Введение к работе
Актуальность темы. Течения жидкости в областях с некомпактными границами (трубы, слои, конусы и т.д.) всегда вызывали значительный интерес в гидродинамике, но строгая математическая теория разрешимости краевых и начально-краевых задач была развита лишь сравнительно недавно - в 70-х-вО-х годах. Важные результаты в этой области получены в работах О.А.Ладыженской, В.А.Солонникова, Дж.Хейвуда, Л.В.Капитанского, К.И. Пилецкаса, В.Н.Масленниковой, М.Е..Боговского и др. Близкие проблемы для эллиптических уравнений были исследованы в работах П.Д.Лакса, О.А.Олэйник, Г.А.Иосифьяна, В.Г.Мазьи, Б.А.Пламеневского, С.А.Назарова, В.И.Юдовича, Ю.А.Устинова, В.Е.Ковальчука, И.И.Воровича, М.Б.Оразова, А.Г.Костюченко, А.М.Гомилко, В.В.Мелешко и др.
Исследование уравнений в областях с некомпактными границами потребовало новых подходов и обнаружило ряд интересных и новых эффектов. Нетривиален уже вопрос о правильной постановке краевых задач, интересные проблемы возникают в связи с исследованием поведения решений на бесконечности, разложением по элементарным решениям и т.д.
Настоящая диссертация посвящена обоснованию метода линеаризации в задаче устойчивости движения жидкости в случае, когда область течения представляет собой бесконечный цилиндр или слой.
Цель работы:
изучение нелинейной устойчивости стационарных течений жидкости в трубе и слое;
обоснование метода линеаризации для этого класса задач;
исследование спектра линеаризованных на состоянии покоя и стационарном течении уравнений Навье-Стокса;
вывод оценок резольвенты оператора Стокса в подходящих функциональных пространствах.
Научная новизна. Оценки резольвенты оператора Стокса, известные в случае ограниченной области, доказаны для слоя и
бесконечного цилиндра. Исследован спектр оператора, соответствующего линеаризации на параллельных, а также и затухающих течениях в таких областях. Изучен вопрос о поведении давления на бесконечности в цилиндре. Это позволило перенести основные теоремы об устойчивости движения жидкости на течения в таких областях.
Достоверность полученных результатов обусловлена корректной постановкой краевых задач, применением математически обоснованных методов, совпадением результатов с известными в тех случаях, когда таковые имеются в литературе.
Практическая значимость. Полученные результаты применимы для обоснования численных и асимптотических методов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 71. 711 и VIII Школах-семинарах МГУ "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Колюбакино, 1988 г.; Звенигород, 1990 г.; Райки, 1992 г.), Международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Зеленоград, 1993 г.), на научных семинарах кафедры вычислительной математики . и математической физики РГУ.
Публикации. По теме диссертации опуб.таковано 5 работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа занимает 126 страниц машинописного текста, список литературы содержит 70 наименований.