r; И (С)) такие, что щ — vAu + Vp = /, divu = 0, it5 = О, u\t=o = О, (2.8) и выполнено неравенство IMIws2,1( 2T) II ь8( Зт) — c\\j\\Ls(QT)i где постоянная с не зависит от fur. Теорема 2.1 вытекает из теоремы 1.1 в [102]. Также можно сослаться на теорему 1.2 в [103] и свойства проектора Гельмгольца. В случае, когда G -ограниченная область, теорема 2.1 справедлива для любого s. При определённых условиях на s теорему можно установить и для более широкого класса областей: в частности, для бесконечного цилиндра [104], для полупространств [105], для целого пространства, для плоского слоя и асимптотически плоского слоя [106], [107], и для некоторых других классов неограниченных областей (см. [108], [109], [110]). Теорема 2.1 является основной теоремой, используемой ниже.
Следующий результат - теорема о разрешимости параболических задач. Рассматривается задача щ — Lu = /, u\s = 0, и(х, 0) = 0, (2.9) где Lu = 2 aij(t,x)uXiXj — 2 a,i(t, x)uXi — ao(t,x)u, где a,ij,a,i,ao — матрицы размера h x h и существует константа S\ 0 такая, что п п У (dij(t, х) \ J) 5\ У \\ г\\ Vf є 1 , (t, х) є Q, і = 1, 2,...,п. (2.10) «J=l г=1 Считаем, что сіу Є C(Q), щ Є Lq(Q), ao Є Lq(Q), i,j = l...n. (2.11) Теорема 2.2. Пусть dG Є С2, g n + 2, 7 є (0,T] и условия (2.10), (2.11) выполнены. Тогда для каждого f Є Lq{Q1) существует единственное решение и Є W {Cp) задачи (2.9), удовлетворяющее оценке W (Q и 1(Q7) C/U,(Q7) , где константа с не зависит от 7 Є (0, Т). Для фиксированного j = Т теорема является следствием теоремы 10.4 главы 7 [92] (см. также [94]). Независимость постоянной от 7 очевидна. Теорема 2.3. Пусть dG Є С2 и условия (А2), (2.10) и (2.11), выполнены. Потребуем также, чтобы для некоторого q п+2и всех i,j = l,2,...,n выполнялось Vx"f Є Lq{Q1s)) Vx»a,ij Є LQO(Qs), Vx»a,i,E Lq(Qs), Vx»ao E Lq(Qs). Тогда решение и Є W92)1(Q7) задачи (2.9) обладает свойствами: vx"it є w (Qj) для любого Ji J и справедлива оценка \/ T"U\\ ТЛ/2,1/,-,7 \ С( / Г ( ПТ4! Т V т" Т \\ Т (ПП\ I н ііі-Уд (41) — VIM п- gW j и - w qy s)/ Постоянная с зависит от 5\ 5 и не зависит от Т. Доказательство теоремы 2.3. Рассмотрим область Q]. Фиксируем 62 Si 6 и построим функцию I(JO(%") C (Mn k), такую, что фо = 0, при \х"\ ді фо = 1, при \х"\ $2 Тогда функция ф = IJJQ{X" — (р (х )) имеет носитель, лежащий в области Us. Положим Ащ =(u(t, х + ец]) -u(t, х))/г], где а - /-ый координатный вектор, / к и \г)\ 6 — 5\. Имеем (Aiu)t — 2 aij(tiх)Д-іих.х. — 2ai{t- х)Д-іих. — a,o(t,ж)A/It n = A//+ 2 Aia,ij(t,x)uXiX.(t,x + eih) + 2 -iai(ti x)uXi{ti x + eih) + Aia,o(t, x)u(t, x + eih) = f. i=\ Преобразуем последнее уравнение следующим образом: п ({Aiu)ifj)t — 2 ttijiti iiipAiujxiXj — ifjXiAiuXj — ifjXjAiuXi — ifjXiXjAiu] — 2 O iit, х)[Ф{ ІиХі) — ФХІАІІІ] — CLo(t, x)lfjAiU = flfj. i=l Таким образом, функция (ж) A/it есть решение задачи ({Aiu)ifj)t — L(I/JAIU) = fifj — 2 aij{t)x)il)x.AiuXj n n n — 2 a-ij{tiX)ifjXjAiuXi — 2 aij{tiX)ifjXiXjAiu — Y2a,i(t,x)i/jXiAiu.
Используя свойства конечных разностей (см. [92]) и условия гладкости на коэффициенты, получаем, что норма правой части последнего уравнения равномерно по г] ограничена в Lq(QT). По теореме 2.2 заключаем, что справедливо неравенство Ц А/гіЦ 2д/рт-ч со, где постоянная со в правой части не зависит от ту и г. В силу леммы 4.6 главы 2 в [92], получаем, что обобщенная производная дх.и принадлежит W},2(Ql) и удовлетворяет оценке Со Ввиду произвольности $2 6 и j заключаем, что решение и обладает свойством для любого #2 6 и і = 1, 2,..., s и удовлетворяет оценке в утверждении теоремы. П 2.2 Линеаризованная система тепломассопереноса
Линеаризованная система тепломассопереноса
Линеаризуем систему (2.1)—(2.3). Таким образом рассматривается линеаризованная система уравнений тепломассопереноса n щ — vAu + Vp = BjUXj + BQU + / + /3cC + /3#0, divit = 0, (2.12) n n Ot — А#ДО + у bjQx. + &o@ = fe + / Mj, (2.13) n n n Ct — У CLijCXiXj + У djCXj + 2oC = /c + / aJUj, (2.14) где v = const 0, (t,x) Є Q = (0,T) x G, G С Mn, T oo, it, G, p, С есть вектор скорости, температура жидкости, давление, вектор концентраций примесей (органических или неорганических) в жидкости, а /с - объёмная плотность источников примесей. Здесь же Bj и Бо — п х п матрицы, а , dj, ао — матрицы размерности hx h, где h — это количество примесей, [5с — матрица размерности п х h, а-7 и (3Q — вектор-функции длины кип соответственно, Ае 0, bj и Ъ — скалярные функции. Система (2.12)—(2.14) дополняется начальными и граничными условиями u\t=o = Щ, u\s = 9i{t- x)i Г = 9G, S = (0,T) x Г, (2.15) @t=o = @o? @І5 = 2( 5 ), Ct=o = Co, С5 = з( ,ж). (2.16) Рассматривается обратная задача, заключающаяся в нахождении решения системы (2.12)—(2.14) и правой части /с в (2.14) по данным дополнительных измерений на сечениях G или в отдельных точках.
Положим х" = (xk+i, Xk+2-, хп), к = 0,1,..., п — 1. Если к 1, то положим ж = (жі,Ж2, Xk). Предполагается, что правая часть в (2.14) известна в некоторой области Q = (0, Т) х Gx и неизвестна в области Q" = (0, Т) х G0, где Gi и Go или непустые непересекающиеся области такие, что Go U G\ = G или G\ = 0 и тем самым Q" = Q. Правая часть в (2.14) имеет вид fc = fo(t,x) + y fi(t,x)qi(t,x ), (t,x)EQ, (2.17) где fi, і = 0,1,..., г - известные функции, обращающиеся в ноль на Q. Числовые функции qi(t, х ) В данном представлении неизвестны и находятся с использованием условий переопределения: C\si = ipi{t, х1)-, Si = (0,Т) х ТІ, і = 1, 2,..., s, г = sh, (2-18) где {Гг} - набор гладких -размерных поверхностей, лежащих в G. Наложим условия на данные, полагая, что условие (А2) выполнено. Условия согласования и гладкости данных могут быть записаны в следующей форме: существуют вектор-функции Фь Ф3 и функция Ф2 такие, что ФІ{Ь,Х) Є Wq l(Q) : Фіг=о = Щ, Ф2І =о = @о? Фз =о = Co, Ф«І5 = 9и (2-19) СІІУФІ = 0, ФзІ5, = Vv fo,fe,f Lq(Q), fj Є L0Q(Q), (2.20) Vx /Фз Є Wq (Qs), Vx"/o Lq(Qs), 7x"fj LQ0(Qs), (2-21) где j = 1, 2,..., r, і = 1,2,3 и S —постоянная из условия (А2). Полагаем далее, что /Зс, /Зо, Во, W, bo, ао, а?, Bj, bj, CLJ Є Lq{Q), (2.22) \7xii(io, \7x»aJ, a?, \7x"aj Є Lq(Qs), (2.23) где j = 1,2,... ,n; e{t,x) 5 0 \/{t,x) є Q, \e-,(iij Є C(Q), Vx»a,ij є L0Q(Qs) (2.24) для всех i,j = 1,2,... ,n. Определим матрицу В следующим образом: строки с номерами от (/ — T)h + 1 до lh, I = 1, 2,..., s занимают векторы-столбцы [fl(t, х , Lp {х )), f2(t, х , Lp (V)), . . . , fr(t, x , Lp (V)) ] . Полагаем, что существует постоянная 5о 0 такая, что det В\ 60 0, п.в. в Qo- (2-25) Теорема 2.4. Пусть Г є С2, q п + 2, условия (А2), (2.10) и (2.19)-(2.25) выполнены. Тогда существует единственное решение (и,р, О, С, q\,..., qr) задачи (2.12)—(2.18) из класса и Є Wq (Q), р Є Lq(0,T; W (G)), qj Є Lq{Qo), j = 1,2,... ,r, О, О є W (Q), VX"C є W (Qj2) V 2 6. Зафиксируем 53 є (0,5). Тогда решение удовлетворяет оценке: г WU\\w\Q) + ll llwl Q) + W P\\Lq{Q) + \\C\\w (Q) + Z) II IUg(Qo) І=1 + Vx"6 w2,i/Q ч C{2_ \\ i\\w2 1(Q) 11 а;"( з 2 1(Пй) rIIJOLq(Q) r v x"JO\\Lq(Qs) \\J\\Lq(Q) т j Lg((5)/? где постоянная с не зависит от Ф (г = 1, 2,3), /о, f и fg. Однако, постоянная с зависит от 6% и вообще говоря возможно, что с — оо при 6% — 6. Доказательство теоремы 2.4. Сделаем замену и = v + Ф\, О = ві + Фг, и С = Сі + Фз. Полним, что п Loi(v,p) = Vt — vAv + \7р = g + BJVXJ + BQV + (ЗсС\ + PQQI, divu = 0, (2.26) n n L02Q1 = Git — А#ДОі + У bjQ\Xj + 60O1 = ge + / j? (2.27) n n n r L03C1 = Си — У ttijC\XiXj + У (ijC\Xj + (IQC\ = gc + У aJVj + fjQji где новая функция # ? и вектор-функции дидс имеют вид п д = f — Фи + АФі + У Bj &ix. + -В0Ф1 + А7Ф3 + А Ф2, п 9о = fe — огФг + / Фу, 3=1 п 9с = fo — озФз + / aJ&ij. 3=1 Здесь величины Фъ - координаты вектор-функции Фь Новые функции V, 9\, и вектор-функция С\ удовлетворяют однородным краевым условиям (2.15), (2.16) и (2.18). Далее определим функции qQl из системы уравнений У fi(t,xf, (/т7 (x ))qoi + gc(t,xf\ц? (V)) = 0, j = l,2,...,s. (2.28) г=1 Равенство (2.28) можно записать в виде Bqo = —g, где матрица В определена выше. Координаты вектора д с h(l — 1) + 1 до hi совпадают с координатами вектор-функции gc(t, ж , tpl{x )). По условию (2.25) матрица В обратима. Отметим, что вектор-функция дс принадлежит Lq(Q) и х"9с Є Lq(Qs). Тогда определен след gci\ Є Lq(Qo). Определим функции q из равенства (2.28) и положим = q + qn. Получили уравнение
Здесь оператор (Loi)-1 отображает элемент g є Lq{Q1) в пару (v,p), которая является решением уравнения Loi(v,p) = д и такую, что divu = 0, v Є И7 1 7), p Є Lq(0,7; VJ/ G)), и вектор-функция v удовлетворяет однородным начальным и краевым условиям. Операторы (і )-1, і = 2,3 определяются аналогично. Пусть (Loi)-1g = (г о, о) Определим пространство Н1 , содержащее векторы (v,p,Q,C), где v Є VK2 1 7) — соленоидальная вектор-функция длины п, удовлетворяющая од q нородным условиям (2.15), С и в Є W {Q1) — вектор длины h и скалярная функция соответственно, удовлетворяющие однородным условиям (2.16), р скалярная функция из Lg(0,7; Wq(G)). Введем в этом пространстве норму
Определение функции источников для систем тепломассопе-реноса
Обозначим через L[ часть оператора L1, не содержащую производных по ук+і, Уп, и через Ll2 - разность L1 — L[. Возьмём след у" = 0. Как следствие получаем равенство п г Soi = (L2C\ + у aJVj)\y"=o = У fj(t,y ,ip (y ))qij(t,y ), (2.36) з=і з=і которое может быть переписано следующим образом q = В So = S(q ), (2.37) где координаты вектора So с номерами от (/ — l)h + 1 до lh совпадают с координатами вектора So/. Здесь правая часть может рассматриваться как оператор S, определённый корректно на векторных функциях q1 є Lq(Q ) для 7 7ь Функции С\, г і,... ,vn, входящие в выражение S(q1), выражаются через вектор q1 посредством равенства (2.34). Имеем S(q ) = S (O) + (S(q ) — S(0)), где последнее слагаемое представляет собой линейный оператор, действующий на вектор-функцию q1. Вектор S(0) находится через решение системы (2.26)— (2.27) и (2.29) при q1 = 0 (т.е. через вектор (/ — Ао) 1д), соответственно вектор S(q1) — S(0) выражается через решение системы (2.26)—(2.27) и (2.29) при д = 9о = 9с = 0 (т-е- через вектор (/ — Ao) lA\ql).
Запишем оценки для решения системы (2.26)-(2.27) и (2.29) с д = дв = д = 0. В силу теорем 2.2, 2.3 и соотношений (2.34) и (2.35) заключаем, что для решения UJ = (v,p,6i,Ci) этой системы с однородными начальными и краевыми условиями справедлива оценка IMIff7 + 11 7а;"Сі 2 1(П7 ) — C\\Q lib (Q7)? где постоянная с не зависит от 7 и 5г 5 фиксировано. Соответствующий вектор S(q1) — 5(0) имеет координаты & где а Є ( , 1) (см. теорему вложения в [111] п. 6.1 главы 6). Применим далее интерполяционное неравенство и лемму 2.1: где /Зо = min(/34, /З5, /Зб), а константа с так же, как константа /Зо, не зависит от j. Зафиксируем константу а 1 и выберем 72 min(7i, 1) так, чтобы с 0 а 1 для всех 7 72. Таким образом, доказано, что уравнение (2.37) имеет единственное решение на отрезке [0,72]. Используя функцию q1, можно построить решение для системы (2.26)-(2.27) и (2.29) по формуле (2.34). Обозначим это решение (v\,pi, 02, С2). Далее, продолжим решение на отрезок [0, 272], сохранив класс и использование тех же самых символов для этого продолжения. Сделаем замену переменных v = v\ + V2, р = р\ + Р2, @i = 02 + 0з, Сі = С 2 + Сз. Получим систему (2.26)—(2.27) и (2.29) относительно функций 2, 2, @з, Сз и новую правую часть, которая обращается в ноль на [0,72] и определена на [0,272]. В силу единственности решения системы (2.37) на [0,72], получаем, что вектор-функция (г 2, 2, @з, Сз) равна нулю на [0,72]. Используя этот факт, получены такие же оценки для вектор-функции шид1, которая равна нулю на [0,72]. Без ограничения общности можно считать, что постоянные с, с\, (3 и /Зо совпадают с постоянными, полученными выше. Оценки гарантируют разрешимость уравнения (2.37) на [0,272], и решение равно нулю на [0,72]. Таким образом, там существует единственное решение начальной системы (2.26)-(2.27) и (2.29) (уравнения (2.37)) на [0, 272]. Далее, используя схожую идею, можно доказать разрешимость уравнения (2.37) на сегменте [0,372] и так далее. Таким образом, докажем разрешимость системы (2.26)—(2.27) и (2.29) на [0,Т].
Покажем, что функция Сі удовлетворяет однородному условию (2.18). Имеем Более того, С(0,у/,0) = 0 и C\sT = 0 для любого /. В силу единственности решения получаем, что С = 0. Теорема доказана. 2.3 Определение функции источников для систем тепломассопереноса
Вернёмся к рассмотрению обратной задачи (2.1)-(2.7). Аналогично параграфу 2.2 наложим условия на данные, полагая, что условие (А2) выполнено. Всюду ниже считаем, что q п + 2.
Условие согласования и гладкости могут быть записаны в следующей форме: существуют вектор-функции Фі, Фз и функция 2 такие, что ФІ(,Ж) Є Wq,l(Q) : Фіt=o = Щ) Ф2ІІ=О = @о? Фзг=о = Co, Ф«І5 = 9и (2.42) divФі = 0, ФзІ5- = Vv fo,fe,f Lq(Q), fj Є LQO(Q), (2.43) Vx /Фз Є Wq (Qs), Vx"/o Lq(Qs), 7x"fj LQ0(Qs), (2.44) где j = 1, 2,..., r, і = 1, 2,3 и —постоянная из условия (А2). Определим матрицу В следующим образом: строки с номерами от (/ — 1)/г + 1 до //г (/ = 1, 2,..., s) занимают векторы-столбцы
Равенство (2.49) можно записать в виде до = — #, где матрица В определена ранее. Координаты вектора д с h(l — 1) + 1 до Ы совпадают с координатами вектор-функции gc{t ж , ifl{x )). В силу условия (2.45) матрица В обратима. Отметим, что вектор- функция дс принадлежит Lq(Q) и Vx»gc Є Lq(Qs). Тогда определен след дс\Гі Є Lq(Q0). Определим функции qQl из равенства (2.49) и положим qi = qoi + дц. Получили уравнение п п LQ2,C\ = Си — 2 CLijC\XiXj + 2 ajCiXj + (ioC\ = дос — (v, V)Ci l,J=1 3=rl r (2-50) — (Фі, V)Ci — (f, У)Фз + 2 fjQiji дос = #c + X fjQoj 3=1 3=1 Исходная задача сведена к эквивалентной задаче. Пусть 7 Є (0,Т]. Из теорем 2.1, 2.2 можно записать уравнения (2.46), (2.47) и (2.50) в следующей форме (v,p) = (Loi) д + (Loi) (/ЗсСі +/Зб»ві — (Фі, V)"U — ("и, V)"U — ("и, У)Фі), (2.51) Gi = (Lo2) go — (Lo2) ((v, V)Gi + (Фі, V)0i + (v, У)Ф2), (2-52) r C\ = (Ьоз) дос + (Ьоз) ( (v, V)Ci — (Фі, V)Ci — (v, У)Фз + fjQij)- (2.53) з=і Здесь оператор (Loi)-1 отображает элемент g є Lq(Q ) в пару (v,p), которая является решением уравнения Loi(v,p) = д и такую, что divu = 0, г» Є И 21 7), р Є Lg(0,7; H G)), и вектор-функция г» удовлетворяет однородным начальным и краевым условиям. Операторы (і )-1, і = 2,3, определяются аналогично с использованием уже теоремы 2.2. Пусть (Loi)_1g = (vo,po)- Определим пространство Н1 , содержащее вектора (v,p,Q,C), где v є Wq,l{Q1) — соле-ноидальная вектор-функция длины п, удовлетворяющая однородным условиям (2.4), С, в Є Wq,l{Q1) — вектор длины h и скалярная функция, соответственно, удовлетворяющие однородным условиям (2.5), р — скалярная функция из Lg(0,7; Wq(G)).