Введение к работе
Актуальность темы. В данной работе рассматриваются обратные задачи динамики, состоящие в определении априори неизвестных управлении (параметров) по приближенным измерениям состояний динамических гнетем, описываемых краевыми задачами Гурса-Дарбу. Краевые задачи Гурсаг Дарбу часто используются для математического моделирования процессов сорбции (десорбции), сушки, химических процессов, протекающих в химических реакторах '>-'А4,^.
Обратные задачи представляют собой" активно развивающуюся об-іасгь современной мате.маї икп. Интенсивные исследования в этой области обусловлены многочисленными проблемами практики, требующими д..1я своего решения ра ірабоїки мате.маї нчеекпх методов обработки и интерпретации резулыатов наблюдений, расширяющимися возможностями более адекватного моделирования реальных природных и технологических процессов с применением ЭВМ.
Решение многих прикладных задач технического характера требу-1.М определения неизвестных (т.е. недоступных прямому наблюдению или измерению) характеристик (возмущений, управлений, параметров и т.п.) реального процесса. Характерной особенностью таких задач является то, что наблюдатель должен сделать заключение о свойствах наблюдаемого процесса (объекта) по измеряемым в процессе
'Тихонов VII., Самарский Л.Л. Уравнения математической физики. М.: Паука.
1977.
"Ватупер Л.М.. Поти и М.Е. Математические методы в химической технике.
Л.Л осх им из дат. 190.J.
^Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии.
М.:Химия. 1985.
'Рачииский В.В. Введение в общую динамику сорбции и хроматографии. М.: Наука. ['./('Л.
'I пнберг A.M.. Хохлов В.А. и др. Технологии важнейших оірае.іей промышленности. М.:Высшая школа. 19S5.
'эксперимента их косвенным проявлениям. Таким образом. речь идет о задачах, в которых требуется определить причины, если известны полученные в результате наблюдения следствия.
Обратным задачам динамики, в которых объект описывается какой-либо динамической системой, посвящена обширная литература. Во многих случаях постановки и методы решения таких задач имеют апостериорный (статический) характер, когда алгоритмы решения обратных задач обрабатывают информацию об объекте без учета ее динамики во времени. Во многих научных и инженерных разработках необходимо осуществлять воссзанов.чение ней 'шеечных параметров синхронно с развитием процесса (в динамике, в реальном времени). При этом информация об объекте может зависеть от того, как производилось восстановление неизвестных параметров в прошлом. Более того, восстановленные параметры могут также использоваться для управлення процессом. Таким образом, во многих обратных задачах свойство вольтерровости (физической осуществимости или' неупреждаемости, когда выходы совпадают до тех пор, пока совпадают входы) оператора решения обратной задачи приобретает принципиальное значение, когда речь'.заходит об использовании решения обратной задачи в системах обратной связи, в системах автоматического регулирования, ло всех ситуациях, в которых восстанавливаемые параметры тут же должны использоваться в процессе.
Поясним характерные моменты динамических постановок решения обратных задач:
— искомые алгоритмы решения обратных задач должны строиться в классе конечношагорых по времени алгоритмов, т.е. они должны получать текущую информацию о системе в конечном числе временных узлов и обрабатывать ее между узлами: — искомые алгоритмы должны быть динамическими, т.е. они должны
восстанавливать искомые параметры динамической системы в темпе реальною времени (по ходу процесса), используя входную информацию о системе1 в текущие, дискретные моменты времени;
искомые алгоритмы должны быть регуляризируюишми, т.е. при уменьшении .шага по времени и уменьшении погрешности входных дан-пых, погрешность восстановления искомых параметров должна уменьшаться;
искомые алгоритмы должны обладать свойством вольтерровости {свгЛістуюуі физической осуществимости), для возможности их применения в системах обратной связи;
— неформальным требованием к этим алгоритмам является требование простоты и конструктивности для осуществления расчетов на ЭВМ.
Алгоритмы, обладающие этими свойствами, будем называть позиционными конечпошаговыми динамическими регу.тяризируюшмми вольтерровыми алгоритмами и для краткости использовать устоявшееся обозначение К ДА.
Подход к построению таких алгоритмов был предложен Ю.С. Осиновым и А.В.Кряжнмскпм й->'. Построение алгоритмов базируется на некоторых принципах теории позиционного управления с моделью, развиваемой Н.Н. Красовским и его школой 8>у->10-.и_ и идеях
"Osipov Yn.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problem of ordinary differential equations: dynamical sohilion.s. London. Gordon and Breath. 1995.
'Кряжимгктгй Л.В., Осипов Ю.С. О моделировании управления з динамической
системе // ІЬв. ЛН СССР. Техн. кибернетика. 19S3. N2. C.ol-60.
"Красонгкиіі II.Н. Управление динамической системой. :V1.: Наука. 1985. 'Крагопский ІІ.П., Субботин Л.П. Позиционные дифференциальные игры. М.:
Наука. 1971.
'"Куржанткии Л.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Паука. 1977.
"Субботин А.П.. Чеицов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука. 1981.
теории некорректных задач, развиваемой в школах А.Н. Тихонова, В.К.Иванова. М.М.Лаврентьева 1'-!»!;!Пі Суть этого подхода состоит в следующем. Исходной динамической системе ставится в со-0 1 кет стиле вспомогательная специально сконструированная управляемая динамическая система-модель ,у. Управление этой системой-моделью осуществляется позиционным способом по принципу обратной связи в дискретной по времени схеме. Это означает, что на отрезке времени выбирается некоторое конечное разбиение и управление моделью в каждой точке этого разбиения выбирается на основании информации об исходной динамической системе и информации о системе-модели, которые поступают к этому моменту времени. "Это управляющее воздействие подается на вход системы-модели и она переходит в следующее состояние. Оказывается, во многих случаях выбором системы-модели а закона управления сю можно добиться того, что реализации закона управления будут в определенном смысле близки к неизвестным и искомым параметрам исходной динамической системы. Обратная задача, таким образом, фактически сводится к прямой задаче теории позиционного управления системой-моделью, для которой необходимо найти приемлемую стратегию управления. Отметим, что вспомогательная система-модель н правило выбора управляющих воздействий представляют собоіі мыслимые математические конструкции, которые могут быть физически реализованы па ЭВМ.
В рамках такого подхода Ю.С.Осиновым и А.В.Кряжимеким рас-сма/рпвались различные аспекты задачи восстановления управлений
"Тихонов А.Н., Арсении В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, і 979.
'^Иванов В.К., Насип В.В.. Танаиа В.II. Теория линейных некорректных залач и ее приложения. М.: Наука. J978.
"Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных залачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР. 1902.
(параметров) б динамических системах, которые описывались системами обыкновенных дифференциальных уравнений. В рамках данного подхода А.И.Коротким и В.II.Максимовым были построены алгоритмы восстановления различных параметров в динамических системах, коюрыо описывались гиперболическими и параболическими краевыми їадачами и вариационными неравспсівами.
Системам Гурса-Дарбу посвящена обширная литература. Вопросы существования и единственности решения из соответствующих пространств и вопросы непрерывной зависимости решения от исходных данных изучались в работах В.П.Плотникова, В.II.Сумина, М.И.Су-.мнпа 1,?1|). Задачи шпимачьного управления процессами и разностная аппроксимация задач оптимального управления системами Гурса-Дарбу изучались в работах В.И.Плотникова. В.И.Сумина. М.П.Сумина, 1о>"' Ф.П.Васильева 17, М.М.Потапова l!S. Е.П.Бокмельдер и В.А.Дыхты !;'. К.В.Мапспмовп ", В.А.Срочко л и многих других авторов.
'"Плотников В.П.. Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемых системами Гурса-Дарбу //, Журнал выч. матем. и матем.
физики. 1972. Т.12. N1. C.G7-77.
'"Плотников ІЗ.11.. Сумин М.П. Оптимальное управление объектами с распределенными параметрами, описываемыми негладкими системами Гурса-Дарбу с ограничениями типа неравенства // Диф. уравнения. 1984. Т.20. No. C.851-S60.
''Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1981. 1ьПотапов М.М. Разностная аппроксимация и регуляризация задач оптимального управлении системами Гурса-Дарбу //' Вестник МГУ. Вычислительная маїематика
и кибернетика. 197S. N2. С. 17-26.
"Бокмельдер ЕЛІ.. Дыхта В.А. К теории принципа максимума для управляемых
систем гиперболическою типа // Теоретические и прикладные вопросы оптимальної^ управления. Новосибирск:Наука. 193"). С.-1 Г58.
і0Мансимов К.С Об оптимальности особых управлений в системе Гурса-Дарбу
при наличии функциональных огр.лпгн-нніі пша неравенства на состояние системы
// Докл. ЛИ ЛзССГ. 1979. І.35. N10. С.1 1 і 1.
*'('рочко ІІ.Л. Условия оптимальности типа принципа максимума в системах
Гурса-Дарбу // С'и б. матем. журнал. Н№;1. Т.25. N1. С.126-132.
Цель работы. Цель работы состой і в разработке и доказательстве «.-холимоети реализаций конечношаговых динамических регуляризиру-Ю1ИИХ волыерровых алгоритмов восстановления неизвестных параметров процессов, описываемых краевой задачей Гурса Дарбу. Требует-ся получить оценки сверху и снизу точности реализаций построенных алгоритмов.
Методы исс.тедования. Методы исследования опираются на концепции теории позиционного управления с моделью и теории некорректных задач. В диссертационной .работе используются понятия и методы іеории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, функционального анализа, приближенных методов вычислений и методы решения экстремальных задач.
Теоретическая и практическая цен пості». Изложенные в диссертации методы и установленные результаты могут служить основой для дальнейших разработок в области обратных задач динамики. Постро- . еппые в работе алгоритмы могут использоваться при решении конкретных задач экологии, оптимизации химико-технологических процессов. Результаты диссертации могут использоваться в учебных курсах .
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, двух глав, списка литературы. Главы разбиты на параграфы, нумерация параграфов в работе сквозная. Нумерация формул н утверждений двойная: первый индекс — номер параграфа, второй индекс — порядковый номер объекта внутри параграфа. Общий объем работы составляет 112 страниц машинописного текста.