Обратные и нелокальные задачи для вырожденных эволюционных уравнений Иванова Наталья Дмитриевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Нелинейные обратные задачи для вырожденных эволюционных уравнений 33

1.1 Невырожденные обратные задачи 33

1.2 Прямая задача для вырожденного уравнения 35

1.3 Обобщенное решение нелинейной обратной задачи 41

1.4 Классическое решение нелинейной обратной задачи 46

1.5 Нелинейная обратная задача для уравнений с многочленами от эллиптических операторов 48

1.6 Нелинейная обратная задача для системы Соболева 53

1.7 Нелинейная обратная задача для линеаризованной системы Осколкова 58

1.8 Обратная задача для нелинейной системы уравнений Осколкова 71

2 Линейные обратные задачи с переопределением на подпространстве вырождения 74

2.1 Линейная обратная задача для вырожденного эволюционного уравнения з

2.2 Обратная задача для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля 77

2.3 Линейная обратная задача с вырождением для линеаризованной системы Осколкова 80

3 Нелокальные по времени задачи 86

3.1 Нелокальные задачи для однородного невырожденного уравнения 86

3.2 Задача для неоднородного невырожденного уравнения 90

3.3 Нелокальная задача для вырожденного уравнения 99

3.4 Нелокальная по времени задача для уравнения Дзекцера 104

3.5 Нелокальная по времени задача для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля 106

3.6 Нелокальная задача на полуоси для вырожденного эволюционного уравнения 111

3.7 Нелокальная на временной полуоси краевая задача для уравнений с многочленами от оператора Лапласа 113

Заключение 117

Список обозначений и соглашений 118

Список литературы

• Прямая задача для вырожденного уравнения
• Нелинейная обратная задача для линеаризованной системы Осколкова
• Обратная задача для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля
• Нелокальная по времени задача для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля

Введение к работе

Актуальность темы исследования. В диссертационной работе представлены результаты исследования разрешимости обратных (линейных и нелинейных) и нелокальных по времени (на полуоси и отрезке) задач для вырожденных эволюционных уравнений. Под вырожденными эволюционными понимаются такие уравнения и системы уравнений, вообще говоря, в частных производных, которые, будучи формализованными в виде дифференциальных уравнений для функций одной выделенной (эволюционной) переменной со значениями в банаховом пространстве (пространстве функций остальных переменных), имеют оператор при старшей производной, обладающий нетривиальным ядром. Задачи такого типа встречаются во многих прикладных областях современной науки и техники, интенсивное исследование которых в значительной мере обусловлено проблемами практики. При этом хорошо известно о большой практической значимости обратных задач¹, об их тесной связи с нелокальными задачами²'³. Тем самым, имеется необходимость в разработке математического аппарата для их исследования. Вопросы существования и единственности решения, которым посвящена данная работа, являются одними из главных вопросов теории дифференциальных уравнений, как правило, лежащими в основе любых других исследований, связанных с соответствующими задачами.

Степень разработанности темы исследования. Пусть X, 2) и И - банаховы пространства, операторы L Є С{Х\ 2)) (линейный и непрерывный, действующий из X в 2)), ker L т^ {0}, М Є С/(Х;2)) (линейный и замкнутый, с плотной областью определения Dm в X, действующий в 2)), TV : [0, Т] xXxil —> 2), Ф Є C(X;il), заданы Ф : [0,Т] —> il, Xq Є X. Рассмотрим соотношения

Lx(t) = Mx(t) + N(t,x(t),u(t)), te[0,T], (1)

ж(0) = жо, (2)

^{Фж(*) = ф(г), te[o,T\. (з)}

Нелинейной эволюционной обратной задачей будем называть задачу отыскания из соотношений (1)-(3) пары функций х Є С([0,Т];Х) и и Є С([0,Т];Я) (обобщенное решение), либо ж Є С¹([0,Т];Х)Г\С([0,Т]; D_M) ииЄ С¹ф,Т]]ІХ) (классическое решение).

В случае N(t,x(t),u(t)) = B(t)u(t) + y(t), где В : [0,Т] ->> (Я;2)), у : [0,Т] —> 2), имеем линейное вырожденное эволюционное уравнение

Lx(t) = Mx(t) + B(t)u(t)+y(t), te[0,T\. (4)

Задачу (2)-(4) будем называть линейной эволюционной обратной задачей.

Помимо условия Коши (2) в данной работе используется также обобщенное условие Шоуолтера Рх(0) = хо, где Р — проектор на фазовое пространство линейного однородного уравнения Lx(t) = Mx(t), ядро которого содержит в

^^Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009.

²Прилепко А. И. Метод полугрупп решения обратных, нелокальных и неклассических задач. Прогноз-управление и прогноз-наблюдение эволюционных уравнений. I // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 11. С. 1560-1571.

³Кожанов А. И. О разрешимости некоторых нелокальных и связанных с ними обратных задач для параболических уравнений // Мат. заметки СВФУ. 2011. Т. 18, № 2. С. 64-78.

частности ядро kerL оператора L, но, вообще говоря, не совпадает с ним. Такое начальное условие позволяет избежать весьма обременительных условий согласования начального значения с другими данными задачи и в приложениях является более естественным.

Заметим, что уравнения вида (1), (4), не разрешимые относительно производной, являются абстрактной формой уравнений в частных производных, не разрешимых относительно производных по выделенной переменной, как правило, по времени, нередко встречающихся при математическом моделировании различных реальных процессов. Результаты исследований таких уравнений могут быть найдены в работах С. Л. Соболева, М. И. Вишика, R. Showalter, Г. В. Демиденко, A. Favini, A. Yagi, И. А. Шишмарева, А. И. Кожанова, Г. А. Свиридюка, В. Е. Федорова, А. Г. Свешникова, М. О. Корпусова. Часто такие уравнения называются уравнениями Соболевского типа (не обязательно в случае kerL j^ {0}, но даже в случае нелинейного оператора L).

Линейные обратные задачи (2)-(4) для вырожденных эволюционных уравнений с постоянным по времени неизвестным элементом и Є ІІ рассматривались в работах В. Е. Федорова и А. В. Уразаевой, как и в случае переменного u{t) с переопределением на фазовом пространстве однородного вырожденного линейного уравнения. Отметим также близкие по предмету исследования работы А. И. Кожанова, касающиеся вырожденных эволюционных уравнений, а также уравнений составного типа, работы Н. Н. Абашеевой, охватывающие класс уравнений с переменным направлением времени, A. Favini, A. Lorenzi, М. А1 Ногапі, в которых рассматривается вырожденное эволюционное уравнение с минимальным подпространством вырождения, совпадающим с ker L, работы С. Г. Пяткова, А. Ш. Любановой с соавторами о различных обратных задачах для пседопараболических уравнений, как правило, не являющихся вырожденными в смысле нашего определения.

Рассмотрим уравнение

x(t) = Ax(t) + f(t), >0, (5)

где А — линейный оператор, порождающий в банаховом пространстве X сильно непрерывную полугруппу класса Со, / Є С([0, +оо); X). Классической задачей, рассматриваемой для такого уравнения, является задача Кошиж(О) = Хо, которую можно назвать одноточечной задачей. Методами теории полугрупп операторов доказано существование и единственность решения однородной и неоднородной задачи Коши для уравнения (5). В работах Ю. С. Эйдельмана, а также В. К. Иванова, И. В. Мельниковой, А. И. Филинкова исследовалась двухточечная краевая задача ах(0) — х{Т) = xq. Естественным обобщением этих задач является нелокальная задача вида

т

/ x(t)dfi(t) = хо, (6)

о где /і — функция ограниченной вариации. В случае, когда А порождает аналитическую полугруппу, задачу (6) исследовал Э. А. Штейнвиль.

Различные модификации условия (6), а также более сложные варианты нелокального по времени условия как для уравнения вида (5) и близких к нему эволюционных уравнений в абстрактных банаховых пространствах, так и

для соответствующих уравнений и систем уравнений в частных производных, рассматривались в работах А. А. Керефова, В. В. Шелухина, А. И. Кожанова и других авторов: J. Chabrowski, L. Byszewski, V. Lakshmikantham, R. P. Agarwal, M. Bochner, В. Б. Шахмуров, M. В. Уварова.

В работах И. В. Тихонова исчерпывающим образом исследована единственность решения задачи (5), (6), а также задачи (6) для уравнения Lx{t) = Mx{t) при самых общих предположениях об операторах A, L, М. Также И. В. Тихоновым '⁵ рассмотрена задача (6) для однородного уравнения (5) в случае, когда dfi(t) = r)(t)dt, Т = +оо, т. е. нелокальное условие имеет вид

О

где весовая функция i](t) считается измеримой и локально суммируемой на полупрямой [0,+оо). При различных условиях на функцию Г] в случае экспоненциального убывания порождаемой оператором А СЬ-непрерывной полугруппы получены необходимые и достаточные условия существования, единственности и устойчивости классического и обобщенного решения задачи (5), (7) при / = 0. При этом ключевым условием является отсутствие среди точек спектра о" (А) оператора А нулей характеристической функции задачи (7). В случае периодической функции г] И. В. Тихоновым показано, что для однородного уравнения (5) задача с условием (7) эквивалентна задаче с условием

т

/*№№ = *>. (8)

О

Цели и задачи. Основная цель данной работы — исследование вопросов существования и единственности решения нелинейной обратной задачи (1)-(3), линейной обратной задачи (2)-(4) в случае, когда условие переопределения (3) задано на подпространстве вырождения уравнения (4), а также нелокальной по времени задачи на отрезке (8) для неоднородного линейного вырожденного эволюционного уравнения Lx{t) = Mx{t) + fit) и нелокальной на временной полуоси задачи (7) для соответствующего однородного линейного вырожденного эволюционного уравнения. Иначе говоря, работа посвящена получению необходимых, а для нелокальных задач — и достаточных условий существования решения и его единственности для перечисленных задач, а также, кроме случая нелинейной обратной задачи, — получению оценок устойчивости решений.

Полученные в данной работе условия однозначной разрешимости задач для уравнений в банаховых пространствах должны иметь достаточно простой вид для того, чтобы быть использованными при рассмотрении конкретных обратных и нелокальных задач для уравнений и систем уравнений, описывающих различные физические процессы. Общность результатов должна позво-

⁴Тихонов И. В. О разрешимости задачи с нелокальным интегральным условием для дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 6. С. 841-843.

⁵Тихонов И. В. Нелокальная задача с «периодическим» интегральным условием для дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Интегральные преобразования и специальные функции. 2004. Т. 4, № 1. С. 49-69.

лять их использовать для целых классов нелокальных по времени и обратных задач, в которых при этом искомая вектор-функция u{t) может иметь различные интерпретации — числовая функция или вектор функция, зависящая только от временной переменной t или от временной и пространственных переменных (t,s) = (t, Si, S21 і s_n); при этом условие переопределения может иметь вид интегрального по s = (si, 82-, , s_n) или точечного в точке so = (sio, S20, , Sno) переопределения и др.

Научная новизна. Основными результатами данной диссертационной работы являются теоремы о разрешимости линейных и нелинейных обратных задач для вырожденных эволюционных уравнений (1) и (4) и нелокальных на отрезке или полуоси задач для уравнения

Lx(t) = Mx(t) + f(t) (9)

при kerL 7^ {0}. Для линейных задач полученные результаты сопровождены выведением оценок устойчивости решений. При этом предполагается выполнение условия сильной (Х,р)-радиальности оператора М.

Отметим, что обратные задачи для вырожденных эволюционных уравнений общего вида в банаховых пространствах ранее, по-видимому, рассматривались только в работах В. Е. Федорова и А. В. Уразаевой и в работах A. Favini с соавторами. Однако в первом случае рассматривались линейные задачи либо с неизвестным элементом и, не зависящим от времени, либо предполагалось, что оператор переопределения Ф не зависит от элементов ядра проектора Р на фазовое пространство однородного уравнения (9). В работах A. Favini, A. Lorenzi, М. Al Horani рассматривались лишь некоторые задачи, в которых ker Р = ker L. В данной же работе неизвестный элемент и зависит от времени, в случае линейных задач оператор переопределения Ф не зависит от элементов ядра проектора / — Р, а условие сильной (Ь,р)-радиальности оператора М допускает равенство ker Р = ker L лишь в частном случае р = 0, в общей же ситуации ker Р D ker L.

Все полученные результаты о нелокальных задачах для класса уравнений (9) с сильно (Ь,р)-радиальным оператором М являются новыми. Кроме того, новыми являются также аналогичные результаты для неоднородного невырожденного уравнения (5), полученные в данной работе.

Полученные абстрактные результаты позволяют исследовать не изученные ранее обратные и нелокальные задачи для различных уравнений и систем уравнений математической физики, не разрешимых относительно производной по выделенной переменной.

Теоретическая и практическая значимость работы. Рассматриваемые в данной диссертационной работе абстрактные обратные и нелокальные задачи имеют модельные интерпретации, важные с практической точки зрения, описывающие ряд процессов и явлений в гидродинамике и теории фильтрации, теории фазового поля, встречающихся в медицине (какие-либо изменения внутренних органов), геофизике (исследование месторождений полезных ископаемых), неразрушающем контроле (скрытое нарушение структуры при дефектоскопии) и других практических областях естествознания. С математической точки зрения необходимо доказательство существования и единственности решений соответствующих начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных. Для задач, заданных на

временной полуоси, важна также оценка устойчивости их решений, позволяющая судить об их поведении на больших промежутках времени и соотносить его с наблюдаемыми измерениями. Тем самым, изначальная теоретическая значимость работы, имеющей теоретический характер, тесно переплетается с практической значимостью.

Методология и методы исследования. При исследовании обратных и нелокальных задач для вырожденных эволюционных уравнений (1) и (4) предполагается, что оператор М является сильно (Ь,р)-радиальным, другими словами, пара операторов L, М порождает вырожденную сильно непрерывную полугруппу. Это позволяет методами теории вырожденных полугрупп операторов редуцировать исходную задачу к задаче для системы уравнений для двух проекций функции состояния, принимающих значения во взаимно дополнительных подпространствах X и X , первое из которых является фазовым пространством соответствующего линейного однородного уравнения и совпадает с образом единицы Р разрешающей полугруппы, а другое подпространство является ядром единицы и представляет собой подпространство вырождения уравнения — максимальное подпространство в X, на котором исходное вырожденное эволюционное уравнение принципиально неразрешимо относительно производной x(t). Эта система уравнений имеет вид

v(t) = L^^lMiv(t) + L^^lQN(t, v(t) + w{t),u{t)), Hw{t) = w{t) + Mq¹{I - Q)N{t,v{t) + w{t),u{t)),

где v(t) = Px{t), w = (I - P)x{t), L_k = L\_Xk, M_k = M|^_ndomM, к = 0,1, H = Mq Lo, Q — проектор на пространстве 2), также определяемый операторами L и М. При некоторых предположениях на оператор N и оператор переопределения Ф из условия (3) исходная обратная задача сводится к обратной задаче для одного из полученных уравнений и прямой задаче для другого уравнения, которую можно решить после разрешения обратной задачи. При этом существенную роль играет нильпотентность оператора Н, а в нелинейном случае используются результаты монографии А. И. Прилепко и соавторов⁶ о разрешимости нелинейной обратной задачи для первого из уравнений, разрешенного относительно производной.

В случае нелокальной задачи каждое из получаемых таким образом уравнений v(t) = L^^lMiv{t) + L^^lQf{t), Hw(t) = w(t) + M_Q-¹(I-Q)f(t) решается отдельно. При этом в доказательствах существенными являются результаты и идеи работ И. В. Тихонова.

Результаты о разрешимости обратных и нелокальных задач для вырожденных эволюционных уравнений в банаховых пространствах в диссертационной работе используются для изучения обратных и нелокальных по времени задач для уравнений и систем уравнений, не разрешимых относительно производной по времени. Для этого строится редукция соответствующей начально-краевой задачи для уравнения или системы уравнений в частных производных к абстрактной задаче в банаховом пространстве. Преимущество такого подхода состоит в том, что всякая абстрактная задача со специальным образом подо-

⁶Prilepko, A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A.. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. New York, Basel: Marcel Dekker Inc., 2000.

бранными условиями на операторы L, М, N, Ф представляет собой абстрактную форму целого ряда начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных.

Положения, выносимые на защиту

1. Найдены условия однозначной разрешимости нелинейной обратной задачи для вырожденного эволюционного уравнения в банаховом пространстве. Результаты использованы при исследовании задач идентификации для уравнений с многочленами от эллиптических операторов, системы Соболева, уравнений динамики вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта.

2. Получены теоремы об однозначной разрешимости и оценках устойчивости решений линейной обратной задачи для вырожденного эволюционного уравнения с переопределением на подпространстве вырождения. Общие результаты использованы для исследования задач с неопределенными коэффициентами для квазистационарной системы уравнений фазового поля, для линеаризованной системы Осколкова.

3. Доказаны теоремы о существовании единственного решения нелокальной на временной полуоси задачи для линейного однородного вырожденного эволюционного уравнения, найдены оценки устойчивости решений. С помощью полученных результатов изучены нелокальные задачи для уравнений с многочленами от оператора Лапласа.

4. Получены условия однозначной разрешимости нелокальной на временном отрезке задачи для линейного неоднородного вырожденного эволюционного уравнения, выведены оценки устойчивости решений. Результаты использованы при исследовании нелокальных по времени задач для уравнения свободной поверхности фильтрующейся жидкости, для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность и обоснованность полученных результатов обусловлены математической строгостью методов исследования, корректным использованием математического аппарата.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на международных научных конференциях [3, 5-11, 14, 16-18]. Обсуждение диссертации проводилось также на семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета (руководитель семинара — д.ф.-м.н., проф. В. Е. Федоров).

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [1, 2] в изданиях Перечня рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций, а также в работах [4, 12, 13, 15]. Все результаты, изложенные в диссертации, автор получил лично. В совместных работах с научным руководителем В. Е. Федорову принадлежат постановка задачи и общее руководство проводимыми исследованиями. К. М. Комаровой и Ю. Ю. Федоровой принадлежат частные результаты работ [13] и [1] соответственно, не включенные в данную диссертацию.

Прямая задача для вырожденного уравнения

Достоверность и обоснованность полученных результатов обусловлены математической строгостью методов исследования, корректным использованием математического аппарата.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения академика М. М. Лавреньева «Обратные и некорректные задачи математической физики», Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, 2012 г.; Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Башкирский государственный университет, г. Уфа, 2012 г.; Международная конференция «Нелинейные уравнения и комплексный анализ», Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН, оз. Банное, Башкортостан, 2013 г.; Международная конференция «Semigroups of Operators: Theory and Applications», Центр математических исследований и конференций Института математики Польской академии наук, Польша, г. Познань, 2013 г.; Международная конференция «Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна», Воронежский государственный университет, г. Воронеж, 2014 г.; Международная конференция «Нелинейные уравнения и комплексный анализ», Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН, оз. Банное, Башкортостан, 2014 г. Обсуждение диссертации проводилось также на семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета (руководитель семинара — д.ф.-м.н., проф. В. Е. Федоров). Тезисы докладов опубликованы в [6,8-14,51,75-77].

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7, 15, 16, 52,53,74], среди которых [53,74] включены в Перечень научных журналов ВАК Минобрнауки России. Все результаты, изложенные в диссертации, автор получил лично. В совместных работах с научным руководителем В. Е. Федорову принадлежат постановка задачи и общее руководство проводимыми исследованиями. К. М. Комаровой и Ю. Ю. Федоровой принадлежат частные результаты работ [16] и [53] соответственно, не включенные в данную диссертацию.

Краткое содержание диссертации Структура диссертационной работы включает в себя введение, три главы, заключение, список обозначений и соглашений и список литературы. Список литературы, возможно, не полный: он отражает лишь личные предпочтения автора работы.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, показана степень разработанности выбранной тематики, сформулированы цели и задачи работы, доказана научная новизна, приведены методология и методы исследования. Также в данной части работы сформулированы положения, выносимые на защиту, степень достоверности и апробация результатов диссертационной работы.

В первой главе представлены результаты исследования нелинейных обратных задач для вырожденных эволюционных уравнений и систем таких уравнений. Первый и второй параграфы содержат в себе предварительные сведения, которые используются при доказательстве основных результатов диссертационной работы. В первом параграфе представлены полученынные в монографии А. И. Прилепко, Д. Г. Орловского, И. А. Васина [81] результаты об однозначной локальной разрешимости нелинейных обратных задач для уравнений, разрешенных относительно производной по времени. Второй параграф содержит полученные В. Е. Федоровым методами теории вырожденных полугрупп операторов [48,49] условия существования и единственности решения задачи Коши и задачи Шоуолтера (в которой начальное условие задано не для всего решения, а лишь для его проекции на образ единицы разрешающей полугруппы) для вырожденного эволюционного уравнения. В третьем и четвертом параграфах приведено доказательство теорем суще 18

ствования и единственности локальных обобщенных и классических решений соответственно — основных абстрактных результатов третьей главы, использованных далее при рассмотрении нелинейных обратных задач для некоторых уравнений и систем уравнений в частных производных. В пятом параграфе показана разрешимость нелинейной обратной задачи для уравнений с многочленами от эллиптических операторов. Шестой параграф посвящен исследованию разрешимости нелинейной обратной задачи для системы Соболева. В седьмом параграфе показано существование единственного решения одной обратной задачи для линеаризованной системы Осколкова, моделирующей в линейном приближении течение вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта. Условия существования и единственности локального решения обратной задачи для нелинейной системы уравнений Осколкова показаны в восьмом параграфе данной главы.

Для краткости изложения содержания первой главы диссертационной работы приведем результаты исследования однозначной локальной разрешимости в классическом смысле нелинейной обратной задачи для вырожденного эволюционного уравнения с условием Шоуолтера. Помимо приведенных ниже результатов, в работе были получены теоремы существования и единственности классического и обобщенного решения данной задачи с условием Коши, а также обобщенного решения рассматриваемой задачи с условием Шоуолтера.

Нелинейная обратная задача для линеаризованной системы Осколкова

Ее решением будем называть пару ж Є С1([0,Т];Х) П C([0,T];DM), Є С1([0,Т]]ії), для которой выполняются равенства (2.1.1)-(2.1.3).

Поскольку решение уравнения (2.1.1) согласно теореме 1.2.7 состоит из двух частей — на подпространстве Xі и на подпространстве Х в силу расщепления действия операторов L,M : Хк — 2)fc, к = 0,1, то для решения обратной задачи возникает необходимость увязать действие оператора Ф с подпространствами Хк, її)к. В работе [56] был рассмотрен случай, когда Х С кегФ, то есть условие переопределения задано только на фазовом пространстве Xі однородного уравнения (2.1.1). В данной главе рассмотрим другой вариант — Xі С кегФ, то есть случай задания условия переопределения на подпространстве вырождения Х уравнения (2.1.1). Иногда для краткости в этом случае задачу (2.1.1)-(2.1.3) будем называть обратной задачей с вырождением.

Доказательство. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда функцию x(t) можно представить в виде x(t) = Px{t) + Pox{t). Обозначим Px{t) = v(t), Pox(t) = w(t). Так как Xі С кегФ, то ФР = 0 и, в силу теоремы 1.2.1, задача (2.1.1)-(2.1.3) эквивалентна задаче нахождения функций -и, w: и из соотношений

Таким образом, исходная задача распадается на две независимые задачи на взаимно дополнительных подпространствах: обратную задачу (2.1.11)-(2.1.13) и прямую задачу (2.1.9), (2.1.10) с уже найденным и.

Подействуем оператором Ф на решение прямой задачи (2.1.11), (2.1.12) при известном и. Из вида решения (1.2.3) при д = Ви+у, условий Xі С кег Ф, ФНкМй1( оВ(і) = 0 при всех t Є [0,Т], к = 1, 2,... ,р, влекущих равенства &HkMQ\Q0Byi\t) = 0 при всех є [0,Т], I = 1,2,..., , А; = 1,2,...,р, и условия переопределения (2.1.13) следует, что

Теорема 2.1.2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, Хо Є DMX, QB Є СН[0,Т];/:(ІІ;2))); Q0B є +1([0,T]; С(Щ її))), Qy Є С1{[ Т]-ЇЇ)), Q0y Є С2"+1([0,Т];2)), ф є (X;il); Xі С кегФ; Ф є C"+1([0,T];il), существует обратный оператор (ФЛ о-В ))-1 = Л() при ecea: t Є [0,Т]; Л Є Cp+1([0,T};(il)), ФНкМйг( оВ(г) = 0 при всеж Є [0,Т], А; = 1,2,...,р. Тогда существует единственное решение х Є C QOjTjjX) П C([0,T];DM), и Є C fOjT];!!) задачи (2.1.1), (2.1.3), (2.1.14); при этом оно имеет вид имеет вид (2.1.5), (2.1.6) и удовлетворяет условиям (2.1.7), (2.1.8), где о 0 не зависит от XQ, у, Ф.

Доказательство. В отличие от задачи (2.1.1)-(2.1.3), в данном случае для начальных данных хо необходима лишь принадлежность подпространству Xі, что следует из наличия оператора Р в левой части начального условия

Данная система уравнений с точностью до линейной замены искомых функций v(x,t) = v(x,t) + w(x,t), w(x,t) = w(x,t) совпадает с линеаризацией квазистационарной системы уравнений фазового поля [35,36], описывающей в рамках мезоскопической теории фазовые переходы первого рода, в случае одномерной фазовой функции. Искомыми функциями в обратной задаче (2.2.1)-(2.2.5) являются v(x,t), w(x,t), u(t).

Обозначим Aw = Aw, DA = Н2{&) С L2{0). Через {cpk к Є N} обозначим ортонормированные в смысле скалярного произведения в (П) собственные функции оператора А: занумерованные по невозрастанию собственных значений {Xk : к Є N} с учетом их кратности. Пусть —/З Є сг{А): &k = {& + Xk) l(f3 + 1 + Xk)Xk в случае —/3 ф Xk- Используя разложение по базису {ifk к Є N} в пространстве (П), вычислим операторы

Линейная обратная задача с вырождением для линеаризованной системы Осколкова Рассмотрим обратную задачу для моделирующей в линейном приближении в окрестности v = 0 динамику вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта системы уравнений Осколкова (1-хДЫ-М) = vAv{s,t) -r{s,t) + b{s,t)u{t), {s,t) еПх [0,7], (2.3.1) V-v(s,t) = 0, (s,) Є ft х [0,7], (2.3.2) v(s,t) = 0, (s,t) Є дП x [0,7], (2.3.3) v(s,0) = v0(s), sGft, (2.3.4) J{K(t),r(t,t)}Rnd = Щі), t є [О,Г]. (2.3.5) п Здесь Q с М.п — ограниченная область с границей dQ класса С. Параметр X Є Ж. характеризует упругие свойства жидкости, a v Є К. — ее вязкие свойства. Вектор-функции v = (г і,г 2, ivn) (вектор скорости жидкости), г = (fi,f2,...,rn) (градиент давления) и функция и неизвестны.

Как и прежде, обозначим через {А&} собственные значения оператора A = ЕД, продолженного до замкнутого оператора в пространстве Ша с областью определения Н , занумерованные по невозрастанию с учетом кратности, а через {(fk} — ортонормированную систему соответствующих собственных функций, образующую базис в Ша.

Обратная задача для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля

В данном параграфе представлены результаты работ И.В. Тихонова [41,43]. Пусть задана функция г] : (0, +оо) — С, измеримая и локально суммируемая. Рассмотрим в банаховом пространстве X нелокальное условие x(t)r](t)dt = хо Є X (3.1.1) о для однородного эволюционного уравнения где А — линейный замкнутый оператор с плотной областью определения DA в банаховом пространстве X, порождающий сильно непрерывную полугруппу {X(t) Є С(Х) : t 0} класса Со. Совокупность соотношений (3.1.1), (3.1.2) назовем нелокальной задачей.

Следуя [41,43], обобщенным решением уравнения (3.1.2) будем называть функцию x(t) = X(t)v, t 0, при любом v Є X. Такая функция непрерывна, но может быть недифференцируемой.

Функция х Є С1 ([0,оо);Х) называется классическим решением уравнения (3.1.2), если для нее выполняется равенство (3.1.2) при каждом t 0. Понятно, что для данного оператора А всякое классическое решение уравнения (3.1.2) является обобщенным, обобщенное решение является классическим при v Є DA Обобщенным или классическим решением задачи (3.1.1), (3.1.2) называется соответственно обобщенное или классическое решение уравнения (3.1.2), если для него выполняется условие (3.1.1).

Понятие решения (обобщенного или классического) вводится для задачи (3.1.2), (3.1.7) так же, как для исходной нелокальной задачи (3.1.1), (3.1.2).

Лемма 3.1.1. [43]. Пусть выполнены предположения (і), (И), и элементы Хо}Х\ Є X связаны соотношением (3.1.8). Тогда нелокальная задача (3.1.1), (3.1.2) эквивалентна нелокальной задаче (3.1.2), (3.1.7). Точнее, функция x(t) = X(t)v является обобщенным (или классическим) решением задачи (3.1.1), (3.1.2) тогда и только тогда, когда она является обобщенным (или классическим) решением задачи (3.1.2), (3.1.7).

Сформулируем теоремы о разрешимости задачи (3.1.1), (3.1.2). Теорема 3.1.1. [43]. Пусть для оператора А и функции ц выполнены предположения (і), (И), причем г] Є С1[0,оо) и г](0) 0. Предположим, что ни один нуль характеристической функции х не принадлежит спектру оператора А. Тогда для любого XQ Є DA в задаче (3.1.1), (3.1.2) существует единственное обобщенное решение x(t) = X(t)v, для которого справедлива оценка устойчивости: \\x{t)\\x Me C\\AxQ\\x, t 0. Здесь М 1 и [5 0 такие же, как в (3.1.3), а константа С 0 не зависит от Хо и t. Решение x(t) = X(t)v будет классическим тогда и только тогда, когда XQ Є -D 2- Если же XQ Є 3\DA, то задача (3.1.1), (3.1.2) неразрешима. Следствие 3.1.1. Пусть для оператора А и функции ц выполнены предположения (і), (іі), причем ї] Є С1[0}оо) и г](0) = 0. Предположим, что ни один нуль характеристической функции \ не принадлежит спектру оператора А. Тогда для любого Х\ Є DA задача (3.1.2), (3.1.7) имеет единственное обобщенное решение x(t) = X(t)v, при этом

Доказательство. Из соотношения (3.1.8) следует то, что х\ Є DA тогда и только тогда, когда хо Є DA, поскольку imX(T) с DA Обе части очевидного равенства А(1 — X(Т)) = (I — Х(Т))А домножим справа и слева на оператор (/ — Х(Т))-1, который существует в силу условия (і), означающего отрицательность экспоненциального типа полугруппы {X(t) Є (Х) : t 0} (см. по этому поводу [43]). Получим на DA коммутируемость операторов А и (I — Х{Т)) 1. Тогда

Теорема 3.1.2. [43]. Пусть для оператора А и функции ц выполнены предположения (і), (іі), причем г] Є Сп[0, оо); ту (0) = 0 для к = 0,..., п — 2 и /п-1)(0) 7 0 пРи некотором натуральном п 2. Предположим, что ни один нуль характеристической функции \ не принадлежит спектру оператора А. Тогда для любого XQ Є D в задаче (3.1.1), (3.1.2) существует и при том единственное обобщенное решение x(t) = X(t)v, для которого справедлива оценка устойчивости:

Здесь М 1 и [5 0 такие же, как в (3.1.3), а константа С 0 не зависит от Хо и t. Решение x(t) = X(t)v будет классическим тогда и только тогда, когда Хо Є D n+i. Если же XQ Є X \ DA , то задача (3.1.1), (3.1.2) неразрешима. Следствие 3.1.2. Пусть для оператора А и функции ц выполнены предположения (і), (іі), причем г] Є Сп[0, оо); ту (0) = 0 для к = 0,..., п — 2 и - ( -1) (0) 0 при некотором натуральном п 2. Предположим, что ни один нуль характеристической функции \ не принадлежит спектру оператора А. Тогда для любого Х\ Є D задача (3.1.2), (3.1.7) имеет единственное обобщенное решение x(t) = X(t)v, при этом \\x(t)\\x Ме- СіІ хіІ t 0. Решение x(t) = X(t)v будет классическим тогда и только тогда, когда Х\ Є Dj n+i. Если же Х\ Є X \ Р)АП, то задача (3.1.2), (3.1.7) неразрешима. Доказательство. Все рассуждения, проведенные при доказательстве следствия 3.1.1, остаются справедливыми при замене оператора А на Лп, п Є N. В случае отсутствия ограничений на гладкость и периодичность функции 77 справедлив еще один результат И. В. Тихонова, который также будет использован в дальнейшем.

Теорема 3.1.3. [41]. Пусть для оператора А выполнено предположение (і); функция г] неотрицательная невозрастающая на (0, оо); r](t) 0 при t — 0+. Тогда для любого XQ Є DA существует единственное обобщенное решение x(t) = X(t)v задачи (3.1.1), (3.1.2), при этом справедлива оценка устойчивости где константа С не зависит от XQ ut. Обобщенное решение задачи (3.1.1), (3.1.2) является классическим тогда и только тогда, когда XQ Є D . Если ЖЄ XQ Є X \ DA, то не существует обобщенного решения задачи (3.1.1), (3.1.2).

Пусть X — банахово пространство. Для замкнутого оператора A : DA — X его область определения DA С X наделим нормой графика \\-\\DA = х+ 4 х и будем рассматривать DA как линейное нормированное пространство, которое силу замкнутости оператора А является банаховым. Рассмотрим неоднородное уравнение x(t) = Ax(t)+g(t), є[0,Ті], (3.2.1) где А — линейный замкнутый оператор с плотной областью определения DA в банаховом пространстве X, порождающий сильно непрерывную полугруппу {X(t) Є С(Х) :t 0} класса С0.

Заметим, что в отличие от однородного случая (см. параграф 3.1) решение неоднородного уравнения (3.2.1) даже при условии порождения оператором А экспоненциально убывающей полугруппы может не быть убывающей по t функцией и тогда нелокальное условие (3.1.1), вообще говоря, теряет смысл. Например, в случае X = К, Av = —v при v Є К, д = 1 получаем экспоненциально убывающую группу операторов X(t)v = e fv, t Є Ш. При этом неоднородное уравнение x(t) = —x(t) + 1 имеет решение x(t) = 1 — e fv, которое не является экспоненциально убывающим.

Нелокальная по времени задача для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля

В ограниченной области Q с М.п с границей dQ класса С рассмотрим линеаризованную квазистационарную систему уравнений фазового поля в которой для двухфазной среды связываются температура v относительно температуры равновесия между фазами и фазовая функция w. Здесь / — скрытая теплота, к — коэффициент теплопроводности, д\ — функция внешнего теплового источника, константы а, /3 и функция до определяются соотношением фазового поля, вводимым на основе теории фазовых переходов. В случае / = 1, к, = 1, [5 = 1 система (3.5.1), (3.5.2) представляет собой в точности линеаризацию системы, рассмотренной в [35,36] в случае одномерной фазовой функции.

Доказательство. Согласно теореме 3.5.1 оператор М сильно (L, 0)-радиален, при этом 6k — точки его Т-спектра. Поэтому из условия 0, —а ф а (А) следует, что 5k ф 0, к Є N, и оператор М непрерывно обратим.

Учитывая полученные формулы для проекторов и условия данной теоремы на функции (?i, до, г о, Щ), не трудно заметить, что и остальные условия теоремы 3.3.1 выполняются.

Нелокальная задача на полуоси для вырожденного эволюционного уравнения Рассмотрим нелокальную задачу / x(t)r](t)dt = хо (3.6.1) о для однородного вырожденного эволюционного уравнения Lx(t) = Mx(t), 0, (3.6.2) в предположении сильной (Ь,р)-радиальности оператора М. Используя теорему 1.2.1, задачу (3.6.1), (3.6.2) редуцируем к двум задачам / v{t)r]{t)dt = Рхо, (3.6.3)

В силу нильпотентности оператора Н (утверждение (viii) теоремы 1.2.1) уравнение (3.6.6) имеет только тривиальное решение w(t) = 0. Поэтому задача (3.6.5), (3.6.6) разрешима тогда и только тогда, когда Ро о = 0. Следовательно, при хо Є Xі задача (3.6.1), (3.6.2) эквивалентна задаче (3.6.3), (3.6.4).

Обобщенным решением уравнения (3.6.2) будем называть вектор-функцию x(t) = X(t)z при z Є X. Функция х Є С1 ([0, оо); X) называется классическим решением уравнения (3.6.2), если для нее равенство (3.6.2) выполняется непосредственно. Всякое классическое решение х уравнения (3.6.2) является классическим решением уравнения (3.6.4) в силу проведенных выше рассуждений, поэтому x(t) = X\(t)Pz = X{t)Pz = X(t)(PoZ + Pz) = X(t)z, следовательно, оно является обобщенным решением уравнения (3.6.2).

Из тех же соображений и равенства Dg = DMI: справедливого в силу непрерывной обратимости оператора Li, следует, что обобщенное решение x(t) = X(t)z уравнения (3.6.2) является классическим в случае, когда z Є X +DMX Обобщенным или классическим решением задачи (3.6.1), (3.6.2) называется соответственно обобщенное или классическое решение уравнения (3.6.2), если для него выполняется условие (3.6.1).

Доказательство. Как уже было замечено, условие XQ Є Xі необходимо для обобщенной разрешимости задачи (3.6.1), (3.6.2), при этом задача (3.6.1), (3.6.2) равносильна задаче (3.6.3), (3.6.4). Согласно теореме 1.2.2 (ііі) оператор S = L\lM\ Є С/(Х:) порождает полугруппу {X\(t) Є (Х:) : t 0}, удовлетворяющую неравенству

Таким образом, задача (3.7.1)-(3.7.3) редуцирована к задаче (3.6.1), (3.6.2).

Обозначим через А , к Є N, занумерованные по невозрастанию с учетом кратности собственные значения оператора А\, определенного на HQ(Q) как А\и = Аи и действующего в L2(f2). Кроме того, пусть {cpkк Є N} — ортоно-ромированная в смысле скалярного произведения (, -)ь2(о,) в - 2( ) система соответствующих собственных функций этого оператора. Будем считать, что невозрастающая, не равная тождественно нулю. Тогда при любом ZQ Є Щт(0) П span{(pk Рп( к) 7 0} существует единственное обобщенное решение задачи (3.7.1)-(3.7.3); при этом 3C 0 V 0 \\z{-,t)\\H2n{Q) Се-№\Ы\н (п) Если ZQ . Щт{0) П span{(/?& : Рп(Хк) 0}; то обобщенного решения не существует. Если ZQ Є Ц т 1п п span{(/?& : Рп(Хк) 0}; то существует классическое решение задачи (3.7.1)-(3.7.3).

Доказательство. При условии того, что т п, (—l)m nHe(dm/сп) 0, а спектр о (Аі) не содержит общих корней многочленов Рп и Qm: оператор М сильно (L,0)-радиален согласно теореме 5.1 [54]. При этом aL(M) = 1 № = р(х ) Pn( k) 7 0 следовательно, в определении сильной (L, 0)-ра-диальности можно выбрать

В диссертационной работе проведено качественное исследование нелинейных обратных задач для вырожденных эволюционных уравнений, линейных обратных задач для вырожденных эволюционных уравнений с условием переопределения на вырожденной части уравнения, а также нелокальных по времени на отрезке задач для неоднородных невырожденных и вырожденных уравнений и нелокальных на полуоси задач — для однородных вырожденных уравнений. Методами теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории вырожденных полугрупп операторов доказана однозначная разрешимость задач: для нелинейных задач — необходимые условия существования и единственности локальных обобщенных и классических решений, для линейных — необходимые условия существования единственного классического решения, для нелокальных задач — необходимые и достаточные условия существования и единственности обобщенного и классического решения. Для линейных задач найдены оценки устойчивости решений.

Результаты, полученные в ходе исследования, важны не только с теоретической, но и с практической точки зрения, поскольку они имеют ряд, представленных в диссертационной работе, приложений к некоторым задачам гидродинамики, теории фильтрации, теории полупроводников, теории фазовых переходов.

Полученные результаты могут лечь в основу дальнейших исследований, например, нелинейных обратных задач с переопределением на подпространстве вырождения или нелокальных задач для нелинейных вырожденных эволюционных уравнений.